三角函數(shù)中ω的范圍與最值問題-2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)專練（新高考專用）

重難點10三角函數(shù)中。的范圍與最值問題【七大題型】

【新高考專用】

?題型歸納

【題型1與三角函數(shù)的單調(diào)性有關(guān)的。的范圍與最值問題】.......................................2

【題型2與三角函數(shù)的對稱性有關(guān)的。的范圍與最值問題】.......................................4

【題型3與三角函數(shù)的最值有關(guān)的。的范圍與最值問題】.........................................6

【題型4與三角函數(shù)的周期有關(guān)的。的范圍與最值問題】.........................................9

【題型5與三角函數(shù)的零點有關(guān)的。的范圍與最值問題】........................................11

【題型6與三角函數(shù)的極值有關(guān)的。的范圍與最值問題】........................................13

【題型7。的范圍與最值問題：性質(zhì)的綜合問題】..............................................16

?命題規(guī)律

1、三角函數(shù)中。的范圍與最值問題

三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)是高考的重要內(nèi)容，在三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)中，O的求解是近幾年高考的一個

重點、熱點內(nèi)容，試題主要以選擇題、填空題的形式呈現(xiàn)，但因其求法復(fù)雜，涉及的知識點多，歷來是我

們復(fù)習(xí)中的難點，學(xué)生在復(fù)習(xí)中要加強訓(xùn)練，靈活求解.

?方法技巧總結(jié)

【知識點1三角函數(shù)中有關(guān)。的范圍與最值問題的類型】

1.三角函數(shù)中。的范圍與最值的求解一般要利用其性質(zhì)，此類問題主要有以下幾個類型：

(1)三角函數(shù)的單調(diào)性與。的關(guān)系；

(2)三角函數(shù)的對稱性與。的關(guān)系；

(3)三角函數(shù)的最值與。的關(guān)系；

(4)三角函數(shù)的周期性與。的關(guān)系；

(5)三角函數(shù)的零點與。的關(guān)系；

(6)三角函數(shù)的極值與。的關(guān)系.

【知識點2三角函數(shù)中。的范圍與最值問題的解題策略】

1.利用三角函數(shù)的單調(diào)性求。的解題思路

對于已知函數(shù)的單調(diào)區(qū)間的某一部分確定參數(shù)。的范圍的問題，首先，明確已知的單調(diào)區(qū)間應(yīng)為函數(shù)的

單調(diào)區(qū)間的子集，其次，要確定已知函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而利用它們之間的關(guān)系可求解，另外，若是選擇

題，利用特值驗證排除法求解更為簡捷.

2.利用三角函數(shù)的對稱性求。的解題策略

三角函數(shù)兩條相鄰對稱軸或兩個相鄰對稱中心之間的“水平間隔”為《，相鄰的對稱軸和對稱中心之

間的“水平間隔”為4,這就說明，我們可根據(jù)三角函數(shù)的對稱性來研究其周期性，解決問題的關(guān)鍵在于

運用整體代換的思想，建立關(guān)于。的不等式組，進而可以研究的取值范圍.

3.利用三角函數(shù)的最值求。的解題策略

若已知三角函數(shù)的最值，則利用三角函數(shù)的最值與對稱軸或周期的關(guān)系，可以列出關(guān)于。的不等式(組),

進而求出。的值或取值范圍.

4.利用三角函數(shù)的周期性求。的解題策略

若已知三角函數(shù)的周期性，則利用三角函數(shù)的周期與對稱軸、最值的關(guān)系，列出關(guān)于。的不等式(組)，

進而求出。的值或取值范圍.

?舉一反三

【題型1與三角函數(shù)的單調(diào)性有關(guān)的。的范圍與最值問題】

【例1】(2024?重慶?二模)若函數(shù)/0)=sin(2比一0)(0WR<ir)在上單調(diào)遞增，則程的最小值為()

A.—B.-C.-D.-

12643

【解題思路】利用正弦型函數(shù)的單調(diào)性建立不等式，解不等式即可求解.

【解答過程1令2/CTT-<2x—(p<2fcir+(fc6Z)>

解得kn—；+/nr+；+/,(fcGZ),

4242

由于f(x)在(05)上單調(diào)遞增，

所以Mr-^+y<0<%<^<kn+：+-(kGZ),

即—/CTT+WWMW—kn+工，(keZ),

1224

因為OWWVTT,所以當(dāng)々=0時，0的最小值為會

故選：B.

【變式1?1】(2024?湖北鄂州?一i模)已知函數(shù)y=sin(3%+@)(3>0,@E(0,2n))的一條對稱軸為％=—￡，

且/(%)在(7吟)上單調(diào)，則3的最大值為()

A.-B.2C.-D.

333

【解題思路】先利用函數(shù)對稱軸可得x=g-](kez),又由在卜,等)上為單調(diào)函數(shù)，列不等式可得助k間

的不等關(guān)系，進而可得3的最大值.

【解答過程】函數(shù)y=sin(cox+0)(3>0r(pE(0,2n))一條對稱軸為第=-/—詈+0=七口+1&6Z),

e

??.（p=fcjii+；+?,y=sin（3%+0）的對稱軸可以表示為3%4-/qir+三+?=k2n+三（々2Z）,

26262

令k=k?一kg則％=EZ）,/（%）在（n，3上單調(diào)，

「kn7i.

——互，

則mkez,使得6：M,解得5kw3w|（k+i）,由'卜三|（k+1）,得y3,

--------->—,

<co63

當(dāng)k=3時，3取得最大值為*

故選：C.

【變式1-2]（2024?全國?模擬預(yù)測）已知函數(shù)/（%）=sin（3%+0）（3>0）,若直線第=個為函數(shù)/（%）圖象的

一條對稱軸，（g,0）為函數(shù)/（X）圖象的一個對稱中心，且八支）在G，g）上單調(diào)遞減，則3的最大值為（）

A.—B.—C.—D.—

17171717

【解題思路】根據(jù)八支）的對稱性求出3=?心一的）-捺（LBez）,再結(jié)合其單調(diào)性確定3的范圍，二

者結(jié)合，即可求得答案.

【解答過程】由題意知直線x=：為函數(shù)f（x）圖象的-一條對稱軸，（g,0）為函數(shù)f（x）圖象的一個對稱中心,

故|等+「-）’則3一出-砧-談氏也的

又/）在&等上單調(diào)遞減，貝吟="詈一”號

即得3W學(xué)結(jié)合3>0,gp0<6）<y,

故當(dāng)七一七=1時，3=*當(dāng)卜2一的=2時，M=yy;

心-的取其它值時，不合題意，

故3的最大值為程

故選：B.

【變式1-3]（2024?廣東湛江?一模）已知函數(shù)/O）=sin（3%+芝）（3>0）在區(qū)間傳,§上單調(diào)遞增，則3

的取值范圍是（）

A.[2,5]B.[1,14]C.[9,10]D.[10,11]

【解題思路】由X的范圍可求得3久+g的范圍，結(jié)合正弦函數(shù)單調(diào)性，采用整體代換的方式即可構(gòu)造不等式

組求得結(jié)果.

【解答過程】當(dāng)xe信用時，"+■仁3+抬3+等

TT?21T—IT.r?j

-0>+T>--+2fcK

???f(x)在上單調(diào)遞增(fcez),

-CD+—<-+2/CJI

,632

rcoN-14+24k-14+24fc<-1+12k

解得:(fc6Z),又3>0,

I0)<-1+12k-1+12/O0

-11Q

解得：—<fc<—,又kGZ,fc=1,10<<z)<11,

即3的取值范圍為[10,11].

故選：D.

【題型2與三角函數(shù)的對稱性有關(guān)的。的范圍與最值問題】

【例2】(2023?廣西?模擬預(yù)測)若函數(shù)/(%)=2sin(3%+0)(co>0,\(p\<滿足f(2%)=f-2%),

且/(0)=一1,則3的最小值為()

A.1B.2C.3D.4

【解題思路】求出？，利用對稱軸即可得出3的最小值.

【解答過程】由題意,

在/(%)=2sin(3%+0)(3>0,101V/)中，

由于/(0)=2sin/=—1,BPsin(p=-1,5L\(p\<p所以9=一：，

所以/(%)=2sin(3%-小，

由*2%)=f6一2%)可知％=，是函數(shù)/(%)圖像的一條對稱軸，

所以—+BfcEZ,即3=6/C+4,kGZ,所以3的最小值為4,

662

故選：D.

【變式2-1](2024?內(nèi)蒙古呼和浩特?一模)已知函數(shù)/Xx)=sin(3x—§@>0)在區(qū)間[0,n]上有且僅有兩

條對稱軸，則3的取值范圍是()

4f)B.(建]C.償陷D.信高

【解題思路】由X的取值范圍求出3X-或再結(jié)合題意及正弦函數(shù)的性質(zhì)得到^W3TT-"弓，解得即可.

【解答過程】當(dāng)Xe[0,TT],則3久一與6[-,371-3,(3>0),

依題意可得手<3TT—]V~2'f解得3Ce,菖)，

故選：A.

【變式2?2】(2023?云南大理?一模)函數(shù)f(%)=sin(ax+0)(3>0,0V0VTi),若不等式/(%)4|/(看)|

對V%EMH成立，且/(%)的圖像關(guān)于％=?對稱，則3的最小值為()

O

A.1B.2C.3D.4

【解題思路】根據(jù)題意，由條件可得辦再由函數(shù)/(久)的對稱軸得到3,即可得到結(jié)果.

【解答過程】由已知得上島)|=卜也(：+。|=1,

又。<9<m故：+0=5，得w=：

?.?/(x)的圖像關(guān)于x=9寸稱，

O

?3TT.TT1T]7>-r-j

??----1—=—卜/CTC,/cGtZ,

842

則3=2+8fc>0,kez,

.?.當(dāng)k=0時，3的最小值為2.

故選：B.

【變式2-3](2024?全國?模擬預(yù)測)已知函數(shù)人久)=sin(3x+以3>0)是在區(qū)間信,粉上的單調(diào)減函數(shù),

其圖象關(guān)于直線x=-2對稱，且/(x)的一個零點是x=571,則3的最小值為()

367Z

A.2B.12C.4D.8

【解題思路】根據(jù)函數(shù)/(%)的對稱軸得3=360-18-36rm,利用函數(shù)f(%)在島羽上單調(diào)遞減得

12(2k-ri)<0)<6(2fc-n+1),再結(jié)合函數(shù)/(%)的零點求解即可.

【解答過程】因為函數(shù)/(%)=sin(3%+0)的圖象關(guān)于直線久=一?寸稱，

所以-3?袤+W=]+TUT,n6Z,所以0=(1+￡+幾)冗，n6Z,

4■口[r_TIT—5IT|7t|i(D1T5(1)71匕廠]、■(D1T5(1)71

根據(jù)正，則底<3%<-^,所以藕+W<3X+9<=+W，

lo30io30lo30

因為/'(X)=sin(3x+s)是在區(qū)間仁段)上的單調(diào)減函數(shù).

(^+<p>^+2kn,keZ

所以5霽L,

V+(P<-2kn,kE.Z

籌+(J+治+n)ir>^+2kn,nEZ,kEZ

日斤J182362

5aHi,13、Q1「qilq'

、~3T7。~+(LT+3—。+n)n<Z—+2kn,nGZ,fcGZ

f-+(工+9+九)之工+2k,nE7.,kE7.

即,181236/2

|—+f-+-^+n)<-+2/c,nG4/cGZ?

136\23672

解得12(2/C—TI)w3W6(2k—幾+1),nez,fcGZ,

因為3>0,所以2k一n=0或2上一九=1,

當(dāng)2々一九二0時，0V3W6,當(dāng)2/c—九=1時，12W3W12；

由于且/(X)的一個零點是'=看口，

1O/，DO/N

所以3X—+(/?=(2m+l)n,mGZ,

所以3x4+(工+里+九)口=(2m+1)TI,mGZ,neZ,

即o>=8(2m—n)+4,meZ,nGZ.

根據(jù)0<o>W6或12W3W12,可得3=4,或3=12,所以3的最小值為4.

故選：C.

【題型3與三角函數(shù)的最值有關(guān)的。的范圍與最值問題】

【例3】(2023?四川瀘州?一模)已知函數(shù)/(%)=25E(3%一9(3>0)在(0,(上存在最值,且在管,n)上

單調(diào)，則3的取值范圍是()

從(。局B.[i,|]C.[|,1D.與總

【解題思路】利用整體法，結(jié)合三角函數(shù)圖像性質(zhì)對久e(o,§進行最值分析，對區(qū)間上進行單調(diào)

分析；

【解答過程】當(dāng)。<%V/時，因為60>0,則———g

36636

因為函數(shù)/(%)在(嗚)上存在最值，則詈-合要解得⑨>2,

當(dāng)空<X<71時,--<(JL)X--<TIO)-

33666

因為函數(shù)/(%)在管,n)上單調(diào)，

貝”(等一3”3_g￡(fcn-pfcTt+g(/ceZ),

/2TI3____冗_、Tl^TT_n_

所以’3舄1其中/cEZ,解得一；工3Wk+((kEZ),

Kto--<kn+-,223

62

所以|fc—1<fc+1，解得k<p

又因為3>o,則々€{0,1,2}.

當(dāng)k=0時，0<3W*

當(dāng)k=1時，1￡34,；

當(dāng)k=2時，|<w<1.

又因為3>2,因此3的取值范圍是居］.

故選：C.

【變式3-1］(2024?浙江溫州?一模)若函數(shù)f(%)=2sin(3%—1),(3>0),%€［。目的值域為［一次⑵，則

3的取值范圍是()

C?圖D.[鴻]

【解題思路】利用％e?可得3X—與e[―H3-4，再由三角函數(shù)圖像性質(zhì)可得]W]3—5W5+n，解

不等式即可求得3的取值范圍.

【解答過程】根據(jù)題意可知若xe[o,1,則可得3X—[-^3—耳；

顯然當(dāng)x=0時，可得2sin(3%-=一百,

由/(x)的值域為[一A2],利用三角函數(shù)圖像性質(zhì)可得]=<=+

解得!<o><^,即3的取值范圍是[|,用

故選：D.

【變式3-2](2024?四川綿陽?模擬預(yù)測)己知函數(shù)f(x)=4cos(3x-白(3>0),/0)在區(qū)間[0身上的最小

值恰為-3,則所有滿足條件的3的積屬于區(qū)間()

A.(1,4]B.[4,7]C.(7,13)D.[13,+oo)

【解題思路】根據(jù)函數(shù)能否取到最小值進行分類討論即可.

【解答過程】當(dāng)久€［°5］時3%—"E［―工（3—同，因為此時/（%）的最小值為-3<。，

所以^3一工〉］,即3>：.

若三但一會之兀，此時/（久）能取到最小值一4,即一3=—4=3=4,

代入可得"4-看>兀，滿足要求;

若人無）取不到最小值—4,則需滿足^口一套〈兀，即3<審，

31Z4

p（3）=4cosc3-工）在3e（：,母上單調(diào)遞減，所以存在唯一3符合題意;

所以3=4或者3C?肉，所以所有滿足條件的3的積屬于區(qū)間（7,13）,

故選：C.

【變式3-3］（2023?新疆烏魯木齊"一模）已知函數(shù)/（無）=2sin（3%+0）（3>0,0<</）</）的圖象過點（0,1）,

且在區(qū)間5,211）內(nèi)不存在最值，則3的取值范圍是（）

17_

A.B.

,4112.

17'12,

C.D.U

叫U4'12.3‘3.

【解題思路】先通過/（0）=1求出g然后求出使/（%）取最值時的％,再根據(jù)/（%）在區(qū)間5,2n）內(nèi)不存在最

值列不等式求解3的取值范圍.

【解答過程】???函數(shù)f（%）=2sin（3%+0）的圖象過點（0,1）,,

???/(0)=2sing=1,即sing=1

又0<9V9，W=?

LO

/(%)=2sin(3久+

令3%H--=—+/CTC,/c€Z,即％=--+——,/cGZ,

623a3

.??當(dāng)％=9+N/cEZ時，函數(shù)/(%)=2sin(a%+g)取最值,

33(1)

/(%)在區(qū)間(n,2n)內(nèi)不存在最值，

,kn,

H——<TV12k

解得+f<<+fGZ

3-c-3---c

，332

6+1)互/c€Z,

------->Z9TC

0)

當(dāng)k<-l時，3不存在;

o-i1

當(dāng)k=-1時，-7；<3<二，又3>0,?*.0<6)<—,

366

當(dāng)k=0時，1<eo<|,

當(dāng)k>0時，3不存在；

綜合得3的取值范圍是(0周U[1,|].

故選：D.

【題型4與三角函數(shù)的周期有關(guān)的G的范圍與最值問題】

【例4】(2023?四川綿陽?模擬預(yù)測)記函數(shù)/(%)=cos(3%+切(3>0,0V0Vit)的最小正周期為7,若

f(T)=y,久=；為/(￡)的一個零點，則3的最小值為()

315

A.-B.3C.6D.—

22

【解題思路】根據(jù)題意，求得/(%)=cos?%+]),結(jié)合X=/為/(%)的一個零點，求得3=3+9k,kCZ,

即可求解.

【解答過程】由函數(shù)/(%)=cos(a)x+?)的最小正周期為T二尊

因為/(T)=日，可得/(T)=cos(cox—+(/))=coscp=日，

又因為OV0V71,可得所以/(%)=(：05(3久+?),

66

因為％=W為函數(shù)/(%)的一個零點，所以cos?xg+m)=0,

vyo

解得3x5+?=]+kTt,keZ,即co=3+9k,kez,

又因為3>0,所以3的最小值為3.

故選：B.

【變式4-1](2024?全國?模擬預(yù)測)已知函數(shù)/'(%)=sin(27T5：)(3>0)在區(qū)間(0,2)上單調(diào)，且在區(qū)間[0,18]

上有5個零點，則3的取值范圍為()

【解題思路】根據(jù)復(fù)合型三角函數(shù)最小正周期的計算公式，結(jié)合其單調(diào)性和零點，可得答案.

【解答過程】因為f(%)=sin(2iTw0,所以函數(shù)f(x)的最小正周期7=念=5(3>0).

因為/(%)在區(qū)間(0,2)上單調(diào)，所以=可得3<3

443o

因為/(%)在區(qū)間［0,18］上有5個零點，所以2TW18<V，即2W18可得其3<攝

Z3￡.(1)y36

綜上，T<但<

yo

故選：D.

【變式4-2］(2024?全國?模擬預(yù)測)記函數(shù)/(%)=cos(3%+?)?>0,0V年V冗)的最小正周期為T,若f(T)=

-p且x=］為/(x)的一條對稱軸，則3的最小值為()

248

-B-C-1-0

A.333D.3

【解題思路】根據(jù)已知條件列方程，求得3的表達式，進而求得3的最小值.

【解答過程】由于7=條所以f(r)=cos(3x§+0)=cos(2rt+0)=COSW=-；，

由于0<9<n,所以9=學(xué)則/'(%)=cos(3X+?，

由于x=］為fQ)的一條對稱軸，

所以萬3+—=/CTT,(1)=2k——,k€Z,

由于3>0,所以3的最小值為2—g=|.

故選：A.

【變式4-3］(23-24高二下?江蘇南京?期末)已知函數(shù)/⑺=sing+,)(3>0,\(p\<習(xí)的最小正周期為

T,/g)=fg),若f(x)在區(qū)間［0,刀上恰有8個零點，則3的取值范圍是()

A.惇,4TT)B.所引C.卜吟D.招引

【解題思路】根據(jù)題意得到曲線f(X)的一條對稱軸為X=*%設(shè)零點從小到大依次為打,m2,…，^，㈣，…，

從而得到=O,X8=|L%9=47,從而得到<2<4T,得到答案.

【解答過程】因為f(x)=sin(a)x+(p)(a)>0,\(p\<的最小正周期為=fg，

TT

所以曲線fO)的一條對稱軸為久=1=1

Z4

所以f(0)=0,

設(shè)零點從小到大依次為％1，%2,……，其中％1=。,％8=57，%9=47,

有ZT<2<4T,即Fw2<—,解得V<w<4TT,

2332

所以3的取值范圍是建仙）.

故選：A.

【題型5與三角函數(shù)的零點有關(guān)的公的范圍與最值問題】

【例5】（2023?全國?一模）已知函數(shù)/"0）=5也（3%+小（3〉0）在區(qū)間槨,71|上恰有3個零點，則3的取值

范圍是（）

A.[瀉M/）B.桂4]u售與

C.4爭U（5爭D.冷5]u仔與

【解題思路】先由零點個數(shù)求出3W3<6,再用整體法得到不等式組，求出3的取值范圍.

【解答過程】因為xe[Q],3X+Mg+Q3+,,其蠟—4<與，解得：3<w<6,

貝咕3+經(jīng)T'要想保證函數(shù)在FT恰有三個零點，

71+2/qiT<^0）+/V2TT+2fc17T

滿足①?ki6Z,令k]=0,解得：3G[?5）；

4n+2/c7i<iia）+-<5ir+2/ci7i

13

2k2Tl<+^<冗+2/c2n

或要滿足②?k?RZ,令B=1,解得：36（5,弓）;

2攵2互+311Vlno<2k2n+4n

經(jīng)檢驗，滿足題意，其他情況均不滿足343V6條件,

綜上：3的取值范圍是腎，孩）U（5,箭.

故選：C.

【變式5?1】（2023?吉林長春?一模）將函數(shù)f（x）=cos（%+爭圖象上所有點的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼摹叮╝>0）,

縱坐標(biāo)不變，所得圖象在區(qū)間[。,磊上恰有兩個零點，且在[-工，總上單調(diào)遞減，則3的取值范圍為（）

A-MB.g,4）C.%]D,仁,6]

【解題思路】先根據(jù)題目的要求伸縮變換得到解析式，然后結(jié)合函數(shù)在[o,篇上恰有兩個零點以及在卜已總

上單調(diào)遞減，列出不等式組，即可求得本題答案.

【解答過程】依題意可得y=COS（3X+y）,

因為0工%工”，所以三W3久+/W半n+拳

因為y=COS(3%+g)在［。,用恰有2個零點，且cos《+的n)=0,k±GZ,

匕匚［、［5n/2.(i)2K7Tl々力4日11,17

所以三工不互+了<3，解得743V彳，

令2k2K<tox+—<n+2七冗，k6Z,得——+<%<—+kGZ,

323儂33a)a)2

令k?=0,得丫=COS(3%+等在［-蓑竟］上單調(diào)遞減，

所以［d哥二卜恭不

所以我一「2,又3>0,解得0<3<4.

-->-

3a)~12

綜上所述，Y<to<4,故3的取值范圍是件昨

故選：C.

【變式5-2］(2024?全國?模擬預(yù)測)已知函數(shù)/'(x)=sin(3%+§(3>0)在區(qū)間&TT)上至少有兩個零點,

則實數(shù)3的取值范圍是()

兒(…)B.i)C.黯)喧,+8)D.［消喑,+司

jm-kn——

【解題思路】由/(%)=0得3%+2=/m(k€Z),得x=-^(/cEZ),不妨設(shè)線=」二(k￡Z)且%A和％女+1

3coco

在區(qū)間gm)內(nèi)，從而可求出k的范圍，再由k進行討論即可得解.

【解答過程】由/(%)=0得3%+'=kTi(kGZ),得％=-^(/cGZ),

3co

k」

不妨設(shè)辦=T(keZ)且也和丸+i在區(qū)間&亢)內(nèi)，貝吟<Xk<、k+lVm

即H<匕<(fc+1)TC-3<Mk6Z),化簡得k+-<0)<2k--(kEZ),

2co333

+22k2

-<--

334

由

的

整數(shù)

G為-

2(/C3

?-?!.-M

當(dāng)k=2時,o)EA2=傅,與)；

當(dāng)々=3時，&)EA3=(y/y)；

當(dāng)憶=4時，a)EA4=

當(dāng)/c=5時，o）EA5=

可得當(dāng)k23時，fc+l+|<2/c-|,且當(dāng)k-+8時，2k-2T+8,

所以42UX3UX4UX5U-XfcU…=（py）U（y,+8）,

故實數(shù)3的取值范圍為傳,U管,+00）.

故選：C.

【變式5-3］（2024?四川雅安?一模）已知函數(shù)f（%）=2cos（3%+3）（3>0且一］<RV］）,設(shè)T為函數(shù)/（%）

的最小正周期，/（；）=-1，若f（x）在區(qū)間［0,1］有且只有三個零點，則3的取值范圍是（）

A?（等制B.［斗爭）C.得知D.將告）

【解題思路】根據(jù)題意可確定T為函數(shù)/（久）=2cos（3%+0）的最小正周期，結(jié)合fQ=-1求出0，再根據(jù)

“久）在區(qū)間［0,1］有且只有三個零點，結(jié)合余弦函數(shù)性質(zhì)列出不等式，求得答案.

【解答過程】由題意知T為函數(shù)f（x）=2cos⑷久+卬）的最小正周期，故T=

0）

由=-1得2cos（1+9）=-1,即cos（1+0）=-|,

由于-］<0<］，故0=/

/（X）在區(qū)間［0,1］有且只有三個零點，故已3+5，

66o

且由于y=cos%在（0,+8）上使得cosx=0的x的值依次為^與樣?…，

故?43+汴子，解得？<3〈手，即3€仁,誓），

26233L33/

故選：D.

【題型6與三角函數(shù)的極值有關(guān)的G的范圍與最值問題】

［例6］（2023?四川成都?二模）將函數(shù)f（x）=sin》⑷>0）的圖象上所有點的橫坐標(biāo)縮短到原來

的;，縱坐標(biāo)不變，得到函數(shù)。（久）的圖象.若g（x）在（0,1）上有且僅有3個極值點，則3的取值范圍為（）

A.陰B.g,4］C,?］D.作,7］

【解題思路】先根據(jù)題意得出函數(shù)g（x）=sin（2s—富當(dāng)0<x<J時，—？<23-g（學(xué)—g要使g（x）

\6/36636

在（嗚）上有且僅有3個極值點，需滿足苧<等一54半，解不等式即可.

【解答過程】由題可知，g(x)=sin(23x-5,當(dāng)0<x〈軻，<2cox

\6/3o636

因為g(x)在(0,§上有且僅有3個極值點，所以苧〈等一牌g解得4<3W日，

所以3的取值范圍為：1,日].

故選：C.

【變式6-1](2023?河南開封?模擬預(yù)測)已知將函數(shù)f(x)=2siny(cosy-V3siny)((o>0)的圖象向右

平移；個單位長度，得到函數(shù)g(x)的圖象，若。(久)在(O,TT)上有3個極值點，則3的取值范圍為()

Z(JL)

A.仔+8)B.[f,4]c.(鴻]D.(灣]

【解題思路】利用三角恒等變化得/(x)=2sin(3x+§-V3,由圖象的變化得g(x)=-2cos(3久+§-V3,

結(jié)合題意和余弦函數(shù)的圖象列出不等式組求解即可.

【解答過程】因為/(久)=2sin號(cos與一百sin陰

a)xa)x/—c3%

=2sin--cos———2v3sin2--

222

=sino)x—v3(l—coseox)

=sina)x+V3cos(ox—V3

=2sin(3%+§-8

又因為g(x)=f[x—套)=2sin[3(%—+-^j—V3=-2cos(3%+9-

令t=3%+—,又因為3>0,當(dāng)％G(O,TC)時,t=(JL)X+-G(w，371+J,

g(%)在(0m)上有3個極值點等價于h(t)=cost在力C仔311+§,上有3個極值點，

fi(t)=cost的圖象如圖所示：

歹八

O12TI4K~~x

由余弦函數(shù)/i?)=cost:的性質(zhì)可得:3n<con+^<4TT,

解得:g<3W

故選:C.

【變式6-2］（2024?陜西渭南?一模）已知函數(shù)/（久）=sin（3x+9（3>0）在區(qū)間［0河上有且僅有4個極值

點，給出下列四個結(jié)論：

①/（久）在區(qū)間（0m）上有且僅有3個不同的零點；②/（%）的最小正周期可能是全

③3的取值范圍是（果外④代久）在區(qū)間仁*）上單調(diào)遞增.

其中正確結(jié)論的個數(shù)為（）

A.1B.2C.3D.4

【解題思路】令+：=kez,則x=M%,kez,結(jié)合條件可得0<￥<n有4個整數(shù)k符合

424a）4a）

題意，可求出3的取值范圍，再利用三角函數(shù)圖象性質(zhì)逐項分析即可得出結(jié)論.

【解答過程】由函數(shù)/（%）=sin（3%+：）3>0）,

令+-=-4-ku,fcGZ可得第=吐竺:/cGZ,

424co

因為/（%）在區(qū)間［0,汨上有且僅有4個極值點，即可得0<勺F<7T有且僅有4個整數(shù)k符合題意，

解得0<~~—V1,即0V1+4k<4co,可得k=。,1,2,3,

4a）

即1+4x3V4coW1+4x4,解得3G（—>一］，即③正確；

對于①，當(dāng)％E（0jl）時，3久+：E371+習(xí)，即可得3U+：€引，

顯然當(dāng)3Tr+；e管,4向時，/（%）在區(qū)間（0m）上有且僅有3個不同的零點；

當(dāng)（4口,同時，f（x）在區(qū)間（0力上有且僅有4個不同的零點；即①錯誤；

對于②，f（久）的最小正周期為7=桔，穹，易知日喏瀉）,

所以/（久）的最小正周期可能是會即②正確；

對于④，當(dāng)時，3久+江（3合+，3卷+》

由3e（果引可知（嗚+*?+：）e管，工），

由三角函數(shù)圖象性質(zhì)可知/（x）在區(qū)間（段，工）上單調(diào)遞增，即④正確；

即可得②③④正確.

故選：C.

【變式6-3](2024?全國?模擬預(yù)測)將函數(shù)/⑺=sin比的圖像向左平移部單位長度后得到函數(shù)g(x)的圖

像，再將g(x)的圖像上各點的縱坐標(biāo)不變、橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼墓?3>0)倍，得到函數(shù)h(x)的圖像，且旗切

在區(qū)間(0,n)上恰有兩個極值點、兩個零點，則3的取值范圍為()

A-(制B.[瀉C.(消D.(鴻)

【解題思路】現(xiàn)根據(jù)函數(shù)平移放縮變換，得到解析式，再根據(jù)M%)在區(qū)間(0,兀)上恰有兩個極值點、兩個零

點，結(jié)合余弦函數(shù)圖象進行求解即可.

【解答過程】法一：由題意，得。(久)=sin(%+^)=sin(1+%+g=cos(%+§,所以

h(x)=cos[a)x+§.令t=o)x+pxG(O^IT),貝1Jt€f.設(shè)m(t)=cost,則m(t)在te⑦兀+§

上恰有兩個極值點和兩個零點.結(jié)合圖像知如V37T+三苧，解得|V3W*

法二：驗證排除法.由題意可知g(%)=sin(x+高=cos(%+§,所以九(%)=cos(3%+》根據(jù)四個選項

的特點，只有選項C中不含,，所以只需要驗證3=g時的情況，若3=則h(%)=cosG%+§,令t再汽+會

因為％E(0m),所以管,2冗)，結(jié)合圖像知此范圍內(nèi)由兩個零點，一個極小值點，不符合題意，所以30|,

故選C.

法三：由題可知，g(%)=sin(%+D所以h(%)=sin(3%+?),令3%+工=Mr+/cGZ,則％=三后

(

<

5T-t

至758

則

得

解

eZ乙3571<<

-萬87-13a)-3-

，IT-

—n3

IX%%8T-T>3

v-

3w

—<717

+—=kn,fcGZ,則久=—,kGZ,分別令k=1,2,3,則x=；，F(xiàn)，磬，由題意知或2Tl解得看<3<

636co6o>6co

、6a)一

容綜上所述，36信外

6\3oJ

故選：C.

【題型7G的范圍與最值問題：性質(zhì)的綜合問題】

【例7】(2024?湖北武漢?模擬預(yù)測)若函數(shù)/(久)=3cos(3久+切(3<0,-廣卬<§的最小正周期為n,

在區(qū)間(-右習(xí)上單調(diào)遞減，且在區(qū)間(0*)上存在零點，則9的取值范圍是()

【解題思路】根據(jù)給定周期求得3=-2,再結(jié)合余弦函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、單調(diào)性及零點所在區(qū)間列出不等式

組，然后結(jié)合已知求出范圍.

【解答過程】由函數(shù)f(X)的最小正周期為TT,得尚=巾而3<0,解得3=-2,

則/(%)=3cos(—2%+w)=3cos(2%—(p)9由2kn<2x—(p<2kn+n,k6Z,

得2kn+(p<2x<2kn+n+g,kEZ,又/(%)在(-]*)上單調(diào)遞減，

因此2kji+(pW——,且1—2/CTT+IT+0,kEZ,解得—--2fcirWcpW———2/CTC,kGZ①，

由余弦函數(shù)的零點，得2%—0=rm+],7iEZ,即2%=TTTT+]+0,?iEZ,

而/(%)在(0*)上存在零點，則0Vnn+弓+0<3,九

oZ3EZ,

于是一7TR—]<0<—nu—^fnEZ②，又一]<0<]聯(lián)立①②解得一]V04一p

所以9的取值范圍是(

故選：B.

【變式7-1](2024?全國?模擬預(yù)測)已知函數(shù)/(%)=sin(2co%-切(3>0)滿足對任意的％CR,均有/(%)之

/0(等+%)=—/得一％)，且/(%)在信分上單調(diào)，則3的最大值為()

A.-B.-C.-D.:

4245

【解題思路】先根據(jù)/⑺得+X)=—/得-％)得出3的關(guān)系式，再根據(jù)單調(diào)性確定3的范圍，最

后求出最大值即可.

【解答過程】由于對任意的XCR,均有/0)2/償),/(申+%)=-/(^一力，

所以f(x)在x=5處取得最小值，點管,0)是/(x)圖象的一個對稱中心，

所以—(p=2fc^ir—■^,，―|——<p=k2n(卜1，&eZ),兩式相減得2n3=(七一2/ci)ir+](前,&CZ),即3=

2出-：)+1&也ez).

因為f(x)在厚高上單調(diào)，所以費一：三六點即3W1，

a)>0,因此當(dāng)七-2的=1時，3取得最大值|.

故選:C.

【變式7-2](2024?天津?模擬預(yù)測)已知/'(X)=sin(3%+合+⑴)(3>0,㈤<§為偶函數(shù),g(x)=sin(ax+

⑼，則下列結(jié)論錯誤的個數(shù)為()

①3=

②若g(x)的最小正周期為3m則3=|；

③若g(x)在區(qū)間(0,元)上有且僅有3個最值點，則3的取值范圍為G，羽；

④若9G)=今則3的最小值為2.

A.1個B.2個C.3個D.4個

【解題思路】根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)一一判斷即可.

【解答過程】對于①：若/(%)=sin(