2023-2024學(xué)年第一學(xué)期安徽省合肥市九年級(jí)數(shù)學(xué)期末?？加?xùn)練卷

-2024學(xué)年第一學(xué)期安徽省合肥市九年級(jí)數(shù)學(xué)期末?？加?xùn)練卷一、選擇題（本大題共10小題，每小題4分，滿分40分）1．隨著人們健康生活理念的提高，環(huán)保意識(shí)也不斷增強(qiáng)，以下是回收、綠色包裝、節(jié)水、低碳四個(gè)標(biāo)志，其中是中心對(duì)稱(chēng)圖形的是（）A．B．C．D．2．如圖，在△ABC中，∠C＝90°，若sinB＝，則sinA＝（）A． B． C． D．將拋物線y＝﹣3x2﹣1向左平移2個(gè)單位長(zhǎng)度，再向下平移2個(gè)單位長(zhǎng)度，所得到的拋物線為（）A．y＝﹣3（x+2）2+1 B．y＝﹣3（x﹣2）2﹣3C．y＝﹣3（x+2）2﹣3 D．y＝﹣3（x﹣2）2+14.如圖，將繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)至的位置，連接，若，，則的度數(shù)為（）A．25° B．30° C．28° D．32°5.如圖，⊙O是△ABC的外接圓，連接AO并延長(zhǎng)交⊙O于點(diǎn)D，若∠B=55°，則∠CAD的度數(shù)為（）A．25° B．30° C．35° D．45°6.如圖，平行四邊形中，的平分線分別與、交于點(diǎn)、．當(dāng)，時(shí)，的值為（）A． B． C． D．如圖，、、分別是雙曲線（x<0）與（x>0）及x軸上的點(diǎn)，AB//x軸，若△ABC的面積為2，則k的值是（）A． B． C． D．8.如圖所示，直徑為的經(jīng)過(guò)點(diǎn)和點(diǎn)，B是y軸右側(cè)優(yōu)弧上一點(diǎn)，則為（）

A． B． C． D．9.圖1是裝了液體的高腳杯示意圖（數(shù)據(jù)如圖），用去一部分液體后如圖2所示，此時(shí)液面（）A． B．C． D．如圖，已知開(kāi)口向上的拋物線與軸交于點(diǎn)，對(duì)稱(chēng)軸為直線．下列結(jié)論：①；②；③若關(guān)于的方程一定有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；④.其中正確的個(gè)數(shù)有（

）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)二、填空題（本大題共4小題，每小題5分，滿分20分）11．已知，則的值為．12.如圖，在正方形網(wǎng)格中，△ABC的頂點(diǎn)都在格點(diǎn)上，則tan∠ABC的值為_(kāi)____．13.如圖，是直徑，弦與相交，若，則的大小是．14.如圖，在矩形紙片ABCD中，AD＝10，AB＝8，將AB沿AE翻折，使點(diǎn)B落在處，AE為折痕；再將EC沿EF翻折，使點(diǎn)C恰好落在線段EB'上的點(diǎn)處，EF為折痕，連接．若CF＝3，則tan＝．三、（本大題共2小題，每小題8分，滿分16分）15．計(jì)算：2cos45°tan30°cos30°+sin260°．16.如圖，，，，，．求的長(zhǎng)度．四、（本大題共2小題，每小題8分，滿分16分）17.“圓”是中國(guó)文化的一個(gè)重要精神元素，在中式建筑中有著廣泛的應(yīng)用，例如古典園林中的門(mén)洞，如圖，某地園林中的一個(gè)圓弧形門(mén)洞的高為2.5m，地面入口寬為1m，求該門(mén)洞的半徑．

如圖，在由邊長(zhǎng)為1個(gè)單位長(zhǎng)度的小正方形組成的網(wǎng)格中，給出了以格點(diǎn)(網(wǎng)格線的交點(diǎn))為頂點(diǎn)的△ABC和格點(diǎn)0.（1）以點(diǎn)O為位似中心，將△ABC放大2倍得到ΔA1B1C1，在網(wǎng)格中畫(huà)出ΔA1B1C1；（2）將△ABC繞點(diǎn)0逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得ΔA2B2C2，畫(huà)出ΔA2B2C2；五、（本大題共2小題，每小題10分，滿分20分）如圖①是一臺(tái)手機(jī)支架，圖②是其側(cè)面示意圖，AB、BC可分別繞點(diǎn)A、B轉(zhuǎn)動(dòng)，測(cè)量知，．當(dāng)AB，BC轉(zhuǎn)動(dòng)到，時(shí)，求點(diǎn)C到直線AE的距離．（精確到0．1cm，參考數(shù)據(jù)：，，）20.如圖，為的直徑，切于點(diǎn)，于點(diǎn)，交于點(diǎn)，連接．(1)求證：平分；(2)若，，求的長(zhǎng)．六、（本大題1小題，滿分12分）21.如圖，一次函數(shù)的圖象與y軸交于點(diǎn)C，與反比例函數(shù)的圖象交于，兩點(diǎn)．(1)求A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)和反比例函數(shù)的表達(dá)式；(2)連接、，求的面積；(3)在x軸上找一點(diǎn)P，使的值最小，求滿足條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)．七、（本大題1小題，滿分12分）22.在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線（b，c是常數(shù)）經(jīng)過(guò)點(diǎn)，點(diǎn)B．點(diǎn)P在此拋物線上，其橫坐標(biāo)為m．（1）求此拋物線的解析式．（2）若時(shí)，，則d的取值范圍是______．（3）點(diǎn)P和點(diǎn)A之間（包括端點(diǎn)）的函數(shù)圖象稱(chēng)為圖象G，當(dāng)圖象G的最大值和最小值差是5時(shí)，求m的值．八、（本大題1小題，滿分14分）23.（1）問(wèn)題如圖1，在四邊形中，點(diǎn)P為上一點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，求證：．（2）探究若將角改為銳角（如圖2），其他條件不變，上述結(jié)論還成立嗎？說(shuō)明理由．（3）應(yīng)用如圖3，在中，，，以點(diǎn)A為直角頂點(diǎn)作等腰．點(diǎn)D在上，點(diǎn)E在上，點(diǎn)F在上，且，若，求的長(zhǎng)．

2023-2024學(xué)年第一學(xué)期安徽省合肥市九年級(jí)數(shù)學(xué)期末?？加?xùn)練卷解析一、選擇題（本大題共10小題，每小題4分，滿分40分）1．隨著人們健康生活理念的提高，環(huán)保意識(shí)也不斷增強(qiáng)，以下是回收、綠色包裝、節(jié)水、低碳四個(gè)標(biāo)志，其中是中心對(duì)稱(chēng)圖形的是（）A．B．C．D．【答案】B【分析】根據(jù)中心對(duì)稱(chēng)圖形的定義：把一個(gè)圖形繞著某一個(gè)點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°，如果旋轉(zhuǎn)后的圖形能夠與原來(lái)的圖形重合，那么這個(gè)圖形叫做中心對(duì)稱(chēng)圖形，這個(gè)點(diǎn)就是它的對(duì)稱(chēng)中心，進(jìn)行逐一判斷即可．【詳解】解：A、不是中心對(duì)稱(chēng)圖形，不符合題意；B、是中心對(duì)稱(chēng)圖形，符合題意；C、不是中心對(duì)稱(chēng)圖形，不符合題意；D、不是中心對(duì)稱(chēng)圖形，不符合題意；故選B．2．如圖，在△ABC中，∠C＝90°，若sinB＝，則sinA＝（）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)題目的已知設(shè)AC＝4a，AB＝5a，然后利用勾股定理求出BC的長(zhǎng)，最后利用銳角三角函數(shù)的定義進(jìn)行計(jì)算即可．【詳解】在△ABC中，∠C＝90°，，∴設(shè)AC＝4a，AB＝5a，∴，∴．故選：A．將拋物線y＝﹣3x2﹣1向左平移2個(gè)單位長(zhǎng)度，再向下平移2個(gè)單位長(zhǎng)度，所得到的拋物線為（）A．y＝﹣3（x+2）2+1 B．y＝﹣3（x﹣2）2﹣3C．y＝﹣3（x+2）2﹣3 D．y＝﹣3（x﹣2）2+1【答案】C【分析】先確定拋物線y＝﹣3x2﹣1的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（0，﹣1），再利用點(diǎn)平移的坐標(biāo)變換規(guī)律得到點(diǎn)（0，﹣1）平移后所得對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為（﹣2，﹣3），然后根據(jù)頂點(diǎn)式寫(xiě)出平移后的拋物線解析式．【詳解】拋物線y＝﹣3x2﹣1的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（0，﹣1），把點(diǎn)（0，﹣1）向左平移2個(gè)單位長(zhǎng)度，再向下平移2個(gè)單位長(zhǎng)度所得對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為（﹣2，﹣3），∴平移后的拋物線解析式為y＝﹣3（x+2）2﹣3．故選：C．4.如圖，將繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)至的位置，連接，若，，則的度數(shù)為（）A．25° B．30° C．28° D．32°【答案】C【分析】由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)可得出是等腰三角形，即可得出，即可得出的度數(shù)．【詳解】解：由旋轉(zhuǎn)可知：，∴，∴，∴，∴．故選：C．5.如圖，⊙O是△ABC的外接圓，連接AO并延長(zhǎng)交⊙O于點(diǎn)D，若∠B=55°，則∠CAD的度數(shù)為（）A．25° B．30° C．35° D．45°【答案】C【分析】連接CD，根據(jù)圓周角定理得到∠ACD=90°，∠D=∠B=55°，再利用互余得出∠CAD的度數(shù)．【詳解】如圖所示：連接CD，∵AD為直徑，∴∠ACD=90°，∵∠D=∠B=55°，∴∠CAD=90°-∠D=90°-55°=35°．故選：C．6.如圖，平行四邊形中，的平分線分別與、交于點(diǎn)、．當(dāng)，時(shí)，的值為（）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得到，，根據(jù)角平分線的定義、等腰三角形的判定定理得到，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)計(jì)算，得到答案．【詳解】解：四邊形是平行四邊形，，，，平分，，，，，，，故選：B．如圖，、、分別是雙曲線（x<0）與（x>0）及x軸上的點(diǎn)，AB//x軸，若△ABC的面積為2，則k的值是（）A． B． C． D．【答案】A【分析】設(shè)點(diǎn)B的坐標(biāo)，根據(jù)平行知點(diǎn)A、B的縱坐標(biāo)相同得到點(diǎn)A的縱坐標(biāo)，再代入y1的解析式求出點(diǎn)A的橫坐標(biāo)，然后求出AB的長(zhǎng)，再根據(jù)三角形的面積公式列式計(jì)算即可得解．【詳解】解：點(diǎn)B在上，設(shè)B(a，)，∵AB∥x軸，∴∵點(diǎn)A在上，∴∴∴A∴AB==a-ak，∴即1-k=4，解得k=-3．故選A．8.如圖所示，直徑為的經(jīng)過(guò)點(diǎn)和點(diǎn)，B是y軸右側(cè)優(yōu)弧上一點(diǎn)，則為（）

A． B． C． D．【答案】A【分析】設(shè)交x軸于D點(diǎn)，連接，如圖，根據(jù)圓周角定理得到為的直徑，，再利用勾股定理計(jì)算出，然后根據(jù)余弦的定義求出，從而得到的值．【詳解】解：設(shè)交x軸于D點(diǎn)，連接，如圖，

∵，∴為的直徑，即，∵點(diǎn)，∴，∴，∴，∵，∴．故選：A．9.圖1是裝了液體的高腳杯示意圖（數(shù)據(jù)如圖），用去一部分液體后如圖2所示，此時(shí)液面（）A． B．C． D．【答案】C【分析】先求出兩個(gè)高腳杯液體的高度，再通過(guò)三角形相似，建立其對(duì)應(yīng)邊的比與對(duì)應(yīng)高的比相等的關(guān)系，即可求出AB．【詳解】解：由題可知，第一個(gè)高腳杯盛液體的高度為：15-7=8（cm），第二個(gè)高腳杯盛液體的高度為：11-7=4（cm），因?yàn)橐好娑际撬降模瑘D1和圖2中的高腳杯是同一個(gè)高腳杯，所以圖1和圖2中的兩個(gè)三角形相似，∴，∴（cm），故選：C．如圖，已知開(kāi)口向上的拋物線與軸交于點(diǎn)，對(duì)稱(chēng)軸為直線．下列結(jié)論：①；②；③若關(guān)于的方程一定有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；④.其中正確的個(gè)數(shù)有（

）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】D【分析】利用二次函數(shù)圖象與性質(zhì)逐項(xiàng)判斷即可．【詳解】解：∵拋物線開(kāi)口向上，∴，∵拋物線與y軸交點(diǎn)在負(fù)半軸，∴，∵對(duì)稱(chēng)軸為，∴，∴，故①正確；∵拋物線的對(duì)稱(chēng)軸為，∴，∴，故②正確；∵函數(shù)與直線有兩個(gè)交點(diǎn)．∴關(guān)于的方程一定有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，故③正確；∵時(shí)，即，∵，∴，即，∵，∴，∴，故④正確，故選：D二、填空題（本大題共4小題，每小題5分，滿分20分）11．已知，則的值為．【答案】/0.4

【分析】根據(jù)比例性質(zhì)和分式的基本性質(zhì)求解即可．【詳解】解：設(shè)，∴，，∴=，故答案為：．12.如圖，在正方形網(wǎng)格中，△ABC的頂點(diǎn)都在格點(diǎn)上，則tan∠ABC的值為_(kāi)____．【答案】【解析】【分析】過(guò)A作AE⊥BC，交BC延長(zhǎng)線于E，再根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義求出答案即可．【詳解】解：過(guò)A作AE⊥BC，交BC延長(zhǎng)線于E，設(shè)小正方形的邊長(zhǎng)為1，則AE=3，BE=4，所以tan∠ABC=，故答案：13.如圖，是直徑，弦與相交，若，則的大小是．【答案】【分析】連接，可得，利用等腰三角形的性質(zhì)，即可求解．【詳解】解：連接，如下圖：則，∵，∴，故答案為：14.如圖，在矩形紙片ABCD中，AD＝10，AB＝8，將AB沿AE翻折，使點(diǎn)B落在處，AE為折痕；再將EC沿EF翻折，使點(diǎn)C恰好落在線段EB'上的點(diǎn)處，EF為折痕，連接．若CF＝3，則tan＝．【答案】【分析】連接AF，設(shè)CE＝x，用x表示AE、EF，再證明∠AEF＝90°，由勾股定理得通過(guò)AF進(jìn)行等量代換列出方程便可求得x，再進(jìn)一步求出B′C′，便可求得結(jié)果．【詳解】解：連接AF，設(shè)CE＝x，則C′E＝CE＝x，BE＝B′E＝10﹣x，∵四邊形ABCD是矩形，∴AB＝CD＝8，AD＝BC＝10，∠B＝∠C＝∠D＝90°，∴AE2＝AB2+BE2＝82+（10﹣x）2＝164﹣20x+x2，EF2＝CE2+CF2＝x2+32＝x2+9，由折疊知，∠AEB＝∠AEB′，∠CEF＝∠C′EF，∵∠AEB+∠AEB′+∠CEF+∠C′EF＝180°，∴∠AEF＝∠AEB′+∠C′EF＝90°，∴AF2＝AE2+EF2＝164﹣20x+x2+x2+9＝2x2﹣20x+173，∵AF2＝AD2+DF2＝102+（8﹣3）2＝125，∴2x2﹣20x+173＝125，解得，x＝4或6，當(dāng)x＝6時(shí)，EC＝EC′＝6，BE＝B′E＝8﹣6＝2，EC′＞B′E，不合題意，應(yīng)舍去，∴CE＝C′E＝4，∴B′C′＝B′E﹣C′E＝（10﹣4）﹣4＝2，∵∠B′＝∠B＝90°，AB′＝AB＝8，∴tan∠B'AC′＝=．故答案為：．三、（本大題共2小題，每小題8分，滿分16分）15．計(jì)算：2cos45°tan30°cos30°+sin260°．【答案】【分析】將特殊角的三角函數(shù)值代入求解．【詳解】解：原式=﹣+=．【點(diǎn)睛】本題考查了特殊三角函數(shù)值的混合運(yùn)算，熟記特殊三角函數(shù)值，掌握運(yùn)算法則是解本題的關(guān)鍵．16.如圖，，，，，．求的長(zhǎng)度．【答案】【分析】先證明，再證明，得出，代入數(shù)據(jù)求值即可．【詳解】解：，，，，，，，．95．【發(fā)現(xiàn)問(wèn)題】四、（本大題共2小題，每小題8分，滿分16分）17.“圓”是中國(guó)文化的一個(gè)重要精神元素，在中式建筑中有著廣泛的應(yīng)用，例如古典園林中的門(mén)洞，如圖，某地園林中的一個(gè)圓弧形門(mén)洞的高為2.5m，地面入口寬為1m，求該門(mén)洞的半徑．

【答案】該門(mén)洞的半徑為．【分析】本題考查了垂徑定理的應(yīng)用，運(yùn)用圓的性質(zhì)，垂徑定理構(gòu)造直角三角形，用勾股定理求解即可．【詳解】解：如圖，連接，設(shè)圓心為點(diǎn)O，洞高為，入口寬為，門(mén)洞的半徑為，根據(jù)題意，得，，

根據(jù)勾股定理，得，解得，答：該門(mén)洞的半徑為．如圖，在由邊長(zhǎng)為1個(gè)單位長(zhǎng)度的小正方形組成的網(wǎng)格中，給出了以格點(diǎn)(網(wǎng)格線的交點(diǎn))為頂點(diǎn)的△ABC和格點(diǎn)0.（1）以點(diǎn)O為位似中心，將△ABC放大2倍得到ΔA1B1C1，在網(wǎng)格中畫(huà)出ΔA1B1C1；（2）將△ABC繞點(diǎn)0逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得ΔA2B2C2，畫(huà)出ΔA2B2C2；【答案】（1）作圖見(jiàn)解析（2）作圖見(jiàn)解析【解析】【分析】（1）利用相似變換的性質(zhì)分別作出A，B，C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)A1，B1，C1即可；（2）利用旋轉(zhuǎn)變換性質(zhì)分別作出A，B，C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)A2，B2，C2即可．【小問(wèn)1詳解】解：如圖，△A1B1C1即為所求；【小問(wèn)2詳解】解：如圖，△A2B2C2即為所求．五、（本大題共2小題，每小題10分，滿分20分）如圖①是一臺(tái)手機(jī)支架，圖②是其側(cè)面示意圖，AB、BC可分別繞點(diǎn)A、B轉(zhuǎn)動(dòng)，測(cè)量知，．當(dāng)AB，BC轉(zhuǎn)動(dòng)到，時(shí)，求點(diǎn)C到直線AE的距離．（精確到0．1cm，參考數(shù)據(jù)：，，）解：如圖所示：過(guò)點(diǎn)作垂足為過(guò)點(diǎn)作垂足為過(guò)點(diǎn)作垂足為∴四邊形是矩形，在中，在中，即∴點(diǎn)C到直線AE的距離為20.如圖，為的直徑，切于點(diǎn)，于點(diǎn)，交于點(diǎn)，連接．(1)求證：平分；(2)若，，求的長(zhǎng)．【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)【分析】（1）可利用是圓的切線來(lái)求證，根據(jù)切于點(diǎn)，于點(diǎn)，得到（都和垂直），可根據(jù)內(nèi)錯(cuò)角相等和等邊對(duì)等角，將相等角進(jìn)行替換即可得出；（2）連接交于，交于，得到，從而，有，由（1）知，，由垂徑定理可得，，由三角形中位線定理可知，，由得到，，代入得到，解得．【詳解】（1）證明：切于點(diǎn)，，于點(diǎn)，，，在中，，，，平分；（2）解：連接交于，交于，如圖所示：，由（1）知，，由垂徑定理可得，由三角形中位線定理可知，，由（1）知，，，，，，，，，即，解得．六、（本大題1小題，滿分12分）21.如圖，一次函數(shù)的圖象與y軸交于點(diǎn)C，與反比例函數(shù)的圖象交于，兩點(diǎn)．(1)求A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)和反比例函數(shù)的表達(dá)式；(2)連接、，求的面積；(3)在x軸上找一點(diǎn)P，使的值最小，求滿足條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)．【答案】(1)、；(2)4(3)【分析】（1）把，兩點(diǎn)的坐標(biāo)代入一次函數(shù)的解析式即可求出m、n的值，再把B的坐標(biāo)代入反比例函數(shù)的解析式即可求出k的值；（2）求得C的坐標(biāo)，然后根據(jù)求得即可；（3）作B點(diǎn)關(guān)于x軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，連接交x軸于P點(diǎn)，則，利用兩點(diǎn)之間線段最短可判斷此時(shí)的值最小，再利用待定系數(shù)法求出直線的解析式，然后求出直線與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)即可得到P點(diǎn)坐標(biāo)．【詳解】（1）解：把，兩點(diǎn)的坐標(biāo)代入，得，，解得，則、，把代入，得，∴反比例函數(shù)的表達(dá)式為；（2）解：∵一次函數(shù)的圖象與y軸交于點(diǎn)C，∴，∴，∵、，∴；（3）解：作B點(diǎn)關(guān)于x軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，連接交x軸于P點(diǎn)，則，∵，∴此時(shí)的值最小，設(shè)直線的解析式為，把點(diǎn)，的坐標(biāo)代入，得，解得，∴直線的解析式為，當(dāng)時(shí)，，解得：，∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為．七、（本大題1小題，滿分12分）22.在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線（b，c是常數(shù)）經(jīng)過(guò)點(diǎn)，點(diǎn)B．點(diǎn)P在此拋物線上，其橫坐標(biāo)為m．（1）求此拋物線的解析式．（2）若時(shí)，，則d的取值范圍是______．（3）點(diǎn)P和點(diǎn)A之間（包括端點(diǎn)）的函數(shù)圖象稱(chēng)為圖象G，當(dāng)圖象G的最大值和最小值差是5時(shí)，求m的值．【答案】（1）（2）（3）或【解析】【分析】（1）利用待定系數(shù)法求出拋物線的解析式即可；（2）先求出拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)，得出函數(shù)的最小值為，把代入求出，，根據(jù)時(shí)，，得出時(shí)，函數(shù)能夠