利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的零點(diǎn)（方程的根）（原卷版）-2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)

第06講利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的零點(diǎn)(方程的根)

目錄

第一部分：基礎(chǔ)知識(shí)..................................................1

第二部分：高考真題回顧.............................................2

第三部分：高頻考點(diǎn)一遍過............................................3

高頻考點(diǎn)一：判斷、證明或討論函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù).......................3

高頻考點(diǎn)二：證明唯一零點(diǎn)問題.....................................5

高頻考點(diǎn)三：利用最值(極值)研究函數(shù)零點(diǎn)問題....................6

高頻考點(diǎn)四：利用數(shù)形結(jié)合法研究函數(shù)的零點(diǎn)問題....................9

高頻考點(diǎn)五：構(gòu)造函數(shù)研究函數(shù)零點(diǎn)問題............................12

第四部分：典型易錯(cuò)題型............................................13

備注：函數(shù)零點(diǎn)討論時(shí)借助圖象，容易畫錯(cuò)草圖......................13

第五部分：新定義題.................................................14

第一部分：基礎(chǔ)知識(shí)

1、函數(shù)的零點(diǎn)

(1)函數(shù)零點(diǎn)的定義：對于函數(shù)y=/(x),把使/(x)=0的實(shí)數(shù)x叫做函數(shù)y=/(x)的零點(diǎn).

(2)三個(gè)等價(jià)關(guān)系

方程f(x)=0有實(shí)數(shù)根o函數(shù)y=/(%)的圖象與％軸有交點(diǎn)的橫坐標(biāo)=函數(shù)y=/(%)有零點(diǎn).

2、函數(shù)零點(diǎn)的判定

如果函數(shù)y=/(x)在區(qū)間3,切上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線，并且有/(a>/3)<0,那么函數(shù)

y=/(x)在區(qū)間(a力)內(nèi)有零點(diǎn)，即存在ce(a,?,使得/(c)=。，這個(gè)c也就是/(x)=0的根.我們把

這一結(jié)論稱為函數(shù)零點(diǎn)存在性定理.

注意：單調(diào)性+存在零點(diǎn)=唯一零點(diǎn)

第二部分：高考真題回顧

1.（2023?全國?乙卷文）函數(shù)〃x）=d+"+2存在3個(gè)零點(diǎn)，貝匹的取值范圍是（）

A.（-?,-2）B.（-oo,-3）C.（Y,—l）D.（-3,0）

2.（2022?全國?乙卷文）已知函數(shù)/（x）=ov-工-（a+l）ln尤.

（1）當(dāng)。=0時(shí)，求/（無）的最大值；

⑵若/（X）恰有一個(gè)零點(diǎn)，求。的取值范圍.

3.（2022,全國?乙卷理）已知函數(shù)/⑺=ln（l+x）+依心

（1）當(dāng)a=l時(shí)，求曲線y=〃x）在點(diǎn)（0,〃。））處的切線方程；

（2）若〃無）在區(qū)間（-1,0）,（0,母）各恰有一個(gè)零點(diǎn)，求a的取值范圍.

第三部分：高頻考點(diǎn)一遍過

高頻考點(diǎn)一：判斷、證明或討論函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)

典型例題

例題1.(23-24高三下?陜西安康?階段練習(xí))記函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為((無)，-(X)的導(dǎo)函數(shù)為了"(%),設(shè)。

是“X)的定義域的子集，若在區(qū)間。上廣(x)<0,則稱在。上是"凸函數(shù)".已知函數(shù)〃x)=asinx-B

(1)若〃x)在0,|上為"凸函數(shù)〃，求〃的取值范圍；

(2)若a=2,判斷g(x)=〃x)+l在區(qū)間(0,兀)上的零點(diǎn)個(gè)數(shù).

例題2.(23-24高三下?廣東廣州?階段練習(xí))已知函數(shù)/(x)=e'-2x.

(1)求函數(shù)的極值；

⑵討論函數(shù)g(x)=〃x)-sinx在R上的零點(diǎn)個(gè)數(shù).(參考數(shù)據(jù)：sinl?0.84,cosl?0.54)

例題3.(23-24高三上?廣東梅州,階段練習(xí))已知曲線C：/(x)=sin2x+aex-x(aeR)

⑴若曲線C過點(diǎn)尸(0,-1),求曲線C在點(diǎn)尸處的切線方程；

(2)若0<aVl,討論g(x)=/(x)+gcos2x-a-；的零點(diǎn)個(gè)數(shù).

練透核心考點(diǎn)

1.(2024?湖南?二模)己函數(shù)/(無心/+加+云+9也濟(jì)陽，其圖象的對稱中心為(1,-2).

(1)求a->-c的值；

(2)判斷函數(shù)“X)的零點(diǎn)個(gè)數(shù).

2.(2023?全國?模擬預(yù)測)已知函數(shù)/'(x)=ln(l+x)+acosx.

(I)曲線y=/(x)在點(diǎn)(0J(0))處的切線方程為y=x+2,求實(shí)數(shù)a的值.

(2)在(1)的條件下，若g(x)=/(尤)-」，試探究雙龍)在J1,1上零點(diǎn)的個(gè)數(shù).

1+xk2)

高頻考點(diǎn)二：證明唯一零點(diǎn)問題

典型例題

例題1.(23-24高三下?四川雅安?開學(xué)考試)已知函數(shù)〃x)=x(lnx-a)+lnx+a.

(1)若a=l,當(dāng)x>l時(shí)，證明：/(x)>0.

⑵若a<2,證明：“X)恰有一個(gè)零點(diǎn).

例題2.(23-24高三下?河北?階段練習(xí))已知函數(shù)/(x)=-ae*-sinx-l在區(qū)間(0,鼻內(nèi)有唯一極值點(diǎn)七，其

中aeR,e為自然對數(shù)的底數(shù).

(1)求實(shí)數(shù)。的取值范圍；

(2)證明：在區(qū)間內(nèi)有唯一零點(diǎn).

例題3.(23-24高三上?黑龍江?階段練習(xí))已知函數(shù)〃x)=x+lnx,g(x)=ellnx+a,且函數(shù)〃x)的零點(diǎn)

是函數(shù)g(x)的零點(diǎn).

(1)求實(shí)數(shù)a的值；

⑵證明:y=g(x)有唯一零點(diǎn).

練透核心考點(diǎn)

1.(2024高三?全國?專題練習(xí))已知函數(shù)f(x)=lnx-x+2sinx,f(x)為了(尤)的導(dǎo)函數(shù).求證:八x)在(0,兀)

上存在唯一零點(diǎn).

2.(2023高三上?全國?專題練習(xí))已知a>0,函數(shù)/(x)=xe*-a,g(x)=xlnx-a.證明：函數(shù)2(x),g(x)

都恰有一個(gè)零點(diǎn).

高頻考點(diǎn)三：利用最值(極值)研究函數(shù)零點(diǎn)問題

典型例題

例題1.(23-24高二上?浙江紹興?期末)已知函數(shù)/(x)=;t2-(2a+l)x+aln尤+a(aeR).

⑴當(dāng)a=l時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

(2)若函數(shù)在(0,2)內(nèi)存在兩個(gè)極值點(diǎn)，求實(shí)數(shù)°的取值范圍.

例題2.（23-24高二下?重慶黔江?階段練習(xí)）已知函數(shù)"x）=lnr+ax+2

①若函數(shù)〃x）在x=l處取得極值，求。的值；

⑵若函數(shù)了（尤）在定義域內(nèi)存在兩個(gè)零點(diǎn)，求。的取值范圍.

例題3.（23-24高二下?貴州黔西?開學(xué)考試）已知了（￡）="3一法+4,/（x）在x=2處取得極小值-g.

⑴求的解析式；

（2）求“X）在x=3處的切線方程；

⑶若方程/（司+左=0有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)根，求上的取值范圍.

9

例題4.（23-24高二上?福建福州■期末）已知函數(shù)/（幻=尤3-—x+6x+<7（aeR）.

⑴求Ax）在［-2,3］上的最大值；

（2）若函數(shù)"X）恰有三個(gè)零點(diǎn)，求。的取值范圍.

練透核心考點(diǎn)

1.(2024高二下?全國?專題練習(xí))已知函數(shù)/(司=]3+辦，g(x)=-x2-tz(fleR).

⑴若函數(shù)尸(x)=〃x)-g(x)在[1，+8)上單調(diào)遞增，求。的最小值；

(2)若函數(shù)G(x)=〃x)+g(x)的圖象與產(chǎn)?有且只有一個(gè)交點(diǎn)，求。的取值范圍.

2.(23-24高二上■江蘇南京■期末)已知函數(shù)〃x)=x3-；x2-2x+〃z.

(1)當(dāng)〃,=1時(shí)，求曲線在點(diǎn)(2,42))處的切線方程；

(2)若函數(shù)〃x)有三個(gè)不同的零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)相的取值范圍.

3.(23-24高三上?廣東深圳?階段練習(xí))若函數(shù)“x)=x(x-c)2在》=3處有極小值.

(1)求c的值.

⑵函數(shù)g(x)=/(x)+6f-(9+3a)x+l恰有一個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

4.(2023?廣東揭陽?模擬預(yù)測)已知函數(shù)"x)=2ox-a-1,g(x)=er-ex.

(1)討論g⑺的單調(diào)性并求極值.

(2)設(shè)函數(shù)〃⑺=g'(x)-/(x)為g(x)的導(dǎo)函數(shù))，若函數(shù)網(wǎng)可在(0,1)內(nèi)有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，求實(shí)

數(shù)。的取值范圍.

高頻考點(diǎn)四：利用數(shù)形結(jié)合法研究函數(shù)的零點(diǎn)問題

典型例題

例題1.(23-24高三上?江蘇連云港?階段練習(xí))已知函數(shù)〃x)=lnx+g加-(a+l)x(aeR).

(1)當(dāng)a=l時(shí)，求函數(shù)y=/(x)的零點(diǎn)個(gè)數(shù).

⑵若關(guān)于x的方程有兩個(gè)不同實(shí)根為,三,求實(shí)數(shù)。的取值范圍并證明占”2>e2.

例題2.(2023?四川?一模)已知函數(shù)〃x)=x2-2hx.

(1)求〃x)的單調(diào)區(qū)間；

⑵令8(%)=〃3)-爐+辦(a為常數(shù))，若g(x)有兩個(gè)零點(diǎn)石,馬(石<々)，求實(shí)數(shù)。的取值范圍.

例題3.(23-24高二下?陜西渭南?期末)已知函數(shù)/(%)=祀2,-63,eR).

(1)求曲線〃x)在點(diǎn)(L7'⑴)處的切線方程；

(2)當(dāng)。216時(shí)，證明：函數(shù)/'(X)在(0,+8)上有兩個(gè)不同的零點(diǎn).

例題4.(23-24高二下?重慶?期末)已知函數(shù)/(x)=av-lnx-2.

⑴當(dāng)a=l時(shí)，求函數(shù)〃x)的極值；

(2)討論函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù).

練透核心考點(diǎn)

1.(2023?四川三模)已知函數(shù)=和函數(shù)g(x)=(，且〃尤)有最大值為：.

(1)求實(shí)數(shù)a的值；

⑵直線y=機(jī)與兩曲線y=/(x)和y=g(x)恰好有三個(gè)不同的交點(diǎn)，其橫坐標(biāo)分別為天，巧，凡，且

xt<x2<x3,證明：%毛=尤；.

2.(23-24高二下?貴州?階段練習(xí))設(shè)函數(shù)"x)=ae，+.,曲線y=〃x)在點(diǎn)處取得極值.

(1)求實(shí)數(shù)a的值；

⑵求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

⑶令函數(shù)g(x)=〃x)-3是否存在實(shí)數(shù)上使得g(x)沒有零點(diǎn)？若存在，請求出實(shí)數(shù)上的范圍；若不存在,

請說明理由.

3.(23-24高二下?重慶沙坪壩?期末)已知函數(shù)/(%)=加+x-lnx(aeR).

(1)當(dāng)a=0時(shí)，過點(diǎn)(0,0)作y=/(x)的切線，求該切線的方程；

⑵若函數(shù)g(x)=/(x)T在定義域內(nèi)有兩個(gè)零點(diǎn)，求。的取值范圍.

4.(23-24高三上?江蘇南通?階段練習(xí))已知函數(shù)/⑴卓丁一/5^^在［0』上的最小值為一.

⑴求a的值；

⑵若函數(shù)g(x)=/(x)-2x+6有3個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)b的取值范圍.

高頻考點(diǎn)五：構(gòu)造函數(shù)研究函數(shù)零點(diǎn)問題

典型例題

a—xe

例題1.(23-24高三下?河南信陽?階段練習(xí))已知函數(shù)/(元)=

(1)當(dāng)a=-l時(shí)，求不等式/⑺We，+1的解集;

⑵若/(x)>a(a>0),求實(shí)數(shù)。的取值范圍.

例題2.(23-24高二下?浙江嘉興,階段練習(xí))已知函數(shù)/(x)=e*-依-2,aeR,e是自然對數(shù)的底數(shù)

(1)討論函數(shù)/(尤)的單調(diào)性；

⑵若關(guān)于x的方程/(%)+2=0有兩個(gè)不等實(shí)根，求。的取值范圍；

⑶若。=1,%為整數(shù)，且當(dāng)尤>0時(shí)，與廣(同<1恒成立，求左的最大值.

-V-11'/

練透核心考點(diǎn)

1.(23-24高三下?河南?階段練習(xí))已知函數(shù)/(x)=如

⑴判斷的單調(diào)性;

⑵當(dāng)。e(2,+8)時(shí)，