四川省2024-2025學年高二數(shù)學上學期期中理科試題含解析1

Page19四川省2024-2025學年高二數(shù)學上學期期中理科試題一.選擇題（共12小題，每小題5分，滿分60分）1.已知集合，，則（）A. B. C.， D.【答案】D【解析】【分析】依據(jù)已知條件及交集的定義即可求解.【詳解】由題意可知，解得，所以.故選：D.2.已知向量，，若與共線，則實數(shù)的值為（）A.3 B.2 C. D.【答案】C【解析】【分析】依據(jù)給定條件，利用共線向量的坐標表示計算作答.【詳解】向量，，而與共線，則，解得，所以實數(shù)的值為.故選：C3.2024年某高校有2400名畢業(yè)生參與國家公務員考試，其中專科生有200人，本科生1000人，探討生有1200人，現(xiàn)用分層抽樣的方法調(diào)查這些學生利用因特網(wǎng)查找學習資料的狀況，從中抽取一個容量為的樣本，已知從專科生中抽取的人數(shù)為10人，則等于（）A.100 B.200 C.120 D.400【答案】C【解析】【分析】依據(jù)給定條件，利用分層抽樣方法列式計算作答.【詳解】依題意，，解得，所以等于120.故選：C4.對某商店一個月內(nèi)每天的顧客人數(shù)進行了統(tǒng)計，得到樣本的莖葉圖（如圖所示），則該樣本的中位數(shù)、眾數(shù)、極差分別是A.46，45，56 B.46，45，53C.47，45，56 D.45，47，53【答案】A【解析】【詳解】由概念知中位數(shù)是中間兩數(shù)的平均數(shù)，即眾數(shù)是45，極差為68-12=56.所以選A.點評：此題主要考察樣本數(shù)據(jù)特征的概念，要正確地理解樣本數(shù)據(jù)特征的概念以及正確地用來估計總體.5.設是公比為正數(shù)的等比數(shù)列，若，則數(shù)列的前7項的和為A.63 B.64 C.127 D.128【答案】C【解析】【詳解】由及是公比為正數(shù)的等比數(shù)列，得公比q=2，所以．6.已知命題“關于的方程有實根”，若非為真命題的充分不必要條件為，則實數(shù)的取值范圍是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】求出當命題為真命題時的取值范圍，依據(jù)已知條件可得出關于實數(shù)的不等式，即可求得的取值范圍.【詳解】若為真命題，則，解得，若非為真命題，則，由題意可得，則，解得.故選：A.7.下列命題中正確的是（）A.命題“若，則”的否命題為：“若，則”B.在區(qū)間上隨機地取一個數(shù)，則事務“”發(fā)生的概率為C.已知命題：，，則：，D.用更相減損術求和的最大公約數(shù)時，需做減法的次數(shù)是【答案】B【解析】【分析】對于A，利用否命題的定義即可求解；對于B，利用對數(shù)不等式及幾何概型的計算公式即可求解；對于C，特稱命題的否定為全稱命題即可求解；對于D，利用更相減損術即可求解.【詳解】對于A，命題“若，則”的否命題為：“若，則”,故A錯誤；對于B，由，得，解得，又因為，所以所求的概率為，故B正確；對于C，命題：，，則：，，故C錯誤；對于D，由，所以是和的最大公約數(shù)，因此用更相減損術求294和84的最大公約數(shù)時，需做減法的次數(shù)是，故D錯誤；故選：B.8.已知一個三棱錐的三視圖如圖所示，俯視圖是等腰直角三角形，若該三棱錐的四個頂點均在同一球面上，則該球的體積為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】依據(jù)給定三視圖，確定原三棱錐的結構特征，再結合補形的方法求出其外接球體積作答.【詳解】依題意，給定的三視圖對應的幾何體為如圖所示的三棱錐，其中底面，兩兩垂直，且，因此三棱錐與以線段為共點三條棱的長方體有相同的外接球，于是得三棱錐的外接球直徑，所以三棱錐的外接球體積.故選：A9.公元263年左右，我國數(shù)學劉徽發(fā)覺當圓內(nèi)接多邊形的邊數(shù)無限增加時，多邊形面積可無限靠近圓的面積，并創(chuàng)立了割圓術.利用割圓術劉徽得到了圓周率精確到小數(shù)點后面兩位的近似值3.14，這就是聞名是徽率.如圖是利用劉徽的割圓術設計的程序框圖，則輸出的為（）（參考數(shù)據(jù)：）A.12 B.24 C.36 D.48【答案】B【解析】【分析】依據(jù)框圖的循環(huán)結構逐步計算即可【詳解】運行程序框圖：①：，；②，；③：，跳出循環(huán)故選：B.10.直線與圓相交于、兩點.若，則的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由，結合圓的半徑，由勾股定理可得圓心到直線的距離,利用點到直線距離公式，列不等式可得結果.【詳解】若，則圓心到直線的距離,即，解得，故選B.【點睛】本題主要考查點到直線的距離公式、直線與圓的位置關系，屬于中檔題.解答直線與圓的位置關系的題型，常見思路有兩個：一是考慮圓心到直線的距離與半徑之間的大小關系（求弦長問題須要考慮點到直線距離、半徑，弦長的一半之間的等量關系）；二是直線方程與圓的方程聯(lián)立，考慮運用韋達定理以及判別式來解答.11.已知是坐標原點，點，若點為平面區(qū)域上的一個動點，則的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】依據(jù)向量的數(shù)量積的運算得到，畫出不等式組所表示的平面區(qū)域，結合圖形，確定目標函數(shù)的最優(yōu)解，代入求得最大值與最小值，即可求解.【詳解】因為且，所以畫出不等式組對應的平面區(qū)域及直線，如圖所示，當平移直線結合圖象知當直線經(jīng)過點時，目標函數(shù)取得最小值，當直線經(jīng)過點時，目標函數(shù)取得最大值，由，解得，，解得，所以目標函數(shù)的最小值為，最大值為.所以的取值范圍是.故選：B.12.已知函數(shù)，把函數(shù)的零點按從小到大的依次排成一個數(shù)列，記該數(shù)列為.數(shù)列的前項和為，若對隨意，且恒成立，則實數(shù)的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】依據(jù)題意結合零點分析可得，，結合等差數(shù)列的定義與前項和公式求，再依據(jù)恒成立問題結合裂項相消法理解運算.【詳解】當時，令，則，即，由題意可得：，則，∴，即，故數(shù)列是以首項為0，公差為1的等差數(shù)列，則，當時，則，∴，實數(shù)的取值范圍是.故選：C.二.填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分）13.四川師大附中高2024級有學生600人，學生依次編號為001，002，003，…，600.現(xiàn)用系統(tǒng)抽樣的方法抽取一個容量為50的樣本，已知編號為003的同學在樣本中，則第11個編號是___________【答案】【解析】【分析】利用系統(tǒng)抽樣的特點即可求解.【詳解】由題意可知，抽樣間隔為，抽取的第一個樣本編號為，則抽樣編號為，所以抽取的第11個編號是.故答案為：.14.在中，已知，，則___________【答案】【解析】【分析】利用三角形的內(nèi)角和定理及同角三角函數(shù)的平方關系，結合誘導公式及兩角和的正弦公式即可求解.【詳解】在中，，所以,在中，，所以,因為,所以,所以.故答案為：.15.兩個CB對講機持有者，小王和小張都在某貨運公司工作，他們的對講機的接收范圍為25公里，在下午2：00時小王在基地正東距基地30公里以內(nèi)的某處向基地行駛，而小張在下午2：00時正在基地正北距基地30公里以內(nèi)的某處向基地行駛，則在下午2：00時他們能夠通過對講機交談這一概率為___________.【答案】【解析】【分析】求得全部基本領件對應的集合，以及所求事務對應的集合，利用幾何概型的概率計算公式即可求得結果.【詳解】設小王距離基地公里，小張距離基地公里，則全部可能的數(shù)對滿意，他們能夠通過對講機交談，則包含的數(shù)對滿意，由此作圖如下：依據(jù)幾何概率的求解公式，在下午2：00時他們能夠通過對講機交談這一概率.故答案為：.16.給出下列命題：①已知點的坐標是，過點的直線與軸交于點，過點且與直線垂直的直線交軸于，設點是的中點，則點的軌跡方程為；②計算機中常用的十六進制是逢16進1的計數(shù)制，采納數(shù)字0~9和字母共16個計數(shù)符號，這些符號與十進制的數(shù)的對應關系如下表：十六進制0123456789十進制0123456789101112131415例如，用十六進制表示：，則等于；③在圓上任取一點，過點作軸的垂線，為垂足，當點在圓上運動時，若，則的軌跡方程；④袋中共有6個除了顏色外完全相同的球，其中有1個紅球，2個白球和3個黑球.從球中任取兩球兩球顏色為一白一黑的概率為其中全部正確命題的序號是___________（填寫全部正確命題的序號）【答案】①③【解析】【分析】對于①，依據(jù)已知條件及直角三角形斜邊的中線等于斜邊的一半，結合兩點間的距離公式即可求解；對于②,先把十六進制數(shù)化為十進制數(shù)，利用十進制數(shù)計算乘積，再把乘積化為十六進制即可；對于③，依據(jù)已知條件及向量的關系得出坐標的關系，再利用點在圓上即可求解；對于④，利用列舉法寫出基本領件，結合古典概型計算公式即可求解.【詳解】對于①，由題意可知，點既是的斜邊的中點，又是的斜邊的中點，所以，設，則，化簡，得，所以點的軌跡方程為，故①正確；對于②,把十六進制數(shù)化為十進制數(shù)，則,所以,故②錯誤；對于③，設，，則.由，即，于是有，解得，因為在圓上，所以，把代入，得，即，所以的軌跡方程，故③正確；對于④，將1個紅球編號為,2個白球編號為，3個黑球編號為,從6個球中任取2個球的全部可能狀況為,,共種，設“從球中任取兩球兩球顏色為一白一黑”為事務,則事務包括，，共種，所以,故④錯誤.故答案為：①③.三?解答題（本大題共6小題，共70分，解答應寫出文字說明?證明過程成演算步驟）17.（1）已知橢圓的兩個焦點坐標分別是，，并且橢圓經(jīng)過點，求橢圓的方程.（2）已知命題：，命題：，若為假命題，為真命題，求實數(shù)的取值范圍.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）依據(jù)橢圓的定義與方程運算求解，留意焦點所在位置；（2）先求解不等式，再依據(jù)邏輯聯(lián)結詞的性質(zhì)，分類探討運算求解.【詳解】（1）設橢圓的標準方程為，∵，，即，則，∴橢圓的標準方程為.（2）由題意可得：：，則：，：，則：，∵為假命題，為真命題，則真假，或假真，則或，∴實數(shù)的取值范圍是.18.假設關于某設備的運用年限和所支出的修理費用(萬元)，有如下的統(tǒng)計資料:x23456y2.23.85.56.57.0若由資料可知y對x呈線性相關關系，試求:（1）線性回來方程;（2）估計運用年限為10年時的修理費用.(注:，)【答案】（1）；（2）12.38萬元..【解析】【分析】（1）先分別求兩個變量的平均數(shù)，然后利用公式求出，再求，從而可得回來方程；（2）將代入回來方程中求解【詳解】（1），(2)將代入得即運用年限為10年時修理費用的估計值為12.38萬元.19.從某校參與數(shù)學競賽的試卷中抽取一個樣本，考查競賽的成果分布，將樣本分成6組，得到頻率分布直方圖如圖所示，從左到右各小組的小長方形的高的比為，最右邊的一組的頻數(shù)是8.（1）求樣本的容量及直方圖中的值；（2）估計參與這次數(shù)學競賽成果的眾數(shù)?中位數(shù)?平均數(shù).【答案】（1），（2）眾數(shù)為75?中位數(shù)為76?平均數(shù)為75【解析】【分析】（1）利用頻率分布直方圖中的相關公式即可求解；（2）利用頻率分布直方圖中的眾數(shù)、中位數(shù)及平均數(shù)的特點即可求解.【小問1詳解】∵從左到右各小組的小長方形的高的比為∴從左到右各小組的小長方形的面積的比為∴從左到右各小組的小長方形的面積的分別為，，，，，∵，∴，【小問2詳解】設中位數(shù)為，平均數(shù)為.∵，∴∵，∴估計參與這次數(shù)學競賽成果的眾數(shù)為75?中位數(shù)為76?平均數(shù)為75.20.已知圓的方程為（1）若時，求圓與圓：的公共弦所在直線方程及公共弦長；（2）若圓與直線相交于，兩點，且（為坐標原點），求實數(shù)的值.【答案】（1），（2）【解析】【分析】（1）依據(jù)兩圓相交時兩圓方程之差即為公共弦所在直線方程運算求解，并依據(jù)點到直線距離公式結合垂徑定理求公共弦長；（2）由分析可得，聯(lián)立方程結合韋達定理運算求解.【小問1詳解】若時，則圓：的圓心，半徑，由圓與相減得：，所以公共弦所在直線的方程，又∵圓心到公共弦的距離，∴公共弦長為.【小問2詳解】設，，則，，由，可得，則，聯(lián)立方程組，消去y得：，其中，，，則，所以由，解得，此時也成立，即符合題意，∴.21.如圖，正三棱柱中（底面是正三角形且側棱與底面垂直的棱柱是正三棱柱），底面邊長為，若為的中點.（1）求證：直線平面；（2）若該三棱柱的側棱長為1，求證：；（3）若異面直線與的所成角為，求三棱錐的體積.【答案】（1）證明見解析（2）證明見解析（3）【解析】【分析】（1）依據(jù)線面平行的判定定理證明；（2）依據(jù)線面垂直的判定定理和性質(zhì)定理證明；（3）依據(jù)異面直線夾角的定義分析可得或，分類探討，結合轉換頂點法求錐體體積.【小問1詳解】連結交于，連結，在中，∵，分別為和的中點，則，平面，平面，∴平面.【小問2詳解】取中點為，連結，，∵，則，平面平面，平面平面，且平面，∴平面，平面，則，在矩形中，∵，即，∴，則，，平面，∴平面，平面，則.【小問3詳解】由（1）知，則為異面直線和所成的角或其補角，∴或，若，且，∵，且為的中點，則，平面平面，平面平面，且平面，∴平面，平面，則，在中，則，即為等邊三角形，∴，在矩形中，，三棱錐的體積；若，且，同理可得：，在中，則，即，∴，這與沖突，不成立；綜上所述：三棱錐的體積為.22.已知函數(shù)（，為常數(shù)）是定義在上的奇函數(shù)，且（1）若實數(shù)滿意，求實數(shù)取值范圍；（2）若不等式對全部的，恒成立，求實數(shù)的取值范圍；（3）設是定義在上的函數(shù)，其中，是否存在實數(shù)，使得對隨意恒成立？若存在，求出實數(shù)的取值范圍；若不存在，請說明理由.【答案】（1）（2）（3）存在，【解析】【分析】（1）利用奇函數(shù)的性質(zhì)及函數(shù)單調(diào)性即可求解；（2）依據(jù)（1）的結論及不等式恒成立問題，結合更換主元法及一元一次不等式恒成立問題即可求