廣東省揭陽市普寧市2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1廣東省揭陽市普寧市2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題一、單項(xiàng)選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合要求.1.已知橢圓，則它的短軸長為（）A.2 B.4 C.6 D.8【答案】B【解析】由橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程可知：，所以該橢圓的短軸長為，故選：B2.已知直線m經(jīng)過，兩點(diǎn)，則直線m的斜率為（）A.-2 B. C. D.2【答案】A【解析】直線的斜率為：.故選：A3.已知空間向量，，則（）A. B.19 C.17 D.【答案】D【解析】因?yàn)椋?，所以，故，故選：D.4.在等差數(shù)列中，已知，則數(shù)列的前6項(xiàng)之和為（）A.12 B.32 C.36 D.37【答案】C【解析】數(shù)列的前6項(xiàng)之和為.故選：C.5.地震預(yù)警是指在破壞性地震發(fā)生以后，在某些區(qū)域可以利用“電磁波”搶在“地震波”之前發(fā)出避險(xiǎn)警報(bào)信息，以減小相關(guān)預(yù)警區(qū)域的災(zāi)害損失.根據(jù)Rydelek和Pujol提出的雙臺(tái)子臺(tái)陣方法，在一次地震發(fā)生后，通過兩個(gè)地震臺(tái)站的位置和其接收到的信息，可以把震中的位置限制在雙曲線的一支上，這兩個(gè)地震臺(tái)站的位置就是該雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn).在一次地震預(yù)警中，兩地震臺(tái)站和站相距.根據(jù)它們收到的信息，可知震中到站與震中到站的距離之差為.據(jù)此可以判斷，震中到地震臺(tái)站的距離至少為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】設(shè)震中為，依題意有，所以點(diǎn)的軌跡是以為焦點(diǎn)的雙曲線靠近的一支，因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，取等號(hào)，所以,所以，所以震中到地震臺(tái)站的距離至少為.故選：A6.已知圓和存在公共點(diǎn)，則m的值不可能為（）A.3 B. C.5 D.【答案】D【解析】因?yàn)閳A和存在公共點(diǎn)，所以兩圓相交或者相內(nèi)切或者相外切，即，解得，選項(xiàng)ABC滿足，m的值不能為D.故選：D7.如圖，在四面體中，是的中點(diǎn),設(shè)，，，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】，，．故選：B．8.對(duì)于數(shù)列，若存在正數(shù)，使得對(duì)一切正整數(shù)，都有，則稱數(shù)列是有界的.若這樣的正數(shù)不存在,則稱數(shù)列是無界的.記數(shù)列的前項(xiàng)和為，下列結(jié)論正確的是（）A.若，則數(shù)列是無界的 B.若，則數(shù)列是有界的C.若，則數(shù)列是有界的 D.若，則數(shù)列是有界的【答案】C【解析】對(duì)于A，恒成立，存在正數(shù)，使得恒成立，數(shù)列是有界的，A錯(cuò)誤；對(duì)于B，，，，即隨著的增大，不存在正數(shù)，使得恒成立，數(shù)列是無界的，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，當(dāng)偶數(shù)時(shí)，；當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，；，存在正數(shù)，使得恒成立，數(shù)列是有界的，C正確；對(duì)于D，，；在上單調(diào)遞增，，不存在正數(shù)，使得恒成立，數(shù)列是無界的，D錯(cuò)誤.故選：C.二、多項(xiàng)選擇題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分，有選錯(cuò)的得0分，部分選對(duì)的得2分.9.已知向量，則與同向共線的單位向量（）A. B.C. D.【答案】C【解析】因?yàn)橄蛄浚?，所以與同向共線的單位向量為：，故選：C.10.已知數(shù)列滿足，，記，則（）A. B.C. D.【答案】BC【解析】由題意可得，所以，所以A錯(cuò)誤，B正確；又，故，即，所以為等差數(shù)列，故，所以C正確，D錯(cuò)誤，故選：BC.11.已知直線與圓，則下列結(jié)論正確的是（）A.存在，使得的傾斜角為B.存在，使得的傾斜角為C.存在，使直線與圓相離D.對(duì)任意的，直線與圓相交，且時(shí)相交弦最短【答案】AD【解析】對(duì)于A中，當(dāng)時(shí)，直線，此時(shí)直線的傾斜角為，所以A正確；對(duì)于B中，當(dāng)時(shí)，可得直線的斜率為，若直線的傾斜角為，可得，即，此時(shí)方程無解，所以B錯(cuò)誤；對(duì)于C中，由直線，可化為，令，解得，即直線恒經(jīng)過點(diǎn)，又由圓圓心坐標(biāo)為，半徑為，因?yàn)?，則，所以點(diǎn)在圓內(nèi)部，所以無論為何值，直線與圓總相交，所以C錯(cuò)誤；對(duì)于D中，當(dāng)時(shí)，直線，此時(shí)直線的斜率為，又由，此時(shí)，即，根據(jù)圓的弦的性質(zhì)，此時(shí)弦長最短，所以D正確.故選：AD.12.已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為、，左、右頂點(diǎn)分別為、，為雙曲線右支上的一點(diǎn)，且直線與的斜率之積等于，則下列說法正確的是（）A.雙曲線的漸近線方程為B.若，且，則C.分別以線段、為直徑的兩個(gè)圓內(nèi)切D.【答案】ACD【解析】對(duì)于A選項(xiàng)，設(shè)點(diǎn)，則，因?yàn)?、，所以，由，得，故雙曲線的漸近線方程為，A對(duì)；對(duì)于B選項(xiàng)，因?yàn)?，所以，根?jù)雙曲線的定義可得，又因?yàn)?，所以，整理?由，可得，即，解得，B錯(cuò)；對(duì)于C，設(shè)的中點(diǎn)為，為原點(diǎn).因?yàn)?、分別為、的中點(diǎn)，所以，則可知以線段、為直徑的兩個(gè)圓內(nèi)切，C對(duì)；對(duì)于D，當(dāng)點(diǎn)在第一象限時(shí)，設(shè)點(diǎn)，則，.因?yàn)闈u近線方程為，所以，.當(dāng)時(shí)，即當(dāng)軸時(shí)，則，所以，，可得，所以，，此時(shí)，為等腰直角三角形，則，滿足；當(dāng)時(shí)，，，所以，因?yàn)?，所以；?dāng)點(diǎn)在第四象限時(shí)，同理可得，綜上可知，D對(duì).故選：ACD.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.若直線與直線平行，則___________.【答案】【解析】由題意得：，解得：，經(jīng)檢驗(yàn)符合要求.故答案為：14.已知雙曲線的一條漸近線方程為，則___________．【答案】【解析】因?yàn)殡p曲線的一條漸近線方程為，所以雙曲線的方程可設(shè)為，即，因?yàn)?，所以，解得（?fù)值舍去），所以.故答案為：.15.已知數(shù)列為，，，，，則該數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式可以是________．【答案】（答案不唯一）【解析】依題意，，所以前4項(xiàng)都滿足的一個(gè)通項(xiàng)公式為.故答案為：16.《九章算術(shù)》中的“商功”篇主要講述了以立體幾何為主的各種形體體積的計(jì)算，其中塹堵是指底面為直角三角形的直棱柱．如圖，在塹堵，中，M是的中點(diǎn),,,,若，則_________．【答案】【解析】設(shè),如下圖所示，建立空間直角坐標(biāo)系，，，，，，則所以又因?yàn)樗怨蚀鸢笧椋核?、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.已知直線和直線．（1）若時(shí)，求a的值；（2）當(dāng)平行，求兩直線，的距離．解：（1）∵，且，∴，解得．（2）∵，，且，∴且，解得，∴，即∴直線間的距離為．18.已知直線l：與x軸的交點(diǎn)為A，圓O：經(jīng)過點(diǎn)A．（1）求r的值；（2）若點(diǎn)B為圓O上一點(diǎn)，且直線垂直于直線l，求弦長．解：（1）在中，令，得，故.因?yàn)閳AO：經(jīng)過點(diǎn)A，所以，解得.（2）直線l的斜率為2，因?yàn)橹本€垂直于直線l，所以直線的斜率為.所以直線的方程為，即.圓心到直線的距離為，所以.19.如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，AD∥BC，AD⊥CD，且AD＝CD＝1，BC＝2，PA＝1．（1）求證：AB⊥PC；（2）點(diǎn)M在線段PD上，二面角M﹣AC﹣D的余弦值為，求三棱錐M﹣ACP體積．解：（1）由題意得四邊形ADCB是直角梯形，AD=CD=1，故∠ACD=45°，∠ACB=45°，AC=.又BC=2，所以，所以，所以AB⊥AC.又PA⊥平面ABCD，AB平面ABCD，所以PA⊥AB.而PA平面PAC，AC平面PAC，，所以AB⊥平面PAC.又PC平面PAC，所以AB⊥PC（2）過點(diǎn)A作AE⊥BC于E，易知E為BC中點(diǎn)，以A為原點(diǎn)，AE，AD，AP所在直線為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，.則設(shè)，.顯然，是平面ACD的一個(gè)法向量，設(shè)平面MAC的一個(gè)法向量為.則有，取，解得由二面角M﹣AC﹣D的余弦值為，有，解得，所以M為PD中點(diǎn).所以20.已知數(shù)列的前項(xiàng)和為..（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）從下面兩個(gè)條件中選擇一個(gè)填在橫線上，并完成下面的問題.①，；②是和的等比中項(xiàng),.若公差不為0的等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，且______，求數(shù)列的前項(xiàng)和.解：（1）當(dāng)時(shí)，，可得；當(dāng)時(shí)，，所以，即，因?yàn)?，所以?shù)列是以2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，所以；（2）設(shè)數(shù)列的公差為，若選擇①，由題意，解得；所以，由（1）得，，所以，所以，，兩式相減得，所以；若選擇②，有，即，即，因?yàn)?，所以，所以，解得，所以，由?）得，，所以，所以，.兩式相減，得，所以.21.在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)在拋物線上．（1）求的值；（2）若直線l與拋物線C交于，兩點(diǎn)，，且，求的最小值．解：（1）將代入拋物線，解得：.（2），在拋物線C上，故，，解得：或2，因，所以，即，故，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，故的最小值為.22.已知圓：，定點(diǎn)，A是圓上的一動(dòng)點(diǎn)，線段的垂直平分線交半徑于P點(diǎn)．（1）求P點(diǎn)的軌跡C的方程；（2）設(shè)直線過點(diǎn)且與曲線C相交于M，N兩點(diǎn)，不經(jīng)過點(diǎn)．證明：直線MQ的斜率與直線NQ的斜率之和為定值．解：（1）圓：的圓心，半徑為8，因A是圓上的一動(dòng)點(diǎn)，線段的垂直平分線交半徑于P點(diǎn)，