人教版高中數(shù)學(xué)必修二同步學(xué)習(xí)講義：空間幾何體的三視圖和直視圖（附答案）

第一章空間幾何體

§1.2空間幾何體的三視圖和直觀圖

1.2.1中心投影與平行投影

1.2.2空間幾何體的三視圖

【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1.了解中心投影和平行投影2能畫出簡單空間圖形的三視圖.3.能識別三視圖所

表示的立體模型.

H問題導(dǎo)學(xué)

知識點(diǎn)一投影的概念

思考由下圖你能說出影子是怎樣得到的嗎？

答案光照射到不透明物體(比如手)上，在后面的屏幕上留下影子.

梳理(1)定義：由于光的照射，在不透明物體后面的屏幕上可以留下這個物體的影子,這種

現(xiàn)象叫做投影.

(2)投影線：光線.

(3)投影面：留下物體影子的屏幕.

知識點(diǎn)二投影的分類

投影定義特征分類

中心投影光由一點(diǎn)向外散射形成的投影投影線交于一點(diǎn)

平行投影在一束平行光線照射下形成的投影投影線平行正投影和斜投影

知識點(diǎn)三三視圖

思考如夢似幻!——這是無數(shù)來自全世界的游客對國家游泳中心“水立方”的第一印象.假

如你站在水立方入口處的正前方或在“水立方”的左側(cè)看水立方，你看到的是什么？若你在

“水立方”的正上方觀察水立方看到什么？

根據(jù)上述三個方向觀察到的平面，能否畫出“水立方”的形狀?

答案“水立方”的一個側(cè)面.

“水立方”的一個表面.

可以.

梳理三視圖的概念

(1)定義

(2)三視圖的畫法規(guī)則

①正、俯視圖都反映物體的長度——“長對正”；

②正、側(cè)視圖都反映物體的高度——“高平齊”；

③俯、側(cè)視圖都反映物體的寬度——“寬相等”.

(3)三視圖的排列順序：先畫正視圖，側(cè)視圖在正視圖的左邊，俯視圖在正視圖的下邊.

2題型探究

類型一中心投影與平行投影

例1(1)①平行投影的投影線互相平行，中心投影的投影線相交于一點(diǎn)；②空間圖形經(jīng)過中

心投影后，直線變成直線，但平行線可能變成了相交的直線；③幾何體在平行投影與中心投

影下有不同的表現(xiàn)形式.其中正確說法的個數(shù)為()

A.0B.1C.2D.3

答案D

解析由平行投影和中心投影的定義知，平行投影的投影線互相平行，中心投影的投影線相

交于一點(diǎn)，故①正確；空間圖形經(jīng)過中心投影后，直線變成直線，但平行線有可能變成相交

線，如照片中由近到遠(yuǎn)物體之間的距離越來越近，最后相交于一點(diǎn)，故②正確；幾何體在平

行投影與中心投影下有不同的表現(xiàn)形式，故③正確.故選D.

(2)如圖所示，在正方體ABCD-A'B'CD'中，E,尸分別是A'A,CC的中點(diǎn)，則下

列判斷正確的是.(只填序號)

①四邊形BED'E在底面ABC。內(nèi)的投影是正方形；

②四邊形2即‘E在面A'D'ZM內(nèi)的投影是菱形；

③四邊形8尸。'E在面A'D'D4內(nèi)的投影與在面A89A'內(nèi)的投影是全等的平行四邊形.

答案①③

解析①四邊形BED'E的四個頂點(diǎn)在底面ABC。內(nèi)的投影分別是8,C,D,A,所以投影

是正方形，即①正確；②設(shè)正方體的棱長為2,則AE=1,取。的中點(diǎn)G,連接AG,則

四邊形3切少E在面A，D'D4內(nèi)的投影是四邊形AG。'E,由AE〃。'G,且AE=/VG,

知四邊形AGZ/E是平行四邊形，但AE=1,D'E=鄧,所以四邊形AG。'E1不是菱形，

即②不正確；對于③，由②可知兩個投影四邊形是對邊分別相等的平行四邊形，從而③正確.

反思與感悟(1)判斷一個幾何體的投影是什么圖形，先分清楚是平行投影還是中心投影，投

影面的位置如何，再根據(jù)平行投影或中心投影的性質(zhì)來判斷.

(2)畫出一個圖形在一個平面上的投影的關(guān)鍵是確定該圖形的關(guān)鍵點(diǎn)，如頂點(diǎn)、端點(diǎn)等，方法

是先畫出這些關(guān)鍵點(diǎn)的投影，再依次連接各投影點(diǎn)即可得出此圖形在該平面上的投影.

跟蹤訓(xùn)練1(1)已知△ABC,選定的投影面與△ABC所在平面平行，則經(jīng)過中心投影后所得

的B'C與△ABC的關(guān)系是()

A.全等B.相似

C.不相似D.以上都不對

答案B

解析根據(jù)題意畫出圖形如圖.

OB_BC_PC_AC

由圖易得彳瑞7則△ABCs/vl'B'C.

ADOB'~B'C~OC~A'C'

(2)如圖，E,尸分別是正方體的面AOC14、面BCC山i的中心，則四邊形8打)歸在該正方體

的面上的正投影可能是圖中的.（要求把所有可能的序號都填上）

答案②③

解析其中②可以是四邊形2ED1E在正方體的面或面DiDCG上的正投影.③可以是

四邊形BFDiE在正方體的面BCCiBi上的正投影.四邊形BFDiE在正方體任何一個面上的正

投影都不是①④.

類型二三視圖的畫法與識別

命題角度1三視圖的識別

例2一個長方體截去兩個三棱錐，得到的幾何體如圖所示，則該幾何體的三視圖為（）

答案C

解析從該幾何體可以看出，正視圖是一個矩形內(nèi)有一斜向上的對角線；俯視圖是一個矩形

內(nèi)有一斜向下的對角線，沒有斜向上的對角線，故排除B、D項(xiàng)；側(cè)視圖是一個矩形內(nèi)有一

斜向下的對角線，且都是實(shí)線，因?yàn)闆]有看不到的輪廓線，所以排除A項(xiàng).

跟蹤訓(xùn)練2將一個長方體沿相鄰三個面的對角線截去一個棱錐，得到的幾何體的正視圖與

俯視圖如圖所示，則該幾何體的側(cè)視圖為（）

答案B

解析由幾何體的正視圖和俯視圖可知該幾何體如圖所示，故其側(cè)視圖為B中的圖象.

命題角度2畫幾何體的三視圖

例3畫出如圖所示的幾何體的三視圖.

俯視圖

引申探究

例3(2)中的組合體改為如下圖形，畫出其三視圖.

正前方

解圖中幾何體實(shí)際為組合體，下部是三個正方體，上部是一個圓柱，按正方體和圓柱的三

視圖畫法畫出該組合體的三視圖，如圖所示.

反思與感悟畫三視圖的注意事項(xiàng)：

(1)務(wù)必做到長對正，寬相等，高平齊.

(2)三視圖的安排方法是正視圖與側(cè)視圖在同一水平位置，且正視圖在左，側(cè)視圖在右，俯視

圖在正視圖的正下方.

(3)若相鄰兩物體的表面相交，表面的交線是它們的分界線，在三視圖中，要注意實(shí)、虛線的

畫法.

跟蹤訓(xùn)練3如圖是同一個圓柱的不同放置，陰影面為正面，分別畫出它們的三視圖.

類型三由三視圖還原幾何體

例4(1)說出下面的三視圖表示的幾何體的結(jié)構(gòu)特征.

正視圖側(cè)視圖

俯視圖

解幾何體為三棱臺，結(jié)構(gòu)特征如下圖：

(2)根據(jù)以下三視圖想象物體原形，并畫出物體的實(shí)物草圖.

正視圖側(cè)視圖

俯視圖

解此幾何體上面可以為圓臺，下面可以為圓柱，所以實(shí)物草圖可以如圖.

反思與感悟(1)通過正視圖和側(cè)視圖確定是柱體、錐體還是臺體.若正視圖和側(cè)視圖為矩形，

則原幾何體為柱體；若正視圖和側(cè)視圖為等腰三角形，則原幾何體為錐體；若正視圖和側(cè)視

圖為等腰梯形，則原幾何體為臺體.

(2)通過俯視圖確定是多面體還是旋轉(zhuǎn)體，若俯視圖為多邊形，則原幾何體為多面體；若俯視

圖為圓，則原幾何體為旋轉(zhuǎn)體.

跟蹤訓(xùn)練4(1)根據(jù)圖①②③所示的幾何體的三視圖，想象其實(shí)物模型，畫出示意圖.

口D

正視圖側(cè)視圖側(cè)視圖

俯視圖

②

解三視圖對應(yīng)的幾何體如下圖所示.

①長方體②圓錐③四棱臺

（2）如圖所示為長方體木塊堆成的幾何體的三視圖，此幾何體共由塊木塊堆成.

側(cè)視圖

答案4

解析由三視圖知，由4塊木塊組成.如圖.

3當(dāng)堂訓(xùn)練

i.一條直線在平面上的平行投影是（）

A.直線B.點(diǎn)

C.線段D.直線或點(diǎn)

答案D

解析當(dāng)投影線與該直線平行時直線的平行投影為一個點(diǎn)；當(dāng)投影線與該直線不平行時，直

線的平行投影為一條直線.

2.如圖，甲、乙、丙是三個立體圖形的三視圖，與甲、乙、丙相對應(yīng)的標(biāo)號是（）

①長方體；②圓錐；③三棱錐；④圓柱.

俯視圖俯視圖

甲乙

正視圖側(cè)視圖

A.③①②B.①②③

C.③②④D.④②③

答案D

3.某幾何體的正視圖和側(cè)視圖均如圖所示，則該幾何體的俯視圖不可能是（）

答案D

解析根據(jù)幾何體的三視圖知識求解.

由于該幾何體的正視圖和側(cè)視圖相同，且上部分是一個矩形，矩形中間無實(shí)線和虛線，因此

俯視圖不可能是D.

4.將正方體（如圖（1）所示）截去兩個三棱錐，得到如圖（2）所示的幾何體，則該幾何體的側(cè)視圖

為（）

答案B

解析還原正方體后，將D,A三點(diǎn)分別向正方體右側(cè)面作垂線.。兇的射影為C],

且為實(shí)線，5C被遮擋應(yīng)為虛線.

5.一個幾何體的三視圖如圖所示，則其側(cè)視圖的面積為

答案4+市

解析依題意得幾何體的側(cè)視圖面積為22+1x2X^3=4+^3.

L規(guī)律與方法--------------------------------1

1.理解平行投影和中心投影的概念時，可以從一束光線去照射一個物體所形成的影子，研究

兩者的不同之處.另外應(yīng)注意平行投影的性質(zhì)，尤其注意圖形中的直線或線段不平行于投影

線的情況.

2.空間幾何體的三視圖可以使我們很好地把握空間幾何體的性質(zhì)，由空間幾何體可畫出它的

三視圖，同樣由三視圖可以想象出空間幾何體的形狀，兩者之間的相互轉(zhuǎn)化，可以培養(yǎng)我們

的空間想象能力.

課時作業(yè)

一、選擇題

1.下列命題正確的是（）

A.矩形的平行投影一定是矩形

B.梯形的平行投影一定是梯形

C.兩條相交直線的投影可能平行

D.一條線段（不與投射線平行）中點(diǎn)的平行投影仍是這條線段投影的中點(diǎn)

答案D

解析因?yàn)楫?dāng)平面圖形與投射線平行時，所得投影是線段，故A,B錯.又因?yàn)辄c(diǎn)的平行投

影仍是點(diǎn)，所以相交直線的投影不可能平行，故C錯.由排除法可知，選項(xiàng)D正確.

2.如圖，在正方體ABCD-AiSGA中，M,N分別是BBi,的中點(diǎn)，則圖中陰影部分

在平面ADDiAi上的投影為（）

答案A

解析點(diǎn)D在平面ADDiAi上的投影為點(diǎn)D,點(diǎn)M在平面ADDiAi上的投影為AAi的中點(diǎn)

點(diǎn)N在平面AOD14上的投影為D4的中點(diǎn)，連接三點(diǎn)可知A正確.

3.如圖所示，下列幾何體各自的三視圖中，有且僅有兩個視圖相同的是（）

③三棱臺④正四棱錐

（底面為正方形）

解析在各自的三視圖中①正方體的三個視圖都相同；②圓錐有兩個視圖相同；③三棱臺的

三個視圖都不同；④正四棱錐有兩個視圖相同.

4.某幾何體的直觀圖如圖所示,下列給出的四個俯視圖中正確的是（）

答案B

解析幾何體的俯視圖，輪廓是矩形，幾何體的上部的棱都是可以看見的線段，所以C,D

不正確；幾何體的上部中間的棱與正視圖方向垂直，所以A不正確.故選B.

5.如果用口表示1個立方體，用區(qū)表示2個立方體疊加，用■表示3個立方體疊加，那么圖

中由7個立方體疊成的幾何體，從正前方觀察，可畫出的平面圖形是（）

解析結(jié)合已知條件易知B正確.

6.一個幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的直觀圖可以是（）

答案D

解析由俯視圖是圓環(huán)可排除A,B,C,進(jìn)一步將三視圖還原為幾何體，可得選項(xiàng)D.

7.如圖所示為一個簡單幾何體的三視圖，則其對應(yīng)的幾何體是（）

側(cè)視圖

答案A

解析對于A,該幾何體的三視圖恰好與已知圖形相符,故A符合題意；對于B,該幾何體

的正視圖的矩形中，對角線應(yīng)該是虛線，故不符合題意;對于C,該幾何體的正視圖的矩形

中，對角線應(yīng)該是從左上到右下的方向，故不符合題意；對于D,該幾何體的側(cè)視圖的矩形

中，對角線應(yīng)該是虛線，故不符合題意.故選A.

8.已知底面為正方形，側(cè)棱相等的四棱錐S—ABC。的直觀圖和正視圖如圖所示，則其側(cè)視

圖的面積為（）

H—2—

直觀圖正視圖

A.鄧B.^6C.2鄧D.2y[6

答案A

解析由題意，側(cè)視圖與正視圖是全等的三角形，面積為由X2X小=小.

二、填空題

9.如圖所示，桌面上放著一個半球，則它的三視圖中，與其他兩個視圖不同的是.（填

“正視圖”“側(cè)視圖”或“俯視圖”）

答案俯視圖

解析該半球的正視圖與側(cè)視圖均為半圓，而俯視圖是一個圓，所以俯視圖與其他兩個視圖

不同.

10.若一個正三棱柱的三視圖如圖所示，則這個三棱柱的高（兩底面之間的距離）和底面邊長

分別是和.

正視圖側(cè)視圖

俯視圖

宏口案423

解析三棱柱的高同側(cè)視圖的高，側(cè)視圖的寬度恰為底面正三角形的高，故底面邊長為羋.

11.已知某組合體的正視圖與側(cè)視圖相同（其中四邊形2CDE為矩形），則該組合體

的俯視圖可以是圖中的.（把你認(rèn)為所有正確圖象的序號都填上）

A

DE

①②③?

答案①②③④

解析由正視圖和側(cè)視圖可知幾何體為錐體和柱體的組合體.

(1)若幾何體為圓柱與圓錐的組合體，則俯視圖為③；

⑵若幾何體為棱柱與圓錐的組合體，則俯視圖為④；

⑶若幾何體為棱柱與棱錐的組合體，則俯視圖為①；

(4)若幾何體為圓柱與棱錐的組合體，則俯視圖為②.

12.已知一正四面體的俯視圖如圖所示，它是邊長為2cm的正方形，則這個正四面體的正視

圖的面積為cm2.

答案2y[2

解析構(gòu)造一個棱長為2cm的正方體如圖)，在此正方體中作出一個符合

題意的正四面體易得該正四面體的正視圖是一個底邊長為2吸c(diǎn)m,高為2cm

的等腰三角形，從而可得正視圖的面積為m