考研筆記 《數(shù)學(xué)分析》筆記和考研真題詳解

也被眾多高校(包括科研機(jī)構(gòu))指定為考研考博專業(yè)課參考書目。為了幫助參加研究生入學(xué)考試指定參考書目為光中《數(shù)學(xué)分析》輔導(dǎo)用書(均提供免費(fèi)下載，免費(fèi)升級):2.歐陽光中《數(shù)學(xué)分析》(上冊)配套題庫【名校考研真題+章節(jié)題庫+模擬試題】[免費(fèi)下3.歐陽光中《數(shù)學(xué)分析》(下冊)配套題庫【名?？佳姓骖}+章節(jié)題庫+模擬試題】[免費(fèi)下(1)梳理知識脈絡(luò)，濃縮學(xué)科精華。本書每章的復(fù)習(xí)筆記均對該章的重難點(diǎn)進(jìn)行了整理，(2)精編考研真題，培養(yǎng)解題思路。本書精選詳析了部分名校近年來的相關(guān)考研真題，這(3)免費(fèi)更新內(nèi)容，獲取最新信息。本書定期會進(jìn)行修訂完善，補(bǔ)充最新的考研真題和答()提供全國各高校數(shù)學(xué)類專業(yè)考研考博輔導(dǎo)班【一對一輔導(dǎo)(面授/網(wǎng)授)、網(wǎng)授精講班等】、3D電子書、3D題庫(免費(fèi)下載，免費(fèi)升級)、全套資料(歷年真題及答案、筆記講義等)、數(shù)學(xué)類國內(nèi)外經(jīng)典教材名師講堂、考研教輔圖書等。本1.720度立體旋轉(zhuǎn)：好用好玩的全新學(xué)習(xí)體驗(yàn)2.質(zhì)量保證：每本e書都經(jīng)過圖書編輯隊(duì)伍多次反復(fù)修改，顧問團(tuán)隊(duì)嚴(yán)格審核目的考試要點(diǎn)，把重要考點(diǎn)全部固化為試題(或講義)形式，形成精準(zhǔn)領(lǐng)先及時的備考e3.免費(fèi)升級：更新并完善內(nèi)容，終身免費(fèi)升級4.功能強(qiáng)大：記錄筆記、答案遮擋等十大功能(1)e書閱讀器——工具欄豐富實(shí)用【為考試教輔量身定做】(2)便箋工具——做筆記、寫反饋【獨(dú)家推出】(3)答案遮擋——先看題后看答案，學(xué)習(xí)效果好【獨(dú)家推出】5.品種齊全：包括全部職稱資格考試、、主要包括：、、,共3萬余種，每天新上線約30種e書，每天下載約1萬次。()是一家為全國各類考試和專業(yè)課學(xué)習(xí)提供輔導(dǎo)方案【保過班、網(wǎng)授班、3D電子書、3D題庫】的綜合性學(xué)習(xí)型視頻學(xué)習(xí)網(wǎng)站，擁有近100種考試(含418個考試科目)、194種經(jīng)典教材(含英語、經(jīng)濟(jì)、管理、證券、金融等共16大類),合計近萬小時的面授班、網(wǎng)授如您在購買、使用中有任何疑問，請及時聯(lián)系我們，我們將竭誠為您服務(wù)!全國熱線：(8:30～00:30),(8:30～00:30)詳情訪問：http://(理工類)1.2名?？佳姓骖}詳解第3章映射與實(shí)函數(shù)第4章函數(shù)極限和連續(xù)性第5章連續(xù)函數(shù)和單調(diào)函數(shù)第6章導(dǎo)數(shù)和微分第7章微分學(xué)基本定理及應(yīng)用7.1復(fù)習(xí)筆記第8章導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用第10章定積分的應(yīng)用第11章極限論及實(shí)數(shù)理論的補(bǔ)充第12章級數(shù)的一般理論第13章廣義積分的斂散性第14章函數(shù)項(xiàng)級數(shù)及冪級數(shù)第15章Fourier級數(shù)第18章偏導(dǎo)數(shù)第19章隱函數(shù)存在定理和隱函數(shù)求導(dǎo)法第20章偏導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用第21章重積分第22章廣義重積分第23章曲線積分第24章曲面積分(1)定義第25章含參變量的積分第26章Lebesgue積分1.集合和元素(1)集合的定義(2)集合與元素的關(guān)系設(shè)A是一個集合，x是一個元素.如果x是A的元素，則可說x屬于A,并記作x∈A;如果x不是A的元素，則說x不屬于A,并記作xA或x∈A.(3)集合的表示(4)一些常見的集合③Q={x|x是有理數(shù)}={x=q/plp,q是整數(shù)且p>0};⑤R2=I(x,y)|x,y∈R,是xy平面上點(diǎn)(x,y)的全體。一般地，R*=(x?.x?.…,x)x,x:,…稱為n維空間.2.集合的分類(1)有界集和無界集(2)單點(diǎn)集(3)可數(shù)集(4)空集3.子集設(shè)A,B是兩個集合.如果B的元素都是A的元素，則稱B是A的子集，并記為BCA.(2)命題4.若干邏輯記號(1)設(shè)P,Q是兩個命題.P→Q表示命題P成立時命題Q也成(2)P→Q表示P→Q且QP,即P成立的充要條件是Q成立.(3)記號“3”意為存在，記號“V”意為每一個或任意的.5.集合運(yùn)算設(shè)A,B是兩個集合：AUB是A和B的元素匯總所成的集，即AUB={x|x∈A或x∈B}.A∩B是A和B的公共元素所成的集，即A∩B={x|x∈A且x∈B}.A-B表示由在A中但不在B中的元素所組成的集，即A-B={x|x∈A設(shè)A是X的一個子集，A的補(bǔ)集(又稱余集)A定義為A=X-A,6.集合運(yùn)算公式即屬于X但不屬(1)AUB=BUA,A∩B=B∩A(交換律).(2)AU(BUC)=(AUB)UC;A∩(B∩C)=(A∩B)∩C(結(jié)合律).AU(B∩C)=(AUB)∩(AUC)(分配律).(4)(AUB)=A∩B,(A∩B)=AUB(對偶律).7.無限個集合的運(yùn)算(1)可列多個集合A,A?,…,A..…的并集表示將每個集合A的元素匯總而成的集合，即(2)可列多個集合A.A?,…,A.,…的交集表示由所有A的公共元素所組成的集合，即二、數(shù)集及其確界1.區(qū)間與鄰域①有界區(qū)間設(shè)a,b是兩個實(shí)數(shù)且a≤b,閉區(qū)間[a,b],開區(qū)間(a,b),閉開區(qū)間(a,b)及開閉區(qū)間(a,b]分別指下列數(shù)集：其中，數(shù)a,b稱為端點(diǎn)，<a,b〉用來泛指以上四種區(qū)間。若a>b,則<a,b〉理解為<b,a).②無窮區(qū)間(2)鄰域①開鄰域O(a)=0(a,8)=(a-8,a+8稱為點(diǎn)a的δ鄰域，它表示了與a距離小于δ的x全體.②閉鄰域稱為點(diǎn)a的δ閉鄰域.③去心鄰域則稱為點(diǎn)a的δ去心鄰域.2.上界與下界設(shè)A是一給定的數(shù)集，若存在數(shù)M,使得Vx∈A有x≤M,則稱M為集合A的一個上界.(2)下界設(shè)A是一給定的數(shù)集，若3數(shù)m,使得Vx∈A有x≥m,則稱數(shù)m為集合A的一個下界.(3)有界集存在上界的集稱為上有界集.存在下界的集稱為下有界集.同時存在上界和下界的集稱為有界集.3.上確界與下確界(1)上、下確界的定義下確界統(tǒng)稱確界.(2)確界定理上(下)有界的非空數(shù)集必存在(惟一)上(下)確界.(3)上下確界常用的等價定義設(shè)A是一個數(shù)集，若數(shù)β(包括+○與一0)滿足以下兩個條件：b.β的任一鄰域O(β)中都含集合A的元素，設(shè)A是一個數(shù)集，若數(shù)β(包括+與-0)滿足以下兩個條件：b.β的任一鄰域O(β)中都含集合A的元素，2.1復(fù)習(xí)筆記(1)數(shù)列的定義它常表示成x,其中不稱為該數(shù)列的通項(xiàng).(2)數(shù)列極限的定義設(shè)x是一給定數(shù)列，a是一給定的數(shù)，若對任意的>0,都能找到自然數(shù)N,使當(dāng)n≥N成立，則稱a是數(shù)列的極限，并表示為(3)數(shù)列極限與上下確界的關(guān)系2.收斂數(shù)列的性質(zhì)(1)極限惟一性收斂數(shù)列的極限必惟一.(3)有界性收斂數(shù)列x必有界，即=0(1).limcx。=c·limxa(c是常數(shù));(5)比較性①若n充分大時x≥y.,則,特別當(dāng)n充分大時z≥0,則imx≥0;②(嚴(yán)格大于!),則當(dāng)n充分大時>y;若,則當(dāng)n充分大時.>0.當(dāng)n充分大時且成立以下不等式3.無窮級數(shù)(1)定義稱為無窮級數(shù)(簡稱級數(shù)).②數(shù)列級數(shù)前n項(xiàng)和的定義及性質(zhì)極限稱為級數(shù)的和.如果S發(fā)散，則該級數(shù)發(fā)散.也收斂，且4.無窮大量(1)相關(guān)定義①無窮大量的定義②正(負(fù))無窮大量的定義若x為無窮大量，則當(dāng)n充分大時>0(<0),則進(jìn)一步稱|x.為正(負(fù))無窮大量，(2)無窮大量和無窮小量之間的關(guān)系無窮大量的倒數(shù)是非零無窮小量，其逆亦然.(3)無窮大量的性質(zhì)②(無窮大量與有界量相加)±∞+0(1)=±∞,0+O(1)=;③(無窮大相乘)(士∞)(±)=十∞,(土∞)(干∞)=-○,·=;④設(shè)0(1)為非零有界量，則,又下列極限存在(1有限或±,但○不可):二、單調(diào)數(shù)列的極限1.單調(diào)數(shù)列的定義滿足?≤x?≤…≤x≤…的數(shù)列x稱為單調(diào)增加數(shù)列，簡記為x↑。滿足I<x?<…<x.<…的數(shù)列ixl稱為嚴(yán)格單調(diào)增加數(shù)列，上述不等號反向分別得單調(diào)減少數(shù)列(簡記為nx)和嚴(yán)格單調(diào)減少數(shù)列.2.單調(diào)有界定理(1)定理單調(diào)有界數(shù)列必收斂.3.重要極限下述數(shù)列極限存在并且有：其中e≈2.7182818稱為自然底數(shù)，以e為底數(shù)的對數(shù)記為Inx(log.x),稱為自然對數(shù).4.數(shù)ππ是圓周長與直徑的比值，而圓周長是圓內(nèi)接正n邊形的周長在n→時的極限.由于單位圓的圓內(nèi)接正n邊形的半周長為nsin(180°/n),它的極限可作為π的定義，即(1)正(負(fù))項(xiàng)級數(shù)相關(guān)概念①每一項(xiàng)“≥0的級稱為正項(xiàng)級數(shù)，正項(xiàng)級數(shù)前n項(xiàng)的和S.↑;②定理正項(xiàng)級數(shù)的有限或+;③正項(xiàng)級數(shù)的收斂性條件可簡單地表示為對應(yīng)地，負(fù)項(xiàng)級數(shù)收斂的充分必要條件(2)p級數(shù)：且6.Leibniz型級數(shù)最簡單也最常用的變號級數(shù)是Leibniz型級數(shù)其中b?≥b?≥…≥b.≥…且b,→0.Leibniz型級數(shù)必收斂.1.閉區(qū)間套定義度II→0,則稱I為閉區(qū)間套.2.閉區(qū)間套定理①閉區(qū)間套必不空且為單點(diǎn)集.②推論實(shí)數(shù)集R是不可列集.1.子列的定義,?,…,,…2.定理(1)定理I收斂于a→|z的任意子列收斂于a.(2)推論若對可找到兩個不可能有相同極限的子列和，則x必發(fā)散.(3)Bolzano-Weierstrass定理有界數(shù)列必存在收斂子列.2.2名校考研真題詳解一、判斷題1.單調(diào)序列()中有一個子序列《+收斂，則(a.收斂.()[武漢大學(xué)研]【答案】對查看答案【解析】不妨設(shè)(a單增，即a,≤ai(n=1.2.……).又①這與①式矛盾，因此(a·單調(diào)遞增有上界a,從而有極限，即證{a收斂.Ve>0.3N?,當(dāng)n.n>N時，有再,對上述ε,存在N?,當(dāng)n>N?時有2.序列(“的子序列(az)和(a+t)收斂，則(a收斂.()[武漢大學(xué)研]【答案】錯查看答案【解析】舉反例：數(shù)列.1.0……,(a)和(a都收斂，但a)不收斂.3.序列收斂，則序列a收斂，其逆命題也成立.()[武漢大學(xué)研]【解析】舉反例：I(-1"收斂，但(-1)不收斂.【答案】錯查看答案【解析】舉反例：收斂，但5.函數(shù)序列(.(x)x∈[a.b],滿足對任意自然數(shù)p及x∈[a,b],有,則《u.(x))一致收斂.()[武漢大學(xué)研]【答案】錯查看答案【解析】比如(在[0.11上滿足條件，但(在[0,1]上不一致收斂.二、解答題,并討論當(dāng)0<a≤1時，極限證明：當(dāng)a>1時，令a=Na-1,則a>0。由得2.敘述{x發(fā)散的定義，證明{cosn},{sinn}發(fā)散。[大連理工大學(xué)研、武漢大學(xué)2006研]存,對任意的N,,m=[2Nπ+2π],m>n>N,則有所!(柯西(Cauchy)收斂準(zhǔn)則)r3.證明：若數(shù)列n無上界，則必有嚴(yán)格單調(diào)增加且趨于+0的子列。[上海理工大學(xué)研]r證明：因?yàn)閿?shù)列3無上界，所以存在xn>1。同樣因?yàn)閿?shù)列{x}無上界，所以存在證明：學(xué)研]證明：(1),由L'Hospital法則由兩邊夾法則可知：5.設(shè)求極限[華中科技大學(xué)研]解：令f(x)=e°、g(x)=x,則f(x)=e3、g(x)=ex。利用C理可得此處應(yīng)用,,證明：{an收斂，并求其極限.[武漢大學(xué)、華中師范大學(xué)研]方法一：用數(shù)學(xué)歸納法可以證明事實(shí)=E·|a.-a1I<c|a.-a?|.①其中8介于an與a-1之間，由于0<c<1,再由①式可知{a為壓縮數(shù)列，故收斂，設(shè),P-21+c=0.方法二：先用數(shù)學(xué)歸納法可證再用數(shù)學(xué)歸納證明am+1≥a(n=1顯然az≥a1,歸納假設(shè)a≥a-I,則從而③成立.由②,③知{a單調(diào)遞增有上界，(存在),.注意到l<1,7.證明：為遞減數(shù)列；[華東師范大學(xué)研]證法一：(1)設(shè)為遞減數(shù)列.,再由嚴(yán)格減且故故即取對數(shù)于是證法二：(1)因?yàn)?2)由于故第3章映射與實(shí)函數(shù)1.相關(guān)定義①②③(2)映射確起見將記為9(D.當(dāng)(f)=X時，稱f在X上是全定義的.集合Y稱為f的值域.域9(f)不必是全X)可簡記為f:X→Y.2.像與逆像(1)定義設(shè)f:X→Y.若≠必有f(x)≠f(x?),Vx?,x?∈(D.,則稱f為單射.若值域6.逆映射(1)定義x=廣(y),Vy∈(f).(2)定理 及1.奇偶性(1)定義(2)性質(zhì)函數(shù)，x||,cosx,secx,chx=(e2+e')/2(稱為雙曲余弦)是偶函數(shù)，而x2,1/x,sgnx,sinx,tanr,arcsinxarctanx是奇函數(shù)，注意arccosx不是偶函數(shù).2.周期性3.單調(diào)性若f(x)在數(shù)集9上有定義，且Vxi,x?∈9,則稱f(x)于9上單調(diào)增加(嚴(yán)格單調(diào)增加),并簡記作廠個(f嚴(yán)格↑).上述不等式若改為則稱f(x)于上單調(diào)減少(嚴(yán)格單調(diào)減少),簡記作f*(f嚴(yán)格1).4.有界性若f的值域(f是一個有界集，則稱f是有界函數(shù).即若3固定數(shù)M>0,使Vx∈D)有5.最值與極值(1)最值在(a,b>上的最大(小)值.使f取最大(小)值的自變量x的值稱為最大(小)值點(diǎn).函數(shù)的最大值與最小值統(tǒng)稱為最值.(2)極值f(x)≤f(x),Vx∈O?(xo),則稱x為f的極大值點(diǎn)，而f(x稱為極大值.則稱x為f的極小值點(diǎn)，而f(x稱為極小值.3.2名?？佳姓骖}詳解一、選擇題1.有下列幾個命題(1)任何周期函數(shù)一定存在最小正周期.(3)sin√不是周期函數(shù).(4)xcosx不是周期函數(shù).其中正確的命題有()。[復(fù)旦大學(xué)研]【答案】B查看答案【解析】(1)錯.比如f(x)=0.那么任何正實(shí)數(shù)都是它的周期，而無最小正實(shí)數(shù).這與T為周期矛盾.∴m≠0.∴[x]不是周期函數(shù).(3)對.∵若f(x)是定義域D上周期函數(shù)，那么存在函數(shù)T,f(x±D=f(x).這必須有x±T∈D.而本題定義域D=[0.+○),若是周期函數(shù)，則O∈D,必須-T∈D,但一TED.故不是周期函數(shù).(4)對.用反證法，設(shè)f(x)=xcosx的周期為T>0,則即證xcosx不是周期函數(shù).1.設(shè)f(x)在[a,b]上是連續(xù)函數(shù)，且f(x)在[a,b]內(nèi)沒有極值點(diǎn)，則f(x)是[a,b]上嚴(yán)格單調(diào)函數(shù)。[中南大學(xué)研](x,x?)內(nèi)有極值點(diǎn)，矛盾。不妨設(shè)f(a)<f(b),則對任意的a≤x?<x?<b,有f(x?)<f(x?)。若f(x?)≥f(x?),由f(x2.設(shè)a>0,f(x)在[a,b]上是連續(xù)的偶函數(shù)，則.[中科院數(shù)學(xué)研究所2006研]證明：令x=-t,則所以有再由f(x)的性質(zhì)，可以得到結(jié)論。3.設(shè)-∞<x?<x?<…<x.<+○(n≥2).并設(shè)次數(shù)不超過n-1次的代數(shù)多項(xiàng)式C(x)(k=1.2.….n),滿足條件：試證：CCx)+Cm(x)≥1.n≤x≤z(1≤k≤n-1).[中國科學(xué)院研]證明：由假設(shè)①式，可令C(x,)=a,(x-x?)(x-x?)…(x-x:)(x-)…(x-x(k=1.2.….n).②其中a(x-x)…(z-n)(x-)…(z-x)=1,(或其中h(x)=a(x-z)+a(x-z)=(a+a)x+(ax-a).④4.設(shè)函數(shù)f(x)定義在區(qū)間I上，如果對于任何x,x?∈I,及λ∈(0,I).恒有fLax:+(1-λ)x?]≤λf(x?)+證明：在區(qū)間x的任何閉子區(qū)間上f(x)有界.[華中師范大學(xué)研]由①式有≤AM+(1-A)M=M.①其中M=max{f(a),f(b)}.Vx∈[a.b],令y由①,②兩式可知m≤f(x)≤M.Vx∈(a,b),再由M的定義，可知f(x)≤M.Vx∈[a,b].則Vx∈[a.b].此即證f(x)在a.b]上有界.5.設(shè)f(x)在[a,b]上連續(xù)，對任意的x∈[a,b],定>,證明：m(x)證明：對任意的x?∈[a,b]、E,由下確界的定義(上題),可得必存在5%∈[a,x。],使得7.(其中a,b,c是整數(shù))是奇函數(shù)，且在(1,+o)上單調(diào)遞增，f(1)=2.f(2)<3.(2)證明：f(x)在(0,1)上單調(diào)遞減.[四川大學(xué)研]解：(1)由于f(x)是奇函數(shù)，∴c=0.再由f(1)=2,可得∴f(x)在(0,1)上單調(diào)遞減.8.是否存在這樣的函數(shù)，它在區(qū)間[0,1]上每點(diǎn)都取有限值，但在此區(qū)間的任何點(diǎn)的任何鄰域內(nèi)都無界.[上海師范大學(xué)研]解：存在，比如Vxo∈[0.1],.,對任意正數(shù)M而使f(x)>M.第4章函數(shù)極限和連續(xù)性4.1復(fù)習(xí)筆記1.相關(guān)定義(1)函數(shù)極限的相關(guān)概念I(lǐng)f(x)-A|<e,則稱f(x)或在x趨向于a時存在極限A,并記作f(x)→A(x→a).若則稱f于a處連續(xù).若f于(a,β)上每點(diǎn)都連續(xù)，則稱f在開區(qū)間(a,β)上連續(xù)，或稱f是(a,β)上的連續(xù)函數(shù).(2)函數(shù)極限的性質(zhì)①(唯一性)函數(shù)極限必惟一.②(局部有界性),A為有限，則30?(a),使得f(x)于O?(a)-la有界.換言之，3M>0及δ>0使得f(x)≤M,Vx∈O(a)-{al.2.其他類型函數(shù)極限的定義(1)四種函數(shù)極限下函數(shù)極限的定義①當(dāng)極限A有限時，極限定義為②當(dāng)A=時更動為"VG>0,…,f(x)<-G".(2)五種極限過程下函數(shù)極限的定義①當(dāng)極限過程為x→a(a有限)時的極限定義為：②當(dāng)x→a+時更動為“…,38>0,V-8<x-a<0,…”;⑤當(dāng)x→+時更動為“…,3M>0,Vx>M,…”.1.各種極限間的關(guān)系(1)雙側(cè)極限和單側(cè)極限之間的關(guān)系是雙向極限，f(a±)是單側(cè)極限.則(有限或無窮(2)函數(shù)極限和數(shù)列極限之間的關(guān)系2.函數(shù)極限的四則運(yùn)算法則且A,B均有限，則注：如果A,B中出現(xiàn)無窮大，則只要上述公式右端不是不定式，公式仍保持正確.3.函數(shù)極限的夾逼定理且則(有限或±0,○除外)4.兩個重要的極限5.局部比較定理(1)局部比較定理設(shè)a是有限數(shù)且都存在(包括±00).若3O(a),使得Vx∈O(a)-|al,有反之，若有f(x)≥E6.復(fù)合函數(shù)的極限若f于點(diǎn)y=A連續(xù)(這時A必有限或A為無窮大)上存在(有限或無限),那么則必成立.三、無窮小量、無窮大量、有界量和等價量1.無窮小量、無窮大量和有界量(1)無窮小量(2)無窮大量,則稱當(dāng)x→a時f(x)是無窮大量(相應(yīng)地，正、負(fù)無窮大量).注：極限過程x→a也不能省略.(3)有界量設(shè)a是有限數(shù)，若存在a的一個去心鄰域O(a)-|a及數(shù)M>0,使得即f(x)于O?(a)-lal有界，則稱當(dāng)x→a時f(x)是有界量，記f(x)=0(1)(x→a).2.等價量(1)等價量的定義設(shè)v≠0·則當(dāng)極限時，稱u與v是等價量，并記為u~v.(2)常用的等價量(3)等價量的性質(zhì)①(自反性)u~u;②(對稱性)若《～v,則v～u;③(傳遞性)若u~v,v~w,則“~w;⑤(等價量代換法)若a～v,則limu和limv同時存在(包括無窮大)或同時不存在，且當(dāng)都存在時，有4.2名校考研真題詳解一、選擇題下列函數(shù)在開區(qū)間(0,1)內(nèi)一致連續(xù)的是().[天津大學(xué)研]【答案】C查看答案及【解析】因?yàn)槿鬴(x)在開區(qū)間(a,b)及都存在.在閉區(qū)向[0,1]上連續(xù)，因而一致收斂.因此答案選C.1.計算下列各題：[北京農(nóng)業(yè)大學(xué)、南京農(nóng)業(yè)大學(xué)、華南農(nóng)業(yè)大學(xué)、浙江農(nóng)業(yè)大學(xué)、華中農(nóng)業(yè)大學(xué)研]2.已知,求a和b.[武漢大學(xué)2006研]解：,因?yàn)?要使極限存在且不為無窮大，則,所以a+b+1=0.再利用洛必達(dá)(L'Hospital)法則3.用Heine定理及數(shù)列極限和的運(yùn)算性質(zhì)證明函數(shù)極限和的運(yùn)算性質(zhì)：若極限,則存在且.[天津大學(xué)研]證明：因?yàn)闃O限由Heine定理知，對任意于是再由Heine定理可得4..[南京理工大學(xué)2006研]解：由于由等價無窮小量知故由夾逼法知(2).[浙江師范大學(xué)2004、2006研]6.,n為自然數(shù)，問在什么條件下，下列成立：(1)在x=0處連續(xù)?(2)在x=0處可導(dǎo)?(3)在x=0處導(dǎo)函數(shù)連續(xù)?[中國地質(zhì)解：(1)若f(x)在x=0處連續(xù)，則,所以只要n>0即可(利用有界量乘以無窮小量仍為無窮小量).故,則的所有正周期沒有正的下界。事實(shí)上若f(x)的所有正周期有正的下界，記下確界為a>0,都是f(x)的周期。從而由都是f(x)的周期。,故a是f(x)的周期，這與f(x)沒有最小正周期矛盾。因此存在單調(diào)遞減的非負(fù)數(shù)列{a}使的周期。由(1)的結(jié)論知對任何實(shí)數(shù)b,存在數(shù)列b∈P使得這與f(x)是非常數(shù)函數(shù)矛盾，得證。則E非空且有下界。由確界原理可記T?=infE有則ToEE,,從而存在有f(x)-ffCO),仍用反證T。(0<T<28%),則總有k∈N,使,此時即有第5章連續(xù)函數(shù)和單調(diào)函數(shù)5.1復(fù)習(xí)筆記一、區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)1.某點(diǎn)處連續(xù)和單側(cè)連續(xù)(1)函數(shù)在一點(diǎn)的連續(xù)的定義函數(shù)f在點(diǎn)xo連續(xù)是指且f在xo和xo的某個鄰域δ(xo)內(nèi)有定義.(2)單側(cè)連續(xù)的定義如果f(x)在x的某個右鄰域0<x-xo<δ,左鄰域(-δ<x-xo<0)中有定義，且f(x。+)=f(x)(f(x。-))=f(xo),則稱f在點(diǎn)xo右(左)連續(xù).(3)單側(cè)連續(xù)和某點(diǎn)處連續(xù)的關(guān)系續(xù)又右連續(xù).2.區(qū)間上的連續(xù)性(1)開區(qū)間上連續(xù)性的定義當(dāng)a<b時，f(x)在(a,b)上每點(diǎn)都連續(xù)，則f(x)在開區(qū)間(a,b)上連續(xù).(2)閉區(qū)間上連續(xù)性的定義f(x)在(a,b)連續(xù)且在點(diǎn)a右連續(xù)，在點(diǎn)b左連續(xù)，則f在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù).(3)連續(xù)函數(shù)類用記號C(I)表示由區(qū)間I上所有的連續(xù)函數(shù)所組成的集合.3.連續(xù)函數(shù)的四則運(yùn)算及l(fā)fl也都屬于C(I).若f∈C(I),則f∈C(1),并且有f∈C(1)(n是自然數(shù)).4.連續(xù)函數(shù)的復(fù)合運(yùn)算為相同的單側(cè)連續(xù).5.不連續(xù)點(diǎn)(1)不連續(xù)點(diǎn)的定義設(shè)f(x)于xo的某個去心鄰域O?(x?)-{xo}中有定義.如果在點(diǎn)xo不滿足連續(xù)性條件f(x?+)=f(x?-)=f(x?),則xo稱為f(x)的不連續(xù)點(diǎn)(亦稱間斷點(diǎn)).f(xo+)和f(xo?)均存在且有限.f(x。+)和f(x。一)至少有一個不存在.(無窮大屬于不存在之列)(3)連續(xù)延拓原理二、區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的基本性質(zhì)1.零點(diǎn)存在定理(1)連續(xù)函數(shù)零點(diǎn)存在定理(2)定理的幾何解釋的零點(diǎn).2.值域定理(1)值域定理 (2)推論①(連續(xù)有界定理)有界閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)必有界；②(最值定理)有界閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)必存在最大值與最小值；③(介值定理)對一切μ∈[m,M],必存在x'∈[a,b]使得f(x')=注意：如果f在[a,b]有一點(diǎn)不連續(xù)，那么f(x)的有界性、最值存在性均可能不成立.3.一致連續(xù)性(1)一致連續(xù)的定義①設(shè)f在<a,b)=I上有定義，如果極限則稱f(x)在區(qū)間I上一致連續(xù).②設(shè)f在<a,b)三I上有定義，若對Ve>0,38>0,滿足時，有注意：若f在(a,b)上一致連續(xù)，則f必在(a,b)連續(xù).(2)不一致連續(xù)定義①f在(a,b)上不一致連續(xù)→3e>0.V8>0,3x',x"∈(a,b),Ix'-x"I<8②f(x)于(a,b)上不一致連續(xù)→3eo>0注意：連續(xù)性一般推不出一致連續(xù)性.有界閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)必一致連續(xù).三、單調(diào)函數(shù)的性質(zhì)1.不連續(xù)點(diǎn)的性質(zhì)在區(qū)間(a,b)上定義的單調(diào)函數(shù)f于(a,b)的不連續(xù)點(diǎn)必是第一類不連續(xù)點(diǎn).單調(diào)函數(shù)的不連續(xù)點(diǎn)至多為可列個.2.值域性質(zhì)性質(zhì)3如果f在<a,b>上單調(diào)，則f∈C(<a,b>)→值域f(<a,b>)是區(qū)間.3.反函數(shù)存在定理性質(zhì)4(嚴(yán)格單調(diào)連續(xù)函數(shù)的反函數(shù)存在定理)設(shè)y=f(x)在<a,b〉上連續(xù)且嚴(yán)格單調(diào)增加，則值域I=f(<a,b>)是區(qū)間，反函數(shù)=f(y)是區(qū)間I上的連續(xù)且嚴(yán)格單調(diào)增加函數(shù).4.有界變差函數(shù)(1)有界變差函數(shù)的定義(2)性質(zhì)5(3)性質(zhì)6(4)性質(zhì)7af及f±g∈V[a,b]x+t<x-t,f(x+1)-f(x-)>0別有f(a)≥f(b).這與假設(shè)矛盾.存在c∈(a,b)使g(c)≥0.③(1)若g(a)=0,則(2)若g(a+α)=0,則/(a+a)+a]-f(a+a)=[f(a+2a)-f(4.設(shè)連續(xù)函數(shù)y=f(x),x∈[a,b],其值域R,≤[a.b],則一定存在x∈[a,b]使用反證法.若f(x)≠x那么f(b)>b.這與①式矛盾.則令F(x)=f(x)-x,由②知F(x?)<0.F(x?)>0,則存在E∈(z?,x)C[a,b],若存在x∈[a,b],x:∈[a,b]使f(x?)>x,f(x?)<x,類似可得矛盾.則F(a)=f(a)-a>0;F(b)=f5.,試證明f(x)在(2,+)內(nèi)有無窮多個零點(diǎn).[南京大學(xué)研]若存在%使得f(x?)≠A,不妨設(shè)f(x?)>A(f(x?)<A的證明完全類似)。因?yàn)閺亩衒(x?)≥f(x),x∈(,+,即f(x)在(,+)上有最大值.7.證明：函在(0,1)內(nèi)不一致連續(xù)，但在[1,2]與(2,+o)上均一致所以在(0,1)內(nèi)不一致連續(xù)。x'、x"∈[2,A+1],|x'-x"<δ時，有即f(x)在(2,+0)上一致連續(xù)。8.設(shè)f(x)在[0,+～]上一致連續(xù)，且對任意的8>0,。證明：[華東師范大學(xué)2006研]對任意的x>N?,存在n>N,0≤x?<δ使得x=nIf(x)≤f(x)-f(n?δ)|+|9.設(shè)f(x)在區(qū)間X上有定義，試證明：f(x)在區(qū)間X上一致連續(xù)?在區(qū)間X任意兩,,義，則有If(x',)-f(x",)K<E6.1復(fù)習(xí)筆記一、導(dǎo)數(shù)概念1.導(dǎo)數(shù)的定義(1)可導(dǎo)的定義設(shè)函數(shù)y=f(x)于(a,b)上有定義，x∈(a,b)固定，則定義導(dǎo)數(shù)f"(x)為差商△y/△x如果f(x)存在且有限，則稱f在點(diǎn)x可導(dǎo)。導(dǎo)數(shù)f(x)又常記為y'或dy/dx或df(x)/dx.。(2)定理可導(dǎo)點(diǎn)必連續(xù)，即若f在點(diǎn)x可導(dǎo)，則f在x連續(xù)。注：在函數(shù)f的連續(xù)點(diǎn)不一定可導(dǎo)。(3)切線方程①導(dǎo)數(shù)為有限時切線的定義若f在點(diǎn)x可導(dǎo)，故f在點(diǎn)x連續(xù)，此時過(x,f(x))的切線必存在且切線方程為其中X,Y為流動坐標(biāo)，這里x是固定的。②導(dǎo)數(shù)為無窮時切線的定義為過點(diǎn)(x,f(x))注：若f"(x)=00,的切線。不定義切線。(4)法線方程過切點(diǎn)且與切線相垂直的直線稱為法線。因此，與切線方程對應(yīng)的法線方程是與X=x對應(yīng)的法線方程是水平直線Y=f(x)。4.基本導(dǎo)數(shù)公式(1)C"=0(常數(shù)C的導(dǎo)數(shù)為0);(4)設(shè)函數(shù)u(x),v(x)可導(dǎo)，α,β是常數(shù)，則(5)(sinx)'=cosx,(cosx)'=-s(6)(a2)'=a2lna(a>0).f(a)=f(x)l設(shè)》=y(u),u=u(x)導(dǎo)數(shù)-(x)的導(dǎo)數(shù)(x-(x))稱為n階導(dǎo)數(shù)，記為"(x)或dy/dx":2.萊布尼茲公式設(shè)u(x),v(x)存在n階導(dǎo)數(shù)，則3.隱函數(shù)求導(dǎo)法設(shè)方程F(x,y)=0確定了隱函數(shù)=y(x).對恒等式可求出y"(假定y"存在),類似地，從可求出”(假定x存在).x=x(t),y=y(t)1.微分的定義稱為y(x)在點(diǎn)x的微分dy:注：將改記為dx.dx(=△z)稱為自變量x的微分。(1)設(shè)y(x)在點(diǎn)x可導(dǎo).根據(jù)導(dǎo)數(shù)定義△y=y'(x)△x+o(△x)=dy+0(△x4.高階微分d2y=d(dy)=d(y'(x)dx)=(y'(x)dx),'dd"y=d(d1y)=(ydx1)'dx=y(x)dx".dx"=(dx)".證明：(1)由于(2)由于2.問函數(shù)3.設(shè)f(x)是定義在R上的函數(shù)，且對任意的、x?ER,都有f(x?+x?)=f(x?)f(x?)。若f'(0)=1,證明：對任意的x∈R,都有f(x)=f(x)。[江蘇大學(xué)2006研]不恒為零，故有f(0)=1。由導(dǎo)數(shù)的定義和f(x?+x?)=f(x?)f(x?)可得解：對方程兩邊關(guān)于x求導(dǎo)可所以對上述的兩邊再關(guān)于x求導(dǎo)得,代入的表o解：,因?yàn)榉匠探M中第二個方程是y關(guān)于t的一個隱函數(shù)，則對第二個方程關(guān)于t求導(dǎo)可得3y2y,+3y+3ty',=0,所以下求當(dāng)t=0時，易知y(0)=-1,故6.設(shè)(0).[華東師范大學(xué)研]7.求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)f"(x),討論f"(x)的連續(xù)性(若有間斷點(diǎn)，須指出其類別).[內(nèi)蒙古大學(xué)研]不存在.不存在，因此x=0是f"(x)的惟一間斷點(diǎn)，它是第二類間斷點(diǎn).8.橢圓上任意兩點(diǎn)聯(lián)結(jié)成的線段，稱為此橢圓的弦.證明：橢的任意兩條平行弦之中點(diǎn)聯(lián)線必經(jīng)過原點(diǎn)(即橢圓中心).[上海化工學(xué)院研]證明：設(shè)兩條平行弦分別為AB與CD,這4點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A(x,y),B(x?·y?),CCx?,y?),D(x,y),AB(1)若AB與CD都平行于x軸(或y軸),則結(jié)論顯然成立.兩弦AB與CD兩弦中點(diǎn)分別為.再設(shè)EO和FO(2)推論2①將②,③代入①得②③④⑤由④,⑤得k=kz,從而E、O、F在一條直線上，即兩弦中點(diǎn)聯(lián)線過原點(diǎn).第7章微分學(xué)基本定理及應(yīng)用7.1復(fù)習(xí)筆記一、微分中值定理(2)在函數(shù)的極值點(diǎn)處，或者不可導(dǎo)或者導(dǎo)數(shù)等于零，無其他可能.(3)函數(shù)的極值點(diǎn)必是極值可疑點(diǎn).注：使得導(dǎo)數(shù)f(x)=0的點(diǎn)x稱為f的駐點(diǎn)，駐點(diǎn)及不可導(dǎo)點(diǎn)(指f(x)定義域內(nèi)部點(diǎn))統(tǒng)稱為f的極值可疑點(diǎn).2.Rolle定理(1)Rolle定理若函數(shù)f在[a,b]上連續(xù)，并在(a,b)上可微且f(a)=f(b),則必存在E∈(a,b).滿足f(e)=0.即上述f在(a,b)中必存在駐點(diǎn).(2)幾何意義在具有水平弦AB的可微曲線ACB上，必存在水平切線.(3)推論f的兩個零點(diǎn)xi,x之間必有導(dǎo)數(shù)廠(x)的零點(diǎn)(若f在[x?,x?]上連續(xù)，在(x?,x?)上可微).3.Lagrange中值定理 (1)推論1f(x)=g(x)+C.x∈(a,b).(3)推論3若f在(a,b>上連續(xù)，在(a,b)上可微且了(x)|≤L(L是某個正數(shù)),則Vxi,x∈(a,b).有(1)定理(2)推論這個展開式稱為在a點(diǎn)的Taylor展開式(帶Peano余項(xiàng)o((x-a)")).(4)①當(dāng)a≠0時，③當(dāng)α=-1得3.Lagrange型余項(xiàng)若f在點(diǎn)a的鄰域O(a)上n+1次可微，則對每個x∈O(a),存在E∈(a,x),使得上述形式的余項(xiàng)稱為Lagrange型余項(xiàng).它又可寫成1.洛必達(dá)法則至可不存在)時，有以下求極限法則.設(shè)存在(或±0,o),則注：條件(2)成立蘊(yùn)含f(x),g(x)在點(diǎn)a的某個鄰域(a本身除外)上可微且g'(x)≠0.,將法則中的x→a改為x→a±,→±∞,→∞后仍適用.2.使用洛必達(dá)法則的注意事項(xiàng)(1)不型極限，不可貿(mào)然用洛必達(dá)法則.(2)不存在(也不是±0,o)時，洛必達(dá)法則失效，但此可能存在.(3)只有當(dāng)lim(f/g)比lim(f/g)簡單時，用洛必達(dá)法則才有價值.出現(xiàn)相反情形，只有另找求極限的途徑.(4)洛必達(dá)法則與等價量法則適當(dāng)?shù)亟惶媸褂每杀苊庥捎谇髮?dǎo)而帶來的復(fù)雜化現(xiàn)象，簡化求極限過程.3.其他類型的未定型極限F'(c)=0.g"(c)≠0即有①②③f(x)|.1f'(x)|,!f"(x)|在(0,+0內(nèi)的證明：(1)Vx∈(0.+)和Vh>0.由泰勒公式有解得再由x的任意性，有②由上面(1)知，在(N+)上由①,②有類似可證在(-∞,-N)上有f'(x)I<e,∴4.用微分中值定理證明：分別在[0.1],[1.2],……,[n-1,n],[n,n+1]上對f(x)應(yīng)用拉格朗日中值定理，有2+1-1*1=(s+1)ξz,?∈(1,2).…(n+1)+1-n1=(s+1)Et.E?∈(n,n+1).代入上面n+1個式子得(s+1)0'<1+1-0+1<(s+1)(s+1)(n-1)<n'+1-(n-1將上面前n+1個式子的左邊相加得再將上面前n個式子右邊相加得由①,②即證.①②5.設(shè)f(x)在(-o,+oo)上具有二階導(dǎo)數(shù)，且"證明：由于f(x)在(-00,0)上有二階導(dǎo)數(shù)，所以f'(x).f(x)在(-00,+oo)上連續(xù).f(x)=f(c)+f'e)(x-c),e∈(c,x)①程f(x)=0在(-00,+oo)內(nèi)至少有兩個實(shí)根.再證方程f(x)=0在(-o,+)內(nèi)實(shí)根個數(shù)不可能超過兩個，用反證法.若方程f(x)=0有三個(或以上)實(shí)根設(shè)為x?<x?<xs.在[xx?],Lx?,x]上應(yīng)用羅爾定理有6.證明：當(dāng)x≥0時，存在0(x)∈(0,1),使得解：由,則由Lagrange中值定理知當(dāng)x≥0時，存在0(x)∈(0,1),使得,證明數(shù)列8.設(shè)函數(shù)f在[0,1]上連續(xù)，在[0,1]上可導(dǎo)且存在正常數(shù)α∈(0,1),使行故由Cauchy收斂準(zhǔn)則知存在，并定),則f在[0,1]上連續(xù)，所以f在[0,1]上一致連續(xù)，故f在(0,1)上一致連續(xù)。9..[華東師范大學(xué)研]解：由等價無窮小量和L'Hospital法則知故+0)時，有(x)≤1。證明:.[北京交通大學(xué)研]證明：要證,即要證明對任意的ε>0,存在A>0,當(dāng)x>A時有If(x)ke。利用Taylor公式，對任意的h>0,有f'(x)=-2(I+x)?3,(x)=(-1)23!(1+x)?,…,f"(x)=(-1)°(n+1)!(+x)+=1-2x+…+(-1)"(n+1)x"+(-1)"'(n+2)(1+第8章導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用1.定理2.推論(1)判別法1(2)判別法2若f∈C[a,b],a,b有限，則有界閉區(qū)間[a,b]上的連續(xù)函數(shù)必存在最大(小)值.(2)最值的可能點(diǎn)①設(shè)xo是f的最值點(diǎn)，如果x?！?a,b),則必是它的極值可疑點(diǎn)，否則x。就是區(qū)間的端minf3.任意區(qū)間上的函數(shù)最值求法(1)在任意區(qū)間<a,b〉(開的或閉的，有界的或無界的)上，f的最值不一定存在，如果f在(a,b)上的確界能被f取到時，則確界就是最值.(2)設(shè)f在<a,b)上連續(xù)，有極值可疑點(diǎn)<x?<…<xn,且f(a+)和f(b一)存在(有限或±0).當(dāng)a=-時，這里的f(a+)由f(-o)來代替.同樣，當(dāng)b=+時，f(b一)改為f(+○),記則inff(<a,b))=minA.(1)凸函數(shù)定義①設(shè)f在<a,b)上有定義，如果對一切1,x?∈<a,b),x?≠2及0<λ<1,成立不等式f(ax?+(1-λ)x:)≤Af(x?)則稱f是<a,b〉上的下凸函數(shù)，簡稱為凸函數(shù).如果不等式嚴(yán)格成立，則稱f是<a,b)上的嚴(yán)格凸函數(shù).②若-f是下凸函數(shù)，則稱f是上凸函數(shù).(2)凸函數(shù)的判別法設(shè)f于<a,b〉上可微，則f嚴(yán)格下凸→嚴(yán)格個b.若f在<a,b>上二階可微且f(x)<0,,則f于(a,b)上嚴(yán)格上凸.2.凸函數(shù)的性質(zhì)(1)性質(zhì)1(a,b)上的凸函數(shù)f(x)必連續(xù)且點(diǎn)點(diǎn)存在有限左右導(dǎo)數(shù)f(x).設(shè)f在<a,b〉凸，則過任意點(diǎn)(x?,f(x?))(x?∈(a,b))必存在直線使得f(x)的圖形在該直線上方f(x)≥f(x?)+k(x?)(x-x),Vx∈(a,b).若f(x)嚴(yán)格凸，則上述不等式當(dāng)且僅當(dāng)x=x?時等號成立.式如果f嚴(yán)格凸，則上述不等式當(dāng)且僅當(dāng)x=x?=…三不時變成等式.3.0.618方法(黃金分割搜索法)(1)黃金分割法的用途0.618方法適用于求凸函數(shù)的最小值的數(shù)值解，同時對函數(shù)沒有可微性要求.f(x?)≥f(x:)則最小值點(diǎn)ξ必在[x?,b]之中.(3)黃金分割法求[a,b]上的嚴(yán)格下凸連續(xù)函數(shù)f的近似最小值點(diǎn)的算法：①取=b-0.618(b-a),x?=a+0.618(b-a)并求出f(x?)及f(x?);②a.若f(x?)≤f(x?),則取新區(qū)間為[a,x?].,為進(jìn)一步提高精度，可取反復(fù)以上過程，直到將最小值點(diǎn)定位在指定小的區(qū)間上為止.注：每次定位，區(qū)間長度縮短到原來的0.618倍，因此n次定位可將最小值點(diǎn)ξ定在長度為0.618"(b-a)的區(qū)間之中.1.漸近線(1)垂直漸近線為o,則稱x=a為f的垂直漸近線.(2)斜漸進(jìn)線和水平漸近線設(shè)f在(a,+)上有定義，如果存在直線Y=kx+b,滿足稱該直線為f(x)在x→+o時的漸近線.若,則稱漸近線為水平漸近線，否則是斜漸近線.(3)漸近線的求法有兩個求f在x→±○的漸近線方法.①方法1十(或x→-o)時的漸近線.②方法2Y=kx+b是f在x→+c的漸近線一下列極限均存在2.y=f(X)作圖的一般步驟作f(x)圖形的一般步驟：(1)確定函數(shù)f(x)的定義域、奇偶性及周期性.(2)求出f所有的極值可疑點(diǎn)(包括不連續(xù)點(diǎn)),記為O<x?<x?<…<ri<,這里xo,x是f(x)的定義域的兩個端點(diǎn).(3)求出f(x,±)(在連續(xù)點(diǎn)Xi,即為f(x,)),(x1,x是f的單調(diào)區(qū)間，這是因?yàn)閒在(x?-1,x)內(nèi)不變號.若f(x?±)與f(x?-i±)不全存在，則可從f(x)的符號來確定f的單調(diào)情況.(4)求出它的漸近線.(5)求f的凸性區(qū)間.3.極坐標(biāo)方程r=r(θ)的作圖設(shè)r(θ)是周期函數(shù)，周期為T=απ且α是有理數(shù).由于極坐標(biāo)關(guān)于0是以2π為周期進(jìn)行循環(huán)的，故要得到r=r(0)的完整圖形，θ應(yīng)取在[0,2nπ]上，這里區(qū)間[0,2nπ]恰由整數(shù)個長為απ且互不重疊的子區(qū)間構(gòu)成，即2n/α是整數(shù).4.隱函數(shù)及參數(shù)方程的作圖要作由F(x,y)=0所決定的隱函數(shù)的圖形，一般是先將方程F(x,y)=0化成參數(shù)方程或極坐標(biāo)方程的形式后再來作圖的.五、向量值函數(shù)1.向量值函數(shù)(1)向量值函數(shù)的定義參數(shù)方程x=x(t),y=y(t),t∈<α,β〉可寫成向量形式：dr=r'(t)dt=(x'dr,y'dt)=(dx,dy).(c?r(t)+c?r?(t))'=c?(r?(t)r?(t))=r(t)r:(t(2)點(diǎn)r(t)處的切線方程(1)定義4.注意b],解：由于φ(x)=v2x°(1x)yox,令(x)=0可求得穩(wěn)定點(diǎn),所以最大值為。因?yàn)楹蚮(3)取到。又因?yàn)椤?2<√3,所以1,√22,3,….,2-2004中最大的數(shù)為√324.求平面曲線t=1?點(diǎn)的法線方程，并討論曲線在t∈(0,π)段的凹凸性。[中山大學(xué)2007研]解：由于x(1)=atcost,y(1)=atsint,所以對應(yīng)于1=1點(diǎn)的法線方程為cost/(x-alcost?+/sin)]+sin/F'(x)=f(x)-f(x?),所以F(x?)=0。當(dāng)x≥xo時，因?yàn)閺S(x)>0,(1),(0<x<1,n為正整數(shù)):證明：(1)(2)只需討論0<x、y<1時的情形。令y=tx,討論0<t≤1時的情形。因?yàn)橛術(shù)(t)在(0,1)上遞增，g(0)=1,則x?+y?>1.x、y>1同樣可證明。解：因?yàn)榈臉O大值點(diǎn)，極大值的極大值點(diǎn)，極大值又因,所以(0,0)為V=x-2arctanx的拐點(diǎn)。設(shè)漸近線為y=kx+c,則,則,9.1復(fù)習(xí)筆記一、不定積分1.原函數(shù)與不定積分(1)原函數(shù)的定義設(shè)f是區(qū)間I上定義的一個函數(shù).如果存在一個在區(qū)間I上可微的函數(shù)F,其導(dǎo)數(shù)則稱F為f在區(qū)間I上的一個原函數(shù)，原函數(shù)必定是連續(xù)函數(shù).(2)原函數(shù)族定理如果F是f的一個原函數(shù)，則F+C表示了f的全部原函數(shù)，其中C是任意常數(shù).(3)不定積分的定義f的原函數(shù)全體F+C記,即這里C是任意常數(shù)，稱為f的不定積分，f稱為被積函數(shù)，x稱為積分變量.2.基本不定積分表在以上公式中，C是任意常數(shù)，數(shù)a>0.3.線性運(yùn)算公式是常數(shù)，當(dāng)α,β同時為零時，等式右邊應(yīng)自動添上一個任意常數(shù).二、不定積分的換元法和分部積分法1.換元法1——湊微分法設(shè)是可微函數(shù)，則等式左邊的積分是2.三角函數(shù)積分的例子三角函數(shù)的積分常用以下代換：積分故仍可設(shè)“=tanx來達(dá)到化簡的目的.3.換元法2——代入法時，可考慮用代換x=asint;x2+a或3-a時，可分別考慮用代換(3)在被積函數(shù)中含vax3+bx+c時，可先行配方化為上述三種情形之一.4.分部積分法移到等式右邊，并將任意常數(shù)并入到此積分中即得分部積分公式：三、定積分1.[a,b]的分劃的定義(1)分劃的定義在有界閉區(qū)間[a,b]中插入分點(diǎn)a=xo<x?<…<這些分點(diǎn)將[a,b]分成n個子區(qū)間子區(qū)間[x,x]的長為△x=-xH.分點(diǎn)集合P=|x,xr,…·xl稱為[a,b]的一個分劃.(2)分劃長度的定義分劃的長度|PⅡ是指子區(qū)間的最大長度，即IPlI=max(△x?,△x?,…,△z).(3)等距分劃如,則分劃P稱為等距分劃，這時分點(diǎn)為x?=a+i°n,i=0,1,…,n.,對等距分劃來說2.Riemann積分的定義(1)Riemann和的定義稱為(對應(yīng)分劃P的)Riemann和(簡稱為(R)和),這里∈[x,x,].(2)Riemann積分定義①若f在[a,b]上的Riemann存在與&∈[x,x選取無關(guān)的極限，則稱f在[a,b]上Riemann可積(簡稱(R)可積或可積),極限稱為f在[a,b]上的Riemann積分或(R)積分，并記作②-σ語言Ve>0,38>0,VI|PI<8,,不等式對VE∈[x-1,x]都成立.(R)可積函數(shù)必定是有界函數(shù).注：①定積分表示一個數(shù)，不管積分變量用什么記號，它都表示同一個數(shù)；積分是自然的.在這樣的定義下，如不存在，則面積S也不存在了.(1)原函數(shù)概念的推廣則仍稱F為f在I上的原函數(shù).(2)N.L.公式的上確界和下確界，稱差值=M-m為f(x)在[xH,x]上的振幅，而(2)引理1S≥S',S≤S',IS-S'≤2M|(3)引理2(4)定理f(x)于[a,b]上(R)可積5.一個重要的推論1.零測度集的定義如果對Ve>0,3一列開區(qū)間I?,I?,…,它們的總長,并且覆蓋了集合A,即ACUT,則稱集A為零測度集或零集.即零測度集是能被總長度任意指定小、個數(shù)至多為可列個的開區(qū)間所覆蓋的集合.2.幾乎處處連續(xù)的函數(shù)(1)定義設(shè)f定義在有界閉區(qū)間[a,b]上，如果f的不連續(xù)點(diǎn)的全體是零測度集，則稱f為[a,b]上的幾乎處處連續(xù)的函數(shù)(或稱a.e.連續(xù)函數(shù)).設(shè)f定義在有界閉區(qū)間[a,b]上，則f∈R[a,b]一f是[a,b]上的有界a.e.連續(xù)函數(shù).(3)推論1有界閉區(qū)間[a,b]上的連續(xù)函數(shù)、不連續(xù)點(diǎn)僅為有限或可列個的有界函數(shù)都在[a,b]上可積.有界閉區(qū)間[a,b]上的單調(diào)函數(shù)必可積.af.fg.及f都在[a,b]上可積.五、定積分性質(zhì)1.基本運(yùn)算性質(zhì)(1)性質(zhì)1(線性性)設(shè)f,g∈R[a,b],則這里α,β是常數(shù).(2)性質(zhì)2(區(qū)間可加性)f=fr+[f.注：在定積分的定義中，總假定a<b.這個限制是可以去掉的，只須約定(3)性質(zhì)3(比較性)注：性質(zhì)3中的條件a≤b的作用，如果不是a≤b而是a>b,將得到相反不等式=-≥-r=f.b→b,b<b就是左極限b'→b—；2.換元公式(2)收斂發(fā)散的定義若上述極限存在且有限，則稱廣義積收斂；反之，稱為發(fā)散.(3)非負(fù)函數(shù)的廣義積分關(guān)于b'∈[a,b]單調(diào)增加.因此，極限必存在(有限或+).就是說，2.線性運(yùn)算公式均收斂，則對一切數(shù)a,β有若f(x)在(a,b)除去有限個奇點(diǎn)外幾乎處處連續(xù)，又因?yàn)樗?a,b)上存在原函數(shù)F(3)當(dāng)F(a+)或F(b一)之一或兩個都不存在時，廣義積分必發(fā)散.這里的原函數(shù)F在(a,b)連續(xù)，且除有限點(diǎn)外，F(xiàn)'(x)=f(x).七、定積分與廣義積分的計算1.分部積分公式除有限點(diǎn)外，u(x),v'(x)在(a,b)存在且連續(xù)，則同時收斂(發(fā)散),在收斂時成立分部積分公式：(1)常義情形設(shè)u=u(x)于有界閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)可微，f(u)在u(x)的值域上連續(xù)，則(2)廣義情形設(shè)u(x)于(a,b)(可能無界)上單調(diào)且連續(xù)可微，f(u)于u(x)的值域<u(a+),u(b一)〉上連續(xù)(a<b),則廣義積同時收斂同時發(fā)散，收斂時成立等式八、若干初等可積函數(shù)類1.有理函數(shù)的積分(1)有理函數(shù)的積分的定義Q(x)/R(x)稱為有理函數(shù)，這里Q(x)和R(x)是互質(zhì)多項(xiàng)式.(2)求有理函數(shù)的積分的步驟①先作除法(當(dāng)分子次數(shù)大于分母時)其中Q?<0R,這時Q(x)/R(x)稱為有理真分式.②拆分真分式Q(x)/R(x)可分解為一些簡單分式的和：a.分母R(x)中的每一個k重實(shí)根a對應(yīng)其中C?,C,…,C是待定系數(shù).b.分母R(x)中的每一對k重虛根a±is(β≠0a,β實(shí))對應(yīng)(2)在積分中，設(shè)x-a=1/t,可化歸為上一種情形.(3)積分(湊成x"冪次),再設(shè)“=√a+c便可積出.3.有理三角函數(shù)的積分為有理三角函數(shù)積分.(2)步驟通過萬能代換化為有理函數(shù)的積分，用初等函數(shù)來表出.事實(shí)上，將這些表達(dá)式代入I,即得這是有理函數(shù)積分.4.對稱性在積分中的應(yīng)用(1)奇(偶)函數(shù)定義設(shè)f(x)在區(qū)間[xo-a,x?+a]有定義，這里a>0,①Vx∈[-a,a],f(x?+x)=f(xo-x)則②如果Vx∈[-a.a1.f(x?+x)=-f(x?-x),則稱f為xo奇函數(shù).顯然，xo偶函數(shù)的函數(shù)圖形關(guān)于直線x=xo對稱，而xo奇函數(shù)的函數(shù)圖形關(guān)于坐標(biāo)點(diǎn)(xo,0)中心對稱.(2)奇(偶)函數(shù)在積分中的應(yīng)用若f,g∈R[z?-a,zo+a](或廣義可積),又f為xo的偶函數(shù)，g為xo的奇函數(shù)，則顯然，兩個xo奇(偶)函數(shù)相乘(除，若分母不等于零)必得xo偶函數(shù)；xo奇函數(shù)與xo偶函數(shù)相乘(除)必得xo奇函數(shù).9.2名?？佳姓骖}詳解一、判斷題1.若f(x)在I上有原函數(shù)且單調(diào)，則f(x)在I上連續(xù).()[南京師范大學(xué)2006【答案】對查看答案均不存在.首先有第一類間斷點(diǎn)的函數(shù)不可能有原函數(shù)，若有，假設(shè)F(x)為f(x)在I上的一個原函數(shù)，則成立，因此F(x)不可導(dǎo)，與F(x)為f(x)在I上的一個原函數(shù)矛盾.同理有第二類間斷點(diǎn)更不可能有原函數(shù).所以f(x)在I上不可能有間斷點(diǎn)，所以f(x)在I上連續(xù).二、解答題解：,則有F'(x)=-f(x),所以因?yàn)間(-x)=g(x),所以故,而當(dāng)L∈0,z)時tant>t,所以廣'②<0,,即,從而可知當(dāng)注意到β>1,所以收斂，從為一常數(shù)，記為a,則斂.對于Bn,作變換U=π-之后可作類似推理，可收斂.,證明：,證明：則存在.[上海8.f(x)在[0,1]上單調(diào)，且廣義積分存在.[上海大學(xué)2006研]證明：不妨設(shè)f(x)在(0,1)上單調(diào)遞增，則由而故由夾逼法知9.設(shè)無窮積收斂且極限證明：A=0.[陜西師范大學(xué)研]證明：反證法.若A≠0,不妨設(shè)A>0.由知，存在N>0,使得收斂矛盾.[南京農(nóng)業(yè)大學(xué)研]第10章定積分的應(yīng)用10.1復(fù)習(xí)筆記一、平面圖形的面積設(shè)f∈R[a,b],a≤b.如圖10-1所示的情形，(1)在[a,x?]上f(x)≥0,積).(2)在x,b]上f(x)≥0,積).(2)如果在[a,b]上f(x)≥g(x),則上r=r(t)=(x(t),y(t)),是[a,β]的一個分劃，記M=r(z.).M?M…M構(gòu)成曲線T的一條內(nèi)接折線(圖10-5),F這里M-M:表示線段M-1M的長.如果s存在且為有限，則稱T為可求長曲線.2.弧長公式(1)設(shè)y(x)在[a,b]上可微且導(dǎo)數(shù)y"(x)可積，則曲線y=y(x),a≤x≤b的弧長s是(3)空間曲線r(t)=(x(t),y(t),z(t)),a≤t≤β的弧長s是其中x(t),y(t),z(t)在(α,β)中沒有自交點(diǎn).(1)弧長微分(α,β)中沒有自交點(diǎn).從r(α)到r(t)的弧長s(t)是②在y=y(x)情形，上式可簡化為ds=√1+y"dx.(2)自然參數(shù)方程①如果取弧長s為新的參變量，則r=r(t)可改寫成r=r(t(s))=r(s),這個方程稱為自然參數(shù)方程.②在自然參數(shù)方程下，切向量是單位向量(即a|(s)|=1),事實(shí)上5.平面曲線的曲率(1)曲率定義曲率是用來描述曲線的彎曲程度的.當(dāng)弧長從s增加到s+△s時，切向量從r"(s)變成r"(s+△s),用△φ表示r"(s)與r"(s+△s)之間的夾角(取O≤φ≤π).比值的絕對值稱為平均曲率.極限稱為曲線r=r(s)在s處的曲率.(2)曲率公式①公式1設(shè)y=y(x)二階可微，則于點(diǎn)x曲率為②公式2設(shè)r=(x(t),y(t))是光滑曲線且(x(t),y(t))二階可微，則曲率為三、旋轉(zhuǎn)體的體積和側(cè)面積1.一般體積公式設(shè)一幾何體夾在x=a和x=b(a<b)這兩個平行平面之間(圖10-6),用垂直于x軸并與x軸交點(diǎn)的坐標(biāo)為x的平面去截這個幾何體，所得的截面面積為S(x),如果S(x)是[a,b]上的(R)可積函數(shù)，則該幾何體的體積V等于圖10-62.旋轉(zhuǎn)體的體積1.質(zhì)量2.質(zhì)心(3)①(Guldin第一定理)質(zhì)量均勻分布的平面圖形9的質(zhì)心(x,x)又稱為形心.設(shè)平1.近似求積公式(1)矩形求積公式其中c∈[a,b].(2)梯形求積公式1.在Oxy平面上，光滑曲線L過(1,0)點(diǎn)，并且曲線L上任意一點(diǎn)P(x,y)(x≠0)處的切線斜率與直線OP的斜率之差等于ax(a>0為常數(shù)).(1)求曲線L的方程；(2)如果L與直線y=ax所圍成的平面圖形的面積為8,確定a的值.[中山大學(xué)2007研]解：(1)設(shè)曲線L的方程為y=y(x),則由題設(shè)條件知.解此微分方程并注意(2)L與直線y=ax的交點(diǎn)為(2,a),于是解得a=6.解：由于√x"(1)+y2(1)=√1-cost2+sin2t=√2(2)求級的和.[河北大學(xué)2006研]解：(1)兩條拋物線的交點(diǎn).從而5.求曲線x=acos't,y=asin3t(a>0)繞直線y=x旋轉(zhuǎn)所成的曲面的表面積.[中國科學(xué)院2006研]利用對稱性，并做旋轉(zhuǎn)，即得所求旋轉(zhuǎn)曲面表面積6.設(shè)V(t)是曲：在x∈[0.上的弧段繞x軸旋轉(zhuǎn)所得的體積，試求常數(shù)c,使.[東南大學(xué)研]解：由旋轉(zhuǎn)體體積公式可得所以第11章極限論及實(shí)數(shù)理論的補(bǔ)充11.1復(fù)習(xí)筆記1.基本數(shù)列(1)基本數(shù)列的定義若。,即對每個e>0,都能找到一個自然數(shù)N,對一切n,m≥N成立不等式稱{xn}為(Cauchy)基本數(shù)列.若{xn}收斂，則{xn}必是基本數(shù)列.2.數(shù)列極限的Cauchy收斂準(zhǔn)則基本數(shù)列必有界.(2)Cauchy收斂準(zhǔn)則f(x)-f(x")|<e.取x。∈[a,b],遞推式為+1=φ(x),n=0,1,2,…,設(shè)一切z.∈[a、b],如果是連若1.上(下)極限的定義(不包括不定號無窮大),則稱為a數(shù)列{xn}的一個極限點(diǎn).數(shù)列{xn}的最大(最小)極限2.上(下)極限的存在性3.上(下)極限和極限的關(guān)系(1)根據(jù)上(下)極限的定義，1.有限開覆蓋定理(1)覆蓋的定義(2)有限開覆蓋定理2.實(shí)數(shù)系基本定理小結(jié)(6)有限開覆蓋定理.3.實(shí)數(shù)系的一種引進(jìn)法(1)QD10函數(shù)(稱為有理數(shù)),它們可與有理數(shù)r等同起來.是指≤阻a≠β.顯然Va,β∈R,關(guān)系式α<β,α=β,a>β有且僅有一個成立.(2)確界存在定理|(x|≤C,x∈[e,d],n=1,2,…[南京理工大學(xué)2006研]f(x)>1.證明：用確界原理證