江西省上饒市2024-2025學(xué)年高二年級上冊十月檢測 數(shù)學(xué)卷（含答案）

江西省上饒市2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期十月檢測數(shù)學(xué)卷

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分在每小題給出的四個選項中，只有一項是

符合題目要求的.

1.已知直線/：（a+2）x+（加T）y+機T=°,若直線與連接4—1，0）,8（4,2）兩點的線段總有公共點，

則直線的斜率的范圍為（）

【答案】A

【解析】

【分析】求出直線所過定點尸的坐標(biāo)，數(shù)形結(jié)合求出直線的斜率的取值范圍.

x+y+l=0fx=0

<<

直線的方程化為加（x+y+D+（2x—yT）=。，由〔2X—T=0,解得U=T,

k=-JO=]7_12_3

因此直線過定點尸。一1）,線R4的斜率‘°一（—1），直線尸8的斜率PB0-44,

k>-

由直線與線段48總有公共點，得直線的斜率左有上4-1或4,

7m+2131

k----------=-I---------w—[

又直線'（加+2）工+（加—1）,+加一1=0的斜率m-\m-1,

3

2.已知圓〃：（x-x。）+"—%）=4,從點N（4,3）向圓河作兩條切線NP、NQ,切點分別為尸、

cZPNQ=-2

Q,若2,則圓心河的軌跡被直線y=2x-3截得的弦長為。

6迷12#>12

A.5B.5C,5D.5

【答案】C

【解析】

【分析1連接MP、MQ分析可知MPNQ為正方形，可得出\MN\=陽期=2吟可知〃的軌跡

是以點N為圓心，半徑為2血的圓，再求出圓心到直線＞=2》-3的距離，從而求出弦長.

圓/:(x-%)+(y-%)=4的圓心為"(xo/o),半徑為2,連接必\MQ

兀

^MPLNP,MQ上NQ,又因為NPNQ=3,且=

所以四邊形MPN。為正方形，piij\MN\=^\MP\=2吟

即J(X「4)2+(33)2=20,即(%—4)2+(%—3)2=8,

所以點M的軌跡方程為(X一9+G一3)=8,

即點"的軌跡是以點"?J)為圓心，半徑為20的圓，

八牛4—3—3]_2

又圓心N（4,3）到直線y=2x-3的距離6+（—1）出,

_2卜⑸=苧

所以圓心河的軌跡被直線V=2x—3截得的弦長為\5.

故選：C

22

3.設(shè)橢圓C：/〃。'）的左、右頂點為4,4,左、右焦點為片，上、下頂點為名,

員.關(guān)于該橢圓，有下列四個命題：

甲：I4印=1；乙：尸尸2的周長為8；

1

丙：離心率為5；T：四邊形44片層的面積為3省.

如果只有一個假命題，則該命題是（）

A.甲B.乙C.丙D.T

【答案】B

【解析】

【分析】利用橢圓方程，分析甲乙丙丁都為真時得到關(guān)于凡“°的等式，再分析得甲乙不同時為真，進而

分類討論甲、丙和丁為真與乙、丙和丁為真兩種情況即可得解.

依題意，作出橢圓°的圖象，如圖，

若甲為真命題，則I4W="C=I；

若乙為真命題：則公片的周長為2。+2c=8,即a+c=4；

c_1

若丙為真命題，則離心率為。2.

FB

若丁為真命題，則四邊形AA22的面積為S+c）b=3也；

5

CI———

2

a-c=l

c=—b=yja2-

當(dāng)甲乙都為真時，有N+c=4,解得2,則

_3]_

『5,S+C?=4X2=8H33則丙和丁都是假命題;

此時a

所以甲乙不可能同時為真，且必有一真一假，故丙和丁都為真;

<2-C=1

c_1c=1

a2<2=2

(a+c)b=36,解得b=A/3

若甲、丙和丁為真，則

此時滿足/=〃+°2,且a+c=3w4符合題意;

4

c=—

3

a+c=48

Q=-

3

a2,3G

(a+c^b=3Gb=----

若乙、丙和丁為真，則，解得4

此時/彳〃+02,即乙、丙和丁不同時為真，假設(shè)不成立;

綜上，乙命題為假命題.

故選：B.

【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題解決的關(guān)鍵在于，分析甲乙丙丁都為真時得到關(guān)于見“C的等式，進而分析得

解.

丫2“23后拒八

4.在平面直角坐標(biāo)系中，過雙曲線片b2（。＞0力＞0）上一點144J作兩條漸近

線的平行線分別與兩漸近線交于尸，0兩點.若4M°Q=3zM°P,則該雙曲線的離心率為（）

A.6B.GC.2DY

【答案】C

【解析】

【分析】做出圖形，求出漸近線方程，求出兩平行線間的距離，再結(jié)合三角恒等變以及斜率關(guān)系換化簡可

得瓜=b,最后構(gòu)造齊次式求出離心率即可；

X

◎

一x

由題意可得雙曲線的漸近線方程為a

b

y=-x

設(shè)MP交直線a于點尸,

電ab-￡b

44

b

y=-x

則點川到直線"a的距離為

ab+-121ab

4

b

y——x

點川到直線"a的距離為

\PM\

因為=,由正弦定理可得sinNMO尸smAPMO,

\PM\\MQ\\MQ\

BpsinZMOPsinZMOQsin3ZMOP

\PM\_\MQ\_\MQ\

設(shè)4Mop=e,即sin。sin3，sin(8+2d),

e位sin(。+2。)=sin6(cos20+cos0sin26,=sin0cos26,+2cos20sin0

因為')

\a2+b2

11V3

cos9=Jnd=30°

所以24cos2"1,即2

tan60°=2n拒a=b

所以NPQx=60。，即a

=2

所以離心率

故選：C.

5.過拋物線「=2x上一動點尸作圓C:（x-4）2+/=/（，為常數(shù)且reN*）的兩條切線，切點分別

為A,B,若的最小值是46，則r=O

A.1B.2C.3D.4

【答案】B

【解析】

【分析】設(shè)尸a。,為）,利用圓的切線性質(zhì)，借助圖形的面積把HH.lpq表示為天的函數(shù)，再求出函數(shù)的

最小值即可.

設(shè)P（Xo/o）,則歹；=2%,圓C的圓心C（4,0）,半徑為廠，

由尸4%切圓。于點48,得PCL4B,P4上4C,PB上BC,

則|叫?附|=2SmpACS=4S?=21P4|NC|=2rmi=2小「盯+"

22

=2,片-6%+16-上=27（x0-3）+7-r>2圖7-戶

當(dāng)且僅當(dāng)天=3時，等號成立，

可知間\PC\的最小值為2—7—"=4c,

整理可得/一7尸+12=°,解得r=4或r=3,

且reN*,所以r=4,即r=2.

故選：B.

【點睛】關(guān)鍵點點睛：根據(jù)切線的性質(zhì)，將轉(zhuǎn)化為2s四邊形及CB,根據(jù)面積結(jié)合幾何性質(zhì)求解.

6.在如圖所示的空間直角坐標(biāo)系中，48。。-451GA是單位正方體，其中點/的坐標(biāo)是（）

z、

a

少---------)c

AB（T,l,T）C.（LT1）D.（—）

【答案】D

【解析】

【分析】根據(jù)空間直角坐標(biāo)系的定義求出點的坐標(biāo).

點）的坐標(biāo)為O'T—1）

故選：D

7.已知向量"=（一'I，4）1=（—4,2,7）,且向量。石的夾角為銳角則的取值范圍是。

B.H-,8^o（8,+co）。8｝（8,+00）

【答案】B

【解析】

【分析】夾角為銳角，則Z%>o,排除平行的情況即可.

因為向量生。的夾角為銳角，

5

——t>——

則a力=8+2+4/>0,得2,

-2_j__4

當(dāng)春月時，—457,得=8,

[—|>8]D（8,+OO）

的取值范圍為12>

故選：B.

8.如圖，在正四棱臺48co—4與。。1中，246二=34員,2。與80的交點為河,設(shè)48=扇4口=3,

4'=’,則下列向量中與瓦.相等的向量是（）

AG

1-3/

——a+—b+

B.34

1-3r

——a+—b+

D.64

【答案】D

【解析】

【分析】根據(jù)給定條件，利用空間向量的基底表示向量"1""即可.

B^M=B^B+BM=B^A[+A^A+AB+^BD=--AB+A^A+AB+-（-AB+^A^Dl）

21-3-13-

=——a+c+a+-{-a+—b}=——a+—b+c

32264

故選：D

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分，在每小題給出的選項中，有多項符合題

目要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.

9.古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼奧斯的著作《圓錐曲線論》中給出了圓的另一種定義：平面內(nèi)，到兩個定點

A,2距離之比是常數(shù)1）的點”的軌跡是圓，已知點'G㈤]（5,0）,屈是平面內(nèi)的一動點,

且滿足陷=2網(wǎng),則下列說法正確的是（）

A.點M的軌跡圍成區(qū)域的面積為8兀

B.A48河面積的最大值為6亞

C.點M到直線'—J+5=°的距離的最大值為80

D.若”的軌跡上有四個點到直線x—>+%=°的距離為血，則實數(shù)b的取值范圍為一9<b<-5

【答案】ACD

【解析】

【分析】對于A,設(shè)“（無,y）,先由W〃卜21M同求出點"的軌跡方程，從而得點M的軌跡圓的半徑，再

由圓的面積公式即可得解；對于B,先求出MB|,接著求出圓心（6，一0到直線48的距離再加上半徑即為

△48河的高最大值，進而可求面積最大值；對于c,求出圓心(3一1)到直線x->+5=°的距離再加上

半徑即為解；對于D,求出圓心(6，一1)到直線"-夕+'=0的距離力令即可計算求解.

對于A,設(shè)火叼)，因為1必=21阿所以(x-2)2+&-3-4(-5)2+葉

整理得V+/-12x+2v+29=0gp(x-6)2+(j+l)2=8,

所以點M的軌跡是圓心為(6'一1),半徑為的圓，

兀x?行)=8兀

所以點M的軌跡圍成區(qū)域的面積為V).故A正確；

對于B」第=J(O_3y+(5_2)2=3虛/…一3=三(x—2)即x+,_5=0,

所以點M到直線x+》—5=°的距離的最大值為2拒,

-X3A/2X2V2=6

所以A/BM面積的最大值為2,故B錯誤；

(61、J-"|=60

對于C,因為圓心('1到直線x—y+5=°的距離為<2

所以點"到直線x—N+5=°的距離的最大值為6V2+2V2=872,故c正確;

^_|6-(-l)+Z)|_|7+6|

對于D,圓心(6'—1)到直線》一少+6=。的距離為J5V2,

要使M的軌跡上有四個點到直線％-N+°=°的距離為V2,

故選：ACD.

10.拋物線C：/=2px（夕〉0）的準(zhǔn)線為/,尸為c上的動點，過P作圓M：（X—"）2+3-2）2=4的兩

條切線，A,B為切點,過P作/的垂線，垂足為。，則（）

A.當(dāng)。=1時，/與圓M相切

B,當(dāng)2一“時，―川+1尸9的最小值為2/

C.當(dāng)I481=26時，為定值

D.存在點P,使得△尸45為等邊三角形

【答案】CD

【解析】

【分析】對于A,根據(jù)拋物線的準(zhǔn)線方程以及圓的圓心坐標(biāo)和半徑可以判斷是否相切；對于B,因為

戶H=附，所以可使得4。兩點在點尸的異側(cè)，根據(jù)兩點之間，線段最短原理可知，當(dāng)尸，42三點共

線時，忸H+P9有最小值；對于C,已知581=2內(nèi)可解得而和礪的夾角，從而解得疝.癡為定

值；對于D,當(dāng)時，△尸48為等邊三角形，所以滿足存在性.

對于A,圓環(huán)（》一1）2+3-2）2=4的半徑，=2,圓心O'）到準(zhǔn)線"一一5的距離為+2,

所以，當(dāng)且僅當(dāng)。=1,夕=2時，/與圓屈相切，故A不正確;

對于B,如圖所示：

當(dāng)P,4。三點共線時，歸』十|尸0|有最小值，最小值為?，故B不正確;

對于C,因為|/引=2百，|必=阿=2,所以由余弦定理得

22+22-^V3J

MA?+MB?-AB?

cos/AMB=

2xMAxMB2x2x25,所以44〃5=120。，

所以疝.痂=|祝5卜|前|XcosNAMB2x2x

故C正確;

對于D,當(dāng)5切=26時，ZAMB=120°,所以N4P8=60。，

此時AP/B為等邊三角形，故D正確;

故選：CD.

11.在長方體/8CO-4與。12中，已知=4,8C=2,441=3,MUN分別為BXC^AXBX的中點，則

下列結(jié)論正確的是()

7^/2

A.異面直線8M與NC所成角的余弦值為10

7V5

B.點T為長方形&BCD內(nèi)一點，滿足口T〃平面BMN時，的最小值為5

C,三棱錐8—4肱V的外接球的體積為14兀

D.過點。，/，N的平面截長方體ABCD-4與。12所得的截面周長為4亞+372

【答案】BD

【解析】

【分析】A選項由線線平行得到異面直線的夾角，用余弦定理即可得出結(jié)果；B選項動直線平行于平面等

價于面面平行，從而得到動點運動軌跡，找垂線即為最短距離，求出最小值；C選項找球心，便可得到半

徑，然后求出體積；D選項利用空間直角坐標(biāo)系由空間向量得到點的坐標(biāo)，然后求出線段長，從而得出周

長.

?:MN//&G〃AC,.?./BMN直線MN與ZC所成角,

BM2+MN2-BN2

casNBMN=

在兒W中，根據(jù)余弦定理可知2BM-MN

BM=732+12=屈,MN=----=M,BN=732+22=V13

2

cosNBMN=----

代入求得10,A錯誤；

B.取4D的中點￡,取的中點尸，取49的中點S,連接EF,D]E,DF，AS,SM

■:SM//AB,AS//BM,所以四邊形N瀏痣是平行四邊形，

4S〃w且/S〃RE,D{E〃BM,DXE〃平面BMN,

同理可得D'F〃平面BMN,

//平面BMN,Tc平面ABCD,

所以點T的運動軌跡為線段跖，

在△平尸中，過點%乍此時中取得最小值,

由題意可知，*=而，2尸=年歷=6,

B正確;

C.取小的中點Q,連接49,則09=0附=0]4,

13

且。。廣產(chǎn)二

過點已作°&//網(wǎng)

.?.(W為外接球的半徑，在Rt△皿N中，MN=M,

“_4_7V14

??匕球—三兀d氏3——一兀

33,c錯誤;

D.由平面反。刀〃平面四℃得，過點2MN的平面必與外G。有交點，

設(shè)過點D，M,N的平面與平面'44°和平面分別交于。0,9

DO//PM,同理可得。尸〃°N，

過點的平面截長方體“BCD-481Goi所得的截面圖形為五邊形。尸MN0,

如圖所示，以。為坐標(biāo)原點，以所在直線分別為x，N，z軸建立空間直角坐標(biāo)系,

設(shè)40=加,CP=",則。（0,0,0）,0（2,0,m）,P（0,4,〃）,M（1,4,3）,N（2,2,3）

:.ON=（0,2,3-m）,PM=（l,0,3-n）,W=（2,0,m）,DP=（0,4,n）

-DP//ON,DO//PM,

m-2（3-n^

“=2（3-掰＞解得切=〃=2,

DO=A/22+22=272,DP=742+22=275

ON=712+22=也,PM=Vl2+12=41,MN=V5

所以五邊形OPWO的周長為

DO+DP+ON+PM+MN=242+245+^5+^2+^5=445+342口正確

故選：BD

【點睛】方法點睛：利用向量共面來找立體圖形中截面問題，先找到面與棱的交點，設(shè)交點坐標(biāo)，得到空

間向量的坐標(biāo)，由向量平行建立方程，解出點的坐標(biāo)，即可確定截面位置.

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

12.已知點直線x一劃一2=°被圓('-I)+/=8所截得弦的中點為N,則|MN|的取值范圍

是.

【答案】12,3]

【解析】

cR

【分析】根據(jù)中點關(guān)系可得/一NL8一N,即可由數(shù)量積的坐標(biāo)運算得N點的軌跡為以12。J]為圓心，

_1

以’5為半徑的圓，即可根據(jù)阿1-乙阿"求解.

由于直線X一處—2=。恒過定點'(2,°),圓心N(150),

設(shè)N(x,y),則麗,麗，故亦.麗=0,

+y

即(x-l)(x-2)+/=0,化簡可得口t-4)

cRo]r=-

故N點的軌跡為以UJ為圓心，以2為半徑的圓，

由于爪°，2)在圓。外，的+”=；

2

^\MC\-r<\MN\<\MC\+r即|孫e[2,3],

故答案為:〔2,31

22

——+=1(m>0)—

13.已知橢圓9m的離心率為3,則加的值為

81

【答案】8或8

【解析】

【分析】分焦點在無軸上和歹軸上，根據(jù)離心率公式直接求解可得.

當(dāng)焦點在x軸上時，°=3,'=詬，則'=用荷，

e--y-19---m--—1

所以，33,解得〃2=8；

當(dāng)焦點在yV軸上時，a=際,b=3,則0=而與，

ylm-9181

e=-7=~=~m=—

所以，3,解得8.

81

綜上，加的值為8或8.

81

故答案為：8或8

Frx,i,n

14.已知正方體”88—4402的棱長為1,￡為的中點，點I35J在平面內(nèi).以。為

原點,以停，℃，°j｝為空間的一個單位正交基底，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系。一切Z,則點

F的坐標(biāo)為.

【分析】分別求出得G（0,l,l）,再結(jié)合點4E，G，尸共面，所以

AF=2AQ+/JAE=

,從而可求解.

,/（1,0,0）,。（0,1.1）,則布=（一1,1,1）,

由題意得

因為點4E，G，尸共面,

AF=2AQ+fiAE=

所以'23'5,解得15

所以I/

故答案為：<1535人

四、解答題：本題共5小題，共77分，解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程及驗算步驟.

15.已知圓￡：必+/一2》+2了=°與圓C,相交于RQ兩點，直線尸。的方程為x-y-2=°.

(1)若圓°2的圓心在圓G外，求圓G的半徑的取值范圍；

(2)若尸(°,—2),8是圓C?上的動點，且在8C2的面積的最大值為5,求圓C2的方程.

【答案】⑴0，+°0)

(2)(x+1)?+3—I,=10或(x-3>+(y+3)2=10

【解析】

【分析】(1)借助圓與圓的位置關(guān)系以及勾股定理，計算即可求得；

(2)通過GG，00,以及三角形面積的最大值，求出圓G的半徑，計算即可求得.

【小問1詳解】

由I?+J?_2x+=0,得(x—1了+(y+1了=2,

所以圓G的半徑【夜，圓心為(I),且圓心1)在直線池上.

因為圓G的圓心在圓G外，所以連結(jié)℃2,仁02|〉夜.

又因為連接02。，所以在我〃。?。中，圓c2的半徑

〃+1_]

設(shè)圓a的圓心為（見〃），由題意可得℃2,尸0,所以加-1,即八-加①.

設(shè)圓C2的半徑為r，在AC2PB中，邊02尸上的高為兒

-\C2P\-h

所以的面積為2

當(dāng)GP'GB時，即此時“取得最大值r,APBG的面積取得最大值,

-|CP|-|C5|=-r2=5/—

最大值為2"212,解得，二廂，

所以|尸02上而4=麗②.

m——\m=3

<<

由①②得〔〃=1,或〔"=一3,

所以圓,2的方程為（x+l）2+3-1）2=10或（X-3）2+3+3）2=10.

J/

16.已知尸i,用分別為橢圓C:/“-1（"〉”〉°）的左、右焦點，且橢圓經(jīng)過點（2，°）和點0，e）,

其中e為橢圓的離心率.

（1）求橢圓C的方程;

\MF2\

（2）若傾斜角為30°的直線經(jīng)過點與，且與C交于M,N兩點點在N點的上方），求〔"工〔的值.

-----Hy=1

【答案】（1）4

]_

（2）7

【解析】

【分析】（1）將點（2,0）和點O'，）代入橢圓方程，解之即可得解;

（2）根據(jù)題意，利用直線的點斜式求得直線的方程，再聯(lián)立直線與橢圓方程，直接求得點M，N的坐標(biāo),

從而得解.

小問1詳解】

C

因為橢圓橢圓C：/+z?1經(jīng)過點（2,0）和點1e）.

a，

Q=2

1C2a=2

-----1----------

<b=l

b2+c2=a1

所以,解得

2

X21

—i-y=1

所以橢圓的方程為4'

【小問2詳解】

F（也0、k=tan300=——

由（l）得』直線的斜率為3

所以直線的方程為即3

8G

X=-----

7

1

y=—

7

座LJ」

所以照「卜廠7

isC：Dl(a>0,6>0)|,F(c,0)

17.已知雙曲線?2fe2的離心率為3為雙曲線的右焦點，且點尸到直線

a16

x———

C的距離為5.

(1)求雙曲線C的方程;

⑵若點“(2°),點P為雙曲線C左支上一點,求網(wǎng)+附?的最小值.

【答案】(1)916

(2)23

【解析】

【分析】(1)利用點到直線的距離公式列和離心率列方程求見“°,即可得到雙曲線的方程;

(2)根據(jù)雙曲線的定義將“訓(xùn)+歸用的最小值轉(zhuǎn)化為盧'㈤0國+2"的最小值，然后根據(jù)兩點之間線段

最短求最小值即可.

【小問1詳解】

c_5

a3

<

a216[?=3

c----____<

5,解得〔0=5

由題意知〔C

則b=Vc2-a2=4,

22

土—匕=1

所以雙曲線c的方程為916.

【小問2詳解】

記雙曲線C的左焦點為片，則片（―5,0）,

可得I?訓(xùn)+1班1THi+1尸局+2”|"|+|尸局+6,

當(dāng)P，F(xiàn)0，N三點共線時，網(wǎng)+1尸國最小，

且最小值為?狗=".故|尸國+|尸尸|的最小值為17+6=23.

18.《九章算術(shù)》中將四個面都為直角三角形的四面體稱為鱉席.如圖，在鱉牌尸—48C中，尸/上平面

(1)P"-a,PB-b,BC-°，用〃，6,。表示DE；

⑵若同=網(wǎng)=網(wǎng)=1,求就?瓦

—?2-1一1一

DE——a—b—c

【答案】(1)362

(2)

【解析】

【分析】（1）連接BD,PE,利用空間向量的線性運算，準(zhǔn)確化簡、運算，即可求解;

（2）根據(jù)題意，利用空間向量的線性運算和向量的數(shù)量積的運算公式，準(zhǔn)確計算，即可求解.

【小問1詳解】

如圖所示，連接BD,PE,可得說=而一而=可+彳后一而一而，

因為。為PC的中點，且礪=2互7,

AE=lAB=LpB-LpA,Bb=LBP+LBC=ApB+LBC

所以3332222

DE=PE-~PD=PA+AE-PB-BD=PA+(^-PB--PA)-~PB-(--PB+-BC)

所以'33