冪函數(shù)與二次函數(shù)（4題型分類）-2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)

專題05嘉函數(shù)與二次函數(shù)4題型分類

彩題如工總

題型4：二次函數(shù)“動軸定區(qū)間”、“定軸動區(qū)間”問題題型1:募函數(shù)的定義及其圖像

專題05募函數(shù)與二次函數(shù)

4題型分類

題型：二次方程的實(shí)根分布及條件題型：幕函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用

37V2

彩先正寶庫

1、幕函數(shù)的定義

一般地，y=x"(aeR)(。為有理數(shù))的函數(shù)，即以底數(shù)為自變量，暴為因變量，指數(shù)為常數(shù)的函數(shù)稱為幕

函數(shù).

2、幕函數(shù)的特征：同時(shí)滿足一下三個(gè)條件才是幕函數(shù)

①r的系數(shù)為1;②/的底數(shù)是自變量；③指數(shù)為常數(shù).

(3)幕函數(shù)的圖象和性質(zhì)

3、常見的幕函數(shù)圖像及性質(zhì):

23二/

函數(shù)y=xy=xy=xy=%2y

y

V1VkV

L

圖象

7p7V0X

定義

RRR{x|x>0]{九|尤w0}

域

值域R{yly"}R3”。}3"。}

奇偶

奇偶奇非奇非偶奇

性

單調(diào)在R上單調(diào)在(-00,0)上單調(diào)遞減，在在R上單調(diào)在［0,+00)上單在(-00,0)和(0,+00)

性遞增(0,+8)上單調(diào)遞增遞增調(diào)遞增上單調(diào)遞減

公共

(1,1)

點(diǎn)

4、二次函數(shù)解析式的三種形式

(1)一般式：/(x)=ax2+bx+c{a0)；

(2)頂點(diǎn)式：f(x)=a(x-m)2+n(a^0)；其中，(利,力)為拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)，工=機(jī)為對稱軸方程.

(3)零點(diǎn)式：f(x)=a(x-%；)(x-x2Xa^0),其中，占,三是拋物線與頭軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo).

5、二次函數(shù)的圖像

h

二次函數(shù)/。)=62+法+式。*0)的圖像是一條拋物線，對稱軸方程為了=-9,頂點(diǎn)坐標(biāo)為

2a

b4ac-b2

(1)單調(diào)性與最值

①當(dāng)4>0時(shí)，如圖所示，拋物線開口向上，函數(shù)在(-叫-白］上遞減，在［-丁,+8)上遞增，當(dāng)X=-二時(shí),

2a2a2a

AAh

②當(dāng)a<0時(shí)，如圖所示，拋物線開口向下，函數(shù)在(-8,-二］上遞增，在［-丁,+s)上遞減，當(dāng)彳=-丁時(shí),

2a2a2a

4ac-b2

fM

4a

V

(2)與％軸相交的弦長

當(dāng)A=〃2一4〃°>0時(shí)，二次函數(shù)/(%)=依2+bx+c(QWO)的圖像與X軸有兩個(gè)交點(diǎn)加\(%,0)和加2(電,0),

I|=|石—々|~](再+々)2-43%2=~~~?

'\a\

6、二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值

閉區(qū)間上二次函數(shù)最值的取得一定是在區(qū)間端點(diǎn)或頂點(diǎn)處.

對二次函數(shù)人/二^^+云+汽〃。。)，當(dāng)a>0時(shí)，/(%)在區(qū)間［p,q］上的最大值是V,最小值是加，令

h

(1)若-丁4p,^\m=f(p),M=f(q)；

2a

bb

(2)右p<-不<尤。,貝！l〃z=/(-丁),M=/(q);

2a2a

hb

(3)^x<--<q,貝!|加=/(-丁),M=/(p)；

02a2a

b

(4)右一丁Ng,則>=/(q),V=/(p).

2a

彩”秘籍

(一

幕函數(shù)的定義及其圖像

1、基函數(shù)y=x"(aeR)在第一象限內(nèi)圖象的畫法如下：

①當(dāng)。<0時(shí)，其圖象可類似y=。畫出；

②當(dāng)0<0<1時(shí)，其圖象可類似y=?畫出；

③當(dāng)”>1時(shí)，其圖象可類似y=V畫出.

彩3籍（二

塞函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用

函

y二Jy二d-1

y=兀y=y=x

數(shù)

y

圖VVVV

TV0X

象

定

義RRR{x|x>0}{%|xw0}

域

值

R{yl?>o)R{y|”0}3"。}

域

奇

偶奇偶奇非奇非偶奇

性

單

在R上單調(diào)在（田，0）上單調(diào)遞減，在在R上單調(diào)在［0,+8）上單在（ro,0）和（0,+oo）

調(diào)

遞增（0,+與上單調(diào)遞增遞增調(diào)遞增上單調(diào)遞減

性

公

共(1,1)

點(diǎn)

題型2:賽函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用

2-1.（2024高一上?上海楊浦?期末）已知。"-2,-1,-就,1,2,31，若事函數(shù)〃x）=x"奇函數(shù)，且在（0,+功

上為嚴(yán)格減函數(shù)，則。=.

22（2024高三上嚀夏固原?期中）已知函數(shù)/。）=（療-2*2）/7是基函數(shù)，且在（0,+向上遞減，則實(shí)

數(shù)機(jī)=（）

A.-1B.T或3C.3D.2

2-3.（2024?海南?模擬預(yù)測）已知〃x）=（療+機(jī)-5）廿為幕函數(shù)，則（）.

A.f（x）在（-8,0）上單調(diào)遞增B.在（-8,0）上單調(diào)遞減

C./（X）在（0,+8）上單調(diào)遞增D./（力在（。,+8）上單調(diào)遞減

2

2-4.（2024?江蘇）已知y=/（x）是奇函數(shù)，當(dāng)歸0時(shí)，〃力=/，則於8）的值是—.

2-5.（2024高三?全國?課后作業(yè)）已知事函數(shù)“X）=/H-3（加為正整數(shù)）的圖像關(guān)于>軸對稱，且在（0,+8）

上是嚴(yán)格減函數(shù)，求滿足（a+1）與>（3-2”。的實(shí)數(shù)0的取值范圍.

彩健題秘籍（二）

二次方程加+區(qū)+。=0（"工0）的實(shí)根分布及條件

一般情況下需要從以下4個(gè)方面考慮：

b

（1）開口方向；（2）判別式；（3）對稱軸x=-丁與區(qū)間端點(diǎn)的關(guān)系；（4）區(qū)間端點(diǎn)函數(shù)值的正負(fù).

2a

題型3：二次方程的實(shí)根分布及條件

3-L（2024高三.全國?階段練習(xí)）方程尤2+（〃2-2）》+5-機(jī)=0的一根在區(qū)間（2,3）內(nèi)，另一根在區(qū)間（3,4）內(nèi),

則”，的取值范圍是（）

A.（—5,-4）B.C.]—個(gè)廠,JD.（—5,-2）

3-2.（2024高三.全國.專題練習(xí)）關(guān)于x的方程依2+g+2）x+9a=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根為,三，且

x1<1<x2,那么。的取值范圍是（）

222

A.——<a<—B.a>—

755

22

C.av—D.------<a<0

711

3-3.（2024高一.江蘇.課后作業(yè)）設(shè)〃為實(shí)數(shù)，若方程f―2奴+々=0在區(qū)間（TD上有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)解,

則。的取值范圍是（）.

A.(-oo,0)u(l,+oo)B.(-1,0)

C.1一;,0)D.1-g,o］u(L+8)

彩做題祕籍

(四)

二次函數(shù)"動軸定區(qū)間”、"定軸動區(qū)間”問題

(1)要熟練掌握二次函數(shù)在某區(qū)間上的最值或值域的求法，特別是含參數(shù)的兩類問題一一動軸定區(qū)間和定

軸動區(qū)間，解法是抓住“三點(diǎn)一軸"，三點(diǎn)指的是區(qū)間兩個(gè)端點(diǎn)和區(qū)間中點(diǎn)，一軸指對稱軸.即注意對對稱軸

與區(qū)間的不同位置關(guān)系加以分類討論，往往分成：①軸處在區(qū)間的左側(cè)；②軸處在區(qū)間的右側(cè)；③軸穿

過區(qū)間內(nèi)部(部分題目還需討論軸與區(qū)間中點(diǎn)的位置關(guān)系)，從而對參數(shù)值的范圍進(jìn)行討論.

(2)對于二次方程實(shí)根分布問題，要抓住四點(diǎn)，即開口方向、判別式、對稱軸位置及區(qū)間端點(diǎn)函數(shù)值正負(fù).

題型4:二次函數(shù)“動軸定區(qū)間”、“定軸動區(qū)間”問題

4-1.(2024高一上?海南?期中)己知g(x)=f-26+1在區(qū)間［1,3］上的值域?yàn)椋?,4］.

⑴求實(shí)數(shù)。的值；

⑵若不等式g(2。-h4,20當(dāng)xe［l,+e)上恒成立，求實(shí)數(shù)人的取值范圍.

4-2.(2024?浙江)設(shè)函數(shù)/。)=*2+依+伍(4,匕€7?).

2

(1)當(dāng)6=2+1時(shí)，求函數(shù),⑺在［-1J上的最小值g(。)的表達(dá)式;

4

(2)已知函數(shù)〃盼在［-1,1］上存在零點(diǎn)，OWb-2aWl,求b的取值范圍.

4-3.(2024高一上?海南?期末)已知函數(shù)g(x)=ox2-26+1+6①工。力＞0)在區(qū)間［，2］上有最大值2和最小

值L

⑴求。力的值;

(2)不等式g(x)-丘之。在xe［1,2］上恒成立，求實(shí)數(shù)上的取值范圍；

(、

⑶若〃力=迎?匚且方程川2，-1*=0有三個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，求實(shí)數(shù)r的取值范圍.

4-4.(2024?浙江)已知函數(shù)/(x)=f+依+b(a,beR),記知(。力)是在區(qū)間［-1,1］上的最大值.

(1)證明：當(dāng)時(shí)22時(shí)，M(a,b)N2；

(2)當(dāng)?滿足加3,力42,求同+網(wǎng)的最大值.

45(2024高一上?浙江?階段練習(xí))已知函數(shù)"x)=T|x—a|+l.

(1)當(dāng)a=2時(shí)，解方程〃x)=0；

(2)當(dāng)ae［0,5］時(shí)，記函數(shù)y=/(x)在xe［l,4］上的最大值為g(a),求g(a)的最小值.

煉習(xí)與桎升

一、單選題

1.(2024高一?全國?假期作業(yè))關(guān)于x的方程%2+2(m-l)%+m2-m=0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根a,廣，且M+夕=12,

那么m的值為()

A.-IB.-4C.T或1D.T或4

2.(2024?山東)關(guān)于函數(shù)y=—三+2兀，以下表達(dá)錯(cuò)誤的選項(xiàng)是()

A.函數(shù)的最大值是1B.函數(shù)圖象的對稱軸是直線x=l

C.函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是D.函數(shù)圖象過點(diǎn)(2,0)

3.(2024?浙江)若函數(shù)f(x)=x2+ax+Z7在區(qū)間［0,1］上的最大值是M,最小值是m,則M-機(jī)的值

A.與a有關(guān)，且與b有關(guān)B.與a有關(guān)，但與b無關(guān)

C.與a無關(guān)，且與b無關(guān)D.與a無關(guān)，但與b有關(guān)

x2,x>0,

4.(2024.新疆阿勒泰.三模)己知函數(shù)則函數(shù)/(無)=1g(x)=/(r),則函數(shù)g(x)的圖象大致是()

一,%<0,

AB\.

。1、x0\^-x

5.（2024?湖南婁底?模擬預(yù)測）已知函數(shù)詈在區(qū)間上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)。的取值范圍

是（）

A.（F-2）。（0,3）B.(-?-2)u(O,3]

C.(^o,-2)u(0,10)D.(^o,-2)u(0,10]

6.（2024.海南?模擬預(yù)測）已知函數(shù)y=y=b',y=log,x的圖象如圖所示，貝U（）

B.eh<ea<ec

C.ea<eb<e'D.eb<ec<ea

一x—4x龍〉0/、

7.（2024高一上?寧夏吳忠?階段練習(xí)）已知函數(shù)"》）=I?'一，若/（2-則實(shí)數(shù)。的取

IJi%〈U

值范圍是（）

A.（^o,-l）U（2,+°°）B.（-10C.（—2,1）D.（^o,—2）|J（1,+oo）

8.（2024高三.河北.專題練習(xí)）設(shè)八0,二次函數(shù)>=加+"+〃2_1的圖象為下列之一，則。的值為（）

x2—2ax+9,x<1,

9.（2024高三下.河南新鄉(xiāng).開學(xué)考試）已知函數(shù)/（%）=2若/（力的最小值為6,則實(shí)數(shù)。的

2x+-----,x>l,

、x—1

取值范圍是（）

A.[1,2]B.[-73,3]C.[-73,2]D.[-2,2]

10.（2024?全國?模擬預(yù)測）已知無，>eR,滿足（x-l）?期+犬=|,（2y+l）2023+2y=-|,則x+2y=（）

A.-1B.0C.1D.2

11.（2024?貴州畢節(jié)?二模）已知<1,?2<1,則實(shí)數(shù)。的取值范圍為（）

12.（2024高三?全國?專題練習(xí)）已知a,b,cRR,函數(shù)/（次尸0+法+心若/⑼=/（4）>f（1）,則（）

A.a>0,4。+/?=0B.〃<0,4。+/?=0

C.a>0,2a+b=0D.a<0,2a+b=0

13.（2024?浙江）已知函數(shù)f（x）=x2+bx,則“bVO”是“f（f（x））的最小值與f（x）的最小值相等”的

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

14.（2024高三.全國?專題練習(xí)）如果函數(shù)“同=（（，”-2）尤2+（“_8）彳+1（〃地0箱20）在區(qū)間：,2上單調(diào)

乙_乙

遞減，則，加的最大值為（）

A.16B.18C.25D.—

2

15.（2024?陜西）對二次函數(shù)/（工）=以2+法+。（。為非零整數(shù)），四位同學(xué)分別給出下列結(jié)論，其中有且

僅有一個(gè)結(jié)

論是錯(cuò)誤的，則錯(cuò)誤的結(jié)論是

A.-1是“X）的零點(diǎn)B.1是的極值點(diǎn)

C.3是AM的極值D?點(diǎn)（2,8）在曲線y=/（無）上

16.（2024?四川樂山?一模）已知哥函數(shù)/。）=下和g（x）=xj其中a>￡>0,則有下列說法:

①/⑺和g（x）圖象都過點(diǎn)（1,1）；

②f（x）和g（x）圖象都過點(diǎn)（-1,1）;

③在區(qū)間口,+°°）上，增長速度更快的是/（X）;

④在區(qū)間口,+⑼上，增長速度更快的是g（x）.

則其中正確命題的序號是（）

A.①③B.②③C.①④D.②④

17.（2024.河北衡水.模擬預(yù)測）已知哥函數(shù)/（x）=/+m是定義在區(qū)間［一1,詡上的奇函數(shù)，則〃/+1）=（）

A.8B.4C.2D.1

18.（2024?北京東城?一模）下列函數(shù)中，定義域與值域均為R的是（）

A.y=lnxB.y=exC.y=x3D.y=-

X

二、多選題

19.（2024?江蘇?模擬預(yù)測）若函數(shù)且國〈尤2，則（）

B.王一/（菁）>々一/（々）

C-〃止馬<〃%）一玉D.

20.（2024?吉林長春?模擬預(yù)測）已知基函數(shù)/（x）=x"圖像經(jīng)過點(diǎn)［3,"］,則下列命題正確的有（）

A.函數(shù)Ax）為增函數(shù)B.函數(shù)f（x）為偶函數(shù)

.若。<西小，則詈）

C.若%>1,則/（x）>lD&J7sd

21.（2024高一上?重慶?階段練習(xí)）已知關(guān)于x的方程N(yùn)+g—3次+小=0,下列結(jié)論正確的是（）

A.方程x2+（m—3）x+m=0有實(shí)數(shù)根的充要條件是［m\m<l或m>9}

B.方程/+（加-3）4+根=0有一正一負(fù)根的充要條件是{m\m<0］

C.方程/+（機(jī)-3）x+m=0有兩正實(shí)數(shù)根的充要條件是me{m|0<m<l}

D.方程/+（加-3）X+m=0無實(shí)數(shù)根的必要條件是［m\m>l}

22.（2024高一上糊南長沙?期中）設(shè)二次函數(shù)）=/-4尤+。的值域?yàn)椋?,+功，下列各值（或式子）中一

19

定大于由+巧的有（）

2931

A.B.

2525

2

2m+2—

C.—n+2〃+8,〃￡[—2,2]D.I-,AHGR

+1

三、填空題

23.（2024高一上?全國?期末）已知幕函數(shù)〃力=（/-3機(jī)+3）尤"的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱，則滿足

（。+1『>（3-2a）'"成立的實(shí)數(shù)a的取值范圍為.

24.（2024高一上.四川眉山?期中）下面命題：①察函數(shù)圖象不過第四象限；②y=x°圖象是一條直線；③若

函數(shù)＞=2'■的定義域是｛x|x4。｝,則它的值域是31釗；④若函數(shù)y=g的定義域是｛x|x＞2｝,則它的值

域是⑤若函數(shù)y=V的值域是｛y|0WyW4｝,則它的定義域一定是｛x|-2VxW2｝.其中不正確

命題的序號是.

25.（2024高三上?河北衡水?周測）已知/（尤）=/,g（無）=（：）一機(jī)，若對％e［-l,3］,3x2e［0,2］，/（占）08（三）,

則實(shí)數(shù)加的取值范圍是.

26.（2024高三上?福建三明?期中）已知＜1，揖＜1,則實(shí)數(shù)。的取值范圍是

27.（2024高三下?上海嘉定?階段練習(xí)）已知函數(shù)/（%）="：蒼'"，若函數(shù)〃x）的值域?yàn)镽,則實(shí)數(shù)。的取

［x,x＞a

值范圍為.

）

28.（2024高三.全國.專題練習(xí)）不等式（d-1『"+鏟22+2/一140的解集為：.

1

29.（2024高一上?全國?課后作業(yè)）已知事函數(shù)〃x）=K，若/（aT）＜〃8-2a）,則a的取值范圍

是.

30.（2024?上海閔行?一模）已知二次函數(shù)〃x）=ar2+x+a的值域?yàn)椋邰冢ǎ瑒t函數(shù)g（x）=2*+a的值域

為.

31.（2024?貴州畢節(jié)?模擬預(yù)測）寫出一個(gè)同時(shí)具有下列性質(zhì)①②③的非常值函數(shù)f（x）=.

①廣（x）〈。在R上恒成立；②;㈤是偶函數(shù);③〃可/）+〃占）/伍）=0.

32.（2024?新疆阿勒泰?一模）已知二次函數(shù)〃同=加+法（a,b為常數(shù)）滿足〃尤-1）=/（3-尤），且方

程〃x）=2x有兩等根，/（X）在［0刃上的最大值為g⑺，則g⑺的最大值為.

33.（2024?湖北）。為實(shí)數(shù)，函數(shù)/（x）=|V-ax|在區(qū)間［0,1］上的最大值記為〃⑷.當(dāng)。=時(shí)，〃（。）的

值最小.

四、解答題

34.（2024高三下?上海浦東新?階段練習(xí)）已知〃尤）=ar2+26x+4c（a,6,cwR）.

(1)若/(0)=T，a+2b=G,解關(guān)于云的不等式/(元)<(a+l)x—3；

⑵若a+c=O,在［-2,2］上的最大值為：，最小值為-g,求證：:卜2.

35.(2024高一下?貴州黔東南?開學(xué)考試)已知函數(shù)〃x)是定義在［-2,2］上的奇函數(shù)，且xe(0,2］時(shí)，

/(X)=2r-1,g(x)=j^-2x+m.

⑴求“X)在區(qū)間［-2,0)上的解析式；

(2)若對％e［-2,2］,則居e［-2,2］,使得/6)=g5)成立，求機(jī)的取值范圍.

36.(2024高一上?河南平頂山?期末)已知函數(shù)〃彳)=3,-3-1

(1)利用函數(shù)單調(diào)性的定義證明/(尤)是單調(diào)遞增函數(shù)；

⑵若對任意尤［〃尤)1+時(shí)0)2-4恒成立，求實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍.

37.(2024高一上.貴州畢節(jié)?期末)已知函數(shù)/(x)=XZ-2辦(。>0).

(1)當(dāng)“=3時(shí)，解關(guān)于尤的不等式一5<〃尤)<7；

⑵函數(shù)>=/(尤)在