江蘇省淮安市2024-2025學年高三年級上冊第一次調研測試數學試題

江蘇省淮安市2024-2025學年高三上學期第一次調研測試數學

試題

學校:姓名：班級：考號：

一、單選題

1.已知集合M={xl-1vxvl},N={I|爐-2]＞。},則VuN=（）

A.（0,1）B.（-1,0）

C.（2,+oo）D.（-oo,-l）（2,+oo）

2.若復數z滿足z=M（i為虛數單位），貝I"的模|z|=（）

A.1B.gC.75D.1

3.已知等差數列{%}的公差為2,且出，的，0成等比數列，貝（）

A.-1B.1C.2D.3

4.已知暴函數〃尤）="27-1）--3的圖象與y軸無交點，貝V的值為（）

A.-2B.-1C.1D.2

5.5知函數f（x）=sin（2x+0）,xeR,則“，（0）=0”是“函數〃力為奇函數”的（）

A.充要條件B.充分不必要條件

C.必要不充分條件D.既不充分又不必要條件

6.己知e是單位向量，0滿足,+4=3-30,則“在"方向上的投影為（）

A.—B.-C.—D.1

232

7.在外接圓半徑為4的VA3C中，ZABC=30°,若符合上述條件的三角形有兩個，貝I邊

的長可能為（）

A.2B.3C.4D.5

8.已知函數〃耳=工，正數。，6滿足/（a）+〃6）=l,則獸會的最大值為（）

二、多選題

9.已知4*,ceR,則下列說法正確的是()

..ab廠?

A.右一>一,c<0,貝UQVZ?

cc

B.若a>0,b>0,則a+,2(/+/)

C.若a>b,ab>0,則—>—

ab

/7+H7h

D.若〃>0,b>0,m>0,貝！J---->—

a+ma

10.在數列｛%｝和也｝中，4=4=1,an+1-an=77+1,-壇=l,neN*,下列說法正

確的有()

,2(n+l)("+2)

A.bn=n-B.a——△----L

n2

〃1

c.36是｛%｝與也｝的公共項D.E7-------<2

t4+i一生+i

11.已知函數〃了)=5^+2忖，()

A.函數/'(x)為單調減函數

B.函數”元)的對稱中心為(0,1)

C.若對Vx>0,/(x)>/(—X)+。恒成立，則

D.函數g(x)=2sin，xj+l,xe[-19,0)(0,19]與函數y=的圖象所有交點縱坐

標之和為20

三、填空題

9

12.log43+|log2|-2^=.

tan2a

13.已知sina+cosa=/，貝上兀）___-

5tanl?+4I

14.已知函數/（力=8次，將函數y=〃x）圖象上各點的橫坐標縮短為原來的g,縱坐標

不變，再將所得圖象上各點向左平移!■個單位長度，得到y(tǒng)=g（M的圖象.設函數

試卷第2頁，共4頁

/z(x)=g(x)-2/(x),若存在xeR使26/Z(X)-7〃2+8加20成立，則實數加的取值范圍

為.

四、解答題

15.設A,B,C,。為平面內的四點,已知4(3,1),5(-2,2),C(-l,4).

⑴若四邊形ABCD為平行四邊形，求。點的坐標；

(2)若A,C,D三點共線，BDAC=-18，求。點的坐標.

16.設是奇函數，g(x)是偶函數，且/(x)+g(x)=J5sin]x+：j.

⑴求函數“X)，g(x)的解析式；

⑵設=+xe0,|-.當“到=日時，求x的值.

17.在VABC中，角A,B,C對應的邊分別為a,b,c,且c—2%+24cosc=0.

⑴求A；

(2)如圖，過VABC外一點尸作PBLAB,PCLAC,PB=?,AC=4,求四邊形ABPC的

面積.

18.已知數列｛%｝的前幾項和為S“，q=1,%=4,%=7,且AS；="(4+]+8).

⑴求數列｛%｝的通項公式；

b

22

⑵若左￡N*,當〃=%時，bn=k-當以<〃<ak+l時，―-=2；

%

①求數列｛%｝的前左項和小

②當〃=4+1時，求證：25bn_2-2kal+i>0.

19.已知函數/(X)=d-

⑴討論函數“X）的單調性；

⑵若/（X）21nx恒成立.

①求實數。的取值范圍；

②當a取最大值時，若用+%+$+4=1（4，%，X3,X4為非負實數），求

%/（%）+xif（W）+看/（%）+x"（不）的最小值.

試卷第4頁，共4頁

參考答案:

題號12345678910

答案CADBADDBABACD

題號11

答案BCD

1.C

【分析】解不等式可得集合N=(-8,0)U(2,+8),再由并集運算可得結果.

【詳解】解不等式，一2x>0可得N=0)u(2,+8),

又Af={X|—1<X<1}=(-1,1),可得AfuN=(-w,l)u(2,+8).

故選：C

2.A

【分析】根據模長的運算公式以及性質求解即可.

【詳解】由題意可知：閆=峻，嗎=1,

12Tlv5

故選：A.

3.D

【分析】根據等比數列性質利用等差數列通項公式計算可得為=-1,代入計算可得結果.

【詳解】由〃2，。3，0成等比數列可得而=。2。6，

即(6+4)2=(6+2)(6+10),解得

以彳導2a4—%=2(q+3d)_(q+4d)-q+2d——1+4=3,

故選：D.

4.B

【分析】根據幕函數的定義和圖象特點可得出關于實數/的等式與不等式，即可解出/的值.

【詳解】因為幕函數"耳=卜27-1卜2,一3的圖象與y軸無交點，

172T-1=1

則，解得r=-L

[2t-3<0

故選：B.

5.A

答案第1頁，共13頁

【分析】結合正弦函數的奇偶性以及充要條件的定義判斷即可.

【詳解】若/(。)=0,貝！|sine=O,則夕=航，keZ,

所以/(x)=sin(2x+E)=±sin2x,則/(x)為奇函數.

若f(x)為奇函數，則一定有/(O)=O.

則“"0)=。”是“函數”X)為奇函數”的充要條件.

故選：A.

6.D

【分析】根據向量數量積運算公式，求得Z在工方向上的投影，進而可得投影.

2,

【詳解】\a+e\=|<7—3e|,-a+2a-e+e=a-6a-e+9e，8a-e=8,

即a-e=l，a在工上投影向量W?e=e,所以“在e方向上的投影為1.

|e「

故選：D.

7.D

【分析】根據給定條件，由三角形有兩解的條件，結合正弦定理求出邊的范圍.

【詳解】在VABC中，ZABC=30°,由VABC有兩解，得30<C<150,且Cw90,

則;<sinC<l,由VABC外接圓半徑為4及正弦定理，得AB=8sinCe(4,8),

所以邊AB的長可能為5.

故選：D

8.B

【分析】方法一：根據/(。)+/0)=1可得油=1,再由基本不等式計算可得結果；

方法二：由函數解析式可得/(〃)+/[5]=1,再由單調性可得必=1,利用基本不等式計算

可得結果.

1

【詳解】方法一：由=1可得戶=1-之=』=4，

')''1+a1+b1+bJ_+i

F

易知〃x)=l在(O,+⑹上單調遞增，

答案第2頁，共13頁

因此可得"=’，即ab=l；

b

（2〃2_*_筋―9b_2a-9b_1

-

又4/+81/-4〃2+8仍2（2〃—94+36-~~36-

7la-yb-\-------

2a—9b

要求（2"-9）。的最大值,只需考慮2a—%>0即可，

4a2+8162

1<—11

362.l（2a-9b）———

因此2a-9b+12,

2a-9bV2a-9b

當且僅當°=3（&+l）6=心二L時,

等號成立;

2'3

故選：B.

方法二：f（a）+f（b）=l,而〃a）+/[￡|=l,所以=

而/（力=1-1，在（0,+8）上單調遞增，

所以6=',即aZ?=l,

a

2a—9b2a—9b一

因此原式=再獲談=（2-9"+36'要求其最大值,只需考察為-%>°

________________<___

可得原式—2a9bI=~2736~12,

2a-9b

當且僅當〔:W6時,即""工人『時等號成立;

故選：B.

9.AB

【分析】利用作差法可判斷A,利用不等式2MV/+62可判斷b利用特殊值法可判斷C、

D.

【詳解】由得幺一2>。，即史會>。，又c<。，則。一6<0,即。<6,故A正確;

CCCCC

^^]2ab<a2+b2,所以2〃。+4+/42（/+/）,即（a+of<2（〃+⑹，

又因為〃>0,b>0,所以〃小2（〃2+〃）,故B正確；

假設。=—1,b=-2f滿足a>b,

答案第3頁，共13頁

此時工=-1,1=-1,不成立，故C錯誤；

ab2ab

假設a=l,b=l,m=l,滿足a>0,b>0,m>0,

,b+m1b1b+m6工井一工心仁鵬、口

止H匕n時----=1,—=1,-------->一不成立，故D車曰厭；

a+maa+ma

故選：AB.

10.ACD

【分析】A：根據等差數列定義求｛西｝的通項公式，則2可求；B：累加法求｛%｝的通項

公式；C：根據通項公式計算并判斷；D：采用裂項相消法求和并證明.

【詳解】對于A：因為屈二-a=l,〃eN*,所以｛n｝是以1為首項，1為公差的等差數列，

所以施=1+(〃-1)*1=〃，所以2="2，故正確；

對于B：因為%-q=2,0,-a2=3「-,a“-a“T=M〃N2,〃eN*),

所以/_"I=2+3++〃，所以%=]+2+3H----\-n----(n>2),

當〃=1時，4=1符合條件，

所以4=當D,故錯誤；

對于C：令？("+D=36,解得〃=8(負值舍去)，所以%=36,令“2=36,解得〃=6(負值

2

舍去)，所以4=6,

所以g=%,即36是｛凡｝與也｝的公共項，故正確;

]

對于D：因為心

1=2」+」+-+11

所以Z<2,故正確;

I22321-占

Z=1%一4+inn+1

故選：ACD.

11.BCD

【分析】去絕對值分類討論可得函數解析式，易知/(元)在(0,+8)以及(-力,0)上是分別單

調遞減的，即A錯誤，易知"X)滿足〃-x)+/(x)=2,可知B正確，再利用函數單調性

以及不等式恒成立計算可得C正確，畫出兩函數在同一坐標系下的圖象根據周期性計算可

得D正確.

答案第4頁，共13頁

29

【詳解】對于A,易知當%>。時，/(^)=—_■-+2,%<0時=---2,

2+12+1

因此可得/(可在(0,+8)以及(-8,0)上分別為單調遞減函數，即A錯誤；

對于B,易知函數〃x)滿足〃-司+〃力=亍\+3=2,因此可得關于(0,1)對

稱，即B正確；

對于C,由+即2/(X)>2+〃，

即+￡在尤>0時恒成立，易知〃無)=亍*+2>2在(0,+8)上恒成立，

所以可得221+g解得。V2,即C正確；

2

一個周期與“X)有兩個交點，5個周期有10個交點，“X)與g(x)在［T9,0)u(0,19］共20

20

個交點，即?=10x2=20,故D正確，

Z=1

故選：BCD.

【點睛】關鍵點點睛：本題關鍵在于根據函數/⑺以及8(“=2$?葭尤］+1都關于(0,1)成

中心對稱，再由函數周期性計算可得結果.

12.-2

【分析】應用對數運算律化簡求值即可.

(詳解】log43+1-log21-2sg23=log43+log4j-3=log44-3=l-3=-2.

故答案為：-2

13.-4

【分析】利用恒等變換公式以及商數關系進行化簡并計算.

答案第5頁，共13頁

sin2asin2d'cosa-sina)

tan2。cos2asin2a(1-tana)(cosaJ

【詳解】因為

(兀、1+tanacos2a(1+tana)(cosa+sina)

tana+—cos2a

[4)l-tanaIcosa)

sin2a(cosa-sina)sin2asin2a_..

—?-=5sm2a

(cos2a-sin2。)(cosa+sina)cosa+sin"

5

214

而(sina+cosa)=l+sin26Z=—,所以sin2i=一《，5sin2a=-4,

故答案為：—4.

14.[-1,9]

【分析】求得函數g(x)的解析式，進而求得九⑺的解析式，利用導數求得h(x)的最大值.

【詳解】將函數y=/(￡)圖象上各點的橫坐標縮短為原來的;得到函數/(2x)=cos2x的圖

象，

再將所得圖象上各點向左平移3個單位長度，得至+=cos2^+^,

所以g(x)=cos2(x+：［=-sin2x,h^x)=-sin2x-2cosx,

可得h0)周期為2兀，/(x)=-2cos2x+2sinx=0,

所以一2(l—2sin2%)+2sin%=0,所以sinx=工或sinx=—l,解得x=‘■或*兀或之兀，

2662

當xjo,2，h'M<o,所以依)在(。,胃單調遞減，

當h'M>0,所以八⑺在］,"l'單調遞增，

當h'M<0,所以h(久)在%,g「單調遞減，

當xeg兀,2兀)，"(%)>0,所以/i(x)在g私單調遞增，

/i(O)=-2,，唳兀)=^^，"(2兀)=-2,Mx).*、=乎~,

因為存在xeR使26/z(x)-/+8加20成立，所以9一病+8根20

所以-1W加<9,所以實數機的取值范圍為.

故答案為：［-1,9］.

15.(1)D(4,3)

答案第6頁，共13頁

【分析】(1)設。(x,y),利用=可求。點的坐標；

(2)利用三點共線，可得AD=yL4C，可得。(3-44,1+34),利用數量積可求。點的坐標.

【詳解】(1)因為4(3,1),8(—2,2),C(-l,4),所以3c=(1,2),

因為四邊形ABC。為平行四邊形，所以BC=A￡?，

設。(x,y),所以AD=(x-3,y-l),

%—3=1\x=4/、

所以,所以04,3

y-l=2口=3

(2)因為A,C,。三點共線，AC=(-4,3),

所以設AD=AAC=2(^,3)=(-44,32),

又A(3,l),所以0(3—441+32),所以%>=(5—4432—1),

XBD-AC=-4(5-4A)+3(3A-l)=-18^>/l=-

所以喂，|]

16.(1)/(x)=sinx,g(x)=cosx

(2)x=0或％=￡

6

【分析】(1)根據條件，利用正、余弦函數的奇偶性，得到〃x)+g(x)=sinx+co&x,

-f(x)+g(x)=-sinx+cosx,聯(lián)立即可求解；

(2)利用正弦的和角公式、倍角公式及輔助角公式，得到心)」sin，2x+0+走，結合

213)4

條件得到sin,+H，再利用特殊角的三角函數值，即可求解.

答案第7頁，共13頁

【詳解】(1)因為〃x)+g(x)=J5sin(x+：)=sinx+cosx①,

/(“為奇函數，g(%)為偶函數，

/.f(-x)+g(-%)=sin(-x)+cos(-%),即-f(x)+g(x)=-sinx+cosx②,

聯(lián)立①②，解得〃x)=sinx,g(x)=cosx.

(2)因為/z(x)=sin[x+三]?cosx=gsinxcosx+cos2%

=-sin2x++cos2%)=gsin+jj

4

當Mx)二日時,gsin(2x+m[+^=#nsin[2x+m]=母

兀兀兀,4兀c7171T2兀

0<兀W—,—<2xH—?—,/.2xH—=一回x^—,

2333333

.,.%=0或%=烏.

6

17.(嗚

加13班

2

【分析】(1)根據正弦定理及兩角和的正弦公式求解；

(2)解法一:連接轉，設NC4P=6,由條件求得即tan。，求出CP,AP,AB,由

SABPC=S&ABP+SAACP計算即可；

7T

解法二：延長CP,A8交于點。，則/。=7,求出BQ,CQ,由LBPC=S^ACQ-S^PBQ計

6

算即可.

【詳解】(1);c-2〃+267cosc=。，

???根據正弦定理得sinC-2sinB+2sinAcosC=0,

sinC-2sin(A+C)+2sinAcosC=0,

sinC—2sinAcosC—2cosAsinC+2sinAcosC=0,

sinC=2cosAsinC,

sinC>0,/.cosA=—,

答案第8頁，共13頁

71

OVAVTI,A=—.

3

(2)解法一：連接"，設NC4P=9,

ApC—____—B_P_________

在RtAGP和RtABP中，一cos6一$也［四一夕］，

46473八⑺

目口----=7-----\=>----=—F=-------------=>tan0=—

即COS。'\71n\COS。蟲八\.八2,

sin-——cos?！猻in。

UJ22

CP=4x^=2>/3,AP=2幣,:.AB=5,

.??四邊形MC的面積Swc=Sap+%Ab=gx5x指+；x4x2^=空?

解法二：延長CP,A8交于點。，

:.CQ==4A/3

AC=4,71

tan—

6

，四邊形ABPC的面積SABPC=Ss-S&PB0=-x4x4y/3--x3x^=巨8.

ADJCZXACy￡\rD^J2"2"2

18.⑴a“=3w-2

⑵①Tk=（女”尸+4②證明見解析

【分析】（1）根據已知條件賦值法列方程組計算求出48,再應用%=S“-S,T，化簡得出

答案第9頁，共13頁

生出=3進而得出火即可；

n

b

（2）①由二=2"得出伉上=屋下再應用錯位相減法即可求解；②構造數列

bn-l

q,=25-2"-2-（3"+1>再根據數列單調性即可證明不等式.

A=4+BJA=2

【詳解】⑴在向+8）中分別令"=1,2=>5A=2(7+5)="-2

.,.2S“=/(4氫-2),當"22時，25?.j=(n-l)(a?-2),

兩式相減得出2alt=nan+x-(n-l)an-2,

."./ra?+1-(n+l)a?=2(n>2),”=1也滿足上式

-(n+l)a=2,neN*-=2f————

na

n+1n+1n〃+

a+2〃〃+2*

>n+i=-,HGN

n+1n

為常數列，5=3n%=3〃-2

LnJn

&-=2上

(2)①當〃二3左一2時，b=k當3左一2<孔<3左+1時,

nf%

〃=3及一2時，b”=〃；2砥-I_b3k_2*

怎一2Hi

kk

b3k_x=k-2,bik=k-4

2kk

:.Tk=b3+b6++^=1-4'+2-4++(k-1)-4-'+k-4,

.-.47；=l-42+2-43++("2).舉T+("1).舉+八4"1,

兩式相減得出

A+1

23k,+14(1-4)(1-3^)-4*-4

-37；=4+42+43++4k-k-4k+1------->--k-^+i=^------------------

k1-43

(3%-1>41+4

?口=

9

k

②〃=ak+l=3k+1,bn_2==k-2

252_2-2*1=25k-2k-2k-(3k+=左[25?2*—2?(3k+1)2]

令c“=252-207+1)2,

答案第10頁，共13頁

n+I22

c?+1-c?=25-2-2?(3〃+4)-25?2"+2?(3〃+1)

=25-2"-6(6n+5)=d?

dn+l-dn=25-I"】一6(6"+11)—25-2"+6(6〃+5)=25?2"-36>0

???{4}在〃eN*上單調遞增，注意到1W及W2時，dn=cn+l-cn<0,

當"23時，dn=cn+l-cn>0,AC?>。3且。3<。4<%<一

2

cn>c3=0,:0=25"-2-(3^+1)>0

25履2—2ka：+\>0.

【點睛】關鍵點點睛：解題的關鍵點是構造數列結合數列的單調性得出

&=25?2上一2.（3k+1）2>0即可得證.

19.（1）答案見解析

⑵①（-例②

【分析】（1）分。=。,“>。,“<0三種情況討論再應用導函數正負判斷函數單調性；

（2）①把恒成立問題轉化為最值問題，應用導數求出函數g。）1nhi=