極值點偏移與拐點偏移問題（學生版）-2025年高考數學一輪復習專練（新高考專用）

重難點09極值點偏移與拐點偏移問題【七大題型】

【新高考專用】

?題型歸納

【題型1極值點偏移：加法型】.................................................................2

【題型2極值點偏移：減法型】.................................................................3

【題型3極值點偏移：乘積型】.................................................................4

【題型4極值點偏移：商型】...................................................................6

【題型5極值點偏移：平方型】.................................................................7

【題型6極值點偏移：復雜型】.................................................................8

【題型7拐點偏移問題】.......................................................................9

?命題規(guī)律

1、極值點偏移與拐點偏移問題

極值點偏移是指函數在極值點左右的增減速度不一樣，導致函數圖象不具有對稱性，極值點偏移問題

常常出現在高考數學的壓軸題中，是高考考查的熱點內容，這類題往往對思維要求較高，過程較為煩瑣，

計算量較大，解決極值點偏移，稱化構造函數法和比值代換法，二者各有千秋，獨具特色.

?方法技巧總結

【知識點1極值點偏移問題及其解題策略】

1.極值點偏移的概念

（1）已知函數產/3是連續(xù)函數，在區(qū)間（。力）內只有一個極值點配，"1）=々2）,且X0在XI與X2之間，由

于函數在極值點左右兩側的變化速度不同，使得極值點偏向變化速度快的一側，常常有X。力上產，這種

情況稱為極值點偏移.

（2）極值點偏移

若考玉Wxo,則極值點偏移，此時函數外）在尸猶兩側，函數值變化快慢不同，如圖⑵⑶.

圖（2）ffl（3）

（左陡右緩，極值點向左偏移）若義X1）=/（X2）,則X1+X2>2XO;

（左緩右陡，極值點向右偏移）若若"X1A/（X2），則％1+工2<2配.

2.極值點偏移問題的一般題設形式

(1)函數“X)存在兩個零點Xi,X2且X1WX2,求證：Xl+X2>2xo(xo為函數於)的極值點)；

(2)函數火X)中存在Xl,X2且X1WX2,滿足兀V1)=/(X2),求證：Xl+X2>2xo(xo為函數/(X)的極值點)；

(3)函數4X)存在兩個零點Xi,X2且X1WX2,令Xo=%j“2,求證：/(xo)>o；

(4)函數加)中存在Xi,X2且X1WX2,滿足令Xo=%產2,求證：y(X0)>0.

3.極值點偏移問題的常見解法

(1)(對稱化構造法)：構造輔助函數：

①對結論Xi+X2>2xo型，構造函數尸(x)=/(x)-/(2x0-X).

②對結論X|X2>X(?型，方法一是構造函數尸(x)=/(x)—/(乎)，通過研究尸G)的單調性獲得不

等式；方法二是兩邊取對數，轉化成hui+liU2>21ruo,再把liui,I1U2看成兩變量即可.

(2)(比值代換法)：通過代數變形將所證的雙變量不等式通過代換，=工化為單變量的函數不等式，利用

函數單調性證明.

【知識點2指數、對數均值不等式解決極值點偏移問題】

極值點偏移問題是近幾年高考的熱點問題，求解此類問題的一個重要工具就是指數均值不等式和對數

均值不等式.

1.對數均值不等式

結論1對任意的a,b>Q(a^b),有\(zhòng)J~ab<―rv<—4—.

in。一in。z

2.指數均值不等式

m+nmnmn

e—ee-Le

結論2對任意實數加，幾(加W〃)，有e2<----------<-----5-----

、/m-nZ

?舉一反三

【題型1極值點偏移：加法型】

【例1】(2024?江蘇揚州?模擬預測)已知函數/(%)=ln(mx)-x(m>0).

(1)若/(%)<0恒成立，求m的取值范圍；

(2)若/(%)有兩個不同的零點久1，%2，證明％1+冷>2.

【變式1-1](2024,遼寧?三模)已知/(%)=(x—l)ex+|ax2.

⑴討論函數/(%)的單調性;

(2)當a>0時，證明：函數/(%)有且僅有兩個零點%力％2，且%1+%2V。.

1

【變式1-2](2024?全國?模擬預測)已知函數/(%)=%所一a(%>0),且/(%)有兩個相異零點%力％2?

⑴求實數。的取值范圍.

(2)證明：勺+型>

【變式1-3](2024?全國?模擬預測)已知函數/(%)=—x2+21n%,g(%)=a(%2+2%).

(1)若曲線"%)在點。-1)處的切線與曲線g(%)有且只有一個公共點，求實數Q的值.

(2)若方程g(%)-/(%)=1有兩個不相等的實數根第1，%2，

①求實數a的取值范圍；

②求證：/+犯>2.

【題型2極值點偏移：減法型】

【例2】(2024?全國?模擬預測)已知函數/(%)=d—(2+a)X+aln%,aER.

(1)討論f(%)的單調性；

(2)設g(%)=亍一/(%)+好一Q+1)]一2。+(a-若g(%)存在兩個不同的零點久「如且%iV松

(i)證明：2a>e+1；

,4a2—2a—1

(ii)證明:x-x<-------

22a-1l

【變式2-1](2024?湖南株洲一模)已知函數/(久)=(x+a)e&x在(1)(1))處的切線方程為y=e(x-l),

其中e為自然常數.

(1)求a、6的值及/(久)的最小值；

(2)設Xi，冷是方程/'(%)=卜/一2(fc>2)的兩個不相等的正實根，證明：|%1-冷1>In*

【變式2-2](2024?北京朝陽?二模)已知函數f(x)=a%—ln(l—x)(aeR).

(1)求曲線y=f(x)在點(0,/(0))處的切線方程；

(2)若f(x)>。恒成立，求a的值；

(3)若fO)有兩個不同的零點巧,比2，且|%2->e-1，求a的取值范圍.

【變式2-3](2024?河南?模擬預測)已知6>0,函數/(x)=Q+a)ln(x+b)的圖象在點(1J(l))處的切線

方程為xln2—y—ln2=0.

(1)求a,6的值；

(2)若方程外久)=：(e為自然對數的底數)有兩個實數根小,久2,且向<冷，證明：%2-^i<1+；+^

【題型3極值點偏移：乘積型】

【例3】(2024,全國,模擬預測)已知函數/(%)=Q/一Qn%)2(a￡R).

(1)當Q=1時,討論函數/(%)的單調性.

(2)若/(%)有兩個極值點第1，%2.

①求實數。的取值范圍；

②求證：%1%2>e.

【變式3-1](2024?四川眉山?三模)已知函數/(%)=-一2%.

(1)若過點(1,0)可作曲線y=/(%)兩條切線，求a的取值范圍；

(2)若/(%)有兩個不同極值點第1，%2.

①求a的取值范圍；

②當%1>4冷時，證明：%i%2>16e3.

【變式3?2](23?24高二下?重慶?階段練習)已知函數/(%)=(%+a)R在點4(1,/(1))處的切線斜

率為1.

(1)求實數a的值并求函數/(%)的極值；

(2)若/(%1)=/(%2)，證明：,%2V

【變式3-3](2024?安徽合肥?模擬預測)已知函數f(%)=a(l-21nx)+4x6(aGR).

(1)討論/(%)的單調性；

(2)若%1，%2(%1。第2)為函數9(%)=攵%2+十一In%的兩個零點，求證：(%1%2尸>12e4.

【題型4極值點偏移：商型】

【例4】(2023?全國?模擬預測)已知函數人k)=匕券.

(1)設函數g(x)=e->0),若/'(x)<。(久)恒成立，求k的最小值；

(2)若方程/"(>)=m有兩個不相等的實根比1、比2,求證：亮+￡<汽瞥?

【變式4-1](23-24高二下?河南平頂山?階段練習)已知函數/(%)=%2lnx-a(aeR).

(1)若/(%)恰有兩個零點，求a的取值范圍；

(2)若/(%)的兩個零點分別為久i，%2(%1<第2)，求證：+<-|?

【變式4-2](2023?湖北武漢?三模)已知函數/(%)=a%+(a-l)ln%+：,aER.

(1)討論函數/(%)的單調性；

(2)若關于久的方程/(%)=xex一In%+[有兩個不相等的實數根%1、%

(i)求實數。的取值范圍；

exiex22a

(ii)求證:-----1----->-----

X2

【變式4-3](2024?全國?一模)已知——a

(1)若/(%)之0,求實數a的取值范圍；

(2)設%1，%2是/(%)的兩個零點，求證：①IV」一；?—<%1+%2-

【題型5極值點偏移：平方型】

【例5】(2024?福建南平?模擬預測)已知函數/(%)=嘿，其中e為自然對數的底數.

⑴討論/(%)的單調性；

(2)若方程f(%)=1有兩個不同的根%L第2?

⑴求a的取值范圍；

(ii)證明:%?+%2>2.

【變式5-1](2024?全國?模擬預測)已知函數/(久)=5.

⑴求函數八久)在[1,3]上的值域；

2

(2)若方程/(X)=，有兩個不相等的解句,％2，且尤1>o,x2>0,求證：a(蜉+%2)>2e.

【變式5-2](2024?四川涼山?二模)已知函數/(%)=%+asin%.

(1)若函數/(久)在R上是增函數，求。的取值范圍；

(2)設g(%)=第一■|sinx—In%,若g(%i)=g(%2)(%i。%2)，證明：乒瓦<2.

【變式5?3】(2024嘿龍江哈爾濱?模擬預測)已知函數/(久)=x2lnx-租有兩個不同的零點工「如且”蠟+

好.

(1)求實數爪的取值范圍；

(2)求證：t<1；

(3)比較t與：及2機+：的大小，并證明.

【題型6極值點偏移：復雜型】

【例6】(2024?四川?一模)已知函數/(%)=a/+%一]n%—a.

(1)若a=L求/(')的最小值；

(2)若/(%)有2個零點X1，%2，證明：+%2尸+(%i+冷)>2.

【變式6-1](2024?全國?模擬預測)已知函數/(%)=/(qin%有兩個極值點％L%2，且%i<%2?

(1)求Q的取值范圍；

nx

(2)證明：x1lnx1+x2l2>第1+久2.

【變式6-2](2024?貴州?模擬預測)已知函數/(%)=為e%+i.

(1)求函數/(%)的單調區(qū)間；

(2)若方程/(%)=4ex+4eln%有兩個不相等的實數根巧,％2，證明：%i+刃+ln(xi%2)>2.

【變式6-3](2024?山東?模擬預測)已知函數/(X)=G+a)lnx+：—2,其中aeR.

(1)當a>1時，判斷八支)的單調性；

(2)若/(%)存在兩個極值點>0).

(i)證明：%2-％1+2>：;

(ii)證明：x6(1,+8)時，f(x)—~2~—2.

【題型7拐點偏移問題】

【例7】(23?24高三下?四川成都?期末)已知函數/(%)=e%—a%2.

(1)當a=l時，求/(%)在％=0處的切線方程；

(2)設函數g(%)=/(%)-sin%,當。=1時，若g(%i)+g(%2)=2(%】W冷)，證明：x1-^-x2<0.

【變式7?1】(23-24高三下?陜西西安?階段練習)“拐點”又稱“反曲點”，是曲線上彎曲方向發(fā)生改變的點.

設0’0)為函數？(%)的導數，若a為，(%)的極值點，則(a,"(a))為曲線y=0(%)的拐點.

已知函數/(%)=aex一有兩個極值點％1，第2，且Q(%o，f(%o))為曲線C：y=/(%)的拐點.

(1)求。的取值范圍；

(2)證明：C在。處的切線與其僅有一個公共點;

(3)證明:f'Qo)(二.

【變式7-2](2024?全國?模擬預測)已知函數/(%)=21n%+/+%.

(1)求曲線y=/(%)在點(Lf(l))處的切線方程.

(2)若正實數第1，久2滿足/(%1)+/(%2)=4,求證：+%2之2.

【變式7?3】(23-24高二下?貴州貴陽?階段練習)設廠(%)是函數/(%)的導函數，若，(%)可導，則稱函數人(%)

的導函數為/(%)的二階導函數，記為/〃(%).若/〃(%)有變號零點%二%。，則稱點(%o，/(%o))為曲線y=/(%)的“拐

點”.

(1)研究發(fā)現，任意三次函數/(%)=ax3+bx2+c%+d(aW0),曲線y=/(%)都有“拐點”，且該“拐點”也是

函數y=/(%)的圖象的對稱中心.已知函數/(%)=%3+bx2-24%+d的圖象的對稱中心為(1,3),求函數/(%)

的解析式，并討論/(%)的單調性；

(2)已知函數g(%)=A-emx-1+1mx3—%2+-^x——l(m>0).

(i)求曲線y=gO)的“拐點”；

(ii)若g(%i)+g(%2)=-2(久iH到)，求證：x1+x2<-.

?過關測試

一、單選題

1.(2024?河北衡水?模擬預測)已知函數/'(x)=In久+1-ax有兩個零點/,%2，且X1＜乂2，則下列命題正

確的是()

2

A.a>1B.%i+%2<-

1

C.x1-x2<1D.x2—xr>--1

2.(2024?全國?模擬預測)若函數f(%)=aln%+；久2一2%有兩個不同的極值點％1，久2，且+%2V

/(%2)-％1恒成立，則實數七的取值范圍為()

A.(—8,—5)B.(—8,—5]C.(—8,2—21n2)D.(—8,2—21n2]

3.(2023?吉林通化?模擬預測)已知函數/(%)=(必+2)(爐一3Q%2+份滿足：①定義域為R；②gvb<4；

③有且僅有兩個不同的零點打，犯，則工+工的取值范圍是()

%1X2

A.(-2,-1)B.(-1,-0C.&1)D.(1,2)

2

4.(2024?遼寧?三模)已知函數/'(X)=lnx+^x-ax存在兩個極值點，若對任意滿足/(打)=/(%2)=/(x3)

的%VX2V第3)，均有f(e*i)</(e*2)V/(e%3),則實數a的取值范圍為()

A.(1間B.弓,2+2]

VeVe

7171

C-維，1+3D-峰，2+/

5.(2023,四川南充?一模)已知函數/(%)=|lnx-|+2|-m(0<m<3)有兩個不同的零點;q,到(%1V%2)，

下列關于打，血的說法正確的有()個

mo

①工<e2m②久1>③ey<x<---④％i%2>1

xim+223—m

A.1B.2C.3D.4

6.(2023?全國?模擬預測)已知函數f(%)=ex—7n"有兩個極值點％「冷(。<%iV%2)，函數g(%)=xlnx—

蠢％2一%有兩個極值點均，％4(。〈久3<%4)，設時=言+導貝1J()

12+l

A.0<M<-B.0<M<e—

ee

e2+l

C.M>—D.M>e

e

7.(2023?四川成都?一■模)已知函數/(%)=(ln%)2+2%2有三個零點％］、冷、冷且％則

膽+%+g的取值范圍是（）

XlX213

A.（-±，0）B.（-。0）C.D.（-;）0）

8.（2023?四川南充?一■模）已知函數/（%）=|lnx-|+2|-m（0<m<3）有兩個不同的零點式「冷（％1<%2），

下列關于第1，犯的說法正確的有（）個

<e2m②%1>二—③%i%2>1

xim+2

A.0B.1C.2D.3

二、多選題

9.（2024?貴州畢節(jié)?二模）已知函數f（%）=%e-%,方程/（%）=Q有兩個不等實數根久力冷，則下列選項正確

的有（）

A./（%）<,B.a的取值范圍是（一8,J

InX1lnX2

C.-=1D.x±+x2>2

Xl-X2”

13

10.（2024?山西太原?三模）已知％是函數/（%）=%+mx+n（m<0）的極值點，若/（電）=/（x1）（%1H不），

則下列結論正確的是（）

A./（%）的對稱中心為（0,幾）B.7（->/（%i）

C.2勺+牝=0D.jq+久2>0

11.（23?24高二上?湖北武漢?期中）已知函數f（%）=與y=a有兩個不同的交點，交點坐標分別為

（%1，為），（%2，、2）（%1<%2），下列說法正確的有（）

A./（%）在（0,1）上單調遞減，在（L+8）上單調遞增

B.a的取值范圍為（一1,0]

C.x2—%i>ae+e

i

D.%2—<2a+eH—

三、填空題

x