四川省2024-2025學年高三數(shù)學上學期12月階段考試文試題含解析

Page192024-2025學年高三上學期12月階段考試數(shù)學（文）試題一、選擇題；本題共12小題，每小題5分，共60分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.已知集合，，其中為自然對數(shù)的底數(shù)，則子集的個數(shù)為（）A.1個 B.2個 C.3個 D.4個【答案】B【解析】【分析】首先推斷直線為曲線的切線，再結(jié)合集合含義，得出只有一個元素，從而求解.【詳解】由題知，，在點處的切線斜率為，則在處的切線方程為.因直線與曲線相切于點，有且只有這一個公共點，故中有且只有一個元素，所以的子集個數(shù)為2個．故選:B．2.已知復數(shù)z滿意，則等于（）A.－1 B.0 C.1 D.2【答案】B【解析】【分析】依據(jù)復數(shù)的除法運算可求得，再結(jié)合的周期性運算求解.【詳解】由題意可得：，可得：，則故．故選：B．3.通過隨機詢問110名不同的高校生是否愛好某項運動，得到如下的列聯(lián)表：男女總計愛好402060不愛好203050總計6050110由附表：0．0500．0100．0013．8416．63510．828參照附表，得到的正確結(jié)論是（）A.有99%以上的把握認為“愛好該項運動與性別有關”B.有99%以上的把握認為“愛好該項運動與性別無關”C.在犯錯誤的概率不超過0．1%的前提下，認為“愛好該項運動與性別有關”D.在犯錯誤的概率不超過0．1%的前提下，認為“愛好該項運動與性別無關”【答案】A【解析】【詳解】由，而，故由獨立性檢驗的意義可知選A4.已知雙曲線C：的一條漸近線與直線l：垂直，則雙曲線C的離心率為（）A.2 B.3 C.4 D.5【答案】B【解析】【分析】先由兩直線垂直得到漸近線斜率，則依據(jù)，即得離心率的值.【詳解】與直線l：垂直的雙曲線C：的漸近線方程為，故，則雙曲線的離心率．故選:．5.已知，則的最小值為（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】C【解析】【分析】依據(jù)對數(shù)運算可求得，再用基本不等式即可求得最小值.【詳解】由已知得，.因為，所以.故.當且僅當，即時等號成立.所以，的最小值為3.故選：C．6.等于（）A. B. C.－1 D.1【答案】B【解析】【分析】先由對數(shù)加法運算律得到真數(shù)位置相乘,應用二倍角公式,由特殊角三角函數(shù)值結(jié)合對數(shù)運算得到結(jié)果.【詳解】．故選:．7.如圖，圓柱的底面直徑和高都等于球的直徑，則球與圓柱的體積之比為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】設球的半徑為R，依據(jù)球與圓柱的體積公式計算即可【詳解】設球的半徑為R，則圓柱的底面半徑為R，高．則球的體積，圓柱的體積，∴.故選：B．8.把棱長為4cm正方體表面涂上紅色，再將它分割成棱長為1cm的小正方體，在這些小正方體中隨機任取一個，則六個面都沒有紅顏色的小正方體的概率為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】依據(jù)總的小立方體的個數(shù)64,及沒有涂色的小正方體的個數(shù),再依據(jù)古典概型得出概率.【詳解】由已知，共得到64個小立方體，其中六個面均沒有涂紅色的小立方體共8個，所求的概率為．故選:9.已知向量，滿意，與的夾角為，且實數(shù)x、y滿意，則的最大值為（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】B【解析】【分析】依據(jù)題意結(jié)合數(shù)量積定義和數(shù)量積的運算律整理可得，再利用不等式運算求解.【詳解】由題意可得：，∵，則，即，∴，又∵，當且僅當時等號成立，即，整理得：，則，∴當時，的最大值為2．故選：B．10.已知，用表示，中的最大者，記為：．當，，時，函數(shù)的最小值為（）A.0 B.1 C.2 D.4【答案】B【解析】【分析】由二次不等式的解法結(jié)合指數(shù)函數(shù)單調(diào)性求，再依據(jù)復合函數(shù)單調(diào)性推斷的單調(diào)性，進而確定最值.【詳解】若，則；若，則或.∵在R上單調(diào)遞增，則有：當時，則，即；當或時，則，即；綜上所述：對于，則有：當時，則在R上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，∴在上單調(diào)遞減，且，則；當時，則在R上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞增，∴在上單調(diào)遞增，則；當時，則在R上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞增，∴在上單調(diào)遞增，且，則；綜上所述：當時，有最小值.故選：B.11.已知實數(shù)和滿意，．則下列關系式中正確的是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】由已知條件指對數(shù)轉(zhuǎn)化得到的值,再依據(jù)基本不等式得到BCD錯誤,A正確.【詳解】由已知，，故且，，對于A,，故A成立．對于B,,故B錯誤.對于C,,故C錯誤.對于D,,故D錯誤故選:A.12.已知點A為曲線上的動點，點B在圓上，則點A和B的距離最小值為（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】B【解析】【分析】依據(jù)題意可求恒成立，圓上點的縱坐標最大為2，則可知圖象上的點與圓上點的距離.又圖象上存在到圓上點的距離.所以，點A和B的距離最小值為2.【詳解】由知，，而，當且僅當，且時，即時取等號．故時，函數(shù)的最小值為4．所以圖象上的最低點為.圓的方程可化為，圓心為，半徑為1，圓的最高點為.所以，上點的縱坐標最小為4，圓上點的縱坐標最大為2，所以，圖象上的點與圓上點的距離.又如圖取，，此時.所以，點A和B的距離最小值為2.故選：B．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13.若將正整數(shù)集中的偶數(shù)從小到大排列，它的前n項和為，則的前2024項的和為_____________．【答案】【解析】【分析】依據(jù)等差數(shù)列求和公式求得，再利用裂項相消法求和.【詳解】由題意可得：，則，故．故答案為：.14.若變量滿意則的最大值是____________.【答案】10【解析】【詳解】由約束條件作出可行域如圖，∵，，∴，聯(lián)立x+y=22x-3y=9，解得，∵，∴的最大值是10，故答案為10.點睛：本題考查簡潔的線性規(guī)劃，考查了數(shù)形結(jié)合的解題思想方法和數(shù)學轉(zhuǎn)化思想方法，是中檔題；由約束條件作出可行域，然后結(jié)合的幾何意義，即可行域內(nèi)的動點與原點距離的平方求得的最大值.15.某公司為確定下一年度投入某種產(chǎn)品的宣揚費，需了解年宣揚費x（單位：千元）對年銷售量y（單位：T）和年利潤z（單位：千元）的影響．對近10年的年宣揚費和年銷售量的數(shù)據(jù)作了初步處理，得到y(tǒng)關于x的回來方程．且這種產(chǎn)品的年利潤z與x、y的關系為；則年宣揚費x為_____________時年利潤的預報值最大．【答案】46.24（千元）【解析】【分析】利用回來直線方程以及z與x、y的關系即可求解.【詳解】由已知，且，故，當，即時，z有最大值66.36．故答案為：46.24（千元）16.已知拋物線C：的焦點為F，點N是拋物線C的對稱軸與它的準線的交點，點M是拋物線上的隨意一點，則的最大值為_____________．【答案】【解析】【分析】首先利用拋物線定義，將轉(zhuǎn)化為，然后通過三角函數(shù)分析，去求拋物線的切線方程，從而求解最小值.【詳解】如圖所示，過作準線的垂線，垂足記為.由已知得，，依據(jù)拋物線的定義知，點M到焦點F的距離等于點M到準線的距離．故．在直角△MNH中，表示的倒數(shù)，故求的最大值轉(zhuǎn)化為求的最小值，此時，也最小值．而的最小值就是曲線在點M處切線過N點時的斜率．由得，故曲線在點處的方程為：．而點在此切線上，故有，則，取，此時切線斜率為：．故切線的傾斜角為45°，即．∴，故所求的最大值為．故答案為：三、解答題：共70分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．第17～21題為必考題，每個試題考生都必需作答，第22、23題為選考題，考生依據(jù)要求作答．（一）必考題：共60分．17.已知等比數(shù)列的前n項和為，且對，恒成立，，．（1）求數(shù)列的通項公式及前n項和；（2）設，求證：．【答案】（1），，（）；（2）證明見解析．【解析】【分析】（1）依據(jù)題意解出、，再利用等比數(shù)列通項公式以及求和公式即可.（2）首先求出，再利用裂項相消求和，結(jié)合的范圍即可證明.【小問1詳解】設等比數(shù)列的首項為，公比為q，由，，則，故．由得，解得∴，．（）【小問2詳解】由（1）可知，，故∵，，則∴．故命題得證.18.已知．（1）求的最小正周期和最大值；（2）在△ABC中，三個內(nèi)角滿意，角A滿意，，ABC的面積為，求證：ABC是直角三角形．【答案】（1）最小正周期為，最大值為3；（2）證明見解析．【解析】【分析】(1)由二倍角公式和協(xié)助角公式把函數(shù)化簡為，應用周期公式和值域性質(zhì)即可得解.（2）先有結(jié)合（1）得到角，再由面積公式計算得到，再應用余弦定理得到，由勾股定理得證.【小問1詳解】由已知得故的最小正周期為，最大值為3．【小問2詳解】在ABC中由知：A為銳角，即，且，由知．由知．故，即．，由ABC的面積為，則，故．由余弦定理，得，故，則．∵，，∴，∴∵∴，故ABC是以B為直角的直角三角形．19.已知三棱柱的側(cè)棱與底面邊長都相等，為底面的邊的中點，且平面．（1）設為上底面的重心，試在平面內(nèi)作出過點與平面平行的直線，并說明理由；（2）證明：（1）中的直線平面．【答案】（1）答案見解析（2）證明見解析【解析】【分析】（1）依據(jù)線面平行的判定定理分析證明；（2）依據(jù)線面垂直的判定定理分析證明.【小問1詳解】證明：在平面內(nèi)，過作與平行的直線，交、于、兩點，則平面，理由如下：在三棱柱中，，，則，因為平面，平面，平面．【小問2詳解】證明：在底面正三角形中，為的中點，則．∵平面，平面，則．因為，平面，∴平面．又∵，∴平面．20.若的圖象過點，且在點P處的切線方程為．（1）求a、b、c的值；（2）設，求證：．【答案】（1），，（2）證明見解析【解析】【分析】（1）求導，依據(jù)題意結(jié)合導數(shù)的幾何意義列式運算求解；（2）構建新函數(shù)，，利用導數(shù)推斷原函數(shù)單調(diào)性及最值證明.【小問1詳解】，則，由題意可得：，解得.【小問2詳解】由（1）可知：，，設，則，∵，令，則，當時，，因此在內(nèi)為減函數(shù)，當時，，因此在內(nèi)為增函數(shù)，故當時，有微小值，也就是的最小值為．∵，可得，∴．設，則，當時，則，，因此在上為減函數(shù)，∵，則，即，∴．綜上所述：當時，有．【點睛】利用導數(shù)證明不等式的基本步驟：(1)作差或變形；(2)構造新的函數(shù)h(x)；(3)利用導數(shù)探討h(x)單調(diào)性或最值；(4)依據(jù)單調(diào)性及最值，得到所證不等式．特殊地：當作差或變形構造的新函數(shù)不能利用導數(shù)求解時，一般轉(zhuǎn)化為分別求左、右兩端兩個函數(shù)的最值問題．21.已知點E、F的坐標分別為、，直線EP和FP相交于點P，且它們的斜率之積為．（1）求動點P的軌跡C的方程；（2）過定點任作一條與兩坐標軸都不垂直的直線與軌跡C相交于A、B兩點，求證；在x軸上存在一個定點M，使得MG為的一條內(nèi)角平分線，并求點M的坐標．（3）設過點M與x軸垂直的直線為l，軌跡C上任一點N到點G的距離與點N到直線l的距離之比是否是定值？若為定值，求出這個定值；若不是定值，說明理由．【答案】（1）；（2）證明見解析；；（3）是定值．【解析】【分析】（1）由斜率公式列式求解，（2）由題意得，設出直線方程，與橢圓方程聯(lián)立后由韋達定理化簡后求解，（3）設點坐標，由距離公式與橢圓方程化簡求解，【小問1詳解】設點，由已知得：，∴，即①故P的軌跡方程為【小問2詳解】設過點的直線方程為②把②代入①，整理得：，設，，則、是方程的兩實根，由韋達定理得，，設，由已知直線AM的斜率與直線BM的斜率之和為0，故，即，∴，則．代入得：．故，即．【小問3詳解】設在橢圓上，則，則點N到直線：的距離為．點N到的距離為故點N到的距離與點N到直線l：的距離之比為，是定值．（二）選考題：共10分，請考生在第22、23題中任選一題作答，假如多做，則按所做的第一題計分．22.已知曲線C：和直線l：（t為參數(shù)）．（1）求曲線C的參數(shù)方程和直線l的一般方程；（2）過曲線C上隨意一點P作與直線l夾角為30°的直線，交l于點A，求的最大值與最小值．【答案】（1）曲線C的參數(shù)方程為（為參數(shù)）；直線l的一般方程為；（2）最大值為，最小值為．【解析】【分析】（1）令，即可得到橢圓的參數(shù)方程；消去，即可得到直線的一般方程；（2）依據(jù)參數(shù)方程，表示出點到直線的距離，再表示出，依據(jù)協(xié)助角公式，即可求出的最值.【小問1詳解】令，可得曲線C的參數(shù)方程為（為參數(shù)）．依據(jù)消去可得，直線l的一般方程為．【小問2詳解】曲線C上隨意一點到直線l：的距離為，其中，且為銳角．過點作，垂足為，則，.在中，，其中，且為銳角．當時，取得最大值