平行四邊形的存在性問題-2024年中考數(shù)學(xué)二次函數(shù)壓軸題

專題10平行四邊形的存在性問題

一、知識導(dǎo)航

考慮到求證平行四邊形存在，必先了解平行四邊形性質(zhì)：

(1)對應(yīng)邊平行且相等；

(2)對角線互相平分.

這是圖形的性質(zhì)，我們現(xiàn)在需要的是將其性質(zhì)運(yùn)用在在坐標(biāo)系中:

(1)對邊平行且相等可轉(zhuǎn)化為：]/一/二%一%,

[%-yB=yD-yc

_XR+程

(2)對角線互相平分轉(zhuǎn)化為：\22

yA+ycyB+yD

22

可以理解為AC的中點(diǎn)也是BD的中點(diǎn).

/

【小結(jié)】雖然由兩個(gè)性質(zhì)推得的式子并不一樣,但其實(shí)可以化為統(tǒng)一：

r

xA-XB=XD-xc^(xA+xc=XD+XB

jA-yB=yD-yc民+/=%+%'

r

xA+xc_xB+xD

2―2\xA+xc=xB+xD

yA+ycyB+yD1%+%=%+%"

、2—2

當(dāng)AC和8。為對角線時(shí)，結(jié)果可簡記為：A+C^B+D(各個(gè)點(diǎn)對應(yīng)的橫縱坐標(biāo)相力口)

以上是對于平行四邊形性質(zhì)的分析，而我們要求證的是平行四邊形存在性問題，此處當(dāng)有一間：若坐標(biāo)系

中的4個(gè)點(diǎn)A、B、C、。滿足“A+C=8+?！?，則四邊形ABC。是否一定為平行四邊形？

反例如下：

之所以存在反例是因?yàn)椤八倪呅蜛8C。是平行四邊形”與“AC、BD中點(diǎn)是同一個(gè)點(diǎn)''并不是完全等價(jià)的轉(zhuǎn)化,

故存在反例.

雖有反例，但并不影響運(yùn)用此結(jié)論解題，另外，還需注意對對角線的討論：

(1)四邊形ABC。是平行四邊形：AC、8。一定是對角線.

(2)以A、B、C、。四個(gè)點(diǎn)為頂點(diǎn)是四邊形是平行四邊形：對角線不確定需要分類討論.

二、典例精析

平行四邊形存在性問題通?？煞譃椤叭ㄒ粍印?和"兩定兩動''兩大類問題.

1.三定一動

已知A(1,2)B(5,3)C(3,5),在坐標(biāo)系內(nèi)確定點(diǎn)。使得以A、B、C、。四個(gè)點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是

平行四邊形.

思路1:利用對角線互相平分，分類討論：

設(shè)。點(diǎn)坐標(biāo)為(m,力)，又A(1,2)B(5,3)C(3,5),可得:

(5+3=]+tn

(1)8C為對角線時(shí)，,uc,可得2(7,6);

[3+5=2+〃

[1+3=5+tn

(2)AC為對角線時(shí)，，解得2(-1,4);

[2+5=3+〃

[1+5=3+m

(3)AB為對角線時(shí)，2+3=5+〃'解得3(3，0).

當(dāng)然，如果對這個(gè)計(jì)算過程非常熟悉的話，也不用列方程解，直接列算式即可.

比如：D=B+C-A,D2=A+C-B,D3=A+B-C.(此處特指點(diǎn)的橫縱坐標(biāo)相加減)

2.兩定兩動

已知A(1,1)、B(3,2),點(diǎn)C在x軸上，點(diǎn)。在y軸上，且以A、B、C、。為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊

形，求C、D坐標(biāo).

【分析】

設(shè)C點(diǎn)坐標(biāo)為(相，0),。點(diǎn)坐標(biāo)為(0,"),又A(1,1)、B(3,2).

[1+3=nr+0{tn—4

(1)當(dāng)A3為對角線時(shí)，〈c八,解得,,故C(4,0)、D(0,3);

1+2=0+〃\n=3

(]+nr=3+0[—2

⑵當(dāng)AC為對角線時(shí)，]+』+〃,解得…1,故。⑵……

/、,，、,[l+0=3+m\m=-

⑶當(dāng)例為對角線時(shí)，?=2+。,解得I故C(-2,0)、D(0,1).

【動點(diǎn)綜述】

“三定一動''的動點(diǎn)和“兩定兩動''的動點(diǎn)性質(zhì)并不完全一樣，“三定一動”中動點(diǎn)是在平面中，橫縱坐標(biāo)都不確

定，需要用兩個(gè)字母表示，這樣的我們姑且稱為"全動點(diǎn)”，而有一些動點(diǎn)在坐標(biāo)軸或者直線或者拋物線上，

用一個(gè)字母即可表示點(diǎn)坐標(biāo)，稱為“半動點(diǎn)

從上面例子可以看出，雖然動點(diǎn)數(shù)量不同，但本質(zhì)都是在用兩個(gè)字母表示出4個(gè)點(diǎn)坐標(biāo).若把一個(gè)字母稱

為一個(gè)“未知量”也可理解為：全動點(diǎn)未知量=半動點(diǎn)未知量x2.

找不同圖形的存在性最多可以有幾個(gè)未知量，都是根據(jù)圖形決定的，像平行四邊形，只能有2個(gè)未知量.究

其原因，在于平行四邊形兩大性質(zhì)：

(1)對邊平行且相等；

(2)對角線互相平分.

但此兩個(gè)性質(zhì)統(tǒng)一成一個(gè)等式：\X^+XC=XB+XD,

［為+yc=yB+yD

兩個(gè)等式，只能允許最多存在兩個(gè)未知數(shù)，即我們剛剛所講的平行四邊形存在性問題最多只能存在2個(gè)未

知量.

由圖形性質(zhì)可知未知量，由未知量可知動點(diǎn)設(shè)計(jì)，由動點(diǎn)設(shè)計(jì)可化解問題.

三、中考真題演練

1.(2023?山東淄博?中考真題)如圖，一條拋物線》=以2+敬經(jīng)過AQAB的三個(gè)頂點(diǎn)，其中。為坐標(biāo)原點(diǎn),

點(diǎn)A(3,-3),點(diǎn)8在第一象限內(nèi)，對稱軸是直線x=且的面積為18

(1)求該拋物線對應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式;

⑵求點(diǎn)8的坐標(biāo)；

(3)設(shè)C為線段A3的中點(diǎn)，P為直線上的一個(gè)動點(diǎn)，連接”，CP,將△ACP沿CP翻折，點(diǎn)A的對應(yīng)

點(diǎn)為4.問是否存在點(diǎn)尸，使得以A-P,C,5為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？若存在，求出所有符合

條件的點(diǎn)尸的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.

2

【答案】（1）丫=1犬2-3工

⑵（6,6）

尸點(diǎn)的坐標(biāo)為（"I,2或'"I,

⑶存在,

hg

【分析】（1）根據(jù)對稱軸為直線l=-F=將點(diǎn)A代入，進(jìn)而待定系數(shù)法求解析式即可求解；

2a4

（2）設(shè)蘇-3m］，過點(diǎn)A作跖，y軸交于E點(diǎn)，過8點(diǎn)作交于尸點(diǎn)，繼而表示出AQ4B的

面積，根據(jù)AOAB的面積為18,解方程，即可求解.

（3）先得出直線的解析式為y=%設(shè)P（rj）,當(dāng)8尸為平行四邊形的對角線時(shí)，可得AP=AC,當(dāng)3c

為平行四邊形的對角線時(shí)，BP=AC,進(jìn)而建立方程，得出點(diǎn)尸的坐標(biāo)，即可求解.

h9

【詳解】（1）解：???對稱軸為直線'=-

2a4

9

??b=—a（X）,

2

將點(diǎn)A（3,-3）代入y=ax2+Zzx得，

???9。+36=-3②，

'_2

聯(lián)立①②得，＜“一§,

b=-3

2

解析式為y=-x2-3x；

（2）設(shè)療-3m），如圖所示，過點(diǎn)A作所，＞軸交于E點(diǎn)，過5點(diǎn)作的，￡F交于下點(diǎn)，

AF（m,-3）,E（0,-3）,

2

貝！JOE=3,A石=3,人尸二加一3,3尸=—m2—3m+3

3

?q=—mx|—m2—3m+3+3|—=18

??^^AOB213J

解得：帆=6或帆=-3（舍去）,

（3）存在點(diǎn)尸，使得以A，p，C,6為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，理由如下:

???A（3,-3）,B（6,6）,

設(shè)直線。3的解析式為，=辰,

6k=6,解得：k=1,

直線。3的解析式為y=尤，

設(shè)尸（M，

如圖所示，當(dāng)BP為平行四邊形的對角線時(shí)，BC//A.P,

圖2

BC=AP,

'：AC=BC,

AC=AjP,

由對稱性可知AC=AC,AP=AiP9

：.AP=AC,

J(f_3y+(/+3)2=+[_3_)

3

解得：f=±1

點(diǎn)的坐標(biāo)為停功或[;I)

圖3

由對稱性可知，AC=AlCf

BP=AC,

J（6-）2+（6T）2=Jb-;-]+U

解得：t=—+6^t=--+6,

22

536/3石]

點(diǎn)的坐標(biāo)為春+6,后—I-6------F6,----F6

\-,122,

)或信力或殍+6,李6W一孚

綜上所述，P點(diǎn)的坐標(biāo)為

2

2.(2023?廣東廣州?中考真題)已知點(diǎn)P(s〃)在函數(shù)y=-一(x<0)的圖象上.

X

(1)若〃2=-2,求〃的值；

⑵拋物線丫=(》-加)(％-冷與了軸交于兩點(diǎn)〃，在N的左邊)，與y軸交于點(diǎn)G,記拋物線的頂點(diǎn)為E.

①相為何值時(shí)，點(diǎn)E到達(dá)最高處；

②設(shè)AGMN的外接圓圓心為C,G)C與y軸的另一個(gè)交點(diǎn)為尸，當(dāng)加+"片0時(shí)，是否存在四邊形尸GEC為平

行四邊形？若存在，求此時(shí)頂點(diǎn)E的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.

【答案】(1)〃的值為1;

(2)①根=-0；②假設(shè)存在，頂點(diǎn)E的坐標(biāo)為一4，—：>或g-

22

【分析】(1)把帆=—2代入y=——(%<0)得〃=—不=1,即可求解;

x-2

m+n22

(2)?x=9^y=(x-m)(x-n)=-—(m-n)=-2-—(m+n)<-2,即可求解;

244

m+n1、?-e,-,.

②求出直線小的表達(dá)式為：y=-1m(x-1m)-l,得到點(diǎn)C的坐標(biāo)為I;由垂徑定理知，點(diǎn)。在

FG的中垂線上，則尸G=2(%—>G)=2X(—g+2)=3；由四邊形尸GEC為平行四邊形，則

17

CE=FG=3=y?-yE二一3-YE，求出力二—］，進(jìn)而求角軋

22

【詳角軍】(1)解：才巴利=一2代入y=一—(xvO)得〃=一一-=1；

x-2

故〃的值為1;

(2)解：①在y=(%_機(jī))(％_〃)中，令y=0,則(x一根)(％_〃)=0,

解得％=加或4=〃，

,N(n,0),

2

???點(diǎn)PO,〃)在函數(shù)y=—-(x<0)的圖象上，

x

：.mn=—2,

,77?力II

令彳=----,得y=。_加)(尤_“)=——(〃2-”了=-2——+<-2,

244

即當(dāng)機(jī)+〃=0,且mn=-2,

則蘇=2,解得：機(jī)=-應(yīng)(正值已舍去)，

即加=-a時(shí)，點(diǎn)E到達(dá)最高處;

②假設(shè)存在，理由：

對于＞=（%—相）（%—〃），當(dāng)x=0時(shí)，y=mn=-2,即點(diǎn)G（0,—2）,

對稱軸為直線尤=歲

作MG的中垂線交MG于點(diǎn)T,交,軸于點(diǎn)S,交x軸于點(diǎn)K,則點(diǎn)7］；加,-1）,

則tanZMKT=--m,

2

則直線75的表達(dá)式為：y=

、［/m+n…1/1、［1

當(dāng)了=---時(shí)，y=--m（x-—m）-l=-—,

則點(diǎn)c的坐標(biāo)為（＞，-￡|.

由垂徑定理知，點(diǎn)C在尸G的中垂線上，貝q尸G=2（九一%）=2X（-：+2）=3.

四邊形FGEC為平行四邊形,

則CE=FG=3=於-%=一；一%，

7

解得：%二一5，

127

即一--(jn-ri)=-—,且mn=-2,

42

則加+〃=土，

???頂點(diǎn)七的坐標(biāo)為一半'一［，或乎［?

3

3.（2023?山東?中考真題）如圖，直線y=f+4交九軸于點(diǎn)6,交丁軸于點(diǎn)C,對稱軸為工=5的拋物線經(jīng)

過BC兩點(diǎn)，交x軸負(fù)半軸于點(diǎn)A.尸為拋物線上一動點(diǎn)，點(diǎn)尸的橫坐標(biāo)為加，過點(diǎn)尸作工軸的平行線交

拋物線于另一點(diǎn)V，作X軸的垂線PN,垂足為N,直線交y軸于點(diǎn)O.

(1)求拋物線的解析式；

3

(2)若0<“<5，當(dāng)機(jī)為何值時(shí)，四邊形CDNP是平行四邊形？

【分析】(1)利用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式；

(2)結(jié)合平行四邊形的性質(zhì)，通過求直線的函數(shù)解析式，列方程求解;

【詳解】(1)解：在直線y=-x+4中，當(dāng)x=o時(shí)，y=4,當(dāng)y=0時(shí)，x=4,

...點(diǎn)8(4,0),點(diǎn)。(0,4),

設(shè)拋物線的解析式為y=+k,

a+左二0

把點(diǎn)3(4,0)，點(diǎn)。(0,4)代入可得-

a+左=4

a=-1

解得L25.

k=—

L4

，拋物線的解析式為y=+^=-X2+3X+4；

(2)解：由題意，P(m,-/n2+3m+4),

**?PN=—m2+3m+4，

當(dāng)四邊形CDNP是平行四邊形時(shí)，PN=CD,

OD=-m2+3m+4-4=-m2+3m，

:.￡>(0,m2-3m),N(m,0),

設(shè)直線腦^的解析式為〉=用工+加2_3根,

2

把N（m,0）代入可得kxm+1V-3m=0,

解得勺=3—m,

直線MN的解析式為y=（3—x+4—3機(jī)，

3

又???過點(diǎn)尸作x軸的平行線交拋物線于另一點(diǎn)M,且拋物線對稱軸為九=],

M（3—機(jī)，—加之+3機(jī)+4）

（3—m）2+m2—3m=-m2+3m+4,

解得叫=如魯（不合題意，舍去），丐=殳2普；

4.（2023?山東聊城?中考真題）如圖①，拋物線y=aY+bx_9與x軸交于點(diǎn)A（-3,0）,3（6,0）,與y軸交于

（1）求拋物線的表達(dá)式；

（2）點(diǎn)0在拋物線上，若以點(diǎn)A,C,P,。為頂點(diǎn)，AC為一邊的四邊形為平行四邊形時(shí)，求點(diǎn)。的坐標(biāo)；

【分析】（1）將4（-3,0）,3（6,0）代入〉=0?+法-9,待定系數(shù)法確定函數(shù)解析式；

1Q13

（2）由二次函數(shù)>一]x_9,求得點(diǎn)C（0,-9）,設(shè)點(diǎn)P（",0）,點(diǎn)。（凡9）,分類討論：當(dāng)AC

為邊，AQ為對角線時(shí)，當(dāng)AC為邊，AP為對角線時(shí)，運(yùn)用平行四邊形對角線互相平分性質(zhì)，構(gòu)建方程求

解；

【詳解】（1）將A（—3,0）,3（6,0）代入〉=依2+灰-9,得

j_

a=

9a-3b-9=Q2

36a+6b-9=0'解得

_3

b=

-2

14

???拋物線解析式為：J^=-X2--X-9

i3

（2）二次函數(shù)y=]%2一/%一9,當(dāng)％=0時(shí)，y=

?,?點(diǎn)。（0「9）

13

設(shè)點(diǎn)P（九0）,點(diǎn)。-_n_9）,

當(dāng)AC為邊，42為對角線時(shí)，

???四邊形ACQ尸為平行四邊形，

???42,CP互相平分

13

A-n2--n-9=-9解得，n=0（舍去）或〃=3

點(diǎn)。坐標(biāo)（3,-9）；

i3

同理得，-1--n-9+(-9)=0

22

副但33后個(gè)33歷

解得，n=-+----或〃=--------，

2222

1,3

-n---n-9=9

22

.上門0廣/33^17C、T,33717c、

??點(diǎn)。坐標(biāo)(5+,9)或(耳----,9)

綜上，點(diǎn)。坐標(biāo)(3,-9),或弓+之乎,9)或g-2乎,9)；

5.(2023?山東棗莊?中考真題)如圖，拋物線>=-尤2+法+。經(jīng)過A(-l,0),C(0,3)兩點(diǎn)，并交x軸于另一點(diǎn)2,

點(diǎn)〃是拋物線的頂點(diǎn)，直線AM與軸交于點(diǎn)D

備用圖

(1)求該拋物線的表達(dá)式;

⑶若點(diǎn)尸是拋物線上一動點(diǎn)，問在對稱軸上是否存在點(diǎn)。，使得以。，M,P,。為頂點(diǎn)的四邊形是平行四

邊形？若存在，請度填寫出所有滿足條件的點(diǎn)。的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.

【分析】(1)待定系數(shù)法求出函數(shù)解析式即可;

(3)分DM,DP,M尸分別為對角線，三種情況進(jìn)行討論求解即可.

【詳解】(1)解：:?拋物線產(chǎn)-爐+6x+c經(jīng)過4-l,0),C(0,3)兩點(diǎn),

—l—b+c=Qb=2

,解得:

c=3c=3

??y=—尤2+2無+3?

(3)解:存在；

y=-x2+2x+3=-(x-1)-+4,

，對稱軸為直線x=l,

設(shè)尸(pj),2(1,n),

當(dāng)以。，M,P,。為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形時(shí):

①加為對角線時(shí)：-

t+n=4+2'

1

\t+n=6

當(dāng)p=0時(shí)，，=3,

.**n=3,

Jo+p=l+l

②當(dāng)￡＞尸為對角線時(shí)：

12+，=4+〃

t

qfr

1

??.]P=2,

[2+/=4+幾

當(dāng)p=2時(shí)，,=-22+2x2+3=3,

n=l,

2(1,1)；

1+p=0+1

③當(dāng)〃尸為對角線時(shí):

4+/=2+〃

當(dāng)p=0時(shí)，t=3,

??〃=5,

.-.2(1,5)；

綜上：當(dāng)以。，M,P,°為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形時(shí)，。(1,3)或。(1,1)或。(1,5).

【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，是中考常見的壓軸題.正確的求出函數(shù)解析式，熟練掌握二次函

數(shù)的性質(zhì)，利用數(shù)形結(jié)合和分類討論的思想進(jìn)行求解，是解題的關(guān)鍵.

6.(2023?甘肅武威?中考真題)如圖1,拋物線丫=-父+樂與x軸交于點(diǎn)A,與直線＞=一》交于點(diǎn)3(4,T),

點(diǎn)C(O,T)在y軸上.點(diǎn)P從點(diǎn)8出發(fā)，沿線段3。方向勻速運(yùn)動，運(yùn)動到點(diǎn)。時(shí)停止.

⑴求拋物線y=-V+&V的表達(dá)式；

⑵當(dāng)=時(shí)，請?jiān)趫D1中過點(diǎn)P作尸。_LCM交拋物線于點(diǎn)D,連接尸C,OD,判斷四邊形OCPO的

形狀，并說明理由.

【分析】(1)用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式即可；

(2)作PDLQ4交拋物線于點(diǎn)。，垂足為H,連接尸C,0D,由點(diǎn)尸在》=一》上，可知0"=尸",

ZPOH=45°,連接3C,得出02=4&,則OH=PH=^0P=顯乂2也=2,當(dāng)/=2時(shí)，

22

一4+3x2=2,進(jìn)而得出PZ)=OC,然后證明尸D〃OC,即可得出結(jié)論；

【詳解】(1)解：：拋物線丫=7+區(qū)過點(diǎn)B(4,T),

一16+46=4

：.b=3,

y=—x2+3x；

(2)四邊形OCPD是平行四邊形.

理由：如圖1,作尸DLQ4交拋物線于點(diǎn)。，垂足為H,連接尸C,0O.

?點(diǎn)?在，=-％上，

：.OH=PH,ZPOH=45°,

連接3C,

??OC=BC=4,

??OB=4A/2，

,?*BP=272，

OP=OB-BP=26,

???OH=PH=—OP=—x2y/2=2,

22

當(dāng)X。=2時(shí)，DH=yD=-4+3x2=2,

PD=DH+PH=2+2=4,

,/C（0,M）,

:.OC=4f

：.PD=OC,

：OC_Lx軸，P￡>_Lx軸，

PD//OC,

四邊形OCPD是平行四邊形;

7.(2023.四川巴中,中考真題)在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=o?+阮+c(g0)經(jīng)過點(diǎn)A(-l,0)和B(0,3),

其頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)為1.

⑴求拋物線的表達(dá)式.

(3)若點(diǎn)P為拋物線y=a/+法+c(aw0)的對稱軸上一動點(diǎn)，將拋物線向左平移1個(gè)單位長度后，。為平移

后拋物線上一動點(diǎn).在(2)的條件下求得的點(diǎn)是否能與A、P.Q構(gòu)成平行四邊形？若能構(gòu)成，求

出Q點(diǎn)坐標(biāo)；若不能構(gòu)成，請說明理由.

【分析】(1)待定系數(shù)法求解析式即可求解;

(3)由(1)知,y=--+2x+3向左平移后的拋物線為>=3+4,由⑵知4T0),設(shè)

尸(1,%),。(勺,％),假設(shè)存在以A、尸、Q、/為頂點(diǎn)的平行四邊形.根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式，分類討論即可

求解，①當(dāng)以A"為對角線時(shí)，②當(dāng)以A。為對角線時(shí)，③當(dāng)以AP為對角線時(shí).

【詳解】(1)解：???拋物線的頂點(diǎn)橫坐標(biāo)為1

對稱軸為x=l

A(-l,0)

與x軸另一交點(diǎn)為(3,0)

設(shè)拋物線為V=a(x+1)(尤一3)

Q8(0,3)

CL=11

/.j=-(x+l)(x-3)

拋物線的表達(dá)式為y-+2x+3

(3)由(1)知，>=一/+2工+3向左平移后的拋物線為丁=-/+4

由由)知M(|,抖A(TO)

設(shè)尸(1,%),。(々,場),假設(shè)存在以A、P、Q、/為頂點(diǎn)的平行四邊形.

①當(dāng)以AM為對角線時(shí)，

???平行四邊形對角線互相平分

.4+3=&+%,即T+萬l+xQ

2

z2z---------=2--------2

1

,??。在拋物線〉=*+4上

15

；?%=1

,Q的坐標(biāo)為

②當(dāng)以AQ為對角線時(shí)

.一3

同理可得/q=Xp+",即-1+41+2

/22z-----2-----=---2---

733

門口則為丁

Q的坐標(biāo)為

③當(dāng)以A尸為對角線時(shí)

3

4+，即7+1%e+2

22—=——

37

.??&=_，貝

37

二。的坐標(biāo)為

254

綜上所述：存在以A、P、Q、M為頂點(diǎn)的平行四邊形.

Q的坐標(biāo)為cm、a。-富。3m

【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)綜合，二次函數(shù)的平移，待定系數(shù)法求解析式，線段最值問題，平行四邊形

的性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

8.（2023?四川南充?中考真題）如圖1,拋物線丫=依2+次+3（awO）與無軸交于A（T0）,3（3,0）兩點(diǎn),

（1）求拋物線的解析式；

（2）點(diǎn)P在拋物線上，點(diǎn)。在x軸上，以8,C,P,。為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形，求點(diǎn)尸的坐標(biāo);

【分析】（1）將A（-L0），3（3,0）兩點(diǎn)代入拋物線的解析式即可求解；

（2）根據(jù)P,。的不確定性，進(jìn)行分類討論：①過C作CP〃x軸，交拋物線于勺，過月作交x

軸于0i，可得%=3,由-d+2x+3=3,可求解；②在x軸的負(fù)半軸上取點(diǎn)Q，過久作交拋

物線于8，同時(shí)使之5=8。，連接C2、BP2,過鳥作鳥軸，交無軸于。，地=-3,即可求解；③

當(dāng)2C為平行四邊形的對角線時(shí)，在①中，只要點(diǎn)。在點(diǎn)B的左邊，且滿足8。=8。，也滿足條件，只是

點(diǎn)P的坐標(biāo)仍是①中的坐標(biāo)；

【詳解】（1）解：?.?拋物線y=aY+6x+3（awO）與x軸交于A（—l,0）,8（3,0）兩點(diǎn)，

0+3=0

,|9?+3Z?+3=0,

a=-1

解得

b=2

故拋物線的解析式為丫=-—+2工+3.

（2）解：①如圖，過C作C尸〃x軸，交拋物線于過［作4Q〃8C,交x軸于。一

???四邊形Bq。1是平行四邊形，

「?力=3,

—%2+2%+3=3,

解得：石=2,%2=°，

片（2,3）；

同時(shí)使&鳥=連接C°2、

②如圖，在X軸的負(fù)半軸上取點(diǎn)。2,過Q2作Q2P2〃BC,交拋物線于P2,BC,BP2,

過鳥作軸，交x軸于。，

四邊形BC24是平行四邊形,

NCBQ]=ZP2Q2B,

在和Ago/中，

BQ2=Q2B

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