利用導(dǎo)數(shù)證明不等式（學(xué)生版）-2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)專練（新高考專用）

重難點(diǎn)05利用導(dǎo)數(shù)證明不等式【十大題型】

【新高考專用】

?題型歸納

【題型1直接法證明不等式】...................................................................2

【題型2移項(xiàng)構(gòu)造函數(shù)證明不等式】............................................................3

【題型3分拆函數(shù)法證明不等式】...............................................................4

【題型4分析法證明不等式】...................................................................5

【題型5放縮法證明不等式】...................................................................6

【題型6指對(duì)同構(gòu)】...........................................................................8

【題型7隱零點(diǎn)法】...........................................................................9

【題型8雙變量不等式的證明】................................................................10

【題型9函數(shù)與數(shù)列不等式綜合證明問題】......................................................11

【題型10導(dǎo)數(shù)新定義的不等式證明問題】......................................................12

?命題規(guī)律

1、利用導(dǎo)數(shù)證明不等式

導(dǎo)數(shù)中的不等式證明是高考的常考題型，是高考的熱點(diǎn)問題，常與函數(shù)的性質(zhì)、函數(shù)的零點(diǎn)與極值、

數(shù)列等相結(jié)合，雖然題目難度較大，但是解題方法多種多樣，如構(gòu)造函數(shù)法、放縮法等，針對(duì)不同的題目,

靈活采用不同的解題方法，可以達(dá)到事半功倍的效果.

?方法技巧總結(jié)

【知識(shí)點(diǎn)1導(dǎo)數(shù)中的不等式證明的解題策略】

1.導(dǎo)數(shù)中的不等式證明的解題策略

(1)一般地，要證於)>g(x)在區(qū)間(0,6)上成立，需構(gòu)造輔助函數(shù)尸(x)=/(x)—g(x),通過分析F(x)在端點(diǎn)

處的函數(shù)值來證明不等式.若尸(a)=0,只需證明F(x)在(a,6)上單調(diào)遞增即可；若尸(6)=0,只需證明F(x)

在(a,田上單調(diào)遞減即可.

(2)在證明不等式中，若無法轉(zhuǎn)化為一個(gè)函數(shù)的最值問題，可考慮轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)的最值問題.

2.移項(xiàng)構(gòu)造函數(shù)證明不等式

待證不等式的兩邊含有同一個(gè)變量時(shí)，一般地，可以直接構(gòu)造“左減右”或“右減左”的函數(shù)，利用

導(dǎo)教研究其單調(diào)性等相關(guān)函數(shù)性質(zhì)證明不等式.

3.分拆函數(shù)法證明不等式

(1)若直接求導(dǎo)后導(dǎo)數(shù)式比較復(fù)雜或無從下手時(shí)，可將待證式進(jìn)行變形，構(gòu)造兩個(gè)函數(shù)，從而找到可以

傳遞的中間量，達(dá)到證明的目標(biāo).在證明過程中，等價(jià)轉(zhuǎn)化是關(guān)鍵，此處gCOminBVOmax恒成立，從而於)W

g(x)恒成立.

(2)等價(jià)變形的目的是求導(dǎo)后簡(jiǎn)單地找到極值點(diǎn)，一般地，e，與Inx要分離，常構(gòu)造x"與hw,x"與e*的

積、商形式.便于求導(dǎo)后找到極值點(diǎn).

4.放縮后構(gòu)造函數(shù)證明不等式

某些不等式，直接構(gòu)造函數(shù)不易求其最值，可以適當(dāng)?shù)乩檬熘暮瘮?shù)不等式

e^x+1,1-qWlnxWx—1等進(jìn)行放縮，有利于簡(jiǎn)化后續(xù)導(dǎo)數(shù)式的求解或函數(shù)值正負(fù)的判斷；也可以利

用局部函數(shù)的有界性進(jìn)行放縮，然后再構(gòu)造函數(shù)進(jìn)行證明.

【知識(shí)點(diǎn)2指對(duì)同構(gòu)】

1.指對(duì)同構(gòu)證明不等式

在解決指對(duì)混合不等式時(shí)，如恒成立求參數(shù)取值范圍或證明不等式，有一部分題是命題者利用函數(shù)單

調(diào)性構(gòu)造出來的，如果我們能找到這個(gè)函數(shù)模型(即不等式兩邊對(duì)應(yīng)的同一函數(shù))，無疑大大加快解決問題的

速度.找到這個(gè)函數(shù)模型的方法，我們稱為同構(gòu)法.

(1)五個(gè)常見變形：

xe工==ex-'nr,-^=elnx~x,x+Inx=ln(xex),x-lnx=lny.

?舉一反三

【題型1直接法證明不等式】

【例1】(2024?江蘇連云港?模擬預(yù)測(cè))已知函數(shù)/(%)=e汽一g/一%.

(1)求函數(shù)f(%)在第=1處的切線方程.

(2)證明:VxGQ+oo),/(x)>sin%.

【變式1-1](2024?河北保定?三模)已知函數(shù)/(%)=d一+Ex,%=1為/(%)的極值點(diǎn).

⑴求。；

(2)證明：/(%)<2x2—4x.

【變式1-21(23?24高三下?云南昆明?階段練習(xí))已知函數(shù)/(%)=產(chǎn)一In%,a>0.

⑴求/(%)的最小值g(a)；

(2)證明：g(a)<a+——1.

【變式1-3](2024?江蘇徐州?模擬預(yù)測(cè))已知函數(shù)f(%)=2/+%一]n(%+m),mER.

(1)當(dāng)m=0時(shí),求曲線y=/(%)在點(diǎn)(1/(1))處的切線方程;

(2)當(dāng)77141時(shí)，證明：f(x)>0.

【題型2移項(xiàng)構(gòu)造函數(shù)證明不等式】

[例2](2024?廣西?模擬預(yù)測(cè))設(shè)函數(shù)/(%)=Inx+ax+b,曲線y=/(%)在點(diǎn)(1)(1))處的切線方程為y=

6%—3.

(1)求a,b的值；

(2)證明：/(x)>-￡-1.

【變式2-1](2024?陜西安康?模擬預(yù)測(cè))已知函數(shù)/(%)=￡,g(%)=In%.

(1)求f(%)的極值;

(2)證明：xgQx)+2>ex/(x)-1.

【變式2-2](2024?陜西榆林?三模)已知函數(shù)/(%)=minx+%2-%,/(%)的導(dǎo)函數(shù)為/'(%).

(1)討論/(%)的單調(diào)性；

(2)當(dāng)772=1時(shí)，證明：f(%+1)<-^=++%—1.

【變式2-3](2024?上海松江?二模)已知函數(shù)y=%?In%+Q(。為常數(shù))，記y=/(%)=X?g(%).

(1)若函數(shù)y=g(%)在％=1處的切線過原點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的值；

(2)對(duì)于正實(shí)數(shù)3求證：/(%)+f(t-%)>f(t)-tln2+a；

(3)當(dāng)a=1時(shí)，求證：g(%)+cosx<亍.

【題型3分拆函數(shù)法證明不等式】

【例3】(23-24高三上?廣東?階段練習(xí))已知函數(shù)/(%)=a%e%(aH0).

⑴討論/(%)的單調(diào)性；

(2)當(dāng)a>9時(shí)'證明：—(%+l)lnx>0.

【變式3-1](2024?全國?模擬預(yù)測(cè))已知函數(shù)/(%)=a%-ln%,aER.

(1)若函數(shù)F(%)=/(%)-/有兩個(gè)極值點(diǎn)，求a的取值范圍；

(2)若曲線y=/(%)在點(diǎn)R/g))處的切線與y軸垂直，求證：/(%)<ex+

【變式3?2】(2024?廣西柳州?三模)已知函數(shù)/(%)=三千.

(1)求函數(shù)/(%)在點(diǎn)(1)(%))處的切線方程；

(2)求函數(shù)/(久)的單調(diào)區(qū)間；

(3)若/(%)為f(%)的導(dǎo)函數(shù)，設(shè)g(%)=(x2+%)/(%).證明：對(duì)任意%>0,g(x)<1+e-2.

【變式3-3](2024?全國?模擬預(yù)測(cè))已知函數(shù)/(%)=1e2x+(a-2)ex-2ax.

(1)若曲線y=/(%)在(0,a-號(hào)處的切線方程為4a%+2y+1=0,求a的值及f(%)的單調(diào)區(qū)間.

(2)若/(%)的極大值為/Qn2),求a的取值范圍.

(3)當(dāng)a=0時(shí)，求證：/(x)+5ex—|>|x2+xlnx.

【題型4分析法證明不等式】

【例4】(2024?吉林?模擬預(yù)測(cè))已知函數(shù)/(%)=(/一一a)e%.

(1)當(dāng)a=0時(shí)，求函數(shù)/(%)的極值；

(2)求證：當(dāng)0<aV1,%>0時(shí)，/(%)>

【變式4-1](2024?西藏?模擬預(yù)測(cè))已知函數(shù)/(%)=xln(x+1)-%2+ax(^aER).

(1)若/(%)在定義域內(nèi)是單調(diào)函數(shù)，求a的取值范圍；

(2)若/(%)有兩個(gè)極值點(diǎn)%1，%2，求證：%1+x2>0.

【變式4-2](2024?河北?模擬預(yù)測(cè))已知函數(shù)/(%)=aln%-

⑴討論/(%)的單調(diào)性；

(2)證明：當(dāng)a>0時(shí)，/(%)<-1.

【變式4-3](2024?寧夏吳忠?模擬預(yù)測(cè))已知函數(shù)/(久)=aex-x-|(aeR).

(1)討論/(久)的單調(diào)性；

(2)證明：當(dāng)。>0時(shí)，/(%)>2Ina—a2.

【題型5放縮法證明不等式】

【例5】(2024?山東?模擬預(yù)測(cè))已知函數(shù)/O)=—胃久+生歲±B，其中爪大0.

(1)求曲線y=/(x)在點(diǎn)(2)(2))處切線的傾斜角；

(2)若函數(shù)/(%)的極小值小于0,求實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍；

(3)證明：2e%—2(%+l)lnx-%>0.

【變式5-1](2024?山東?模擬預(yù)測(cè))已知函數(shù)f(x)=G+a)lnx+：-2,其中QGR.

(1)當(dāng)a>1時(shí)，判斷/(%)的單調(diào)性;

(2)若/(%)存在兩個(gè)極值點(diǎn)%1，%2(第2>>0).

(i)證明：%2—+2>/;

(ii)證明：x￡(1,+8)時(shí)，f(%)—~2~—2.

【變式5-2](2024?遼寧?二模)已知函數(shù)/(%)=In%+a/+(a+2)X+1,(aER,a斐0).

⑴討論函數(shù)/(%)的單調(diào)性;

(2)若a=-2,證明：ex—%2+2%—%/(%)>1.

【變式5?31(23?24高三上?湖北?階段練習(xí))已知函數(shù)/(%)=%ln%.

⑴討論/(%)的單調(diào)性；

(2)若兩個(gè)不相等的正實(shí)數(shù)a,b滿足f(a)=/(b),求證：a+b<l；

(3)若:<a<p求證：/(cosa)<f(sina).

【題型6指對(duì)同構(gòu)】

【例6】(2024?江蘇蘇州?模擬預(yù)測(cè))已知函數(shù)/(X)=Imr+a久+1,aeR.

⑴討論f(x)的單調(diào)性；

(2)當(dāng)aW2時(shí)，證明：^<e2x.

【變式6-1](2024?黑龍江雙鴨山?模擬預(yù)測(cè))已知函數(shù)/(久)=In久+：—a(>+l)(aeR).

(1)當(dāng)a=-1時(shí)，討論f(%)的單調(diào)性;

(2)若%V%2)是/(%)的兩個(gè)極值點(diǎn)，證明：/(%2)-

【變式6-2](2024?陜西安康?模擬預(yù)測(cè))己知函數(shù)/(%)=e%—eT—2a%(aCR).

(1)當(dāng)a=2時(shí)，求曲線y=/(%)在點(diǎn)(0/(0))處的切線方程；

(1,%=0,_

(2)若函數(shù)gO)=卜-erX去0，求證：1<g(久)W土x皆x.

【2x'

【變式6-3](2024?湖北荊州?三模)已知函數(shù)/(%)=%e%—a(ln%+%),其中e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù).

(1)當(dāng)a=1時(shí)，求曲線y=/(%)在點(diǎn)處的切線的斜截式方程；

(2)當(dāng)a=e時(shí)，求出函數(shù)f(%)的所有零點(diǎn)；

(3)證明：x2ex>(%+2)lnx+2sinx.

【題型7隱零點(diǎn)法】

【例7】⑵-24高三下?河南?階段練習(xí))已知函數(shù)f(x)=xe，_3ex.

(1)求/(久)的極值；

(2)若g(x)=/'(久)一x+Inx在t,1]上的最大值為力,求證：-6e-3</(A)<-7e-4.

【變式7-1](23-24高三下?青海海南?開學(xué)考試)已知函數(shù)/(>)=aexT—x—l.

(1)討論/(久)的單調(diào)性；

(2)證明:當(dāng)a21時(shí)，/(x)+x-\nx>.

【變式7-2](2024?甘肅?--模)已知函數(shù)/(x)=ax-(a+l)ln久一§+2(aeR).

(1)討論函數(shù)/(比)單調(diào)性;

(2)當(dāng)a=—2時(shí)，求證：/(x)<ex—2x—\

【變式7-3](2024?廣東廣州?模擬預(yù)測(cè))已知函數(shù)/Xx)=xe。，(a>0).

⑴求f(x)在區(qū)間上的最大值與最小值;

(2)當(dāng)a21時(shí)，求證：/(x)>Inx+x+1.

【題型8雙變量不等式的證明】

[例8](2024?安徽合肥?模擬預(yù)測(cè))已知函數(shù)/(%)=a(l-21nx)+4x6(aeR).

(1)討論/(%)的單調(diào)性；

(2)若%1，%2(X1W第2)為函數(shù)9(%)=kx2+1一In%的兩個(gè)零點(diǎn)，求證：(%I%2)4>12e4.

【變式8-1](2024?四川成都?模擬預(yù)測(cè))已知函數(shù)/(%)=詈一犯％￡(0m).

(1)求函數(shù)/(%)的單調(diào)區(qū)間；

(2)若%1<%2，滿足/(%1)=/(%2)=0.

(i)求m的取值范圍；

(ii)證明：+%2V兀

【變式8-2](2024?廣東佛山?二模)已知/■(>)=一片2工+41-￡1%—5.

(1)當(dāng)a=3時(shí)，求/(%)的單調(diào)區(qū)間;

(2)若/(%)有兩個(gè)極值點(diǎn)%1，%2，證明：/(%1)+/(%2)+%1+%2Vo?

【變式8-3](2024?安徽阜陽?一模)已知函數(shù)/(%)=31n%-a%.

⑴討論f(%)的單調(diào)性.

(2)已知小,％2是函數(shù)/(%)的兩個(gè)零點(diǎn)(%1<%2)?

(i)求實(shí)數(shù)Q的取值范圍.

(ii)Ae(0,3，/6)是/0)的導(dǎo)函數(shù).證明：/Uxi+(1-A)x2]<0.

【題型9函數(shù)與數(shù)列不等式綜合證明問題】

【例9】(2024?山東淄博?一模)已知函數(shù)/(>)=lnx+4G—x)(4eR).

(1)當(dāng)%>1時(shí)，不等式/(%)<o恒成立，求a的最小值；

(2)設(shè)數(shù)列％=L(neN*),其前n項(xiàng)和為%,證明：S2n—S”+子>ln2.

714

【變式9-1](2024?河南?模擬預(yù)測(cè))已知函數(shù)/'(x)=InW(%K0)-

⑴證明：士>f(x)；

(2)若正項(xiàng)數(shù)列｛時(shí)｝滿足0n=/(0n+D，且國€(0,1),記｛%｝的前聯(lián)項(xiàng)和為Sn，證明：Sn>^(n>2).

【變式9-2](2024?重慶?二模)已知函數(shù)/(久)=總5

(1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間；

(2)當(dāng)0<久<1.時(shí)，/(%)>~zv+a,求實(shí)數(shù)a的取值范圍;

111

(3)已知數(shù)列｛冊(cè)｝輛足：的="且冊(cè)=/(冊(cè)+力.證明：谷口<ctn<—.

【變式9-3](2024,河南?模擬預(yù)測(cè))已知函數(shù)g(無)=Inx+mx+1.

(1)當(dāng)m<0時(shí)，求gO)的單調(diào)區(qū)間；

(2)當(dāng)m=1時(shí)，設(shè)正項(xiàng)數(shù)列滿足：x1=1,xn+1=g(xn),

①求證：島W1；

②求證：器21n(1+/<1.

【題型10導(dǎo)數(shù)新定義的不等式證明問題】

【例10](2024?福建廈門?三模)帕德近似是法國數(shù)學(xué)家亨禾小帕德發(fā)明的用有理多項(xiàng)式近似特定函數(shù)的方

法，在計(jì)算機(jī)數(shù)學(xué)中有著廣泛的應(yīng)用.已知函數(shù)/(久)在x=0處的[仍出階帕德近似定義為：/?(%)=

a且滿足：/(0)=R(0),f'(0)=R'(0),#2)(O)=R(2)(0),,/S+n)(0)=R(M+皿)(0).其中

f(2)(x)="⑶(x)=[產(chǎn)2)(久)]:..,/6+”)(久)=[/(m+n-l)(x)[已知/⑴=ln(x+1)在久=0處的[2,2]

階帕德近似為R(x)=上絲

1+x+o^x2

(1)求實(shí)數(shù)a,6的值；

(2)設(shè)九(%)=/(%)-/?(%),證明：x/i(x)>0；

(3)已知是方程lnx=4(x-3的三個(gè)不等實(shí)根，求實(shí)數(shù)4的取值范圍，并證明：生產(chǎn)>[-1.

【變式10-1］(23-24高三下?重慶?期中)若函數(shù)八久)在定義域內(nèi)存在兩個(gè)不同的數(shù)打,久2,同時(shí)滿足/(%1)=

/(町)，且人乃在點(diǎn)(打,/(/)),(冷，/(久2))處的切線斜率相同，則稱/O)為“切合函數(shù)”

(1)證明：/(x)=%3-2%為"切合函數(shù)"；

(2)若g(x)=x\nx-x2+ax為“切合函數(shù)”，并設(shè)滿足條件的兩個(gè)數(shù)為利,比2?

(i)求證：久2<-；

2_xx

(ii)求證：(a+1)X1X2Vi2<

【變式10-2］(2024?山西?三模)微分中值定理是微積分學(xué)中的重要定理，它是研究區(qū)間上函數(shù)值變化規(guī)律

的有效工具，其中拉格朗日中值定理是核心，它的內(nèi)容如下：

如果函數(shù)f(x)在閉區(qū)間［a,6］上連續(xù)，在開區(qū)間(a,b)可導(dǎo)，導(dǎo)數(shù)為f'(x),那么在開區(qū)間(a,6)內(nèi)至少存在一點(diǎn)

c，使得/''(c)=叫f(%其中c叫做/(%)在［a,句上的“拉格朗日中值點(diǎn)”.已知函數(shù)"X)=+b\x-

4)e。%—y%3+(9V%2.

(1)若a=—lfb=0,求函數(shù)f(%)在［1,7］上的“拉格朗日中值點(diǎn)“o；

(2)若a=-1,b=1,求證:函數(shù)/(%)在區(qū)間(0,+8)圖象上任意兩點(diǎn)A,B連線的斜率不大于18-e~6；

(3)若a=1"=一1,且第1<%2<%3，求證:"亞)-"一)>"%2).

\4/久2一11X3—X2

【變式10-3］(2024?浙江紹興?二模)帕德近似是法國數(shù)學(xué)家亨利?帕德發(fā)明的用有理多項(xiàng)式近似特定函數(shù)

1

的方法.給定兩個(gè)正整數(shù)科n，函數(shù)/(%)在x=0處的［犯n］階帕德近似定義為：R(x)=且滿

治XID不1XI:,,,［ID丁^riX：

足：/(0)=R(0),f'(0)=R(0),f"(0)=R"(0),…，/(i(O)=R(m+")(0).已知/(久)=M在%=0處的［1,1］

階帕德近似為R(x)=震f-注：f"(x)=［八久)］，=［/"(X)］1=，"'(久)［1產(chǎn)5)(久)-［y(4)(x)］,

(1)求實(shí)數(shù)%6的值；

(2)當(dāng)xe(0,1)時(shí)，試比較f(x)與R(x)的大小，并證明；

a

(3淀義數(shù)列｛%｝：的=ane麗+i=e"-1,求證:<an<盍.

?過關(guān)測(cè)試

一、單選題

1.（2024映西安康?模擬預(yù)測(cè)）已知。=定方=:兒=3S則（）

567

A.a>b>cB.a>c>bC.c>b>aD.c>a>b

2.（2024?陜西安康?模擬預(yù)測(cè)）若0V/<犯<1，貝1J（）

X1%2X1

A.e%2+ln%i>e+lnx2B.e+\nxr<e+lnx2

e%1X2X1X2

C.x2>x1eD.x2e<x1e

3.（2024?河北衡水?模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)/（%）=In%+1-a%有兩個(gè)零點(diǎn)％i，%2，且汽i<%2，則下列命題正

確的是（）

2

A.a>1B.%1+%2V1

1

C.D.x2—xr>--1

4.（2024?河南鄭州?三模）設(shè)％1，皿€（°，+8）,且e%i+ln%2=l，則（）

A.若％1=%2，則％1GB.若為1%2=1，則％1存在且不唯一

C.乙+X2>1D.x1+lnx2>0

5.（2024?安徽?三模）已知實(shí)數(shù)Xi/2,比3滿足F=e:1則（）

Z-yjI+X3+I20

A.Xr<X2<%3B.<%3<%2

x

C.X2<x3<X1D.%2<V3

6.（2024?山東?模擬預(yù)測(cè)）已知Q>o,6>0,且a+b=ab,則下列不等式成立的是（）

A.a+b<4B.log2a+log2h>2

C.blna>1D.+VF>3

7.(2024?四川南充?模擬預(yù)測(cè))設(shè)a>06>0,且a+b=l,則下列結(jié)論正確的個(gè)數(shù)為()

①log2a+log2bN_2②2a+2h>2企③a+Inb<0④sinasinb<-

4

A.1B.2C.3D.4

8.（2024?四川瀘州?三模）已知%>0,ex+lny=1,給出下列不等式

①％+Iny<0；②e%+y>2；③In%+ey<0；④久+y>1

其中一定成立的個(gè)數(shù)為（）

A.1B.2C.3D.4

二、多選題

9.（2024?浙江溫州?模擬預(yù)測(cè)）已知4（十+1）=匕+1）,a,be/?,a<b則以下正確的是（）

A.a—Ina=h+e-hB.a+h>1

C.b=eaD.ab<-

e

10.（2024?江蘇南通?三模）已知2a=logza,log2b=貝U（）

A.a+2a=b+2-bB.a+b^2b+2-a

11

C.26+1>eaD.2a>e1-6

11.(2024?全國?模擬預(yù)測(cè))已知函數(shù)/(x)=久+In(久一2),g(x)=xlirr.若/'(久。=2+31nt,g(%2)=/，

則下列結(jié)論中正確的是()

A.VxE(2,+oo),f(x)<g(x)B./—2=lnx2

1

c.3x0￡