河南省洛陽(yáng)市2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1河南省洛陽(yáng)市2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試題一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.直線的傾斜角為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】直線的斜率為，設(shè)直線傾斜角為，則，，．故選：C．2.若平面的法向量為，直線的方向向量為，，則下列四組向量中能使的是（）A.， B.，C.， D.，【答案】A【解析】根據(jù)題意，平面的法向量為，直線的方向向量為，，若，即，又由，則有，依次分析選項(xiàng)：對(duì)于A，，，，即成立，符合題意；對(duì)于B，，，，即不成立，不符合題意；對(duì)于C，，，，即不成立，不符合題意；對(duì)于D，，，，即不成立，不符合題意．故選：A．3.周髀算經(jīng)中有這樣一個(gè)問(wèn)題：從冬至日起，依次小寒、大寒、立春、雨水、驚蟄、春分、清明、谷雨、立夏、小滿、芒種這十二個(gè)節(jié)氣其日影長(zhǎng)依次成等差數(shù)列，小寒、立春、驚蟄日影長(zhǎng)之和為尺,前八個(gè)節(jié)氣日影長(zhǎng)之和為尺，則谷雨日影長(zhǎng)為（）A.尺 B.尺 C.尺 D.尺【答案】C【解析】設(shè)冬至日、小寒、大寒、立春、雨水、驚蟄、春分、清明、谷雨、立夏、小滿、芒種這十二個(gè)節(jié)氣的日影長(zhǎng)分別為，，，，前n項(xiàng)和，由小寒、立春、驚蟄日影長(zhǎng)之和為尺，前八個(gè)節(jié)氣日影長(zhǎng)之和為尺，得，解得，，所以谷雨日影長(zhǎng)為（尺）．故選：C4.已知方程表示焦點(diǎn)在軸上的橢圓，則的取值范圍是（）A. B.C. D.且【答案】A【解析】方程，即表示焦點(diǎn)在軸上的橢圓，，解得．故選：A．5.橢圓的左、右頂點(diǎn)分別是，橢圓的左焦點(diǎn)和中心分別是，已知是，的等比中項(xiàng)，則此橢圓的離心率為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】根據(jù)題意可得，由是，的等比中項(xiàng)，可得，可得，所以．故選：B6.已知等比數(shù)列的首項(xiàng)為，前項(xiàng)和為，若，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因?yàn)榈缺葦?shù)列首項(xiàng)為，若，則，可得，解得，所以．故選：．7.若圓上總存在兩個(gè)點(diǎn)到點(diǎn)的距離為，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】因?yàn)閳A上總存在兩個(gè)點(diǎn)到點(diǎn)的距離為，所以圓與以為圓心，為半徑的圓有個(gè)公共點(diǎn)，則圓與圓相交，所以，即，解得：且，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是．故選：D．8.已知為雙曲線左支上一點(diǎn)，，分別為雙曲線的左、右焦點(diǎn)，為的內(nèi)心若，則點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由題意知，，，所以，，，又由雙曲線的定義可知，設(shè)的內(nèi)切圓的半徑為，因?yàn)?，所以，所以，所以，所以，設(shè)圓與的三邊，，分別相切于，，三點(diǎn)，連接，，，如下圖所示：由內(nèi)切圓的性質(zhì)可得，，，因?yàn)?，所以，即，由，所以，，因?yàn)?，，所以，即點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離是．故選：B．二、多選題：本題共4小題，共20分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．9.已知雙曲線：，則（）A.雙曲線的離心率為 B.雙曲線的虛軸長(zhǎng)為C.雙曲線的實(shí)半軸長(zhǎng)為 D.雙曲線的漸近線方程為【答案】AB【解析】雙曲線：的標(biāo)準(zhǔn)方程為，則雙曲線的實(shí)半軸長(zhǎng)、虛半軸長(zhǎng)，半焦距，所以雙曲線的離心率，故A正確；雙曲線的虛軸長(zhǎng)為，B正確；雙曲線的實(shí)半軸長(zhǎng)為，故C錯(cuò)誤；雙曲線的漸近線方程為，故D錯(cuò)誤．故選：．10.三棱錐中，平面與平面的法向量分別為,,則二面角的大小可能為（）A. B. C. D.【答案】BC【解析】，所以二面角的大小可能為或．故選：BC11.已知，，直線，相交于，直線，的斜率分別為，，則（）A.當(dāng)時(shí)，點(diǎn)的軌跡為除去，兩點(diǎn)的橢圓B.當(dāng)時(shí)，點(diǎn)軌跡為除去，兩點(diǎn)的圓C.當(dāng)時(shí)，點(diǎn)的軌跡為除去，兩點(diǎn)的雙曲線D.當(dāng)時(shí)，點(diǎn)的軌跡為除去，兩點(diǎn)的拋物線【答案】ABC【解析】根據(jù)題意知：，，設(shè)，對(duì)選項(xiàng)，，化簡(jiǎn)可得，點(diǎn)的軌跡為除去,點(diǎn)的橢圓，故A正確；對(duì)B選項(xiàng),，,化簡(jiǎn)可得，，點(diǎn)的軌跡為除去，兩點(diǎn)的圓，故B正確；對(duì)C選項(xiàng)，，,化簡(jiǎn)可得，,點(diǎn)的軌跡為除去，兩點(diǎn)的雙曲線，故C正確；對(duì)D選項(xiàng)，,化簡(jiǎn)可得，,點(diǎn)的軌跡不是除去，兩點(diǎn)的拋物線，故D錯(cuò)誤．故選：ABC12.數(shù)列滿足，，數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，則下列正確的是（）A.是數(shù)列中的項(xiàng)B.數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列C.數(shù)列的前項(xiàng)和D.數(shù)列的前項(xiàng)和【答案】BCD【解析】數(shù)列滿足，，可得，即有，即，由，可得，解得，當(dāng)時(shí)，由，可得，兩式相減可得，即為，即數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，則，故B正確；令，解得，不為整數(shù)，故A錯(cuò)誤；，則，故C正確；，，，兩式相減可得，化為，故D正確．故選：BCD．三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13.已知直線：與：平行，則______．【答案】【解析】因?yàn)閮蓷l直線平行，所以，解得．故答案為：．14.已知拋物線：的焦點(diǎn)為，點(diǎn)是拋物線的準(zhǔn)線與軸的交點(diǎn)，點(diǎn)在拋物線上（點(diǎn)在第一象限），若，則______．【答案】【解析】由題意可知：拋物線的焦點(diǎn)，準(zhǔn)線，作垂直軸于點(diǎn)，若，則，不妨設(shè)，則，由勾股定理可知，則，所以，解得，所以．故答案為：．15.已知數(shù)列的前項(xiàng)的積為，且，則滿足的最小正整數(shù)的值為_(kāi)_____．【答案】【解析】當(dāng)時(shí)，有，所以；當(dāng)時(shí)，由，得，即，則有數(shù)列是等差數(shù)列，其中公差為，首項(xiàng)為，可得，即，所以，若，則，即，因?yàn)閿?shù)列單調(diào)遞增數(shù)列，且當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，所以滿足的最小正整數(shù)的值為．故答案為：．16.已知P1（x1，y1），P2（x2，y2）兩點(diǎn)均在雙曲線Γ：（a＞0）的右支上，若恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為_(kāi)_．【答案】.【解析】設(shè)P2關(guān)于軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)P3（x2，﹣y2）仍在雙曲線右支，由，得，即恒成立，∴∠P1OP3恒為銳角，即∠MON≤90°，∴其中一條漸近線的斜率，∴a≥1，所以實(shí)數(shù)a的取值范圍為．故答案為：[1，+∞）．四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟．17.已知數(shù)列是等差數(shù)列，滿足，，數(shù)列是公比為的等比數(shù)列，且．（1）求數(shù)列和的通項(xiàng)公式；（2）求數(shù)列的前項(xiàng)和．解：（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，由，，可得，，解得，，則；數(shù)列是公比為的等比數(shù)列，且，可得，即有；（2）由（1）知，18.已知圓：．（1）若直線過(guò)定點(diǎn)，且與圓相切，求的方程；（2）若圓的半徑為，圓心在直線：上，且與圓外切，求圓的方程．解：（1）由圓：得圓心，半徑，當(dāng)直線斜率存在時(shí)，設(shè)：，即，所以，解得，所以切線為，即，當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，直線為，易知也是圓的切線，所以直線的方程為：或；（2）設(shè)，則，解得，；或，，故所求圓的方程為或.19.如圖，在正三棱柱中，，，為側(cè)棱上的點(diǎn)，且，點(diǎn)，分別為，的中點(diǎn)．（1）求異面直線與所成角的余弦值；（2）求直線與平面所成角的正弦值．解：（1）取的中點(diǎn)，連接，，由正三棱柱性質(zhì)可知平面，又，平面，可得，，兩兩垂直，以為原點(diǎn)，，，所在直線分別為軸、軸、軸，建立如圖所示的空問(wèn)直角坐標(biāo)系，則，所以，由于，所以異面直線與所成角的余弦值為（2）因?yàn)槠矫?，所以平面的一個(gè)法向量為，則，設(shè)直線與平面所成角為，則，即直線與平面所成角的正弦值為．20.已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，，，．（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）令，求數(shù)列的前項(xiàng)和．解：（1）由得，，即，又，，，即數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，；（2）由（1）知，，，則，數(shù)列的前項(xiàng)和．21.已知橢圓：的短軸長(zhǎng)為，且橢圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)．（1）求橢圓的方程；（2）若過(guò)點(diǎn)的直線與橢圓相交于，兩點(diǎn)，且，求直線的方程．解：（1）由短軸長(zhǎng)為，可得，即，將代入可得：，解得，所以橢圓的方程為：；（2）顯然直線的斜率不為，設(shè)直線的方程為，設(shè)，，聯(lián)立，整理得：，得，，且，因?yàn)?，所以，所以，即，即，所以，整理可得：，解得，所以直線的方程為：，即22.在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)，直線：，點(diǎn)在直線上移動(dòng)，是線段與軸的交點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)滿足：，．（1）求動(dòng)點(diǎn)的軌跡的方程；（2）過(guò)點(diǎn)的直線交軌跡于，兩點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作軸的垂線交直線于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作直線的垂線與軌跡的另一交點(diǎn)為，的中點(diǎn)為，證明