冪函數(shù)與二次函數(shù)（4題型分類）-2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)（解析版）

專題05嘉函數(shù)與二次函數(shù)4題型分類

彩題如工總

題型4：二次函數(shù)“動(dòng)軸定區(qū)間”、“定軸動(dòng)區(qū)間”問(wèn)題題型1:募函數(shù)的定義及其圖像

專題05募函數(shù)與二次函數(shù)

4題型分類

題型：二次方程的實(shí)根分布及條件題型：幕函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用

37V2

彩先正寶庫(kù)

1、幕函數(shù)的定義

一般地，y=x"(aeR)(。為有理數(shù))的函數(shù)，即以底數(shù)為自變量，暴為因變量，指數(shù)為常數(shù)的函數(shù)稱為幕

函數(shù).

2、幕函數(shù)的特征：同時(shí)滿足一下三個(gè)條件才是幕函數(shù)

①r的系數(shù)為1;②/的底數(shù)是自變量；③指數(shù)為常數(shù).

(3)幕函數(shù)的圖象和性質(zhì)

3、常見(jiàn)的幕函數(shù)圖像及性質(zhì):

23二/

函數(shù)y=xy=xy=xy=%2y

y

V1VkV

L

圖象

7p7V0X

定義

RRR{x|x>0]{九|尤w0}

域

值域R{yly"}R3”。}3"。}

奇偶

奇偶奇非奇非偶奇

性

單調(diào)在R上單調(diào)在(-00,0)上單調(diào)遞減，在在R上單調(diào)在［0,+00)上單在(-00,0)和(0,+00)

性遞增(0,+8)上單調(diào)遞增遞增調(diào)遞增上單調(diào)遞減

公共

(1,1)

點(diǎn)

4、二次函數(shù)解析式的三種形式

(1)一般式：/(x)=ax2+bx+c{a0)；

(2)頂點(diǎn)式：f(x)=a(x-m)2+n(a^0)；其中，(利,力)為拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)，工=機(jī)為對(duì)稱軸方程.

(3)零點(diǎn)式：f(x)=a(x-%；)(x-x2Xa^0),其中，占,三是拋物線與頭軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo).

5、二次函數(shù)的圖像

h

二次函數(shù)/。)=62+法+式。*0)的圖像是一條拋物線，對(duì)稱軸方程為了=-9,頂點(diǎn)坐標(biāo)為

2a

b4ac-b2

(1)單調(diào)性與最值

①當(dāng)4>0時(shí)，如圖所示，拋物線開(kāi)口向上，函數(shù)在(-叫-白］上遞減，在［-丁,+8)上遞增，當(dāng)X=-二時(shí),

2a2a2a

AAh

②當(dāng)a<0時(shí)，如圖所示，拋物線開(kāi)口向下，函數(shù)在(-8,-二］上遞增，在［-丁,+s)上遞減，當(dāng)彳=-丁時(shí),

2a2a2a

4ac-b2

fM

4a

V

(2)與％軸相交的弦長(zhǎng)

當(dāng)A=〃2一4〃°>0時(shí)，二次函數(shù)/(%)=依2+bx+c(QWO)的圖像與X軸有兩個(gè)交點(diǎn)加\(%,0)和加2(電,0),

I|=|石—々|~](再+々)2-43%2=~~~?

'\a\

6、二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值

閉區(qū)間上二次函數(shù)最值的取得一定是在區(qū)間端點(diǎn)或頂點(diǎn)處.

對(duì)二次函數(shù)人/二^^+云+汽〃。。)，當(dāng)a>0時(shí)，/(%)在區(qū)間［p,q］上的最大值是V,最小值是加，令

h

(1)若-丁4p,^\m=f(p),M=f(q)；

2a

bb

(2)右p<-不<尤。,貝！l〃z=/(-丁),M=/(q);

2a2a

hb

(3)^x<--<q,貝!|加=/(-丁),M=/(p)；

02a2a

b

(4)右一丁Ng,則>=/(q),V=/(p).

2a

彩”秘籍

(一

幕函數(shù)的定義及其圖像

1、基函數(shù)y=x"(aeR)在第一象限內(nèi)圖象的畫(huà)法如下：

①當(dāng)。<0時(shí)，其圖象可類似y=。畫(huà)出；

②當(dāng)0<0<1時(shí)，其圖象可類似y=?畫(huà)出；

③當(dāng)”>1時(shí)，其圖象可類似y=V畫(huà)出.

題型1:零函數(shù)的定義及其圖像

1-1.（2024?江西?模擬預(yù)測(cè)）已知累函數(shù)/的圖象過(guò)點(diǎn)（2,8）,則加+1=（）

A.0B.2C.4D.5

【答案】C

【分析】根據(jù)幕函數(shù)的形式及過(guò)定點(diǎn)即可求解.

【詳解】解：因?yàn)?（X）=ga為幕函數(shù)

所以=1

又/（%）=mxa的圖象過(guò)點(diǎn)（2,8）

即8=2。

解得a=3

所以〃?+<z=4

故選：C.

12（2024高三.河北?學(xué)業(yè)考試）已知事函數(shù)y=的圖象過(guò)點(diǎn)e,2向，則f（9）的值為（）

A.2B.3C.4D.9

【答案】B

【分析】設(shè)幕函數(shù)為/（力=/，代入點(diǎn)計(jì)算得到a=g，計(jì)算得到答案.

【詳解】設(shè)幕函數(shù)為〃x）=x",圖象過(guò)點(diǎn)卜,20）,故/⑻=8"=2應(yīng)，故”;，

/（%）=人,/（9）=A/9=3.

故選：B

1-3.（2024高一下?湖北宜昌?期中）己知函數(shù)/（x）=log?（3-x）+^（G>0且awl）的圖象經(jīng)過(guò)定點(diǎn)A,若

募函數(shù)y=g（x）的圖象也經(jīng)過(guò)該點(diǎn)，貝Uggj=.

【答案】4

【分析】根據(jù)對(duì)數(shù)型函數(shù)的性質(zhì)，結(jié)合幕函數(shù)的定義進(jìn)行求解即可.

【詳解】因?yàn)椤?）=：,所以A（2,；）,設(shè)幕函數(shù)y=g（x）=xj

因?yàn)槟缓瘮?shù)y=g(x)的圖象經(jīng)過(guò)42,；),

所以2"=[na=—2ng(x)=;T2,

4

因止匕g(；)=((r2=4,

故答案為：4

1-4.(2024高一.全國(guó)?課后作業(yè))已知幕函數(shù)J(p,qwZ且。應(yīng)互質(zhì))的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，如圖所示,

y-x

貝IJ()

A.p,4均為奇數(shù)，且"＞。

B.q為偶數(shù)，0為奇數(shù)，且坦＜。

q

C.4為奇數(shù)，P為偶數(shù),且/＞。

D.q為奇數(shù),p為偶數(shù)，且“＜0

q

【答案】D

【分析】根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性可判斷出“＜。；根據(jù)函數(shù)的奇偶性及。，q互質(zhì)可判斷出。為偶數(shù)，q為奇數(shù).

q

【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)、的定義域?yàn)?-*0)U(0,+8),且在(0,+8)上單調(diào)遞減，

所以“＜0,

q

因?yàn)楹瘮?shù)v,3的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，

所以函數(shù)V—/為偶函數(shù)，即P為偶數(shù)，

又p、q互質(zhì)，所以g為奇數(shù)，

所以選項(xiàng)D正確，

故選：D.

1-5.（2024高一上?陜西西安?期中）幕函數(shù)y=x"中。的取值集合C是1-1,0,；,123：的子集，當(dāng)幕函數(shù)的值

域與定義域相同時(shí)，集合。為（）

A.卜l,0,gB,C."川D.m,2,31

【答案】C

【分析】分別求出各嘉函數(shù)的定義域和值域，得到答案.

【詳解】當(dāng)a=-l時(shí)，＞=工7定義域和值域均為（-。,0）17（0,+?））,符合題意；

a=0時(shí)，＞=》。定義域?yàn)椋?8,0）1；（0,+05）,值域?yàn)閧1},故不合題意；

時(shí)，y=?定義域?yàn)椋?,+“），值域?yàn)椋?,+“），符合題意；

。=1時(shí)，y=x定義域與值域均為R,符合題意；

a=2時(shí)，y=Y定義域?yàn)镽,值域?yàn)椋?,+8）,不符合題意；

。=3時(shí)，y=d定義域與值域均為R,符合題意.

故選：C

彩能甄淞籍U

塞函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用

函

i

2-1

y=兀y=xy=y=x

數(shù)

y

圖VVV

TVV0X

象

定

義RRR{x|x>0}{%|xw0}

域

值

R{yl?>o)R{yly>0}3"。}

域

奇

偶奇偶奇非奇非偶奇

性

單

在R上單調(diào)在（YO,0）上單調(diào)遞減，在在R上單調(diào)在［0,+⑹上單在（ro,0）和（0,+oo）

調(diào)

遞增（0,+8）上單調(diào)遞增遞增調(diào)遞增上單調(diào)遞減

性

公

共(1,1)

點(diǎn)

題型2:森函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用

2-1.（2024高一上?上海楊浦?期末）已知a-g,g,1,2,31，若塞函數(shù)=奇函數(shù)，且在（0,+。）

上為嚴(yán)格減函數(shù)，則。=_______.

【答案】-1

【分析】根據(jù)幕函數(shù)=在（0,+“）上為嚴(yán)格減函數(shù)，可得a<0,再由塞函數(shù)〃力=/奇函數(shù)即可得

答案.

【詳解】解：因?yàn)槭潞瘮?shù)〃尤）=/在（。,+e）上為嚴(yán)格減函數(shù)，

所以a<0,

所以ae,

又因?yàn)槟缓瘮?shù)〃x）=x“奇函數(shù)，且ae卜2,-1,-3卜

所以。=一1,

故答案為：-1

2-2.（2024高三上.寧夏固原?期中）已知函數(shù)/（元）=（蘇-2加-2）廿-2是哥函數(shù)，且在（0,+向上遞減，則實(shí)

數(shù)機(jī)=（）

A.-1B.-1或3C.3D.2

【答案】A

【分析】由幕函數(shù)定義以及性質(zhì)即可求出加.

【詳解】因?yàn)閒（x）=（〃，-2加-2）“'"-2是幕函數(shù)，所以/_筋-2=1,解得m=3或〃?=-1,又因?yàn)锳x）在

（0,+00）上單調(diào)遞減，貝|加=-1.

故選：A

2-3.（2024?海南?模擬預(yù)測(cè)）已知〃同=（川+^-5）/為幕函數(shù)，則（）.

A.”力在（-8,0）上單調(diào)遞增B./（X）在（-/⑼上單調(diào)遞減

C.〃x）在（0,+“）上單調(diào)遞增D./（力在（。,+8）上單調(diào)遞減

【答案】B

【分析】首先根據(jù)基函數(shù)的定義求出參數(shù)機(jī)的值，即可得到函數(shù)解析式，再分析其性質(zhì).

【詳解】因?yàn)椤▁）=（加2+帆-5卜’"是募函數(shù)，所以加+根-5=1,解得m=2或%=-3,

所以〃力=/或/（彳）=/,

對(duì)于“X）=d,函數(shù)在（0,+8）上單調(diào)遞增，在（-8,0）上單調(diào)遞減；

對(duì)于〃力=/，函數(shù)在（0,+8）上單調(diào)遞減，且為奇函數(shù)，故在（-8,0）上單調(diào)遞減；

故只有B選項(xiàng)“『（X）在（-8,0）上單調(diào)遞減”符合這兩個(gè)函數(shù)的性質(zhì).

故選：B

2

2-4.（2024?江蘇）已知y=Ax）是奇函數(shù)，當(dāng)無(wú)K）時(shí)，〃H=必，則加8）的值是—.

【答案】-4

【分析】先求”8）,再根據(jù)奇函數(shù)求/（-8）

【詳解】/（8）=「=4,因?yàn)锳M為奇函數(shù)，所以/（-8）=-/（8）=-4

故答案為：-4

【點(diǎn)睛】本題考查根據(jù)奇函數(shù)性質(zhì)求函數(shù)值，考查基本分析求解能力，屬基礎(chǔ)題.

2-5.（2024高三?全國(guó)?課后作業(yè)）已知累函數(shù)=（機(jī)為正整數(shù)）的圖像關(guān)于了軸對(duì)稱，且在（0,+8）

上是嚴(yán)格減函數(shù)，求滿足g+1胃＞（3-2ar的實(shí)數(shù)°的取值范圍.

【答案】mui.+H

【分析】根據(jù)函數(shù)為嘉函數(shù)以及函數(shù)的性質(zhì)，可確定參數(shù)機(jī)的取值，結(jié)合塞函數(shù)>=尤4的單調(diào)性，分類討

論求解不等式，可得答案.

【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)“X）在（o,+8）上是嚴(yán)格減函數(shù)，所以川-23<0,解得T〈根<3.

由加為正整數(shù)，則機(jī)=1或m=2,

又函數(shù)了（%）的圖像關(guān)于y軸對(duì)稱，得〃%）是偶函數(shù)，

而當(dāng)"7=2時(shí)，22-2X2-3=-3,為奇函數(shù)，不符題意，

當(dāng)機(jī)=1時(shí)，,一2xl-3=-4,〃％）=一為偶函數(shù)，于是“2=1.

因?yàn)閥=X1為奇函數(shù)，在（-8,0）與（0,+8）上均為嚴(yán)格減函數(shù)，

所以（〃+1戶〉（3-2〃戶等價(jià)于〃+1<3-2々<0或3-2々>々+1>0或&+1>0>3-2々,

解得一l<a<g或a>[，即ae[l，|Ju1|，+0Oj.

彩偏題祕(mì)籍（二）

二次方程依2+法+。=0（4工。）的實(shí)根分布及條件

一般情況下需要從以下4個(gè)方面考慮：

b

（1）開(kāi)口方向；（2）判別式；（3）對(duì)稱軸尤=-=與區(qū)間端點(diǎn)的關(guān)系；（4）區(qū)間端點(diǎn)函數(shù)值的正負(fù).

2a

題型3:二次方程的實(shí)根分布及條件

3-1.（2024高三?全國(guó)?階段練習(xí)）方程/+。九-2）》+5-機(jī)=0的一根在區(qū)間（2,3）內(nèi)，另一根在區(qū)間（3,4）內(nèi),

則加的取值范圍是（）

A.（-5,-4）B.C.D.（-5,-2）

【答案】C

【分析】令/（x）=/+（租-2）x+5-〃?，由二次函數(shù)根的分布性質(zhì)有/（2）>0,/（3）<0）,/（4）>0,求得m

的取值范圍.

【詳解】令/（x）=/+（m-2）x+5-機(jī)，由二次函數(shù)根的分布性質(zhì)，若一根在區(qū)間（2,3）內(nèi)，

另一根在區(qū)間（3,4）內(nèi)，

/(2)>04+2(m-2)+5-m>0

只需1/(3)<0,即<9+3(加一2)+5-機(jī)<0,

/(4)>0[16+4(機(jī)—2)+5—機(jī)>0

解不等式組可得-1<m<-4,即加的取值范圍為1-了,-4

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)根的分布性質(zhì)，屬于中檔題.

3-2.(2024高三?全國(guó)?專題練習(xí))關(guān)于x的方程加+(a+2)x+9a=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根玉,三，且

%<1<%，那么。的取值范圍是()

22

C.a<—D.---<a<0

711

【答案】D

【分析】說(shuō)明a=0時(shí)，不合題意，從而將依2+(。+2)苫+9。=0化為/+(1+1)了+9=0,令

y=x2+\^+^x+9,結(jié)合其與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，且分布在1的兩側(cè)，可列不等式即可求得答案.

【詳解】當(dāng)a=0時(shí)，辦之+(a+2)x+9a=。即為2九=0,不符合題意；

故aw0,ar2+(a+2)%+9〃=0即為爐+11+2卜+9=0,

令y=%2+[i+—卜+9,

由于關(guān)于工的方程辦2+(〃+2卜+9。=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根為9，且玉<1<尤2,

貝IJ丁=冰2+(〃+2)1+9〃與1軸有兩個(gè)交點(diǎn)，且分布在1的兩側(cè)，

故尤=1時(shí)，yvO,即1+11H—|xl+9<0,解得一<—11,故---<a<0,

Vaja11

故選：D

3-3.(2024高一.江蘇.課后作業(yè))設(shè)。為實(shí)數(shù)，若方程必_2狽+々=0在區(qū)間(TD上有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)解,

則〃的取值范圍是().

A.(-oo,0)u(l,+oo)B.(-1,0)

C.D?(一

【答案】C

【分析】根據(jù)方程根的分布結(jié)合二次函數(shù)的圖象列出不等式組求解即可.

［詳解］令g（x）=尤？-2ax+a,

由方程Y-2依+a=0在區(qū)間（T，D上有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)解可得

a<0a>l

A=4。-4。>0

—1<Q<1—1<4<1

—1<Q<1

V,即?1或，1

g(-l)>0a>——a>——

33

方⑴〉。a<\a<\

解得-耳＜a＜。，

故選：C

彩僻題淞籍

（四）

二次函數(shù)"動(dòng)軸定區(qū)間"、"定軸動(dòng)區(qū)間”問(wèn)題

（1）要熟練掌握二次函數(shù)在某區(qū)間上的最值或值域的求法，特別是含參數(shù)的兩類問(wèn)題一一動(dòng)軸定區(qū)間和定

軸動(dòng)區(qū)間，解法是抓住"三點(diǎn)一軸"，三點(diǎn)指的是區(qū)間兩個(gè)端點(diǎn)和區(qū)間中點(diǎn)，一軸指對(duì)稱軸.即注意對(duì)對(duì)稱軸

與區(qū)間的不同位置關(guān)系加以分類討論，往往分成：①軸處在區(qū)間的左側(cè)；②軸處在區(qū)間的右側(cè)；③軸穿

過(guò)區(qū)間內(nèi)部（部分題目還需討論軸與區(qū)間中點(diǎn)的位置關(guān)系），從而對(duì)參數(shù)值的范圍進(jìn)行討論.

（2）對(duì)于二次方程實(shí)根分布問(wèn)題，要抓住四點(diǎn)，即開(kāi)口方向、判別式、對(duì)稱軸位置及區(qū)間端點(diǎn)函數(shù)值正負(fù).

題型4：二次函數(shù)"動(dòng)軸定區(qū)間”、“定軸動(dòng)區(qū)間”問(wèn)題

4-1.（2024高一上.海南?期中）己知g（x）=d-2"+1在區(qū)間［1,3］上的值域?yàn)椋?,4］.

⑴求實(shí)數(shù)。的值；

（2）若不等式8（2，）-h4工20當(dāng)xe［l,+e）上恒成立，求實(shí)數(shù)人的取值范圍.

【答案】⑴。=1

⑵（,-8,ar

【分析】（1）根據(jù)區(qū)間［1,3］討論g（%）的對(duì)稱軸/=〃的位置，滿足值域是［0,4］,求出〃；

(2)運(yùn)用換元法構(gòu)造函數(shù)根據(jù)單調(diào)性求解.

【詳解】(1)函數(shù)g(x)是開(kāi)口向上，對(duì)稱軸為x=〃的二次函數(shù)，根據(jù)g(x)的圖像有：

當(dāng)a<l時(shí)，g(無(wú))在xe［l,3］上的最小值g(x)1nhi=g(l)=2-2a=0,a=l,

不符合a<1,舍；

當(dāng)時(shí)，g(x)在［1,3］上的最小值=g(a)=-a2+l=0,a=l或a=-l(舍)，

g(l)=0,g(3)=4,.?.g(x)max=g(3)=4,滿足題意；

當(dāng)a>3時(shí)，g(x)在［1,3］上的最小值g(x)而。=g⑶=10-6a=0,a=g<3(舍)，

.".a=\；

(2)由(1),g(x)=x2-2x+l,不等式為g(2')-公4'=4'-2?2'+1-4?4*2。，

即%41-2.2-*+4-*,令，=/■，則人(0,；,k<t2-2t+l在人(0,^時(shí)恒成立，

令/⑺=產(chǎn)-2"1,是對(duì)稱軸為/=1開(kāi)口向上的拋物線，在時(shí)單調(diào)遞減，

二/Wmm，二￡,即人的取值范圍是卜鞏力；

綜上，0=1,逅(-?>,：.

4-2.(2024?浙江)設(shè)函數(shù)/(乃二/+公+氏①1金尺).

2

(1)當(dāng)6=幺+1時(shí)，求函數(shù)/⑴在［-1,1上的最小值g(a)的表達(dá)式；

4

(2)已知函數(shù)/(九)在［-M］上存在零點(diǎn)，0<b-2aWl,求b的取值范圍.

〃2

----Fa+2,〃W—2,

4

【答案】(1)g(a)={1,-2<a<2,；(2)「3,9-46］

a2

-----Q+2,Q〉2

4

【詳解】(1)將函數(shù)進(jìn)行配方，利用對(duì)稱軸與給定區(qū)間的位置關(guān)系，通過(guò)分類討論確定函數(shù)在給定區(qū)間上

的最小值，并用分段函數(shù)的形式進(jìn)行表示；(2)設(shè)定函數(shù)的零點(diǎn)，根據(jù)條件表示兩個(gè)零點(diǎn)之間的不等關(guān)系,

通過(guò)分類討論，分別確定參數(shù)b的取值情況，利用并集原理得到參數(shù)6的取值范圍.

2

試題解析：⑴當(dāng)b=?+l時(shí)，/(x)=(^+j)2+l,故其對(duì)稱軸為X=g

2

當(dāng)。(一2時(shí)，g(a)=/(I)=一+a+2.

當(dāng)一2<QW2時(shí)，g(a)=/(—1)=1.

2

當(dāng)a>2時(shí)，g(a)=/(-I)=》一a+2.

---Fa+2,aW—2,

4

綜上，g⑷={l,-2<a<2,

----a+2,〃〉2

4

(2)設(shè)型為方程/(%)=。的解，且—ic,貝ij{S+'一

-2tl-2t

由于OWb—2aWl,因止匕---WsW-----(―1W/W1).

/+2%+2

-2t2t-2產(chǎn)

當(dāng)0</<1時(shí)，

t+2t+2

7—Of2it—?t2r-

由于—和—二?^Lv9—4正，

3t+23t+2

所以-2?。49-46

3

t_2產(chǎn)_9/2

當(dāng)一IWtWO時(shí)，^-<b<—,

%+2/+2

_?/2t—t2

由于-24*<0和一34^^<0,所以一3W6<0.

t+2t+2

綜上可知，b的取值范圍是［-3,9-4?］.

考點(diǎn)：1.函數(shù)的單調(diào)性與最值；2.分段函數(shù)；3.不等式性質(zhì)；4.分類討論思想.

4-3.(2024高一上?海南?期末)已知函數(shù)g(x)=ax2-2ar+l+b(。20,6>0)在區(qū)間［1,2］上有最大值2和最小

值L

⑴求a,b的值；

⑵不等式g(可-丘之。在xe［1,2］上恒成立，求實(shí)數(shù)k的取值范圍；

⑶若〃力=迎￥且方程川21|)+f-3=0有三個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，求實(shí)數(shù)f的取值范圍.

\lI7

［a=1

【答案】⑴，

［b=l

(2)18,20—2］；

⑶(。，+8).

【分析】(1)根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，分類討論函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合已知列出方程組，即可得出；

(2)由已知可轉(zhuǎn)化為k+2<匕些=x+2在xe[1,2]上恒成立.根據(jù)基本不等式即可求出實(shí)數(shù)k的取值范圍；

XX

(3)由已知可推得|2工-『一(2+3可2「1|+(1+2。=0有三個(gè)不同的實(shí)數(shù)解.令根=忙-1|,作出m=|2。1|的

函數(shù)圖象，可得力-(2+3/)〃?+(1+2/)=0.結(jié)合函數(shù)圖象，該方程一個(gè)根大于0小于1,一個(gè)根大于等于1.

令//(〃?)=蘇-(2+3/)〃?+(l+2f),根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)與圖象，即可得出不等關(guān)系，進(jìn)而求出實(shí)數(shù)f的取值

范圍.

【詳解】(1)由己知可得g(x)=a(x—l)2+l+人一即

/、{g(l}=l+b—a=1ftz=1

當(dāng)a>°時(shí),g("在回上為增函數(shù),所以廿2)…1+j=2,解得kl；

/、⑴

當(dāng)〃<0時(shí)，g⑺在[閭上為減函數(shù)，所以[乜g2="1+Z?-_Q=21，解得[〈a=-01-

[a=l

由于6>0，所以I.

3=1

(2)由(1)矢口g(x)=f—2x+2,

所以2x+2—底20在1￡口,2]上，恒成立，即(左+2)]?爐+2,

因?yàn)閤e[l,2],所以上+24寸^在xe[l,2]上恒成立，

X

即上+24反土2=尤+2在X€[1,2]上恒成立，

X^+->2A/2,當(dāng)且僅當(dāng)天=應(yīng)時(shí)取等號(hào).

X

所以％+2V2及，即發(fā)V2立一2.

所以求實(shí)數(shù)人的范圍為卜-2行-2].

(3)方程川2-l|)+rp^-3=0化為|2-1|+薄|一(2+")=。，

化為,-『-(2+342,-1|+(1+2。=0,且歸-1卜0.

令機(jī),則方程化為裙―(2+3/)〃2+(1+2。=0.

作出加的函數(shù)圖象

所以蘇-(2+3?！?+(1+2。=0有兩個(gè)根叫,m2,

且一個(gè)根大于0小于1,一個(gè)根大于等于L

設(shè)0<叫<1<m2,

記力(m)=病—(2+3%)根+(1+2%),

根據(jù)二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)可得

/z（0）=l+2f>0

h（0）=l+2t>0,

/?（1）=1-（2+3r）+1+2/=-r<0，或'//（1）=-;=0

八2+3r,

0<-------<1

.2

解得”0.

所以實(shí)數(shù)r的取值范圍為(0,+8).

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：根據(jù)構(gòu)成復(fù)合函數(shù)的函數(shù)特性，即可得出零點(diǎn)的分布情況.

4-4.(2024?浙江)己知函數(shù)/(x)=/+ax+b(a,beR),記是在區(qū)間［T,l］上的最大值.

(1)證明：當(dāng)時(shí)22時(shí),M(a,b)>2；

(2)當(dāng)。，6滿足M(a,6)V2,求同+碼的最大值.

【答案】(1)詳見(jiàn)解析；(2)3.

【詳解】(1)分析題意可知“無(wú))在IT」］上單調(diào)，從而可知

M(a,Z?)=max{|/(l)|,|/(-l)|),分類討論。的取值范圍即可求解.；(2)分析題意可知

....a+b,ab>0?...

\a\+\b\={,八八，再由“(。力)<2可得1+。+.=|/(1)<2,

a—b,ab<u

\L-a+b\^f(-l)\<2,即可得證.

2

試題解析：(1)由/(x)=(x+y+b-.,得對(duì)稱軸為直線尤=-晟，由同22,得

-|>1,故/⑺在上單調(diào)，.?.M(a,6)=max{|"l)|,|/(T)|},當(dāng)時(shí)，由

/(l)-/(-l)=2a>4,^max{/(l),/(-l)}>2,即向N2,當(dāng)?！兑?時(shí)，由

/(-1)-/(1)=-2?>4,^max{y(-l),-y(l)}>2,即"(a,力22,綜上,當(dāng)時(shí)D2時(shí),

M(a,b)>2.(2)由“(。,。)42得|1+口+臼=|/(1)歸2,|l-a+&|=|/(-l)|<2,故,+)區(qū)3,卜-。區(qū)3,由

問(wèn)+同={；］：'：：；［得M+網(wǎng)W3,當(dāng)a=2,6=一1時(shí)，同+網(wǎng)=3,且,+2了-1|在［-1,1］上的最大值為2,

即囚(2,-1)=2,.?.同+同的最大值為3..

考點(diǎn)：1.二次函數(shù)的性質(zhì)；2.分類討論的數(shù)學(xué)思想.

4-5.(2024高一上?浙江?階段練習(xí))已知函數(shù)/'(尤)=-尤以-4+1.

(1)當(dāng)a=2時(shí)，解方程〃彳)=0；

(2)當(dāng)ae［0,5］時(shí)，記函數(shù)y=/(x)在xe［l,4］上的最大值為g(a),求g(a)的最小值.

【答案】⑴1+0和1

⑵-3

【分析】(1)分2與尤<2兩種情況，結(jié)合二次方程求解即可；

(2)根據(jù)分段函數(shù)中的二次函數(shù)性質(zhì)，分析可得最大值在/(1),/(4),/(a)中取得，再根據(jù)區(qū)間端點(diǎn)與對(duì)稱

軸的關(guān)系分情況討論，數(shù)形結(jié)合分析函數(shù)的最大值，進(jìn)而求得g(a)的解析式，從而得到g(a)最小值即可.

【詳解】(1)當(dāng)a=2時(shí)，令—2|+1=0.

當(dāng)x22時(shí)，一x(x—2)+l=0,解得：x=l+應(yīng)

當(dāng)x<2時(shí)，—x(2—x)+l=O,解得：x=l

故方程的解為：1+及和1;

-X2+ax+l,x>a

(2)/(%)=其中/'(O)=/(a)=l，

x2-ax+\,x<a

因?yàn)閥=-x?+ax+l,x\a對(duì)稱軸為苫,開(kāi)口向下；y=Y-ax+l,x<a對(duì)稱軸為工=］,開(kāi)口向上，于是

最大值在了⑴,〃4),/(a)中取得.

當(dāng)OWaWl,即時(shí)，f(x)在［1,4］上單調(diào)遞減..?./(%=〃1)=%

當(dāng)l<aV2,即:〈■|41時(shí)，〃x)在［1間上單調(diào)遞增，在［a，4］上單調(diào)遞減，.??/(X)1mx=〃a)=l；

當(dāng)2<a<4,即1<|?2時(shí)，〃尤)在上單調(diào)遞減，|,a上單調(diào)遞增，在［a,4］上單調(diào)遞減，

??"⑴皿=max{/⑴,〃a)}=max{2-a,1}=1；

當(dāng)4<aW5,即時(shí)，在15上單調(diào)遞減，在*4上單調(diào)遞增，

ZWmax=max{/⑴，/(4)}=max{2-a,17-4a)=17-4a

a,Q<a<\

g(〃)=<<4

17-4tz,4<a<5

，g3)mta=g(5)=-3

B媒習(xí)與稷升

一、單選題

1.(2024高一?全國(guó)?假期作業(yè))關(guān)于x的方程/+2(R2-1)X+W?-7〃=0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根a,"，且"+42=12,

那么m的值為()

A.-1B.-4C.T或1D.-1或4

【答案】A

【分析】a、F=（a+藺-2a-/3,利用韋達(dá)定理可得答案.

【詳解】???關(guān)于x的方程無(wú)2+2（〃7—1）龍+〃？—m=0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，

A=[2（根一1）丁-4x1x（?/?—〃?）=—4m+4..O,

解得：朗,1,

,??關(guān)于x的方程d+2（/n-l）x+加一加=0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根a,B,

:.a+/3=—2（??!—1）,a-（5=nr-m,

?2+/72=（cr+/?）2-2a-/?=[-2（m-l）T_2（”/-〃?）=12,即m2-3m-4=0，

解得：機(jī)=-1或機(jī)=4（舍去）.

故選：A.

2.（2024.山東）關(guān)于函數(shù)y=—V+2x,以下表達(dá)錯(cuò)誤的選項(xiàng)是（）

A.函數(shù)的最大值是1B.函數(shù)圖象的對(duì)稱軸是直線x=l

C.函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是D.函數(shù)圖象過(guò)點(diǎn)（2,0）

【答案】C

【分析】根據(jù)二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)，直接進(jìn)行求解即可.

【詳解】y=-X?+2x=+1,最大值是1,A正確；

對(duì)稱軸是直線x=l,B正確；

單調(diào)遞減區(qū)間是1，內(nèi)）,故C錯(cuò)誤；

令x=2的'=-22+2x2=0,故（2,0）在函數(shù)圖象上，故D正確，

故選：C

3.（2024?浙江）若函數(shù)f（x）=x2+ax+b在區(qū)間[0,1]上的最大值是M,最小值是m,則的值

A.與a有關(guān)，且與b有關(guān)B.與a有關(guān)，但與b無(wú)關(guān)

C.與a無(wú)關(guān)，且與b無(wú)關(guān)D.與a無(wú)關(guān)，但與b有關(guān)

【答案】B

2

【詳解】因?yàn)樽钪翟?0）=6"⑴=l+a+bj（4）=6中取，所以最值之差一定與6無(wú)關(guān)，選B.

【名師點(diǎn)睛】對(duì)于二次函數(shù)的最值或值域問(wèn)題，通常先判斷函數(shù)圖象對(duì)稱軸與所給自變量閉區(qū)間的關(guān)系,

結(jié)合圖象，當(dāng)函數(shù)圖象開(kāi)口向上時(shí)，若對(duì)稱軸在區(qū)間的左邊，則函數(shù)在所給區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增；若對(duì)稱軸在

區(qū)間的右邊，則函數(shù)在所給區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減；若對(duì)稱軸在區(qū)間內(nèi)，則函數(shù)圖象頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)為最小值，區(qū)

間端點(diǎn)距離對(duì)稱軸較遠(yuǎn)的一端取得函數(shù)的最大值.

4=/(-無(wú))，則函數(shù)g(x)的圖象大致是()

【分析】由g(x)=/(-x)可知g(x)圖像與“力的圖像關(guān)于了軸對(duì)稱，由“力的圖像即可得出結(jié)果.

【詳解】因?yàn)間(x)=〃-X),所以g(x)圖像與〃尤)的圖像關(guān)于y軸對(duì)稱,

由廣⑺解析式，作出“X)的圖像如圖

從而可得g(元)圖像為B選項(xiàng).

故選：B.

5.(2024?湖南婁底?模擬預(yù)測(cè))已知函數(shù)=在區(qū)間上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)a的取值范圍

是()

A.(―8,—2)u(0,3)B.(―oo,—2)D(0,3]

C.(-oo,—2)u(0,10)D.(-00,-2)u(0,10]

【答案】B

【分析】將函數(shù)在區(qū)間［TO,-3］上單調(diào)遞增，轉(zhuǎn)化為。(2+為>0旦30+以20在區(qū)間［-10,-3］上恒成立

可求解.

【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)〃x)=在區(qū)間［TO,-3］上單調(diào)遞增,

所以a(2+a)>0且30+辦之0在區(qū)間上恒成立，

〃(2+〃)>0

所以30—10〃之0,解得av—2或0<。<3.

30-3?>0

故選：B

6.(2024.海南.模擬預(yù)測(cè))已知函數(shù)>=工"，y=bx,y=log,尤的圖象如圖所示，貝I］()

A.ea<ec<e4B.efc<ea<ec

C.ea<eb<ecD.eb<ec<ea

【答案】C

【分析】由函數(shù)圖象可確定a力,c大小關(guān)系，結(jié)合指數(shù)函數(shù)單調(diào)性可得結(jié)果.

【詳解】由圖象可知：a<0<b<l<c,ea<eb<ec.

故選：C.

-X2-4X,X>0若八2一/)>4),則實(shí)數(shù)。的取

7.(2024高一上.寧夏吳忠?階段練習(xí))已知函數(shù)f(x)=

x-4x,x<0、'

值范圍是()

A.1)0(2,+°°)B.(-1,2)C.(—2,1)D.-2)U(l,+°°)

【答案】D

【分析】結(jié)合二次函數(shù)和分段函數(shù)性質(zhì)，研究給定函數(shù)的單調(diào)性，再借助單調(diào)性求解不等式作答.

【詳解】因y=-Y-4x為開(kāi)口向下的二次函數(shù)，對(duì)稱軸為x=-2,故函數(shù)在［0,+°0)上單調(diào)遞減；

y=Y-4x為開(kāi)口向上的二次函數(shù)，對(duì)稱軸為x=2,故函數(shù)在(-8,0)上單調(diào)遞減，且"0)=0,因此函數(shù)

I—九2—Ayx〉0/、

/(%)=j24Q在R上單調(diào)遞減，則/(2—〃>/(a)<=>2—/<a—2>0,即(a+2)(a—1)〉0,

解得或av—2,

所以實(shí)數(shù)。的取值范圍是（f,-2）U（1,y）0

故選：D

b

【分析】由二次函數(shù)的性質(zhì)得該函數(shù)的對(duì)稱軸不能為y軸，當(dāng)開(kāi)口向上時(shí)，對(duì)稱軸x=-=<o,進(jìn)而得該

2a

函數(shù)圖象，進(jìn)而結(jié)合函數(shù)圖象過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)且開(kāi)口向下即可得答案.

【詳解】由題知力>。，awO,

所以二次函數(shù)y=a/+法+片_1的圖象不關(guān)于y軸對(duì)稱，故排除第一、二個(gè)函數(shù)圖象，

b

當(dāng)。>0時(shí)，該二次函數(shù)的對(duì)稱軸為x=-=<0,故第四個(gè)圖象也不滿足題意，

2a

b

當(dāng)〃<0時(shí)，該二次函數(shù)的對(duì)稱軸為％=-h>。，開(kāi)口向下，故第三個(gè)函數(shù)圖象滿足題意.

此時(shí)函數(shù)圖象過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)，故"—1=0,解得。=±1,

由于〃<0,故〃=一1.

故選：B

x2-2av+9,x<l,

9.（2024高三下.河南新鄉(xiāng).開(kāi)學(xué)考試）已知函數(shù)/（x）=2若〃x）的最小值為6,則實(shí)數(shù)a的

2尤H-------，尤>1,

1x-1

取值范圍是（）

A.[1,2]B.[-73,3]C.[-73,2]D.[-2,2]

【答案】C

【分析】由基本不等式求得了（X）在x>l時(shí)的最小值是6,因此xWl時(shí)函數(shù)的最小值不小于6,根據(jù)二次函數(shù)

性質(zhì)分類討論求解.

【詳解】因?yàn)楫?dāng)x>l時(shí)，2x+-2-=2（x-l）+/-+222j2（x-l）x?-+2=6,當(dāng)且僅當(dāng)尤=2時(shí)，等號(hào)成

立，

所以當(dāng)%>1時(shí)，/（工焉=6,當(dāng)%K1時(shí)，/（元）的最小值大于或等于6.

當(dāng)時(shí)，/（%）在（3用上單調(diào)遞減，則/⑴=10-2。.

fl0-26z>6

由｛―得

[Q21

2

當(dāng)av1時(shí)，f（x）min=f（a）=-a+9.

―/+9>6「

由〈11#-V3<a<\-

a<\

綜合可得ae[一如,2].

故選：C.

10.（2024?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè)）已知x,jeR,滿足（》-1）皿3+》=|,（2y+l）2023+2y=-|,則x+2y=（）

A.-1B.0C.1D.2

【答案】B

【分析】令xeR,易得/（x）為奇函數(shù)且為增函數(shù)，再由（X-1）2儂+》=：和

（2y+l）2°23+2y=-1,變形得到=〃2y+l）=~1求解.

【詳解】解：令了（力=爐儂+x,xeR,則=儂+（T）=—〃x）,

???/（X）為奇函數(shù).

??.（—r+W，

（^-1）2023+（^-1）=|?

XV（2y+l）2023+2j=-|,

A（2y+l）2°23+（2y+l）=-|,

???仆-武，/（2y+l）=-1.

又「/(x)在R上單調(diào)遞增，

x—1+2y+1—0,即x+2^y—0.

故選：B.

11.(2024?貴州畢節(jié)二模)已知?jiǎng)t實(shí)數(shù)。的取值范圍為()

A.gl]B.卜(1,+功

c加D.陷

【答案】D

【分析】利用指數(shù)函數(shù)，系函數(shù)，對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性即可解出。的范圍.

【詳解】=根據(jù)指數(shù)函數(shù)y=在R上單調(diào)遞減得a>0,

J<1=1L根據(jù)幕函數(shù)片二在[0,+動(dòng)上單調(diào)遞增知0<a<l,貝

log":<1=log.。，根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)尸log"%(0<a<1)在(0,+8)上單調(diào)遞減得0<a<1,

綜上0<a<—.

4

故選：D.

12.(2024高三?全國(guó)?專題練習(xí))已知a,b,cWR,函數(shù)/。)="2+云+°.若/(o)=/(4)>f(1),則(

A.a>0,4a+6=0B.a<0,4a+6=0

C.a>0,2a+b=0D.a<Q,2a+b=0

【答案】A

【分析】由已知得了(x)的圖象的對(duì)稱軸為x=2且/(無(wú))先減后增，可得選項(xiàng).

b

【詳解】由/(。)=/(4),得/(x)=ar2+6尤+c圖象的對(duì)稱軸為x=——=2,.,.4a+b=0,

2a

又/(0)y(1),/(4)>f(1),，/(x)先減后增，于是a>0,

故選：A.

【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的對(duì)稱軸，單調(diào)性，屬于基礎(chǔ)題.

13.(2024?浙江)已知函數(shù)f(x)=x2+bx,則“b