滬科版九年級數(shù)學(xué)上冊期末復(fù)習(xí) 第23章 解直角三角形易錯(cuò)訓(xùn)練與壓軸訓(xùn)練（3類易錯(cuò)+3類壓軸）

第二十三章解直角三角形易錯(cuò)訓(xùn)練與壓軸訓(xùn)練01思維導(dǎo)圖01思維導(dǎo)圖目錄TOC\o"1-3"\h\u易錯(cuò)題型一誤認(rèn)為三角函數(shù)值與三角形大小有關(guān) 1易錯(cuò)題型二將特殊三角函數(shù)值記混 4易錯(cuò)題型三當(dāng)三角形的形狀不確定時(shí)，未分類討論 7壓軸題型一構(gòu)造直角三角形求線段長度 13壓軸題型二構(gòu)造直角三角形求面積 15壓軸題型三建直角三角形模型解實(shí)際問題 17002易錯(cuò)題型易錯(cuò)題型一誤認(rèn)為三角函數(shù)值與三角形大小有關(guān)例1．（23-24九年級上·廣東清遠(yuǎn)·階段練習(xí)）把△ABC三邊的長度都擴(kuò)大為原來的2倍，則銳角A的正弦值（

）A．不變 B．縮小為原來的1C．?dāng)U大為原來的2倍 D．不能確定鞏固訓(xùn)練1．（23-24九年級上·河南南陽·期末）在△ABC中，如果各邊長度都擴(kuò)大為原來的2倍，則銳角∠A的正弦值、余弦值的變化情況是（

A．都縮小為原來的12 C．都沒有變化 D．不能確定2．（23-24九年級上·廣西賀州·期末）在Rt△ABC中，∠C=90°，各邊都擴(kuò)大2倍，則銳角AA．?dāng)U大2倍 B．不變 C．縮小12 D．?dāng)U大3．（23-24九年級上·廣東佛山·期末）在Rt△ABC中，∠C=90°，若△ABC的三邊都擴(kuò)大5倍，則A．放大5倍 B．縮小5倍 C．不能確定 D．不變易錯(cuò)題型二將特殊三角函數(shù)值記混例2．（22-23九年級上·四川成都·階段練習(xí)）在△ABC中，∠C=90°，tanA=3，那么cosA． B． C．12 D．鞏固訓(xùn)練1．（24-25九年級上·黑龍江哈爾濱·階段練習(xí)）在△ABC中，∠C=90°，sinA=32，則A．1 B．12 C． D．2．（23-24九年級上·山東東營·開學(xué)考試）下列式子中不成立的是（

）A．2cos45°=2C．cos45°?sin3．（2024·廣東肇慶·一模）若∠A=30°，∠B與∠A互余，則sinB=（A．12 B． C．33 D．易錯(cuò)題型三當(dāng)三角形的形狀不確定時(shí)，未分類討論例3.（23-24九年級上·黑龍江哈爾濱·階段練習(xí)）在△ABC中，若AB=58，tanB=37，鞏固訓(xùn)練1．（22-23九年級上·黑龍江哈爾濱·階段練習(xí)）在△ABC中，cos∠ABC=12，AB=4，AC=152．（2022·黑龍江齊齊哈爾·中考真題）在△ABC中，AB=36，AC=6，∠B=45°，則3．（2023·浙江杭州·模擬預(yù)測）在△ABC中，已知∠B=30°，AB=23，AC=2，求△003壓軸題型壓軸題型一構(gòu)造直角三角形求線段長度例1.（22-23九年級上·上海·期中）如圖，已知在△ABC中，AB=5，BC=7，．(1)求；(2)求AC．鞏固訓(xùn)練1．（2024·上海徐匯·三模）如圖，在△ABC中，，cosB=14，BD是中線，將△ABC沿直線BD翻折后，點(diǎn)A落在點(diǎn)E，那么CE2．（2023·天津河北·二模）如圖，在矩形ABCD中，AB=2,BC=23，連接AC，點(diǎn)E在AC上，平分．

3．（2024·上海靜安·二模）如圖，矩形ABCD中，AB=8,BC=17，將該矩形繞著點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)，得到四邊形AB1C1D1，使點(diǎn)D在直線壓軸題型二構(gòu)造直角三角形求面積例2.（22-23八年級下·河南安陽·期末）如圖，學(xué)校操場邊有一塊四邊形空地ABCD，其中AB⊥BC，AB=BC=2m，AD=1m，CD=3m．為了美化校園環(huán)境，創(chuàng)建綠色校園，學(xué)校計(jì)劃將這塊四邊形空地進(jìn)行綠化整理．

(1)求證：．(2)求需要綠化的空地ABCD的面積．鞏固訓(xùn)練1．（22-23九年級上·山東聊城·階段練習(xí)）在△ABC中，，，為銳角且tanC=1．(1)求△ABC(2)求AB的值；(3)求cos∠2．（23-24九年級上·安徽六安·階段練習(xí)）如圖，在△ABC中，∠A=30°,(1)求AC的值．(2)求△ABC3．（20-21九年級下·全國·課后作業(yè)）一塊四邊形空地如圖所示，求此空地的面積（結(jié)果精確到0.01m壓軸題型三建直角三角形模型解實(shí)際問題例3.（2024·西藏·中考真題）在數(shù)學(xué)綜合實(shí)踐活動(dòng)中，次仁和格桑自主設(shè)計(jì)了“測量家附近的一座小山高度”的探究作業(yè)．如圖，次仁在A處測得山頂C的仰角為30°；格桑在B處測得山頂C的仰角為45°．已知兩人所處位置的水平距離米，A處距地面的垂直高度AM=30米，B處距地面的垂直高度BN=20米，點(diǎn)M，F(xiàn)，N在同一條直線上，求小山CF的高度．（結(jié)果保留根號）

鞏固訓(xùn)練1．（24-25九年級上·山東泰安·階段練習(xí)）如圖為某景區(qū)平面示意圖，C為景區(qū)大門，A，B，D分別為三個(gè)風(fēng)景點(diǎn)．經(jīng)測量，A，B，C在同一直線上，且A，B在C的正北方向，AB=240米，點(diǎn)D在點(diǎn)B的南偏東方向，在點(diǎn)A的東南方向．（參考數(shù)據(jù)：2≈1.414，）(1)求B，D兩地的距離；（結(jié)果精確到0.1米）(2)大門C在風(fēng)景點(diǎn)D的南偏西60°方向，景區(qū)管理部門決定重新翻修CD之間的步道，求2．（24-25九年級上·山東聊城·階段練習(xí)）如圖，某大樓的頂部豎有一塊廣告牌CD，小明在山坡的坡腳A處測得廣告牌底部D的仰角為60°．沿坡面AB向上走到B處測得廣告牌頂部C的仰角為45°，已知山坡AB的坡度i=1:3，AB=10米，AE=15(1)求點(diǎn)B距水平面AE的高度BH；(2)求廣告牌CD的高度．（測角器的高度忽略不計(jì)，結(jié)果精確到0.1米．參考數(shù)據(jù)：2≈1.414，）3．（2024·貴州遵義·模擬預(yù)測）打籃球是學(xué)生的校園基本體育運(yùn)動(dòng)項(xiàng)目之一．如圖①是一副籃球架實(shí)物圖，如圖②是它的示意圖，其中主拉桿GD=185cm,GM=100cm,MN=95cm，點(diǎn)G,M,N,H在同一直線上，GM與水平線之間的夾角為30°，主拉桿GD與底座上邊緣CD之間的夾角為74°，水平橫梁EN=120cm，籃筐P與水平橫梁EN同高，底座(1)求籃板HF到支撐立柱的水平距離．(2)求籃筐P離地面的豎直高度．

第二十三章解直角三角形易錯(cuò)訓(xùn)練與壓軸訓(xùn)練01思維導(dǎo)圖01思維導(dǎo)圖目錄TOC\o"1-3"\h\u易錯(cuò)題型一誤認(rèn)為三角函數(shù)值與三角形大小有關(guān) 1易錯(cuò)題型二將特殊三角函數(shù)值記混 4易錯(cuò)題型三當(dāng)三角形的形狀不確定時(shí)，未分類討論 7壓軸題型一構(gòu)造直角三角形求線段長度 13壓軸題型二構(gòu)造直角三角形求面積 15壓軸題型三建直角三角形模型解實(shí)際問題 17002易錯(cuò)題型易錯(cuò)題型一誤認(rèn)為三角函數(shù)值與三角形大小有關(guān)例1．（23-24九年級上·廣東清遠(yuǎn)·階段練習(xí)）把△ABC三邊的長度都擴(kuò)大為原來的2倍，則銳角A的正弦值（

）A．不變 B．縮小為原來的1C．?dāng)U大為原來的2倍 D．不能確定【答案】A【分析】本題考查銳角三角函數(shù)的定義，由于△ABC三邊的長度都擴(kuò)大為原來的2倍所得的三角形與原三角形相似，得到銳角A的大小沒改變，根據(jù)正弦的定義得到銳角A的正弦值也不變．【詳解】因?yàn)椤鰽BC三邊的長度都擴(kuò)大為原來的2倍，所得的三角形與原三角形相似，所以銳角A的大小沒改變，所以銳角A的正弦值也不變．故選A．鞏固訓(xùn)練1．（23-24九年級上·河南南陽·期末）在△ABC中，如果各邊長度都擴(kuò)大為原來的2倍，則銳角∠A的正弦值、余弦值的變化情況是（

A．都縮小為原來的12 C．都沒有變化 D．不能確定【答案】C【分析】本題考查解直角三角形，解答本題的關(guān)鍵是明確銳角三角函數(shù)的定義，知道變化前后的兩個(gè)三角形相似．根據(jù)一個(gè)銳角△ABC的三邊的長都擴(kuò)大為原來的2倍，可知擴(kuò)大后∠A【詳解】解：∵一個(gè)△ABC∴∠∴銳角∠A故選：C2．（23-24九年級上·廣西賀州·期末）在Rt△ABC中，∠C=90°，各邊都擴(kuò)大2倍，則銳角A的三角函數(shù)值（A．?dāng)U大2倍 B．不變 C．縮小12 D．?dāng)U大【答案】B【分析】本題考查的是銳角三角函數(shù)的定義，三角形相似的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握銳角三角函數(shù)的定義，三角形相似的判定和性質(zhì)，根據(jù)三角形相似的判定，可以確定各邊擴(kuò)大后的三角形與原三角形相似，再根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可知銳角A的度數(shù)不變，所以銳角A對應(yīng)的三角函數(shù)值就不變．【詳解】解：因?yàn)楦鬟厰U(kuò)大后的三角形與原三角形相似，銳角A的度數(shù)不變，銳角A對應(yīng)的三角函數(shù)值就不變．故選：B．3．（23-24九年級上·廣東佛山·期末）在Rt△ABC中，∠C=90°，若△ABC的三邊都擴(kuò)大5倍，則sinA．放大5倍 B．縮小5倍 C．不能確定 D．不變【答案】D【分析】直接利用銳角的正弦的定義——“銳角A的對邊a與斜邊c的比叫做∠A的正弦，記作sinA【詳解】解：∵∠C=90°∴sinA∵△ABC∴∠A∴sinA故選：D．易錯(cuò)題型二將特殊三角函數(shù)值記混例2．（22-23九年級上·四川成都·階段練習(xí)）在△ABC中，∠C=90°，tanA=3，那么cosA． B． C．12 D．【答案】B【分析】此題考查的知識點(diǎn)是特殊角的三角函數(shù)值，先根據(jù)正切值求出∠A的度數(shù)，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得到∠B【詳解】解：∵tanA∴∠A=60°．∵∠C=90°∴∠B=90°?60°=30°，∴cosB故選B．鞏固訓(xùn)練1．（24-25九年級上·黑龍江哈爾濱·階段練習(xí)）在△ABC中，∠C=90°，sinA=32，則A．1 B．12 C． D．【答案】D【分析】本題考查特殊角的三角函數(shù)值，三角形內(nèi)角和定理，解題的關(guān)鍵是熟記特殊角的三角函數(shù)值．根據(jù)特殊角的三角函數(shù)求出∠A=60°，然后利用三角形內(nèi)角和定理求出∠B=180°?∠A?∠C=30°，然后利用30°角的余弦值求解即可．【詳解】解：在△ABC中，∠C=90°，sinA∴∠A=60°∴∠B=180°?∴cosB故選：D．2．（23-24九年級上·山東東營·開學(xué)考試）下列式子中不成立的是（

）A．2cos45°=2C．cos45°?sin【答案】D【分析】此題主要考查了特殊角的三角函數(shù)值，正確記憶相關(guān)數(shù)據(jù)是解題關(guān)鍵．直接利用特殊角的三角函數(shù)值分別代入計(jì)算得出答案．【詳解】解：A．2cos45°=B．，12sinC．，故原式成立，故此選項(xiàng)不合題意；D．3sin(30°+30°)=3故選：D．3．（2024·廣東肇慶·一模）若∠A=30°，∠B與∠A互余，則sinB=（A．12 B． C．33 D．【答案】D【分析】本題考查了求特殊角的三角函數(shù)值，根據(jù)題意求sin6【詳解】解：∵∠A=30°，∠B與∠A∴∠B=90°?∴sinB故選：D．易錯(cuò)題型三當(dāng)三角形的形狀不確定時(shí)，未分類討論例3.（23-24九年級上·黑龍江哈爾濱·階段練習(xí)）在△ABC中，若AB=58，tanB=37，【答案】1或13【分析】過點(diǎn)A作AD⊥BC于點(diǎn)D，分高AD在三角形內(nèi)部和三角形外部兩種情況進(jìn)行討論求解．【詳解】解：過點(diǎn)A作AD⊥BC于點(diǎn)D，分兩種情況討論：①當(dāng)AD在△ABC

∵tanB∴設(shè)AD=3x,BD=7x，則：AB=A∴x=1，∴AD=3,BD=7，∴CD=A∴BC=BD?CD=1；②當(dāng)AD在△ABC

同法可得：BD=7,CD=6，∴BC=BD+CD=13；綜上：BC=1或13；故答案為：1或13．【點(diǎn)睛】本題考查解非直角三角形，解題的關(guān)鍵是構(gòu)造直角三角形，利用數(shù)形結(jié)合和分類討論的思想，進(jìn)行求解．鞏固訓(xùn)練1．（22-23九年級上·黑龍江哈爾濱·階段練習(xí)）在△ABC中，cos∠ABC=12，AB=4，AC=15【答案】或2+3【分析】根據(jù)解直角三角形的方法，在△ABC中，cos∠ABC=12，則得到∠ABC=60°，由AB=4，【詳解】解：∵在△ABC中，cos∠∴∠∵在△ABC中，∠ABC=60°，AB=4，AC=15∴AB分兩種情況討論：①AD⊥BC，令A(yù)D=AB?在Rt△ABD中，∠ADB=90°，AB=4，AD=AB?sin6在Rt△ACD中，∠ADC=90°，AC=15，AD=AB?sin∴BC=BD?CD=2?②AD⊥BC，令A(yù)D=AB?

在Rt△ABD中，∠ADB=90°，AB=4，AD=AB?sin6在Rt△ACD中，∠ADC=90°，AC=15，AD=AB?sin∴BC=BD?CD=2+綜上所述，BC的長為或2+3，故答案為：或2+3．【點(diǎn)睛】本題考查解非直角三角形問題，根據(jù)題意，將非直角三角形轉(zhuǎn)化為直角三角形，分類討論求解是解決問題的關(guān)鍵．2．（2022·黑龍江齊齊哈爾·中考真題）在△ABC中，AB=36，AC=6，∠B=45°，則【答案】33+3【分析】畫出圖形，分△ABC為銳角三角形和鈍角三角形兩種情況討論即可．【詳解】解：情況一：當(dāng)△ABC為銳角三角形時(shí)，如圖1所示：過A點(diǎn)作AH⊥BC于H，∵∠B=45°，∴△ABH為等腰直角三角形，∴AH=BH=AB在Rt△ACH中，由勾股定理可知：CH=A∴BC=BH+CH=33情況二：當(dāng)△ABC為鈍角三角形時(shí)，如圖2所示：由情況一知：AH=BH=AB2=∴BC=BH?CH=33故答案為：33+3或【點(diǎn)睛】本題考查了等腰直角三角形的性質(zhì)及勾股定理的應(yīng)用，本題的關(guān)鍵是能將△ABC分成銳角三角形或鈍角三角形分類討論．3．（2023·浙江杭州·模擬預(yù)測）在△ABC中，已知∠B=30°，AB=23，AC=2，求△【答案】2或【分析】分兩種情況討論即可①當(dāng)∠C為銳角時(shí)，②當(dāng)∠C為鈍角時(shí)，最后根據(jù)三角形的面積公式可求解．【詳解】解：①如圖，當(dāng)∠C為銳角時(shí)，過點(diǎn)A作AD⊥BC于D，∵∠B=30°，AB=23∴AD＝ABsinB=，BD＝ABcosB=3，在Rt△ACD中，∵AD⊥BC，∴CD＝AC∴BC＝3+1=4．∴S＝12BC×AD＝12×4×＝2．②如圖，當(dāng)∠C為鈍角時(shí)，過點(diǎn)C作CE⊥AB于E，設(shè)BE=x，則AE=AB-BE=23∵∠B=30°，∴CE＝BEtanB=33x，∴CE2=1在Rt△ACE中，∵CE⊥AE，∴CE2＝AC2-AE2=22-(2-x)2=-x2+4-8，∴13x2=-x2+4-8，解得x1∴CE＝33×=1．∴S＝12AB×CE＝12×2×1＝，綜上△ABC的面積為2或．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的面積及勾股定理的應(yīng)用和解直角三角形，掌握特殊的三角函數(shù)值是解題的關(guān)鍵．003壓軸題型壓軸題型一構(gòu)造直角三角形求線段長度例1.（22-23九年級上·上?！て谥校┤鐖D，已知在△ABC中，AB=5，BC=7，．(1)求；(2)求AC．【答案】(1)1(2)【分析】（1）過點(diǎn)A作AD⊥BC于點(diǎn)D，利用，求出AD，利用勾股定理求出BD，再利用BC?BD求出CD，進(jìn)而求出；（2）利用勾股定理求出AC即可．【詳解】（1）解：過點(diǎn)A作AD⊥BC于點(diǎn)D，則sinB∵AB=5，∴AD=4，∴BD=A∴CD=BC?BD=7?3=4，∴tan∠（2）解：由（1）知，在Rt△AC=A【點(diǎn)睛】本題考查解直角三角形．通過作高，構(gòu)造直角三角形是解題的關(guān)鍵．鞏固訓(xùn)練1．（2024·上海徐匯·三模）如圖，在△ABC中，，cosB=14，BD是中線，將△ABC沿直線BD翻折后，點(diǎn)A落在點(diǎn)E，那么CE【答案】6【分析】本題考查三角形的翻折綜合計(jì)算，涉及三角函數(shù)，等腰三角形，平行四邊形及勾股定理，能正確進(jìn)行線段的轉(zhuǎn)換及作輔助線解非直角三角形是解題關(guān)鍵．本題先過點(diǎn)A作AM⊥BC于點(diǎn)M，計(jì)算得出AD=CD=DE=BC，再證明四邊形BCED是平行四邊形，得CE=BD，再在△BCD中求解BD即可．【詳解】解：如圖，過點(diǎn)A作AM⊥BC于點(diǎn)M，過點(diǎn)D作DN⊥BC于點(diǎn)N，∵，∴BM=CM，∵cosB∴BM=CM=1，∴BC=2，∵BD是中線，∴CD=AD=1由翻折知，∴AD=CD=DE=BC，∴∠CBD=設(shè)，∴∠CDB=∴∠ADB=180°?由翻折知∠EDB=∴∠EDC=∴∠EDC=∴DE∥∴四邊形BCED是平行四邊形，∴CE=BD，∵DN⊥∴cosC∴CN=1∴BN=BC?CN=2?12=∴BD=D∴CE=BD=6故答案為：6．2．（2023·天津河北·二模）如圖，在矩形ABCD中，AB=2,BC=23，連接AC，點(diǎn)E在AC上，平分．

【答案】3?3/【分析】過點(diǎn)D作DG⊥AC，由平分∠DEF可得△DEG是等腰直角三角形，再根據(jù)矩形性質(zhì)和勾股定理易求對角線AC長，進(jìn)而解三角形求出、DG即可解答．【詳解】解：過點(diǎn)D作DG⊥

∵平分∠DEF，∴∠DEG=45°∴DG=EG，∵在矩形ABCD中，AB=2,BC=23∴CD=2，，∠ADC=∠∴AC=A∴sin∠ACD=AD∴EG=GD=CDsinGC=CDcos∴AE=AC?EG?GC=4?3故答案為：3?3【點(diǎn)睛】本題主要考查了矩形性質(zhì)和解三角形，解題關(guān)鍵是過點(diǎn)D作DG⊥AC構(gòu)造△DEG3．（2024·上海靜安·二模）如圖，矩形ABCD中，AB=8,BC=17，將該矩形繞著點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)，得到四邊形AB1C1D1，使點(diǎn)D在直線【答案】161717【分析】本題主要考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)和解三角形，注意分類討論，正確畫出圖形是解題關(guān)鍵．根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得B'D=AD2?B'A2=15【詳解】解：由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)可知：AB'=AB=8，∠AB∴B'∴sin∠ADB∵∠BAB'+∠DA∴∠BA∴AH=ABB∴BH=AB?AH=8?∴B'當(dāng)點(diǎn)D在線段C1同理可得：AH=ABBBH=AB+AH=8+∴B'故答案為：161717或壓軸題型二構(gòu)造直角三角形求面積例2.（22-23八年級下·河南安陽·期末）如圖，學(xué)校操場邊有一塊四邊形空地ABCD，其中AB⊥BC，AB=BC=2m，AD=1m，CD=3m．為了美化校園環(huán)境，創(chuàng)建綠色校園，學(xué)校計(jì)劃將這塊四邊形空地進(jìn)行綠化整理．

(1)求證：．(2)求需要綠化的空地ABCD的面積．【答案】(1)見解析(2)【分析】（1）根據(jù)勾股定理求得AC=22，根據(jù)勾股定理的逆定理即可推得∠（2）根據(jù)S四邊形

ABCD【詳解】（1）解：∵AB⊥BC，AB=BC=2，∴AC=A∵AD=1，CD=3，∴AD2+A∴AD∴∠DAC=90°即．（2）解：在Rt△ABC中，S在Rt△ADC中，S∴S四邊形

ABCD【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理，勾股定理的逆定理，三角形的面積公式，熟練掌握勾股定理和勾股定理的逆定理是解題的關(guān)鍵．鞏固訓(xùn)練1．（22-23九年級上·山東聊城·階段練習(xí)）在△ABC中，，，為銳角且tanC=1．(1)求△ABC(2)求AB的值；(3)求cos∠【答案】(1)12(2)(3)5【分析】（1）過點(diǎn)A作AD⊥BC，根據(jù)的正切值確定的度數(shù)，再利用直角三角形的邊角間關(guān)系求出AD、CD，最后利用三角形的面積公式算出△ABC的面積；（2）先利用線段的和差關(guān)系求出BD，然后在Rt△ABD中利用勾股定理求出AB；（3）在Rt△ABD中利用直角三角形的邊角間關(guān)系求出∠B【詳解】（1）解：過點(diǎn)A作AD⊥BC，垂足為D，∴∠ADC=∵為銳角且tanC=1∴∠C=45°∴∠DAC=90°?∴∠DAC=∴AD=DC，在Rt△∵sinC=AD∴DC=AD=ACsin∵，∴S△∴△ABC的面積為12．（2）∵DC=AD=4，，∴BD=BC?DC=6?4=2，在Rt△AB=A∴AB的值為．（3）在Rt△ABD中，AB=25，BD∴cos∠∴cos∠ABC的值為【點(diǎn)睛】本題主要考查解直角三角形，掌握直角三角形的邊角間關(guān)系、特殊角的三角函數(shù)值、三角形的面積公式及勾股定理是解題的關(guān)鍵．2．（23-24九年級上·安徽六安·階段練習(xí)）如圖，在△ABC中，∠A=30°,(1)求AC的值．(2)求△ABC【答案】(1)AC=6(2)△ABC的面積為9【分析】本題考查了解三角形，解題關(guān)鍵是構(gòu)造出直角三角形．（1）過點(diǎn)C作CD⊥AB于點(diǎn)D，構(gòu)造出兩個(gè)直角三角形，再根據(jù)所給條件直接求解即可；（2）利用勾股定理及三角形面積求解即可．【詳解】（1）解：如圖，過點(diǎn)C作CD⊥AB于點(diǎn)D．在Rt△BCD中，，BC=32∴BD=BC∴CD=BD=3在Rt△∵∠；（2）解：由（1）知：在Rt△ACD中，AC=6，CD=3，∴S△ABC3．（20-21九年級下·全國·課后作業(yè)）一塊四邊形空地如圖所示，求此空地的面積（結(jié)果精確到0.01m【答案】1082.53【分析】把所給四邊形構(gòu)建成幾個(gè)直角三角形，利用求和的方法來求面積即可．【詳解】解：如圖，連接BD，作DE⊥AB于E，作BF⊥CD于F．∵∠A＝∠C＝60°，∴DE＝30?sin60°＝15≈25.9808m，BF＝20?sin60°＝10≈17.3205m，∴S四邊形ABCD＝12×50×25.9808＋12×50×17.3205≈【點(diǎn)睛】本題考查的是解直角三角形的應(yīng)用，對于一個(gè)任意四邊形，在求面積時(shí)，一般是構(gòu)建直角三角形，利用求和的方法來求面積，熟練掌握解直角三角形是解題關(guān)鍵．壓軸題型三建直角三角形模型解實(shí)際問題例3.（2024·西藏·中考真題）在數(shù)學(xué)綜合實(shí)踐活動(dòng)中，次仁和格桑自主設(shè)計(jì)了“測量家附近的一座小山高度”的探究作業(yè)．如圖，次仁在A處測得山頂C的仰角為30°；格桑在B處測得山頂C的仰角為45°．已知兩人所處位置的水平距離米，A處距地面的垂直高度AM=30米，B處距地面的垂直高度BN=20米，點(diǎn)M，F(xiàn)，N在同一條直線上，求小山CF的高度．（結(jié)果保留根號）

【答案】1003【分析】本題主要考查了矩形的判定和性質(zhì)，解直角三角形的應(yīng)用，證明四邊形AMFD和四邊形BNFE為矩形，得出DF=AM=30米，BN=EF=20米，MF=AD，F(xiàn)N=BE，設(shè)CD=x，則CE=CD+DE=x+10米，解直角三角形得出AD=CDtan30°=x33【詳解】解：根據(jù)題意可得：∠AMF=∠DFM=∠ADF=90°，∠BEF=∴四邊形AMFD和四邊形BNFE為矩形，∴DF=AM=30米，BN=EF=20米，MF=AD，F(xiàn)N=BE，∴DE=DF?EF=30?20=10（米），設(shè)CD=x，則CE=CD+DE=x+10∵∠CAD=30°，∠ADC=90°∴AD=CD∵∠CBE=45°，∠CEB=90°∴BE=CE∴MF=AD=3x，∵米，∴3x+x+10=210解得：x=1003∴CF=CD+DF=1003鞏固訓(xùn)練1．（24-25九年級上·山東泰安·階段練習(xí)）如圖為某景區(qū)平面示意圖，C為景區(qū)大門，A，B，D分別為三個(gè)風(fēng)景點(diǎn)．經(jīng)測量，A，B，C在同一直線上，且A，B在C的正北方向，AB=240米，點(diǎn)D在點(diǎn)B的南偏東方向，在點(diǎn)A的東南方向．（參考數(shù)據(jù)：2≈1.414，）(1)求B，D兩地的距離；（結(jié)果精確到0.1米）(2)大門C在風(fēng)景點(diǎn)D的南偏西60°方向，景區(qū)管理部門決定重新翻修CD之間的步道，求【答案】(1)B、D兩地的距離約為339.4米(2)240+803【分析】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是：（1）過點(diǎn)B作BP⊥AD于點(diǎn)P，可求出，利用含30°的直角三角形的性質(zhì)得出BD=2BP，在Rt△ABP中，利用正弦定義可求出BP，即可求解；（2）過點(diǎn)B作BM⊥CD于點(diǎn)M，在Rt△BDM中，利用正弦定義可求出BM、DM，在Rt△BCM中，利用含30°的直角三角形的性質(zhì)可求出【詳解】（1）解：過點(diǎn)B作BP⊥AD于點(diǎn)P，由題意知∠BAD=45°，∴∠ADB=30°，，AP=BP，在Rt△ABP中，AB=240∴AP=BP=（米）．答：B、D兩地的距離約為339.4米；（2）解：過點(diǎn)B作BM⊥CD于點(diǎn)M，由（1）得（米），∵∠CDB=180°?60°∴∠∴BM=DM在Rt△BDM中，，sin4∴BM=DM=BD在Rt△BCM中，∠∴CM=BM∴DC=DM+CM=240+802．（24-25九年級上·山東聊城·階段練習(xí)）如圖，某大樓的頂部豎有一塊廣告牌CD，