內(nèi)蒙古自治區(qū)通遼市開魯縣2024-2025學(xué)年高一數(shù)學(xué)上學(xué)期期末試題含解析

Page152024-2025學(xué)年高一上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題考試時(shí)間：120分鐘；滿分：150分一、單選題：（本題共8小題，每小題5分，共40分，每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的，請(qǐng)將正確選項(xiàng)填寫在答題卡上）1.已知集合，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】化簡(jiǎn)集合，然后依據(jù)補(bǔ)集及交集的定義運(yùn)算即得.【詳解】因?yàn)?,,.故選：C.2.命題“，”的否定形式為（）A.， B.，C.， D.，【答案】A【解析】【分析】依據(jù)特稱命題的否定形式即可求解.【詳解】命題“，”的否定是“，”，故選：.3.設(shè)，則的大小關(guān)系為（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】利用指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，結(jié)合臨界值即可得解.【詳解】因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞減，所以，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞減，且恒成立，所以，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞減，所以，綜上：.故選：A.4.已知函數(shù)，則其部分大致圖像是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】依據(jù)函數(shù)的奇偶性及在上符號(hào)可得正確的選項(xiàng).【詳解】函數(shù)的定義域?yàn)镽，設(shè).因?yàn)?，所以函?shù)為奇函數(shù)，圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，所以解除選項(xiàng)A，C.當(dāng)時(shí)，，所以，故D正確.故選：D5.已知，對(duì)隨意的，恒成立，則實(shí)數(shù)的最小值是（）A B. C. D.【答案】D【解析】【分析】可推斷出為上單調(diào)遞增的奇函數(shù)，，恒成立，可轉(zhuǎn)化為恒成立，繼而可得恒成立，從而可得答案.【詳解】，且，∴為奇函數(shù)，且在R上單調(diào)遞增，又，恒成立，∴恒成立，∴，即，時(shí)，明顯不滿意題意；∴，解得：，∴實(shí)數(shù)a的最小值是，故選：D．6.已知偶函數(shù)在上單調(diào)遞減，且，則不等式的解集為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】分與兩種狀況，結(jié)合函數(shù)單調(diào)性，奇偶性及，解不等式，求出解集.【詳解】偶函數(shù)在上單調(diào)遞減，則在單調(diào)遞增，因?yàn)椋瑒t當(dāng)時(shí)，，即，

故或，解得：或，或與取交集得：，則當(dāng)時(shí)，，即故，解得：，與取交集，解集為空集，綜上：不等式的解集為．故選：D．7.已知，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】依據(jù)已知式子結(jié)合同角三角函數(shù)的商數(shù)關(guān)系與平方關(guān)系，可求得的值，再由誘導(dǎo)公式求得的值.【詳解】解：①，由于代入①，得：，由于，所以，故，所以.故選：C.8.已知定義在上的函數(shù)單調(diào)遞減，且對(duì)隨意恒有，則函數(shù)的零點(diǎn)為（）A B. C.2 D.4【答案】C【解析】【分析】設(shè),可得，依據(jù)單調(diào)性可得，從而可求，令可求零點(diǎn).【詳解】設(shè)，則，方程等價(jià)為，令，則，滿意方程，∵函數(shù)單調(diào)遞減，∴值唯一，∴，由得，解得，故函數(shù)的零點(diǎn)為2.故選:C.二、多選題：（本題共4小題，每小題5分，共20分，每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，至少有一項(xiàng)是符合題目要求的，請(qǐng)將正確選項(xiàng)填寫在答題卡上）9.已知實(shí)數(shù)，，，則下列結(jié)論正確的是（）A.的最小值是 B.的最小值是4C.的最小值是 D.的最大值是，【答案】BCD【解析】【分析】利用基本不等式和平方關(guān)系即可推斷選項(xiàng)AC，依據(jù)可利用基本不等式中“1”的妙用即可推斷B，將平方可求得其取值范圍，即可推斷D.【詳解】對(duì)于A，利用基本不等式可得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，所以的最大值是，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，即B正確；對(duì)于C，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，所以C正確；對(duì)于D，由可得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，即的最大值是，故D正確.故應(yīng)選：BCD.10.已知函數(shù)是上的增函數(shù)，則實(shí)數(shù)的值可以是（）A.4 B.3 C. D.【答案】CD【解析】【分析】利用分段函數(shù)單調(diào)性建立不等關(guān)系，從而求出參數(shù)的取值范圍.【詳解】由函數(shù)是上的增函數(shù)，所以所以，故選：CD.11.若函數(shù)，則下列說法正確的是（）A.若，則為偶函數(shù) B.若的定義域?yàn)镽，則C.若，則的單調(diào)增區(qū)間為 D.若在上單調(diào)遞減，則【答案】AB【解析】【分析】對(duì)于A選項(xiàng)：依據(jù)偶函數(shù)的定義即可推斷；對(duì)于B選項(xiàng)：依據(jù)二次函數(shù)在上恒成立的條件即可推斷；對(duì)于C選項(xiàng)：求出的定義域，然后得到的單調(diào)增區(qū)間，即可推斷；對(duì)于D選項(xiàng)：依據(jù)函數(shù)的定義域和復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性即可推斷.【詳解】當(dāng)時(shí)，，其定義域?yàn)?，且，所以為偶函?shù)，故A正確；若的定義域?yàn)镽，則對(duì)恒成立，所以，，故B正確；當(dāng)時(shí)，，由解得或，故的定義域?yàn)?，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞減，在單調(diào)遞增，在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，所以由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可得的單調(diào)增區(qū)間為，故C錯(cuò)誤；若在上單調(diào)遞減，所以由復(fù)合函數(shù)單調(diào)性可得在上單調(diào)遞減，且都大于0，所以，且，解得：，故D錯(cuò)誤；故選：AB.12.(多選)某食品的保鮮時(shí)間t(單位：小時(shí))與貯存溫度x(單位：℃)滿意函數(shù)關(guān)系t＝且該食品在4℃的保鮮時(shí)間是16小時(shí)．已知甲在某日上午10時(shí)購(gòu)買了該食品，并將其遺放在室外，且此日的室外溫度隨時(shí)刻的改變?nèi)鐖D所示，則下列結(jié)論中正確的是（）A.該食品在6℃的保鮮時(shí)間是8小時(shí)B.當(dāng)x∈[－6，6]時(shí)，該食品的保鮮時(shí)間t隨著x的增大而漸漸削減C.到了此日13時(shí)，甲所購(gòu)買的食品還在保鮮時(shí)間內(nèi)D.到了此日14時(shí)，甲所購(gòu)買的食品已然過了保鮮時(shí)間【答案】AD【解析】【分析】由題設(shè)可得即可寫出解析式，再結(jié)合各選項(xiàng)的描述及函數(shù)圖象推斷正誤即可.【詳解】由題設(shè)，可得，解得，∴，∴，則，A正確；時(shí)，保鮮時(shí)間恒為64小時(shí)，時(shí)，保鮮時(shí)間隨增大而減小，B錯(cuò)誤；此日11時(shí)，溫度超過11度，其保鮮時(shí)間不超過2小時(shí)，故到13時(shí)甲所購(gòu)食品不在保鮮時(shí)間內(nèi)，C錯(cuò)誤；由上分析知：此日14時(shí)，甲所購(gòu)食品已過保鮮時(shí)間，D正確.故選：AD.三、填空題：（本題共4小題，每小題5分，共20分，把正確答案填在答題卡中的橫線上）13.是它與單位圓交點(diǎn)為的______條件．【答案】充分不必要【解析】【分析】依據(jù)充分不必要條件的概念推斷即可.【詳解】解：當(dāng)時(shí)，它與單位圓的交點(diǎn)為，反之與單位圓的交點(diǎn)為，則，所以，是它與單位圓的交點(diǎn)為的充分不必要條件.故答案為：充分不必要14.已知，，則＝__________.【答案】【解析】【分析】依據(jù)，，三者的關(guān)系求解即可.【詳解】由已知，得，兩邊平方得，整理得，所以，由知，，又，，即，故；，故答案為：.15.若實(shí)數(shù)x，y滿意，且，則的最小值為___________.【答案】8【解析】【分析】由給定條件可得，再變形配湊借助均值不等式計(jì)算作答.【詳解】由得：，又實(shí)數(shù)x，y滿意，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取“=”，由解得：，所以當(dāng)時(shí)，取最小值8.故答案為：8【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：在運(yùn)用基本不等式時(shí)，要特殊留意“拆”、“拼”、“湊”等技巧，運(yùn)用其滿意基本不等式的“一正”、“二定”、“三相等”的條件.16.已知偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，若函數(shù)恰有4個(gè)不同的零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為__________【答案】【解析】【分析】作出函數(shù)的圖象,將問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)與有4個(gè)不同的交點(diǎn)，由圖示可得答案.【詳解】解：作出函數(shù)的圖象如下圖所示，令，則，若函數(shù)恰有4個(gè)不同的零點(diǎn)，則需函數(shù)與有4個(gè)不同的交點(diǎn)，所以實(shí)數(shù)的取值范圍為，故答案為：.四、解答題：（本題共6小題，共70分，解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）17.已知，且．（1）求的值；（2）求的值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）依據(jù)誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)得，平方得，進(jìn)而可求解，（2）依據(jù)誘導(dǎo)公式以及立方差公式即可求解.【小問1詳解】由可得，將其兩邊平方得，由于，故，進(jìn)而得，因此，【小問2詳解】18計(jì)算:（1）；（2）.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用指數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)計(jì)算可得出所求代數(shù)式的值；（2）利用對(duì)數(shù)、指數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)計(jì)算可得出所求代數(shù)式的值.【小問1詳解】解：原式.【小問2詳解】解：原式.19.已知函數(shù)（a為常數(shù)）和函數(shù)，且為奇函數(shù)．（1）求實(shí)數(shù)a的值；（2）設(shè)不等式恒成立，試求實(shí)數(shù)的范圍．【答案】（1）1（2）【解析】【分析】（1）依據(jù)奇函數(shù)的定義求出a；（2）運(yùn)用參數(shù)分別法，構(gòu)造函數(shù)，運(yùn)用函數(shù)的單調(diào)性求解.【小問1詳解】為奇函數(shù)，，即，解得，經(jīng)檢驗(yàn)符合題意；【小問2詳解】由，得，則，而，，，，實(shí)數(shù)的取值范圍是；20.近年來(lái)，我國(guó)在航天領(lǐng)域取得了巨大成就，得益于我國(guó)先進(jìn)的運(yùn)載火箭技術(shù).據(jù)了解，在不考慮空氣阻力和地球引力的志向狀態(tài)下，可以用公式計(jì)算火箭的最大速度v（單位：m/s）.其中（單位m/s）是噴流相對(duì)速度，m（單位：kg）是火箭（除推動(dòng)劑外）的質(zhì)量，M（單位：kg）是推動(dòng)劑與火箭質(zhì)量的總和，稱為“總質(zhì)比”，已知A型火箭的噴流相對(duì)速度為2000m/s.參考數(shù)據(jù)：.（1）當(dāng)總質(zhì)比為230時(shí)，利用給出的參考數(shù)據(jù)求A型火箭的最大速度；（2）經(jīng)過材料更新和技術(shù)改進(jìn)后，A型火箭的噴流相對(duì)速度提高到了原來(lái)的1.5倍，總質(zhì)比變?yōu)樵瓉?lái)的，若要使火箭的最大速度至少增加500m/s，求在材料更新和技術(shù)改進(jìn)前總質(zhì)比最小整數(shù)值？【答案】（1）（2）45【解析】【分析】（1）依據(jù)最大速度公式求得正確答案.（2）依據(jù)火箭最大速度的要求列不等式，由此求得正確答案.【小問1詳解】當(dāng)總質(zhì)比為230時(shí)，，即型火箭的最大速度為.【小問2詳解】型火箭的噴流相對(duì)速度提高到了原來(lái)的1.5倍，所以型火箭的噴流相對(duì)速度為，總質(zhì)比為，由題意得：因?yàn)?，所以，所以在材料更新和技術(shù)改進(jìn)前總質(zhì)比最小整數(shù)值為45.21.已知（1）求的解析式，并求函數(shù)的零點(diǎn)；（2）若，求；（3）若對(duì)隨意，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的最大值.【答案】（1），零點(diǎn)為（2）7（3）4【解析】【分析】（1）由換元法帶入求解的解析式，再令解出即得零點(diǎn)；（2）由（1）知的解析式，令化簡(jiǎn)，再代入中即可求得結(jié)果；（3）首先分別參數(shù)，轉(zhuǎn)化成基本不等式即可求得實(shí)數(shù)的最大值.【小問1詳解】令，則，因此，即.由得，解得，即函數(shù)的零點(diǎn)為.【小問2詳解】由（1）知，因此由得，所以.【小問3詳解】由條件知.因?yàn)閷?duì)于恒成立，且，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以對(duì)于恒成立.而，當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)，等號(hào)成立，所以，因此實(shí)數(shù)的最大值為4.22.已知二次函數(shù)的最小值為1，且滿意，，點(diǎn)在冪函數(shù)的圖像上．（1）求和的解析式；（2）定義函數(shù)試畫出函數(shù)的圖象，并求函數(shù)的定義域、值域和單調(diào)區(qū)間．【答案】（1）；（2）作圖見解