利用導(dǎo)數(shù)研究不等式能成立（有解）問題（原卷版）-2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)精講精練知識·題型·分層

第05講利用導(dǎo)數(shù)研究不等式能成立(有解)問題

目錄

第一部分：基礎(chǔ)知識..................................................1

第二部分：高考真題回顧.............................................2

第三部分：高頻考點一遍過............................................3

高頻考點一：分離變量法...........................................3

高頻考點二：分類討論法...........................................4

高頻考點三：等價轉(zhuǎn)化法...........................................6

高頻考點四：最值定位法解決雙參不等式問題.........................8

高頻考點五：值域法解決雙參等式問題..............................10

第四部分；新定義題.................................................12

第一部分：基礎(chǔ)知識

1、分離參數(shù)法

用分離參數(shù)法解含參不等式恒成立問題，可以根據(jù)不等式的性質(zhì)將參數(shù)分離出來，得到一個一端是參數(shù),

另一端是變量表達(dá)式的不等式；

步驟：

①分類參數(shù)(注意分類參數(shù)時自變量X的取值范圍是否影響不等式的方向)

②轉(zhuǎn)化：3xeD,使得a>/(x)能成立oa〉/(x)mm；

使得a</(x)能成立oac/CxOmax.

③求最值.

2、分類討論法

如果無法分離參數(shù)，可以考慮對參數(shù)或自變量進(jìn)行分類討論求解，如果是二次不等式恒成立的問題，可以

考慮二次項系數(shù)與判別式的方法(a>0,A<0或a<0,A<0)求解.

3、等價轉(zhuǎn)化法

當(dāng)遇到了(x)2g(x)型的不等式有解(能成立)問題時，一般采用作差法，構(gòu)造“左減右”的函數(shù)

R(x)=f(x)—g(x)或者“右減左”的函數(shù)H(x)=g(x)—/(X),進(jìn)而只需滿足。(X)max20,或者

”(X)min<0,將比較法的思想融入函數(shù)中，轉(zhuǎn)化為求解函數(shù)的最值的問題.

4、最值定位法解決雙參不等式問題

⑴3%!eA,V%使得/(玉)"。2)成立O/(Xl)max2g(X2)max

(2)Vx；eA,川使得/(xjNg?)成立O/(X1)mm2g<>2)mm

(3)罵eA,川e5,使得/(%；)>g(x2)成立o>g(x2)mm

(4)V%1eA,Vx2e5,使得/(X])>g?)成立Of(x^m[n>g(x2)max

5、值域法解決雙參等式問題

eDt,3X2eD2，使得/(xj=g(%)成立

(1)eDx,求出/(占)的值域，記為A={/(%)|玉e°}

求出()的值域，記為B=々

②3X2eAg0{g(%)Ie2}

③則A。3,求出參數(shù)取值范圍.

第二部分：高考真題回顧

1.(2021?天津?高考真題)已知a>0,函數(shù)/1(￡)=ot-xe".

(|)求曲線y=/(x)在點(。/(。))處的切線方程：

(II)證明了a)存在唯一的極值點

(III)若存在a,使得了(x)v“+》對任意xeR成立，求實數(shù)6的取值范圍.

第三部分：高頻考點一遍過

高頻考點一：分離變量法

典型例題

例題1.（2024?四川宜賓?二模）已知不等式axe，+x>l-lnjc有解，則實數(shù)。的取值范圍為（）

A.B.。?14）卜*j

例題2.（23-24高二下?江西景德鎮(zhèn)?階段練習(xí)）已知函數(shù)/■（尤）=lnx+2依，若g（x）=〃x）-2/，不等式

g（尤）2-1在［1,+co）上存在實數(shù)解，則實數(shù)a的取值范圍_____.

例題3.（2024?福建泉州?模擬預(yù)測）（1）已知xe-,1,求/（力=的最大值與最小值；

_乙_X

（2）若關(guān)于x的不等式存在唯一的整數(shù)解，求實數(shù)。的取值范圍.

例題4.（23-24高三上?青海西寧?期末）已知函數(shù)/（x）=e*-x-l.

⑴證明：/（x）>0.

（2）若關(guān)于％的不等式ax+21nx+12%%*有解，求。的取值范圍.

練透核心考點

1.（2024?吉林延邊?一模）若對任意xe（e,心），存在實數(shù)4,使得關(guān)于彳的不等式ln（x-e）+Xx+120成

立，則實數(shù)力的最小值為.

2.(2024高三?全國?專題練習(xí))已知函數(shù)〃x)=lnx-2依+1,若存在x>0,使得〃力20,則實數(shù)。的取

值范圍_____.

3.(2024高三?全國?專題練習(xí))已知函數(shù)/(x)=ox—e%aeR),g(x)=_,若±0e(0,+8),使不等式

/(尤)<g(x)-e"成立，求。的取值范圍.

4.(2023高三?全國?專題練習(xí))已知函數(shù)/⑺二兄叱原〉。).

(1)求函數(shù)Ax)的極值；

⑵若存在無e(0,+⑹，使得"MW：*'竺匚3成立,求實數(shù)式的最小值.

高頻考點二：分類討論法

典型例題

例題1.(23-24高二上?福建福州?期末)已知關(guān)于工的不等式2x/(x+l)e，>0解集中恰有3個不同的正整

數(shù)解，則實數(shù)上的取值范圍為()

「311(41、<431「83\

人?［浜?B.［/，JC［七蟲。.［豆，引

例題2.(2024高三?全國?專題練習(xí))已知函數(shù)『(x)=eJx.

⑴求函數(shù)〃x)的極值；

(2)若對任意x>0,/(x)>1■辦2+1有解，求a的取值范圍.

2

例題3.(23-24高二下■重慶泰江?期中)已知函數(shù)"X)=-(aeR),g(x)=%-2mx+A-(meR).

⑴若函數(shù)〃x)在x=2處的切線方程為、=尤+6,求實數(shù)。與6的值；

⑵當(dāng)”=1時，若對任意的西e[l,2],存在使得/a)2g(z),求實數(shù)〃?的取值范圍.

例題4.(2024?四川瀘州?二模)已知函數(shù)/(尤)=2/—也2+2(口>0).

(1)求曲線尸〃力在點(0,〃0))處的切線方程；

⑵若為e[T』，|/(x)性3,求實數(shù)a的取值范圍.

練透核心考點

(1h

1.(23-24高二下?江蘇泰州?期中)若Vx>0,不等式lnx+2+3N6(a>0)恒成立，則一的最大值為()

xa

234

A.eB.eC.eD.e

2.(2023高三?全國?專題練習(xí))已知函數(shù)/(x)=；f-alnx,g(x)=-"i(aeR),若在U,e]上存在一點看,使

得了(xo)<g(x。)成立，求。的取值范圍.

3.(23-24?吉林長春?模擬預(yù)測)已知函數(shù)/("=產(chǎn)-依-1.

⑴當(dāng)。=1時，求〃x)的單調(diào)區(qū)間與極值；

⑵若〃尤)4V在xe[0,y)上有解，求實數(shù)。的取值范圍.

I-Z7

4.(23-24高三上?黑龍江齊齊哈爾?階段練習(xí))已知函數(shù)4x)=alnx+w-x2-MaeR).

⑴若。=2,求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；

(2)若存在％21,使得了伉)＜二，求。的取值范圍.

a-1

高頻考點三：等價轉(zhuǎn)化法

典型例題

例題1.(2024?浙江?模擬預(yù)測)已知函數(shù)〃x)=g+2/,g(x)=2m-]nx,若關(guān)于尤的不等式Vxg(x)

有解，則優(yōu)的最小值是.

例題2.(2024?江蘇?一模)已知函數(shù)/(耳=光----2x(x>0),函數(shù)g(x)=-尤?+3融一片-3。(。eR).

x

(I)若過點0(0,0)的直線/與曲線y=相切于點P,與曲線y=g(x)相切于點Q.

①求。的值；

②當(dāng)尸,Q兩點不重合時，求線段P。的長；

⑵若切>1,使得不等式八%)4g(%)成立，求。的最小值.

例題3.(23-24高二下?海南省直轄縣級單位?期中)已知/(x)=2xlnx,g(x)=—Y+分一3.

⑴求函數(shù)〃x)的最小值；

⑵若存在xe(O,y),使/(x)Wg(x)成立，求實數(shù)a的取值范圍；

練透核心考點

1.(23-24高二下?北京?期中)已知函數(shù)〃x)=xlnx,g(x)=-f+6-3.

(1)求〃x)的單調(diào)區(qū)間；

⑵若存在xeJ,e(e是常數(shù)，e=2.71828…)使不等式"(x)Ng(x)成立，求實數(shù)a的取值范圍.

2.(2023?河北承德?模擬預(yù)測)已知函數(shù)/(元)=(xt-41nx.

(1)討論函數(shù)/(x)的單調(diào)性；

(2)若e'T+』N#(x),求實數(shù)。的取值范圍.

X

3.(23-24高二下?山東聊城?階段練習(xí))已知函數(shù)/(x)=丘，伏eR,尤eR)

(1)若左>0,且對于任意xNO,/(x)>0恒成立，求實數(shù)左的取值范圍；

⑵令g(x)=e，21nx,若至少存在一個實數(shù)與e[l,e],使/(/)<g(尤。)成立，求實數(shù)左的取值范圍.

高頻考點四：最值定位法解決雙參不等式問題

典型例題

例題1.(23-24高三上?福建莆田?期中)已知函數(shù)/(力=皿.

X

⑴當(dāng)時，求函數(shù)的最小值；

(2)若g(x)=，Y+3x-a,且對“小卷，都居e[0,2],使得小)海仁)成立，求實數(shù)。的取值范圍.

例題2.(2023高三?全國?專題練習(xí))已知函數(shù)，(%)=------+?lnx,其中參數(shù)。＜0.

x

(1)求函數(shù)“X)的單調(diào)區(qū)間；

⑵設(shè)函數(shù)g(x)=2f1⑺-#(%)-3a(a＜0),存在實數(shù)占e[l,e]，使得不等式2ga)＜g(%2)成立，求

。的取值范圍.

例題3.(2023高三?全國?專題練習(xí))已知函數(shù)/(x)=lnx-￡ix+^---l(?eR).

(1)當(dāng)。＜。＜；時，討論的單調(diào)性；

(2)設(shè)g(x)=x?—2阮+4.當(dāng)〃=:時，若對V%e(O,2),叫41,2],使〃占)*(三)，求實數(shù)6的取值范圍.

練透核心考點

1.(23-24高二下?四川綿陽?期中)已知函數(shù)/(尤)=3/+/+6.

⑴若函數(shù)/(X)在區(qū)間(-2,+co)上單調(diào)遞增，求實數(shù)。的取值范圍；

⑵若函數(shù)g(無)=三，對內(nèi)e-,1,3x2e-,2,使得八%)4g(%)成立，求實數(shù)。的取值范圍.

e2\_2一

2.(2023高三?全國?專題練習(xí))已知函數(shù)/(x)=----+<Awc,其中參數(shù)a<0.設(shè)函數(shù)

g(x)=l^fXx)-xf{x)-3a(a<0),存在實數(shù)為,無2^口4],使得不等式2ga)<g(x?)成立，求a的取值范

圍.

3.(23-24高二下?甘肅張掖?階段練習(xí))已知函數(shù)/(x)=2sinx-xcosx-x"'(x)為〃x)的導(dǎo)數(shù).

⑴求曲線y=在點A(0J(0))處的切線方程；

(2)g(x)=d—2x+a(aeR),若對任意石?0,旬,均存在使得/&)>g(尤))，求實數(shù)。的取值

范圍.

高頻考點五：值域法解決雙參等式問題

典型例題

例題1.(23-24高一下?河南?階段練習(xí))已知函數(shù)〃*=坨12-日+V/eR)和函數(shù)

g(x)=2sin2x+2^sinxcosx.

⑴當(dāng)xe(l,m)時，滿足不等式〃x)>0成立，求實數(shù)上的取值范圍；

⑵若函數(shù)行)在[1,+8)上單調(diào)遞增，且對于任意玉e[3,4],總存在尤2e0譚,使得85)=/(為)成立,

求實數(shù)上的取值范圍.

例題2.(23-24高一上?遼寧遼陽?期末)已知函數(shù)f(x+2)=3x—2.

⑴求](尤)的解析式;

2「1一

(2)若函數(shù)g(x)=；+a,%e[0,2],3x2e-,2,f{xl)=g(x2),求4的取值范圍.

例題3.(23-24高一上?河北石家莊?階段練習(xí))己知函數(shù)/(x)=/-(a+3)x+6(aeR)

⑴當(dāng)a=2時,解不等式20；

(2)己知g(x)=m+7-3M,當(dāng)。=1時，若對任意的再e[1,4],總存在%e[1,4],使"%)=g(%)成立,求

實數(shù)機(jī)的取值范圍.

練透核心考點

1.(23-24高一上?江蘇鎮(zhèn)江?階段練習(xí))己知函數(shù)/(x)=log2X.

(1)求不等式/(x+2)>2/(x)的解集.

(2)記g(x)=4'+依,對％總叫e[2,32