云南省楚雄州2025屆高三數(shù)學(xué)上學(xué)期期末考試文試題含解析

云南省楚雄州2024屆高三數(shù)學(xué)上學(xué)期期末考試（文）試題考生留意：1.本試卷分第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分，共150分.考試時(shí)間120分鐘.2.請(qǐng)將各題答案填寫在答題卡上.3.本試卷主要考試內(nèi)容：高考全部內(nèi)容.第Ⅰ卷一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.若，則z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（）A.第一象限 B.其次象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】C【解析】【分析】因?yàn)椋?，然后依?jù)復(fù)數(shù)的幾何意義推斷即可.【詳解】因?yàn)椋詚在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第三象限.故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的代數(shù)運(yùn)算，考查復(fù)數(shù)的幾何意義，屬于基礎(chǔ)題.2.集合，，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】求出集合與，然后利用交集的定義可得出集合.【詳解】，，因此，.故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查交集的計(jì)算，涉及詳細(xì)函數(shù)定義域的計(jì)算，考查計(jì)算實(shí)力，屬于基礎(chǔ)題.3.已知，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】分別依據(jù)指對(duì)冪函數(shù)的單調(diào)性分析函數(shù)值的范圍即可.【詳解】,即.故選：A【點(diǎn)睛】本題主要考查了指對(duì)冪函數(shù)的大小比較,屬于基礎(chǔ)題.4.在等差數(shù)列中，，，若，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用等差數(shù)列下標(biāo)和的性質(zhì)可得出的值.【詳解】，且數(shù)列為等差數(shù)列，則，解得.故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查等差數(shù)列下標(biāo)和性質(zhì)的應(yīng)用，考查計(jì)算實(shí)力，屬于基礎(chǔ)題.5.函數(shù)在的圖象大致為（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】先考慮奇偶性，再考慮特別值，用解除法即可得到正確答案.【詳解】是奇函數(shù)，解除C，D；，解除A.故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)圖象的推斷，屬于常考題.6.某公司的老年人、中年人、青年人的比例為，用分層抽樣的方法抽取了一個(gè)容量為n的樣本進(jìn)行調(diào)查，其中青年人數(shù)為100，則（）A.400 B.200 C.150 D.300【答案】D【解析】【分析】干脆利用分層抽樣的定義計(jì)算即可.【詳解】用分層抽樣的方法抽取了一個(gè)容量為的樣本進(jìn)行調(diào)查，其中青年人數(shù)為，則，解得.故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查分層抽樣的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.7.雞兔同籠，是中國古代聞名的趣味題之一.《孫子算經(jīng)》中就有這樣的記載：今有雞兔同籠，上有三十五頭，下有九十四足，問雞兔各有幾何？設(shè)計(jì)如右圖的算法來解決這個(gè)問題，則推斷框中應(yīng)填入的是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由題意知為雞的數(shù)量，為兔的數(shù)量，為足的數(shù)量，依據(jù)題意可得出推斷條件.【詳解】由題意可知為雞的數(shù)量，為兔的數(shù)量，為足的數(shù)量，依據(jù)題意知，在程序框圖中，當(dāng)計(jì)算足的數(shù)量為時(shí)，算法結(jié)束，因此，推斷條件應(yīng)填入“”.故選B.【點(diǎn)睛】本題考查算法程序框圖中推斷條件的填寫，考查分析問題和解決問題的實(shí)力，屬于中等題.8.從集合中隨機(jī)地取一個(gè)數(shù)，從集合中隨機(jī)地取一個(gè)數(shù)，則向量與向量垂直的概率為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】計(jì)算出全部的基本領(lǐng)件數(shù)，記事務(wù)，列舉出事務(wù)所包含的基本領(lǐng)件，然后利用古典概型的概率公式可計(jì)算出事務(wù)的概率.【詳解】從集合中隨機(jī)地取一個(gè)數(shù)，從集合中隨機(jī)地取一個(gè)數(shù)，基本領(lǐng)件總數(shù).記事務(wù)，當(dāng)向量與向量垂直時(shí)，，則事務(wù)包含的基本領(lǐng)件有：、（形如），共個(gè)，因此，.故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查古典概型概率的計(jì)算，解題的關(guān)鍵就是列舉出相應(yīng)的基本領(lǐng)件，考查計(jì)算實(shí)力，屬于基礎(chǔ)題.9.已知函數(shù)的圖象的相鄰對(duì)稱軸間的距離為，把的圖象向左平移個(gè)單位長度，得到的圖象，關(guān)于函數(shù)，下列說法正確的是（）A.函數(shù)是奇函數(shù) B.其圖象關(guān)于直線對(duì)稱C.在上的值域?yàn)?D.在上是增函數(shù)【答案】C【解析】【分析】利用三角恒等變換化簡，由題意求得，利用函數(shù)圖象平移求得，再由型函數(shù)的性質(zhì)逐一核對(duì)四個(gè)選項(xiàng)得出正確答案.【詳解】，因?yàn)榈膱D象的相鄰對(duì)稱軸間的距離為，故的最小正周期為，所以，于是，所以，故為偶函數(shù)，并在上為減函數(shù)，所以A，D錯(cuò)誤；，所以B錯(cuò)誤；因?yàn)?，所以，所以C正確.故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查三角恒等變換，考查三角函數(shù)圖象平移變換，考查型函數(shù)的性質(zhì)，考查計(jì)算實(shí)力，屬于?？碱}.10.已知，分別是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，直線l過，且l與一條漸近線平行，若到l的距離大于a，則雙曲線C的離心率的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】設(shè)直線l：，由到l距離大于a，得出的范圍，再由計(jì)算即可.【詳解】設(shè)過與漸近線平行的直線l為，由題知到直線l的距離，即，可得，所以離心率.故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查計(jì)算雙曲線離心率的范圍，熟知公式可使計(jì)算變得簡便，屬于中檔題.11.已知圓柱的上底面圓周經(jīng)過正三棱錐的三條側(cè)棱的中點(diǎn)，下底面圓心為此三棱錐底面中心.若三棱錐的高為該圓柱外接球半徑的倍，則該三棱錐的外接球與圓柱外接球的半徑之比為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】設(shè)正三棱錐的底面邊長為，高為，則圓柱高為，底面圓半徑為，利用勾股定理，可求得圓柱外接球半徑，再求出正三棱錐的外接球的半徑為，即可求出結(jié)果．【詳解】設(shè)正三棱錐的底面邊長為，高為，如圖所示：則圓柱的高為，底面圓半徑為，設(shè)圓柱的外接球半徑為，則，，解得，此時(shí)，，設(shè)正三棱錐的外接球的半徑為，則球心究竟面距離為，，由勾股定理得，解得，故.故選：A.【點(diǎn)睛】本題主要考查了幾何體的外接球，是中檔題．12.已知，，，，設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由得出，利用數(shù)列的遞推公式推導(dǎo)出數(shù)列為等比數(shù)列，確定該數(shù)列的首項(xiàng)和公式，利用等比數(shù)列的求和公式可計(jì)算出的值.【詳解】，，，則，且，所以數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，則.故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查遞推數(shù)列的應(yīng)用，同時(shí)也考查了等比數(shù)列求和公式的應(yīng)用，推導(dǎo)出數(shù)列是解題的關(guān)鍵，考查推理實(shí)力與計(jì)算實(shí)力，屬于中等題.第Ⅱ卷二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.把答案填在答題卡中的橫線上.13.函數(shù)的圖象在處的切線方程是，則___________.【答案】【解析】【分析】由導(dǎo)數(shù)的幾何意義和切線方程，可得，，進(jìn)而得出結(jié)果.【詳解】解：函數(shù)的圖象在處的切線方程是，則，由于切點(diǎn)在直線上，則，因此，.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，直線方程的應(yīng)用，考查運(yùn)算實(shí)力，屬于基礎(chǔ)題.14.已知向量的夾角為，且，，則______．【答案】【解析】【分析】依據(jù)向量模的運(yùn)算化簡已知條件，由此求得.【詳解】依題意已知向量的夾角為，且，，所以，即，即，，解得.故答案為：【點(diǎn)睛】本小題主要考查向量模的運(yùn)算，考查向量數(shù)量積的運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.15.如圖，在正方體中，、分別是、上靠近點(diǎn)的三等分點(diǎn)，則異面直線與所成角的大小是______.【答案】【解析】【分析】連接，可得出，證明出四邊形為平行四邊形，可得，可得出異面直線與所成角為或其補(bǔ)角，分析的形態(tài)，即可得出的大小，即可得出答案.【詳解】連接、、，，，在正方體中，，，，所以，四邊形為平行四邊形，，所以，異面直線與所成的角為.易知為等邊三角形，.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查異面直線所成角的計(jì)算，一般利用平移直線法，選擇合適的三角形求解，考查計(jì)算實(shí)力，屬于中等題.16.拋物線的焦點(diǎn)為是拋物線上的點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，若的外接圓與拋物線的準(zhǔn)線相切，且該圓的面積為，則_______.【答案】4.【解析】【分析】依據(jù)圓的性質(zhì)與拋物線的定義列式求解即可.【詳解】∵的外接圓與拋物線的準(zhǔn)線相切,∴的外接圓的圓心到準(zhǔn)線的距離等于圓的半徑.∵圓的面積為,∴圓的半徑為3,又∵圓心在的垂直平分線上,,∴.故答案為：4【點(diǎn)睛】本題主要考查了拋物線的定義的運(yùn)用,屬于基礎(chǔ)題.三、解答題：共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.第17~21題為必考題，每道試題考生都必需作答.第22、23題為選考題，考生依據(jù)要求作答.（一）必考題：共60分.17.的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，且.（1）求；（2）若，點(diǎn)為邊的中點(diǎn)，且，求的面積.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】(1)利用正弦定理邊化角,再利用余弦定理求解即可.(2)為為的中線,所以再平方后利用向量的數(shù)量積公式進(jìn)行求解,再代入可解得,再代入面積公式求解即可.【詳解】（1）由,可得,由余弦定理可得,故.（2）因?yàn)闉榈闹芯€,所以,兩邊同時(shí)平方可得,故.因?yàn)?所以.所以的面積.【點(diǎn)睛】本題主要考查了利用正余弦定理與面積公式求解三角形的問題,同時(shí)也考查了向量在解三角形中的運(yùn)用,屬于中檔題.18.如圖，在三棱柱中，是棱的中點(diǎn).（1）證明：平面.（2）若是棱上的隨意一點(diǎn)，且三棱柱的體積為，求三棱錐的體積.【答案】（1）證明見解析；（2）.【解析】【分析】（1）連接交于點(diǎn)，連接，可得出點(diǎn)為的中點(diǎn)，利用中位線的性質(zhì)得出，然后利用直線與平面平行的判定定理可證明出平面；（2）設(shè)三棱柱的高為，底面的面積為，可得出，利用，可得出，由此可計(jì)算出三棱錐的體積.【詳解】（1）連接交于點(diǎn)，連接.因?yàn)樗倪呅问瞧叫兴倪呅危允堑闹悬c(diǎn).因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn)，所以.又平面，平面，所以平面；（2）設(shè)三棱柱高為，底面的面積為，則三棱柱的體積.又，，所以.【點(diǎn)睛】本題考查直線與平面平行的證明，同時(shí)也考查了錐體體積的計(jì)算，涉及了等體積法的應(yīng)用，考查推理實(shí)力與計(jì)算實(shí)力，屬于中等題.19.某高校健康社團(tuán)為調(diào)查本校高校生每周運(yùn)動(dòng)的時(shí)長，隨機(jī)選取了80名學(xué)生，調(diào)查他們每周運(yùn)動(dòng)的總時(shí)長（單位：小時(shí)），依據(jù)，，，，，共6組進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，得到男生、女生每周運(yùn)動(dòng)的時(shí)長的統(tǒng)計(jì)如下（表1、2），規(guī)定每周運(yùn)動(dòng)15小時(shí)以上（含15小時(shí)）的稱為“運(yùn)動(dòng)合格者”，其中每周運(yùn)動(dòng)25小時(shí)以上（含25小時(shí)）的稱為“運(yùn)動(dòng)達(dá)人”.表1：男生時(shí)長人數(shù)2816842表2：女生時(shí)長人數(shù)04121284（1）從每周運(yùn)動(dòng)時(shí)長不小于20小時(shí)的男生中隨機(jī)選取2人，求選到“運(yùn)動(dòng)達(dá)人”的概率；（2）依據(jù)題目條件，完成下面列聯(lián)表，并推斷能否有99%的把握認(rèn)為本校高校生是否為“運(yùn)動(dòng)合格者”與性別有關(guān).每周運(yùn)動(dòng)的時(shí)長小于15小時(shí)每周運(yùn)動(dòng)的時(shí)長不小于15小時(shí)總計(jì)男生女生總計(jì)參考公式：，其中.，參考數(shù)據(jù)：0.400.250.100.0100.7081.3232.7066.635【答案】（1）；（2）列聯(lián)表見解析，沒有99%的把握認(rèn)為本校高校生是否為“運(yùn)動(dòng)合格者”與性別有關(guān).【解析】【分析】（1）先由組合學(xué)問得出基本領(lǐng)件總數(shù)和該事務(wù)的事務(wù)數(shù)，再依據(jù)古典概率公式可得答案；（2）分析數(shù)據(jù)得出列聯(lián)表，再代入公式計(jì)算，進(jìn)行獨(dú)立性檢驗(yàn)，可得結(jié)論.【詳解】（1）每周運(yùn)動(dòng)的時(shí)長在中的男生有4人，在中的男生有2人，則共有個(gè)基本領(lǐng)件，其中中至少有1人被抽到的可能結(jié)果有個(gè)，所以抽到“運(yùn)動(dòng)達(dá)人”的概率為；（2）每周運(yùn)動(dòng)的時(shí)長小于15小時(shí)的男生有26人，女生有16人；每周運(yùn)動(dòng)的時(shí)長不小于15小時(shí)的男生有14人，女生有24人.可得下列列聯(lián)表：每周運(yùn)動(dòng)的時(shí)長小于15小時(shí)每周運(yùn)動(dòng)的時(shí)長不小于15小時(shí)總計(jì)男生261440女生162440總計(jì)423880，所以沒有99%的把握認(rèn)為本校高校生是否為“運(yùn)動(dòng)合格者”與性別有關(guān).【點(diǎn)睛】本題考查組合數(shù)學(xué)問，古典概率公式，獨(dú)立性檢驗(yàn)，屬于中檔題.20.已知函數(shù).（1）若，求在上的最大值；（2）當(dāng)時(shí)，有兩個(gè)極值點(diǎn)、，證明：.【答案】（1）；（2）證明見解析.【解析】【分析】（1）將代入函數(shù)的解析式，利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性，由此可求出函數(shù)在區(qū)間上的最大值；（2）由題意可知、為方程的兩根，依據(jù)方程有兩個(gè)正根求出實(shí)數(shù)的取值范圍，利用韋達(dá)定理將表示以為自變量的函數(shù)，，然后利用導(dǎo)數(shù)證明出即可.【詳解】（1）因?yàn)?，所以，則，所以，函數(shù)在區(qū)間上為增函數(shù)，因此，函數(shù)在區(qū)間上的最大值為；（2），，因?yàn)橛袃蓚€(gè)極值點(diǎn)、，所以、為方程的兩根，則有，解得.所以.令，，則恒成立，所以，函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以，即.【點(diǎn)睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值，同時(shí)也考查了利用導(dǎo)數(shù)證明函數(shù)不等式，涉及到韋達(dá)定理的應(yīng)用，將表示為以為自變量的函數(shù)是解題的關(guān)鍵，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用，屬于中等題.21.設(shè)橢圓的離心率是，直線被橢圓C截得的弦長為.（1）求橢圓C的方程；（2）已知點(diǎn)，斜率為的直線l與橢圓C交于不同的兩點(diǎn)A，B，當(dāng)?shù)拿娣e最大時(shí)，求直線l的方程.【答案】（1）；（2）直線l的方程為.【解析】【分析】（1）由已知可得，橢圓經(jīng)過點(diǎn)，列出方程組，求得和的值即可；（2）設(shè)直線l的方程為，與橢圓聯(lián)立得：，進(jìn)而得到，又點(diǎn)M到AB的距離，故，當(dāng)時(shí)，面積最大，求出直線方程即可.【詳解】（1）由已知可得，橢圓經(jīng)過點(diǎn)，由，解得，故橢圓C的方程為.（2）設(shè)直線l的方程為，A，B的坐標(biāo)，，由，得，則，所以.由，得.又點(diǎn)M到AB的距離，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，此時(shí)直線l的方程為.【點(diǎn)睛】本題考查橢圓方程的求法，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查邏輯思維實(shí)力和計(jì)算實(shí)力，屬于?？碱}.（二）選考題：共10分.請(qǐng)考生在第22、23題中任選一題作答.假如多做，則按所做的第一題計(jì)分.[選修4—4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程]（10分）22.在直角坐標(biāo)系中，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，以軸正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，直線的極坐標(biāo)方程為.（1）求的一般方程和的直角坐標(biāo)方程；（2）直線與