集合與常用邏輯用語專項訓練- 高三數(shù)學一輪復習

高三數(shù)學一輪復習專項訓練集合與常用邏輯用語

一、選擇題

1.已知集合A=ez|-l<x<6、,B=<xa<x<a+^>,若AplB中有兩個兀素，貝!J實數(shù)

a的取值范圍是（）

f31~

A.《a——<a<-1>B.《a--<a<0>

、2J、2

f3、][3,

C.<a<a<-l或-5<a<01D.{。|-萬<a<0或a〉l}

2.設集合A={—l,l,3,5},3={Hx=3Z:—LZ:eN}4lJAnJB=（）

A.{-1,5}B.{1,5}C.{-1,3,5}D.{1,3,5}

3.命題Mx>l，d—m>1的否定是（）

A.士〉1，%2—；n<1B.*wi，x1—m<l

C.\/x>l，x2—m<lD.VxWi，x2—m<l

4.下列說法錯誤的是（）

A.“若xw3,則三—2x-3w0”的逆否命題是“若9—2x-3=0,則x=3"

BfVxeR,了?—2x—3wO”的否定是'勺毛eR,/2—2%—3=0”

C.“x>3”是“尤2_2%—3>0”的必要不充分條件

D."x<-1或x>3”是“Y—2》—3>0”的充要條件

5.給出下列四個結(jié)論：

①命題“若相>0,則方程f+工―m=0有實數(shù)根”的逆否命題為：“若方程—機=0沒

有實數(shù)根，則相<0"

②若。>0,>>0,。+》=4,則工+工的最小值為1

ab

③函數(shù)y=lg（如2-4如+m+3）的定義域為R的充要條件是0v根vl

④對于函數(shù)則及G[L+8），使得函數(shù)g（x）=/（x）-質(zhì)在R上有三個零點

1+恒

其中正確結(jié)論的個數(shù)為（）

A.lB.2C.3D.4

6.設集合4={乂0（尤<3},6={—2,—1,0,1,2,3},則4口3=（）

A.{1,2,3}B.{-1,2}C.{0,l,2}D.{1,2}

7.集合A={xeN|0Vx<2}的真子集的個數(shù)是（）

A.3B.4C.7D.8

8.已知集合4={巾2?4},5=卜|2%>4,若3￡4.則實數(shù)。的取值范圍是（）

A.{麗^7}B.1?|?>4}C.{a|a<4}D.{a|aK-4}

二、多項選擇題

9.下列命題中正確的有（）

A.集合{“,）}的真子集是{a},{圻

B.{x|x是菱形}0{xlx是平行四邊形}

C.設a,Z?eR,A={1,?},B={-i,b},若A=5,則a-b=-2

D.0e|x|尤2+1=0,尤eR}

10.已知集合喋={2,4},集合M7ND{1,2,3,4,5},則集合N可以是（）

A.{2,4}B.{2,3,4}

C.{1,2,3,4}D.{1,2,3,4,5}

11.若函數(shù)/（無）=[2，-2卜。有兩個零點，則實數(shù)》的取值范圍所構成集合的子集為（）

A.（O,2）B.（O,3）C.（l,2）D.（-l,2）

三、填空題

12.已知集合74={（尤,丁）b=加一無},8=<（%,?。┒?」>,若4口5#0,則實數(shù)m的取值范

X

圍為.

13.若X是一個集合，7是一個以X的某些子集為元素的集合，且滿足：①X屬于z,空

集0屬于7；②7中任意多個元素的并集屬于7；③丁中任意多個元素的交集屬于

T.

則稱t是集合X上的一個拓撲.已知集合X={a/,c},對于下面給出的四個集合t：

①7={0,{a},{c},{a,dc}}；

②7={0,{"},{c},{反c},{a,b,c}}；

③T={0,{a},{a,b},{a,c}}；

@T={0,{a,c},{b,c},{c},{a,b,c}}.

其中是集合X上的一個拓撲的集合7的所有序號是.

14.設集合S={1,2,3}，X屋S，把X的所有元素的乘積稱為X的“容積”（若X中只

有一個元素，則該元素的數(shù)值即為它的“容積”，規(guī)定空集的“容積”為0）.若X的“容

積”是奇（偶）數(shù)，則稱X為S的奇（偶）子集，則S的所有偶子集的“容積”之和為

四、解答題

15.設集合凡,={（為々,…,天）|±=0或l,z=l,2,...,n},Hn中的元素

a=a”），b=（b[,b2,…,6”）乂.a十Z?=（q—+（a?—Zz,）+,—

為H”的左元子集，對V%eHn，都存在y^M，使得x十y<3,則稱M為4的k元最優(yōu)子

集.

（1）若。,此凡，。十辦=4,且a=（l,0,l,l,0）,試寫出兩個不同的。;

（2）當〃=7時，集合人={（%,*2,…，*7），（%，％一?，丁7）卜七，￥G{0,1},%+?=1,證明:A為

87的2元最優(yōu)子集；

（3）當〃28時，乩是否存在2元最優(yōu)子集,若存在，求出一個最優(yōu)子集，若不存在,請說明

理由.

16.已知集合A=%2+5x-6=01,B=|x|x2+2（m+l）x+nr-3=0j

（1）若加=0,寫出AIJ3的所有子集

（2）若“xeA”是“xw5”的必要條件，求實數(shù)機的取值范圍.

17.含有有限個元素的數(shù)集，定義“元素和”如下：把集合中的各數(shù)相加；定義“交

替和”如下：把集合中的數(shù)按從大到小的順序排列，然后從最大的數(shù)開始交替地加減

各數(shù).例如，{4,6,9}的元素和是4+6+9=19；交替和是9-6+4=7；而{5}的元素和與

交替和都是5.

⑴寫出集合{1,2,3}的所有非空子集的交替和的總和；

⑵已知集合M={1,2,3,4,5,6},根據(jù)提示解決問題.

①求集合〃所有非空子集的元素和的總和；提示：VXGM,先求出x在集合〃的非

空子集中一共出現(xiàn)多少次，進而可求出集合“所有非空子集的元素和的總和；

②求集合〃所有非空子集的交替和的總和.

18.已知集合A=^x\rrv^+x-2=01,B=^x\2x2-5^-12=0j.

⑴若A中有且僅有1個元素，求實數(shù)m的值；

(2)若AUB=3,求實數(shù)機的取值范圍.

19.已知命題ov?一雙+1>O恒成立，命題q：下;eR,x2+x+a=O.^p,

q中有且僅有一個為真命題，求實數(shù)。的取值范圍.

參考答案

1.答案：c

解析：因為A=卜￡z|-l?5/3^={-1,0,1},5=<xa<x<a+^>，且AplB中有兩個兀

素,

a<—1-1<<2<0

所以3或43

0<〃H---<1ClH----〉1

I2I2

a1

解得——<4<一1或——<。<0,

22

所以實數(shù)a的取值范圍是\a--<a<-1^--<a<G

、22

故選：C.

2.答案：A

解析：依題得6={-1,2,5「-},則4口6={-1,5}.

故選:A.

3.答案：A

解析：全稱存在命題的否定是存在量詞命題，并且否定結(jié)論，

2

所以命題三一加>]的否定是±>],%_w<1.

故選：A

4.答案：C

解析：根據(jù)命題“若2則q”的逆否命題為“若F則-p”,可知“若中3,則必―2尤-3/0

的逆否命題是“若f—2x-3=0,則x=3”,即A正確；

根據(jù)全稱命題的否定是特稱命題可知,“VxeR,尤2—2%-3W0”的否定是

2%—3=0,即B正確；

不等式九2—2x—3>0的解為x<—1或x>3,故"x>3”可推出"f—2%—3>0”,但

“爐—2%—3>0”推不出“％>3”,即“％>3”是'f一2工—3>0”的充分不必要條件,C錯

誤,“x<-1或x>3”是“爐_2%—3>0”的充要條件,D正確.

故選：C.

5.答案：B

解析：①“若相>0,則方程f+x—m=0有實數(shù)根”的逆否命題為：“若方程f+x—m=0

沒有實數(shù)根，則相<0”,正確；

②若a>0,6>0,a+Z?=4,則!d+』)(a+6)=,(2+?+@)2工(2+2[，.@)=1，當且僅當

4ab4ab4\ab

a=》=2時取等號,正確；

③當機=0時，函數(shù)y=lg(3：2一4儂:+加+3)的定義域為R,顯然0<m<1不是充要條件，錯

誤；

④/(-X)=]+口廣-胃^=-/(X)，即/(X)為奇函數(shù)，而/(x)=l-^-,x>0,

?*.g'(x)=f\x)-k=——二■—左，當二?1,+00),即g〈x)W0,故g(x)在X20上遞減，則

(1+無)

g(x)Wg(0)=0，

；?g(%)只有一個零點為0,由對稱性知：在無<0上無零點，

及e[l,+oo),使得函數(shù)g(x)=/(x)-日在R上有三個零點，錯誤.

故選：B.

6.答案：D

解析：AHB={x|0<x<3}0{-2,-1,0,1,2,3}={1,2}.

故選：D.

7.答案：A

解析：由題知4={0,1},所以集合A的真子集的個數(shù)是22-1=3.

8.答案：B

解析：由題可知A={x,>4^=^x\x>2或xW-2},8={x|2x>a}=<xx>T>,由

可得色22,所以aN4.

2

9.答案：BC

解析：對于A,集合{a,b}的真子集是{a},{圻，0,故A不正確；

對于B,菱形一定是平行四邊形，故B正確；

對于C,由題意得a=—1,b=l,故a—/?=—2,故C正確;

對于D,因為尤eR,所以％2+1=0無解，所以{x|x2+l=O,xeR}=0,故D不正確.

故選BC.

10.答案：ABC

解析：因為集合〃={2,4},

對于A：N={2,4}滿足{1,2,3,4,5},所以選項A符合題意；

對于B：N={2,3,4}滿足"口ND{1,2,3,4,5},所以選項B符合題意；

對于C：N={1,2,3,4}滿足/口ND{1,2,3,4,5},所以選項C符合題意;

對于D：N={1,2,3,4,5}不是{1,2,3,4,5}的真子集,故選項D不符合題意，

故選：ABC.

11.答案：AC

解析：令g(x)=|2X-2|,y=6,

在同一直角坐標系內(nèi)，作函數(shù)圖象如圖，

所以g(x)=|2,-2|與y=6只需兩個不同的交點，

由圖象可知，0<[<2,

所以實數(shù)b的取值范圍所構成集合為(0,2),

其子集為(0,2),(1,2).

故選：AC

12.答案：{加恒22或加4-2}

解析：由題知，集合A為一次函數(shù)y=上的點構成的集合，集合B為反比例函數(shù)

y=’上的點構成的集合，若4。5工0,則方程機-x=」有非零解,整理得好一〃a+1=0,

XX

則A=H?—4?0,解得加之2或加4一2.

13.答案：②④.

解析:①力^。，{。「?，{。也③上因為年內(nèi)⑶口區(qū)或任心故①不是集合乂上的一個拓

撲；

②滿足集合X上的一個拓撲的集合r的定義；

③因為{a,b}U{a,c}={a,b,c]史7,故③不是集合X上的一個拓撲；

④滿足集合X上的一個拓撲的集合r的定義.

故答案為：②④.

14.答案:16

解析:由題意，X可能情況有0,{1},{2},{3}，{1,2}，{1,3}，{2,3}，{1,2,3}，

則8個集合的“容積”分別為:0,123,5,3,6,6,

其中偶數(shù)有022,6,6,故偶子集有0,{2},{1,2},{2,3}，{1,2,3}，

則S的所有偶子集的“容積”之和為0+2+2+6+6=16.

故答案為：16.

15.答案：(1)6=(0,1,0,0,0)或(1,1,0,0,1)；

(2)證明見解析；

(3)不存在，理由見解析.

解析:(1)取6=(0,1,0,0,0)或(1,1,0,0,1),滿足口啰人=12+12+12+12=4，

所以5=(0,1,0,0,0)或(1,1,0,0,1).

C2)任取z=(40,…,Z7)e%，則存在xi,yie{0,1},%+y=1,

使得—zj4+(%-zj4=1,j=1,2,3,4,5,6,7,

記為=(%,％2,…，匕)，y=(X，%，…，必)，

777

%十z+y十z=Z(七_zj4+Z(y一Zj)4=^[(x,.-z,.)4+(%—Zj)4]=7,

z=lz=li=l

若x十zW3,則結(jié)論成立;若x十z24,則y?z=7-x?z<3,

所以A為%的2元最優(yōu)子集.

(3)先考慮〃=8的情況，假設4存在2元最優(yōu)子集尺

記H={a,Z7},a=(4出,…,4),1=(4也，…,/),

Vae4,寶=(q,。2,…,。8)ed，使a十c=4,

記亍=(l_q,l—C2,…，1—08)，則亍e“8，

由a@cJt-a?c=8,得a十5=4，Z??c+Z?0c=8，

因此b十c,Z?十不中至少有一個數(shù)大于等于4,

這與R是最優(yōu)子集矛盾，由a,b的任意性，可知&不存在最優(yōu)子集，

當九28時,Va，beH“,4=(4,%,…2=(4也,…也)，

n8

a?b=y(a-bX>y(a-bX口

則Wi)￡ii，所以久沒有2元最優(yōu)子集.

16.答案：(1)0,{-6},{1}，{-3},{-6,1},{-6,-3},{1,-3},{-6,1,-3}

(2)m<—2}

解析：(1)A=卜卜?+5x-6=Cl}={-6,1},

若加=0,則8={9+2x—3=0}={—3,1},止匕時AU§={FL—3}，

所以AU8子集為0,{—6},{1},{-3},{-6,1},{-6,-3},{1,-3},{-6,1,-3).

(2)若A”是“xe6”的必要條件，只需5三A.

①若5中沒有元素即5=0,

則A=4W+1『—4(療—3)=8m+16<0,此時機<—2,滿足5項4；

②若8中只有一個元素，則A=0,此時m=-2.

貝I]3={x|幺—2x+l=0}={1}，此時滿足BcA；

③若B中有兩個元素，則A>0,此時m>-2.

因A中也有兩個元素，且BcA,則必有5=A={-6]},

由韋達定理得-6x1=療-3,則”=-3，矛盾，故舍去.

綜上所述，當mW-2時,3NA.

所以實數(shù)機的取值范圍：{相2}.

17.答案:(1)12

(2)①672

②192

解析：⑴集合{1,2,3}的非空子集為{1},{2},{3},{2,1},{3,1},{3,2},{3,2,1),

集合{1},{2},{3}的交替和分別為1,2,3,

集合{2,1}的交替和為2-1=1,

集合{3,1}的交替和為3-1=2,

集合{3,2}的交替和為3-2=1,

集合{3,2,1}的交替和為3-2+1=2,

所以集合{1,2,3}的所有非空子集的交替和的總和為1+2+3+1+2+1+2=12.

(2)①集合{1,2,3}的所有非空子集中，數(shù)字1,2,3各出現(xiàn)4=2?次，

集合{1,2,3,4}的所有非空子集為{1},{2},{3},{4},{2,1},{3,1},{4,1},{3,2},

{2,4},{3,4},{3,2,1},{4,2,1},{4,3,1},{4,3,2},{4,3,2,1),

其中數(shù)字1,2,3,4各出現(xiàn)8=23次，在集合{1,2,3,4,5}的所有非空子集中，含1的

子集的個數(shù)為2,=16,

故數(shù)字1在16個子集中出現(xiàn)，即數(shù)字1在所有的非空子集中出現(xiàn)了16次，同理，數(shù)

字2,3,4,5各出現(xiàn)24=16(次),

同理，在集合{1,2,3,4,5,6}的所有非空子集中，數(shù)字1,2,3,4,5,6各出現(xiàn)

25=32(次),

所以集合M的所有非空子集的元素和的總和為32x(1+2+3+4+5+6)=672.

②設集合{1},{1,2},{1,2,3},{1,2,3,4}的交替和分別邑，S3,”,

集合{1}的所有非空子集的交替和H=1,

集合{1,2}的所有非空子集的交替和邑=1+2+(2-1)=4,

集合{1,2,3}的所有非空子集的交替和

S3=1+2+3+(2-1)+(3-1)+(3-2)+(3-2+1)=12,

集合{1,2,3,4}的所有非空子集的交替和

S4=1+2+3+4+(2-1)+(3-1)+(4-1)+(3-2)+(4-2)+(4-3)+(3-2+1)+

(4-2+1)+(4—3+1)+(4—3+2)+(4—3+2—1)=32,

所以根據(jù)前4項猜測集合{1,2,…的所有非空子集的交替和總和S”=加2小，

5

所以集合M的所有非空子集的交替和的總和S6=6X2=192.

18.答案：(1)m=0或m=-工

8

(2){川m<—^]

解析：(1)若m=0,方程化為x—2=0,此時方程有且僅有一個根％=2；

若THw0,則當且僅當方程的判別式△=I2-4x加x(-2)=0,即機=-工時，

8

方程有兩個相等的實根，此時集合A中有且僅有一個元素，

所以實數(shù)m的值為加=