平面向量中的最值與范圍問題（學(xué)生版）-2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)專練（新高考專用）

重難點(diǎn)15平面向量中的最值與范圍問題【十大題型】

【新高考專用】

?題型歸納

【題型1定義法求最值（范圍）問題】..........................................................4

【題型2基底法求最值（范圍）問題】..........................................................4

【題型3坐標(biāo)法求最值（范圍）問題】..........................................................5

【題型4與平面向量基本定理有關(guān)的最值（范圍）問題】..........................................6

【題型5與數(shù)量積有關(guān)的最值（范圍）問題】....................................................7

【題型6與模有關(guān)的最值（范圍）問題】.......................................................8

【題型7平面向量中參數(shù)的最值（范圍）問題】..................................................8

【題型8極化恒等式】.........................................................................9

【題型9矩形大法】..........................................................................10

【題型10等和（高）線定理】....................................................................11

?命題規(guī)律

1、平面向量中的最值與范圍問題

平面向量中的范圍、最值問題是高考的熱點(diǎn)問題，也是難點(diǎn)問題，此類問題綜合性強(qiáng)，體現(xiàn)了知識(shí)的

交匯組合；其基本題型是根據(jù)已知條件求某個(gè)變量的范圍、最值，比如向量的模、數(shù)量積、向量夾角、系

數(shù)的范圍等.

?方法技巧總結(jié)

【知識(shí)點(diǎn)1平面向量中的最值與范圍問題的解題策略】

1.平面向量中的最值（范圍）問題的兩類求解思路：

（i）“形化”，即利用平面向量的相關(guān)知識(shí)將問題轉(zhuǎn)化為平面幾何中的最值或范圍問題，然后結(jié)合平面圖

形的特征直接進(jìn)行判斷；

（2）“數(shù)化"，即利用平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算，把問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)中的函數(shù)最值與值域、不等式的解集、方

程有解等問題，然后利用函數(shù)、不等式、方程的有關(guān)知識(shí)來解決.

2.平面向量中的最值（范圍）問題的常用解題方法：

（1）定義法

①利用向量的概念及其運(yùn)算將所求問題進(jìn)行轉(zhuǎn)化，得到相應(yīng)的等式關(guān)系；

②運(yùn)用基木不等式、二次函數(shù)求其最值（范圍）問題，即可得出結(jié)論.

（2）坐標(biāo)法

①建立適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系，把幾何圖形放在坐標(biāo)系中，就賦予了有關(guān)點(diǎn)與向量具體的坐標(biāo)；

②將平面向量的運(yùn)算坐標(biāo)化，進(jìn)行相應(yīng)的代數(shù)運(yùn)算和向量運(yùn)算；

③運(yùn)用適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)思想方法如：二次函數(shù)、基本不等式、三角函數(shù)等思想方法來求解最值(范圍).

(3)基底法

①適當(dāng)選取一組基底，利用基底轉(zhuǎn)化向量；

②寫出向量之間的聯(lián)系，根據(jù)向量運(yùn)算律化簡(jiǎn)目標(biāo)，構(gòu)造關(guān)于設(shè)定未知量的關(guān)系式來進(jìn)行求解；

③運(yùn)用適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)思想方法如：二次函數(shù)、基本不等式、三角函數(shù)等思想方法來求解最值(范圍)，

即可得出結(jié)論.

【知識(shí)點(diǎn)2極化恒等式】

1.極化恒等式的證明過程與幾何意義

(1)平行四邊形對(duì)角線的平方和等于四邊的平方和：

證明：不妨設(shè)刀=￡,15=3,則在=Z+B,DB=a-b,

時(shí)=定=,+0=卬+27B+的①,

西丁涼味一孫引一名范+同②,

①②兩式相加得:

國(guó)2+回J=2(同+同卜磯可+融(J.

(2)極化恒等式：

上面兩式相減，得：D=；[(.+@2可2]-------------極化恒等式

平行四邊形模式：a-b^AC^-\DB^.

2.幾何解釋：向量的數(shù)量積可以表示為以這組向量為鄰邊的平行四邊形的“和對(duì)角線”與“差對(duì)角線”平

方差的

4

(1)平行四邊形模型：向量的數(shù)量積等于以這組向量為鄰邊的平行四邊形的“和對(duì)角線長(zhǎng)”與“差對(duì)角

(a-B)](如圖).

（2）三角形模型：向量的數(shù)量積等于第三邊的中線長(zhǎng)與第三邊長(zhǎng)的一半的平方差，即

-------------------->-------2------->2

AB-=為3c的中點(diǎn)X如圖）.

極化恒等式表明，向量的數(shù)量積可以由向量的模來表示，可以建立起向量與幾何長(zhǎng)度之間的等量關(guān)系.

【知識(shí)點(diǎn)3矩形大法】

1.矩形大法

矩形所在平面內(nèi)任一點(diǎn)到其對(duì)角線端點(diǎn)距離的平方和相等.

即：已知點(diǎn)。是矩形/8CL）與所在平面內(nèi)任一點(diǎn)，可以得到：O^2+OC2=O52+OD2.

【知識(shí)點(diǎn)4等和（高）線定理】

1.等和（高）線定理

（1）由三點(diǎn)共線結(jié)論推導(dǎo)等和（高）線定理：如圖，由三點(diǎn)共線結(jié)論可知，若5?=力方+〃而Q,〃eR）,

則X+n=\,由AO4B與AOA'B'相似，必存在一個(gè)常數(shù)匕左GR,使得OP,kOP,則

OP'=kOP=kXOA+k/.iOB,又OP=xOA+yOB（x,yGR）,'.x+y=kX+kp.=k；反之也成立.

（2）平面內(nèi)一個(gè)基底｛53,而｝及任一向量蘇，蘇=幾畝十Q,〃GR）,若點(diǎn)P在直線N3上或在

平行于N3的直線上，則%+〃=?定值）；反之也成立，我們把直線以及與直線平行的直線稱為等和（高）

線.

①當(dāng)?shù)群途€恰為直線48時(shí)，A=l；

②當(dāng)?shù)群途€在。點(diǎn)和直線AB之間時(shí)，^￡（0,1）；

③當(dāng)直線AS在。點(diǎn)和等和線之間時(shí)，左e（l,+8）；

④當(dāng)?shù)群途€過。點(diǎn)時(shí)，仁0;

⑤若兩等和線關(guān)于。點(diǎn)對(duì)稱，則定值肌，后互為相反數(shù)；

⑥定值k的變化與等和線到。點(diǎn)的距離成正比.

?舉一反三

【題型1定義法求最值（范圍）問題】

【例1】（24-25高三上?廣東?開學(xué)考試）已知單位向量久,石的夾角為泰則同-t聞-孩）|（t6R）的最小值

為（）

A.-B.—C.1D.-

224

【變式1-1］（23-24高一下?安徽蕪湖?期中）如圖，已知點(diǎn)G是△4BC的重心，過點(diǎn)G作直線分別與AB,AC

兩邊交于M,N兩點(diǎn)，設(shè)前=x同，AN=yAC,則x+4y的最小值為（）

A.9B.4C.3D.-

2

【變式l-2］（23-24高一下?陜西西安?階段練習(xí)）點(diǎn)。是△ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)，若就+礪+擊=0,AM=

xAB,AN=yAC,~MO=WN,則xy的最小值為（）

124

A.-B.1C.-D.-

239

【變式1-3］（23-24高一下?上海?期末）已知向量反及Z,滿足@=|同=1,小方=一去c^xa+yb（x.yE

R,y>0）,則下列四個(gè)命題中，正確命題的個(gè)數(shù)是（）.

①若x=l,則團(tuán)的最小值為圣

②若x=l,則存在唯一的力使得37=0；

③若同=1,則x+y的最小值為—1；

④若團(tuán)=1,貝展7+7不的最小值為―去

A.1B.2C.3D.4

【題型2基底法求最值（范圍）問題】

【例2】（23-24高一下?重慶巴南?階段練習(xí)）在矩形2BCD中，已知E,尸分別是BC,CD上的點(diǎn)，且滿足礪=

FC,CF=2FD.若點(diǎn)P在線段BD上運(yùn)動(dòng)，且力P=44E+〃eR）,貝版+〃的取值范圍為（）

3

【變式2-1］（23-24高一下?浙江?期中）如圖，在四邊形4BCD中，AB\\CD,AB=2CD,P為線段CD上一個(gè)

動(dòng)點(diǎn)（含端點(diǎn)），~AC=mDB+nAP,則zn+九的取值范圍是（）

DPC

A.（0,1]B.[2,3]C.[1,2]D.[2,4）

【變式2?2]（23?24高一下?河南?階段練習(xí)）已知口45。。中，點(diǎn)尸在對(duì)角線4C上（不包括端點(diǎn)4,C）,

點(diǎn)。在對(duì)角線助上（不包括端點(diǎn)5,。），若族=%荏+%品，AQ=A2AB+記2屬一〃i的最

小值為冽，1~+4的最小值為〃，貝!J（）

A19-19

A.m=——，n=-B.m=——，n=-

8242

D19

"19_H--

C.m=——,n=-,4

844

【變式2-3]（23-24高三下?云南?階段練習(xí)）已知。為44BC的內(nèi)心，角A為銳角，sinZ=半,若同=〃荏+

O

AAC,貝以+4的最大值為（）

1345

A.-B.-C.7D.-

2456

【題型3坐標(biāo)法求最值（范圍）問題】

【例3】（2024?河北滄州?一模）如圖，在等腰直角△力BC中，斜邊48=4近，點(diǎn)D在以3C為直徑的圓上

運(yùn)動(dòng)，貝/萬+前|的最大值為（）

A.4V6B.8C.6V3D.12

【變式3-1]（2024?四川成都三模）在矩形4BCD中，AB=5,4。=4,點(diǎn)E滿足2荏=3而，在平面ABCD

中，動(dòng)點(diǎn)P滿足而?麗=0,則加?前的最大值為（）

A.V41+4B.V41-6C.2V13+4D.2V13-6

【變式3-2]（2024?湖南永州三模）在△A8C中，乙4cB=120°,\AC\=3,IfiCl=4,DC-DB=。，貝”南+前|

的最小值為（）

A.6V3-2B.2V19-4C.3V3-1D.V19-2

【變式3-3]（2024?貴州貴陽?一模）如圖，在邊長(zhǎng)為2的正方形力BCD中.以C為圓心，1為半徑的圓分別

交CD,BC于點(diǎn)E,F.當(dāng)點(diǎn)P在劣弧EF上運(yùn)動(dòng)時(shí)，麗?前的取值范圍為（）

A.[1-2V2,-1]B.[1-2V2,-1]

C.[-1,1-V2]D.[1-2V2,1-V2]

【題型4與平面向量基本定理有關(guān)的最值（范圍）問題】

【例4】（2024?四川遂寧?模擬預(yù)測(cè)）在△力BC中，點(diǎn)尸為線段上任一點(diǎn)（不含端點(diǎn)），若方=%屈+

2yAC{x>0,y>0）,貝葉+和最小值為（）

A.3B.4C.8D.9

【變式4-1]（23-24高一下?廣西南寧?階段練習(xí)）在△ABC中，點(diǎn)。滿足前=2瓦，過點(diǎn)。的直線分別交

射線力B,4C于不同的兩點(diǎn)N.設(shè)施=工屈，ANAC,則加+n的最小值是（）

mn

A.3B.1C.—D.—

1616

【變式4-2]（23-24高一下?安徽六安?期末）在△安BC中,已知而?前=9,sinB=cosAsinC,S^BC=6,P

為線段AB上的一點(diǎn)，且取=久?卷+y胃p貝4+（的最小值為（）

【變式4-3]（2024?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè)）如圖所示，在△4BC中，M為線段BC的中點(diǎn)，G為線段4M上一點(diǎn)，

AG=2GM,過點(diǎn)G的直線分別交直線,4C于P,Q兩點(diǎn).設(shè)荏=xAP[x>0）,就=yAQQy>0），則々+七

的最小值為（）

A

33

A.-B.-C.3D.6

42

【題型5與數(shù)量積有關(guān)的最值（范圍）問題】

【例5】（2024?陜西渭南二模）已知菱形力BCD的邊長(zhǎng)為1,COSNBAD*,。為菱形的中心，E是線段上

的動(dòng)點(diǎn)，則赤?麗的最小值為（）

121I

A.-B.-C.-D.-

3326

【變式5?1】（2024?重慶?模擬預(yù)測(cè)）如圖，圓。內(nèi)接邊長(zhǎng)為1的正方形ABCQP是?。òǘ它c(diǎn)）上一

兒[*]B.[1,喑C.[1,喑D?愣1]

【變式5-2]（2024?陜西安康?模擬預(yù)測(cè)）如圖，在平面四邊形4BCD中，△4BD為等邊三角形，CB=CD=

2BD=2,當(dāng)點(diǎn)E在對(duì)角線力C上運(yùn)動(dòng)時(shí)，前?麗的最小值為（）

【變式5-3]（2024?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè)）如圖，已知正六邊形4BCDEF的邊長(zhǎng)為2,對(duì)稱中心為。，以。為圓心

作半徑為1的圓，點(diǎn)M為圓。上任意一點(diǎn)，則而?國(guó)的取值范圍為（）

E

A.[-6,4]B.[0,8]C.[-8,0]D.[-6V3,0]

【題型6與模有關(guān)的最值（范圍）問題】

【例6】（2024?安徽六安?模擬預(yù)測(cè)）已知平面向量之，b,2滿足同=1,同=百,

a-b=~l，（a-c5-c）=30°,則0的最大值等于（）

A.2V7B.V7C.2V3D.3V3

【變式6-1]（2024?湖南長(zhǎng)沙?三模）在平行四邊形A8CD中，4C=2BD=4,點(diǎn)P為該平行四邊形所在平面

內(nèi)的任意一點(diǎn)，貝1]|可|2+?麗|2+?麗|2+?而產(chǎn)的最小值為（）

A.6B.8C.10D.12

【變式6-2]（23-24高一下?天津?期末）如圖，在△力BC中，已知48=2,AC=3,乙4=120。，E,尸分別

是力B,AC邊上的點(diǎn)，且方=久同，AF^yAC,且2x+y=l,若線段EF,BC的中點(diǎn)分別為M,N,貝巾麗|

的最小值為（）

V7n3V39萬V21c4V13

A.B.-----C.—D.-----

261413

【變式6-3]（23-24高一下?廣東廣州?期末）已知平面向量乙b,e,且同=1,同=2.已知向量石與方所成

的角為60。，且歷—詞2后一周對(duì)任意實(shí)數(shù)t恒成立，則|方+0+版-砸勺最小值為（）

A.V3+1B.2V3C.V3+V5D.24

【題型7平面向量中參數(shù)的最值（范圍）問題】

【例7】（23-24高一下?甘肅隴南?期末）已知平面向量反百?滿足同=同=4,fc|=2,a-b=-8,蒞=痛+

而,（4eR）,則24+〃的取值范圍是（）

A.卜竺笥B.[-f,f]C,[-f,f]D,[-276,276]

【變式7-1］（23-24高一下?黑龍江哈爾濱?期末）在△ABC中，AB=6,AC=8,^BAC=^,/是NB力C的平

分線上一點(diǎn)，且4/=百，若△ABC內(nèi)（不包含邊界）的一點(diǎn)D滿足方=%同+：左，則實(shí)數(shù)x的取值范圍

是（）

【變式7-2］（23-24高一下?四川成都?期末）在直角梯形4BCD中，AB1AD,DC//AB,AD=DC=lfAB=

2,E,F分別為AB,AC的中點(diǎn)，點(diǎn)P在以力為圓心,4D為半徑的圓弧0E上運(yùn)動(dòng)（如圖所示）.若而=4前+〃刀,

其中則24-〃的取值范圍是（）

B.[-1,1]

C.[-1,2]D.[-2,2]

【變式7-3］（23-24高一下?安徽蕪湖?階段練習(xí)）如圖扇形力。B所在圓的圓心角大小為T，P是扇形內(nèi)部（包

括邊界）任意一點(diǎn)，若麗=+y而，那么2（x+y）的最大值是（）

OA

A.2B.V3C.4D.2V3

【題型8極化恒等式】

【例8】（2024?重慶?模擬預(yù)測(cè)）已知△。力B的面積為1,AB=2,動(dòng)點(diǎn)P,Q在線段4B上滑動(dòng)，且|PQ|=1,

則麗?麗的最小值為.

【變式8-1］（2024?山東?模擬預(yù)測(cè)）邊長(zhǎng)為1的正方形內(nèi)有一內(nèi)切圓，MN是內(nèi)切圓的一條弦，點(diǎn)P為正方

形四條邊上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)弦MN的長(zhǎng)度最大時(shí)，兩?西的取值范圍是.

【變式8-2］（2024?湖北省直轄縣級(jí)單位?模擬預(yù)測(cè)）如圖直角梯形/8CA中，跖是CD邊上長(zhǎng)為6的可

移動(dòng)的線段，AD=4,AB=8V3,BC=12,則麗?前的取值范圍為.

2

【變式8-3X23-24高一下?廣東潮州?階段練習(xí)）閱讀以下材料，解決本題:我們知道①G+刃）2=a+Za.b+

b2；②0—b）2=~a2~2a,-b+b?.由①-②得④+b）2—（a—b）2=4a-ba-b=（*）丁"）,我們把最后

推出的式子稱為“極化恒等式”，它實(shí)現(xiàn)了沒有夾角參與的情況下將兩個(gè)向量的數(shù)量積化為“模”的運(yùn)算.如圖

所示的四邊形4BCD中，BD=8,AB-AD=48,E為BD中點(diǎn).

⑴若cosNBAD=||,求△4BD的面積；

⑵若2荏=前，求荏?麗的值；

（3）若P為平面4BCD內(nèi)一點(diǎn)，求西?（麗+方）的最小值.

【題型9矩形大法】

【例9】（2024?浙江紹興?一模）已知向量五，石，N滿足@=|回=十?石=量（a-c）-（6-2c）=0,則歷一石

的最小值為

【變式9-1]（23-24高三下?四川成都?階段練習(xí)）已知單位向量為，了滿足|22-同=2,若存在向量2,使得

（2-2萬）?售—萬）=0,則回的取值范圍是（）

A.[患+1]B.償一1,當(dāng)C?他一1浮+1]D.[V6-1,V6+1]

【變式9-2］（23-24高三上?四川資陽?階段練習(xí)）已知為單位向量，向量五滿足：（a-e）.（a-5e）=0,

則|H+2|的最大值為（）

A.4B.5C.6D.7

【變式9-3］（23-24高三上?貴州貴陽?階段練習(xí)）己知平面向量萬，己滿足同=同?5=2,且①-花）?

（石―下）=0,則同―a的最小值為（）

【題型10等和（高）線定理】

【例10】（23-24高一下?重慶?階段練習(xí)）在平行四邊形A8CD中，E為CD的中點(diǎn)，BF^^BC,A尸與BE交于

點(diǎn)G,過點(diǎn)G的直線分別與射線B4BC交于點(diǎn)、M,N,前=4瓦?，環(huán)=面,貝取+2〃的最小值為（）

899

A.1B.-C.-D.-

775

【變式10-1］（23-24高三上?河南?階段練習(xí)）對(duì)稱性是數(shù)學(xué)美的一個(gè)重要特征，幾何中的軸對(duì)稱，中心對(duì)

稱都能給人以美感，在菱形2BCD中，"BC=120°,以菱形ABCD的四條邊為直徑向外作四個(gè)半圓，尸是這

四個(gè)半圓弧上的一動(dòng)點(diǎn)，若麗=4瓦？+〃反，則4+〃的最大值為（）

35

A.5B.3C.-D.-

22

【變式10-2］（23-24高一下?四川綿陽?期中）在扇形OAB中，4力。8=60。，C為弧2B上的一動(dòng)點(diǎn)，若灰=

xOA+yOB,則3x+y的取值范圍是.

【變式10-3］（23-24高二上?上海浦東新?階段練習(xí)）正六邊形A8CDE尸中，P是/XCDE內(nèi)（包括邊界）的

動(dòng)點(diǎn)，設(shè)而=nt通+71而，（m,n&R）,則m+n的取值范圍是.

?過關(guān)測(cè)試

一、單選題

1.（2024?江蘇泰州?模擬預(yù)測(cè)）在平行四邊形4BCD中力=45°,AB=1,AD=V2,若而=荏+x而（xGR）,

則|都|的最小值為（）

A.-B.—C.1D.V2

22

2.（2024嚀夏銀川?模擬預(yù)測(cè)）在△48C中，BD=2DCf過點(diǎn)。的直線分別交直線48、AC于點(diǎn)E、F,且標(biāo)=

mAB,AF=nAC,其中m>0,n>0,則根+2幾的最小值為（）

p

A.2B.V2C.3D.-

3

3.（2024?廣東東莞?模擬預(yù)測(cè)）已知在同一平面內(nèi)的三個(gè)點(diǎn)48,C滿足|倜=2,昔—薪21,則國(guó)+國(guó)

的取值范圍是（）

A.[0,1]B.[0,2]C.[0,V3]D.[0,2碼

4.（2024?天津河北?二模）△ABC是等腰直角三角形，其中AB1AC,|屈|=1,P是△ABC所在平面內(nèi)的一

點(diǎn)，若麗=撫？+〃荏（420,〃20且4+2〃=2）,則需在加上的投影向量的長(zhǎng)度的取值范圍是（）

A.（o,y]B.[y,l]C.[1,V2]D.[V2,2]

5.（2024?安徽蕪湖?三模）己知。。久2+372—10%+9=0與直線/交于48兩點(diǎn)，且。C被/截得兩段圓弧

的長(zhǎng)度之比為1:3,若。為上一點(diǎn)，則9?麗的最大值為（）

A.18立+12B.16近+16C.12V2+20D.10V2+24

6.（2024?河北滄州?三模）對(duì)稱美是數(shù)學(xué)美的重要組成部分，他普遍存在于初等數(shù)學(xué)和高等數(shù)學(xué)的各個(gè)分

支中，在數(shù)學(xué)史上，數(shù)學(xué)美是數(shù)學(xué)發(fā)展的動(dòng)力.如圖，在等邊△ABC中，4B=2,以三條邊為直徑向外作三

個(gè)半圓，M是三個(gè)半圓弧上的一動(dòng)點(diǎn)，若麗=4荏+〃尼，則4+〃的最大值為（）

A.iB.—C.1D.-

232

7.（2024?湖北?模擬預(yù)測(cè)）向量落石滿足位是〉=J的=：臼，且VteR,不等式歷+國(guó)2歷-司恒成立.

63

函數(shù)/（%）=|/-司+恢一荊（久eR）的最小值為（）

A.|B.1C.V3D.V5

8.（2024?四川成都?三模）已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為1,M,N分別是邊AB,AD上的點(diǎn)（均不與端

點(diǎn)重合），記△AMN,ACMN的面積分別為Si，S2,若Sr=\CM-AB\-\CN-AD\,則S2的取值范圍

是（）

二、多選題

9.（2024?浙江寧波?二模）若平面向量或石工滿足同=1,同=1,同=3且方7=隹3則（）

A.忖+了+石的最小值為2

B.忖+石+石的最大值為5

C.怔一了+胃的最小值為2

D.忖―了+石的最大值為g

10.（2024?山西晉中?模擬預(yù)測(cè)）在△ABC中，。為邊AC上一點(diǎn)且滿足南=g反，若P為邊BD上一點(diǎn)，且

滿足而=%方+〃正，A,〃為正實(shí)數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（）

A.辦的最小值為1B.加的最大值為七

C.J+；的最大值為12D.：+；的最小值為4

43〃A3/z

11.（2024?山東濰坊?二模）已知向量高及？為平面向量，同=1,歷|=2，小了=0,曰一司=熱則（）

A.1<|c|<|B.已―初?伍—石）的最大值為匕衿

C.-1<b-c<lD.若下=府+而，則2+〃的最小值為1一彳

三、填空題

12.（2024?四川宜賓?模擬預(yù)測(cè)）已知點(diǎn)O,4B在同一平面內(nèi)且A為定點(diǎn)，O