三角形（二）重難點-2024-2025學(xué)年初中數(shù)學(xué)八年級上冊期中重難點復(fù)習(xí)攻略

第11章三角形（2）——重難點

內(nèi)容范圍：11.3-11.3

?重難點知識導(dǎo)航

多邊形與平行

線、角平分線、

折蠡綜合

?重難點知識剖析

區(qū)由點占1

知識點一：多邊形的對角線

1.多邊形的對角線

（1）定義：連接多邊形兩個不相鄰頂點的一，叫做多邊形的對角線；

（2）數(shù)量：過一個頂點引出的對角線有一條，多邊形對角線有一條；

2.多邊形分割為三角形

（1）過一個頂點引對角線，把多邊形分割為一個三角形；

（2）在多邊形內(nèi)部確定一點，連接頂點和這個點，把多邊形分割為一個三角形;

?戶匚也聞過、什

人么典例精講

例1.

1.多邊形的對角線共有20條，則下列方程可以求出多邊形邊數(shù)的是（）

A.〃(〃-2)=20B.〃(〃-2)=40C.3)=20D.〃(力-3)=40

例2.

2.若一個多邊形的邊數(shù)是這個多邊形從一個頂點發(fā)出的對角線條數(shù)的2倍，則這個多邊形

是_邊形.

變式1.

3.從多邊形一條邊上的一點（不是頂點）出發(fā)，連接各個頂點得到2023個三角形，則這個

多邊形的邊數(shù)為（）

A.2022B.2023C.2024D.2025

變式2.

4.過”邊形的一個頂點可以畫出10條對角線，將它分成相個小三角形，則〃？+”的值

是.

知識點二：多邊形的內(nèi)角和外角

1.多邊形的內(nèi)角和與外角和

多邊形的內(nèi)角和多邊形的外角和

(n-2)x180°360°

2.正多邊形的每個內(nèi)角和外角

正多邊形的每個內(nèi)角度數(shù)正多邊形的每個外角的度數(shù)

5—2)x180。360。

nn

3.多邊形多（少）加一個角

條件解題技巧

多加一個角后為機。會+2,去尾法，保留整數(shù)

1OU

少加一個角后為機°去+2,進一法，保留整數(shù)

180

4.復(fù)雜圖形的內(nèi)角和

利用外角模型、8字模型、飛鏢模型等，把復(fù)雜圖形轉(zhuǎn)化為三角形和多邊形，利用三角形和

多邊形求內(nèi)角和.

例L

5.如圖，ZA+/3+NC+/O+NE+/F+NG+/”的度數(shù)為()

A.90°B.180°C.270°D.360°

例2.

6.如圖，在七邊形ABCDEFG中，AB,ED的延長線交于點。.若與Nl,Z2,N3,Z4

相鄰的四個外角的和為230。，則NBOD的度數(shù)為.

變式1.

7.創(chuàng)客小組的同學(xué)給機器人設(shè)定了如圖的程序，機器人從點。出發(fā)，沿直線前進3米后左

轉(zhuǎn)18。，再沿直線前進3米，又向左轉(zhuǎn)18°……照這樣走下去，機器人第一次回到出發(fā)地。點

時，一共走的路程是（）

0-"

A.18米B.54米C.60米D.90米

變式2.

8.請根據(jù)對話回答問題：

----------------什么?不可—!你有，

這個凸多邊影的你情把一個外角作

內(nèi)曲和2022。.內(nèi)角加在,起

⑴小明為什么說這個凸多邊形的內(nèi)角和不可能是2022。？

⑵小敏求的是幾邊形的內(nèi)角和？

這點身

知識點三：平面鑲嵌

1.平面鑲嵌的一個關(guān)鍵點是：在每個公共頂點處，各角的和是一要求不重疊，無縫隙;

2.平面鑲嵌

條件符合條件的多邊形

用一種任意多

全等三角形，全等四邊形，

邊形鑲嵌

用同一種正多

正三角形，正方形，正六邊形

邊形鑲嵌

用兩種正多邊(4,8,8)(3,12,12)(3,3,6,6)(3,3,3,3,6)(3,3,3,4,

形鑲嵌4)(5,5,10)

用三種正多邊(3,4,4,6)(4,6,12)(3,3,4,12)(3,10,15)(3,9,18)(3,

形鑲嵌8,24)(3,7,42)(*4,5,20)

例1.

9.下列圖形中，單獨選用不能進行平面鑲嵌的是（）

A.正三角形B.正方形C.正六邊形D.正十邊形

例2.

10.如圖所示，足球是由32塊黑白相間的牛皮縫制而成的，黑皮可看作正五邊形，白皮可

看作正六邊形，則白皮塊，黑皮塊.

變式1.

11.在下列正多邊形組合中，不能鋪滿地面的是（）

A.正八邊形和正方形B.正五邊形和正八邊形

C.正六邊形和正三角形D.正三角形和正方形

變式2.

12.【問題再現(xiàn)】

現(xiàn)實生活中，鑲嵌圖案在地面、墻面乃至服裝面料設(shè)計中隨處可見.在七年級課題學(xué)習(xí)“平

面圖形的鑲嵌”中，對于單種多邊形的鑲嵌，主要研究三角形、四邊形、正六邊形的鑲嵌問

題.今天我們把正多邊形的鑲嵌作為研究問題的切入點，提出其中的幾個問題,共同來探究.

我們知道，可以單獨用正三角形、正方形或正六邊形鑲嵌平面.比如用正方形鑲嵌平面，可

以發(fā)現(xiàn)在一個頂點。周圍圍繞著4個正方形的內(nèi)角.

試想:如果用正六邊形來鑲嵌平面，在一個頂點周圍應(yīng)該圍繞著個正六邊形的內(nèi)角.

【問題提出】

如果我們要同時用兩種不同的正多邊形鑲嵌平面，可設(shè)計出幾種不同的組合方案?

【問題解決】

猜想1:是否可以同時用正方形、正八邊形兩種正多邊形組合進行平面鑲嵌？

分析：我們可以將此問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題來解決.從平面圖形的鑲嵌中可以發(fā)現(xiàn)，解決問題

的關(guān)鍵在于分析能同時用于完整鑲嵌平面的兩種正多邊形的內(nèi)角特點.具體地說，就是在鑲

嵌平面時，一個頂點周圍圍繞的各個正多邊形的內(nèi)角恰好拼成一個周角.

驗證1：在鑲嵌平面時，設(shè)圍繞某一個點有X個正方形和y個正八邊形的內(nèi)角可以拼成一個

周角.根據(jù)題意可得方程：90x+(8~2^X18°-y=360,整理得2x+3y=8.我們可以找到唯

O

(%=]

一一組適合方程的正整數(shù)解為.

結(jié)論1：鑲嵌平面時，在一個頂點周圍圍繞著1個正方形和2個正八邊形的內(nèi)角可以拼成一

個周角，所以同時用正方形和正八邊形兩種正多邊形組合可以進行平面鑲嵌.

猜想2：是否可以同時用正三角形和正六邊形兩種正多邊形組合進行平面鑲嵌？若能，請按

照上述方法進行驗證，并寫出所有可能的方案；若不能，請說明理由.

驗證2：；

結(jié)論2：；

上面，我們探究了同時用兩種不同的正多邊形組合鑲嵌平面的部分情況，僅僅得到了一部分

組合方案，相信同學(xué)們用同樣的方法，一定會找到其他可能的組合方案.

【問題拓廣】

請你仿照上面的研究方式，探索出同時用三種不同的正多邊形組合進行平面鑲嵌的方案：

①;②(直接寫出兩種方案).

「才

知識點四：多邊形與平行線、角平分線、折疊綜合

1.常見模型

名稱圖形關(guān)系

多邊形與平行線N2—Nl=36。

多邊形與平行線ZL+N2=36。

多邊形與外角平分線Z￡=180°-1(ZA+ZZ))

E

N

多邊形與內(nèi)外角平分線一ZA^=1(ZC+ZD)-90°

BE

多邊形與內(nèi)角平分線上ZO=1(ZA+ZD)

多邊形與折疊N1+N2=360°-2(ZC+ND)

DE4

?，俁典例精講

例1.

13.四邊形ABC。中，"4D的平分線與邊BC交于點E；NADC的平分線交直線AE于點

O.

(1)若點。在四邊形ABC。的內(nèi)部.

①如圖1,若AD〃BC,4=50。,NC=70。，則NDOE=.

②如圖2,試探索4、/C、NDOE之間的數(shù)量關(guān)系，并將你的探索過程寫下來.

(2)如圖3,若點。在四邊形ABC。的外部，請?zhí)骄?、/C、NDQE之間的數(shù)量關(guān)系,

并說明理由.

例2.

14.幾何圖形千變?nèi)f化，但是不同的圖形之間往往存在聯(lián)系，下面讓我們一起來探索：

①②③④

(1)下列有A、B兩題，請你選擇其中一個進行證明(若兩題都證明，按題A給分).

A.如圖①，N1和N2是二ABC的兩個外角，求證4+/2=180。+/4；

B.如圖②。、E是,ABC邊AB、AC上的點，將乙ADE沿0E翻折至；.陽￡,若點尸在..ABC

內(nèi)部，Z1+Z2=2ZA.我選擇一作答

⑵如圖③，BE、CE分別平分四邊形ABC。的外角NCBM、ZBCN.已知NA=100。，

ZD=120°,求NE的度數(shù)；

(3)如圖④，已知五邊形ABCDE,延長AE至尸，延長BC至G,連接CE,點尸、2分別在

邊DE、CD上，將.小。沿尸。翻折至，DP。，若NDEF=L/CEF,ZDCG=-ZECG,

33

ZA=m°,ZB=〃。.請你直接寫出4+N2的度數(shù)(用含加、”的代數(shù)式表示)

G)變式訓(xùn)練

變式1.

15.探究與發(fā)現(xiàn)：

(1)探究一：三角形的一個內(nèi)角與另兩個內(nèi)角的平分線所夾的角之間的關(guān)系？

已知：如圖1,在△ADC中，DP、C尸分別平分/WC和NACD,試探究—P與ZA的數(shù)

量關(guān)系，并說明理由.

(2)探究二：四邊形的兩個內(nèi)角與另兩個內(nèi)角的平分線所夾的角之間的關(guān)系？

已知：如圖2,在四邊形ABCZ)中,。尸、CP分別平分^ADC和NBCD，試探究/尸與NA+

的數(shù)量關(guān)系，并說明理由.

(3)探究三：六邊形的四個內(nèi)角與另兩個內(nèi)角的平分線所夾的角之間的關(guān)系？

已知：如圖3,在六邊形A8C。跖中，DP、C尸分別平分NEOC和/BCD,請求出—P與

NA++NE+NF的數(shù)量關(guān)系.

圖1圖2圖3

變式2.

16.基礎(chǔ)鞏固

圖I圖2圖3

(1)如圖1,在VABC中，/ABC的平分線與—ACB的外角的平分線交于點P.

①當—A與NABC滿足的關(guān)系時，PC〃AB；

②當NA=70。時，求一尸的度數(shù).

知識運用

(2)如圖2,在四邊形中，NA+ZD>NABC+/Ba>,NABC的平分線與/3CD的外

角的平分線交于點P,求—A、"與一尸之間的數(shù)量關(guān)系.

拓廣探索

(3)如圖3,在五邊形ABCDE中，ZABC+NBCD>180。,NABC的平分線所在的直線與

/BCD的外角平分線所在的直線交于點P,若"=20。，求NA+ND+NE的度數(shù).

參考答案:

1.D

【分析】先由“邊形從一個頂點出發(fā)可引出（〃-3）條對角線，再根據(jù)〃邊形對角線的總條數(shù)

為業(yè)二9=20,即可求出結(jié)果.

2

【詳解】解：設(shè)多邊形邊數(shù)為〃，

從一個頂點出發(fā)可引出（“-3）條對角線，

再根據(jù)“邊形對角線的總條數(shù)為也9,

2

即gi=2o,

2

〃（〃-3）=40,

故答案選：D.

【點睛】本題考查了多邊形的對角線公式，根據(jù)多邊形對角線公式列等式是解答本題的關(guān)鍵.

2.六

【分析】設(shè)此多邊形有〃條邊，則從一個頂點引出的對角線有5-3）條，根據(jù)“一個多邊形的

邊數(shù)恰好是從一個頂點引出的對角線條數(shù)的2倍”列出方程，解方程即可.

【詳解】解：設(shè)此多邊形有〃條邊，由題意，

得了=2（"-3）,

解得n=6,

，這個多邊形是六邊形.

故答案為：六.

【點睛】此題考查多邊形的對角線；解題關(guān)鍵在于理解題意找出等量關(guān)系列出方程.

3.C

【分析】本題考查了多邊形的對角線，多邊形一條邊上的一點（不是頂點）出發(fā)，連接各個

頂點得到的三角形個數(shù)=多邊形的邊數(shù)-1.可根據(jù)多邊形的一點（不是頂點）出發(fā)，連接各

個頂點得到的三角形個數(shù)與多邊形的邊數(shù)的關(guān)系求解.

【詳解】解：從多邊形一條邊上的一點（不是頂點）處出發(fā)，連接各個頂點得到2023個三

角形，則這個多邊形的邊數(shù)為2023+1=2024.

故選：C.

4.24

【分析】本題考查多邊形的對角線問題,根據(jù)過〃邊形的一個頂點可以畫出（"-3）條對角線,

分成（“-2）個三角形，進行求解即可.

【詳解】解：由題意，得：n-3=W,n-2=m,

n=13,m=ll,

m+n=24；

故答案為：24.

5.D

【分析】題目主要考查三角形外角的性質(zhì)及多邊形的外角和，根據(jù)題意，利用三角形外角得

出=/A+/B,12=/C+ND,N3=NE+NF,14=NX+NG,然后利用多邊形外角

和求解即可.

【詳解】解：如圖所示：

=ZB,Z2=ZC+ZD,=+=ZH+ZG,

：.ZA+ZB+ZC+ZD+ZE+ZF+NH+NG=N1+N2+N3+Z4,

?；/l+/2+N3+/4=360。，

2+/8+4+/￡)+/石+//+/8+/6=360°,

故選：D.

6.50°##50度

【分析】本題考查了多邊形內(nèi)角和問題，熟練掌握多邊形的內(nèi)角和等于（力-2）480。是解題

的關(guān)鍵.根據(jù)題意計算/I,N2,Z3,N4的度數(shù)之和，再計算五邊形的內(nèi)角和，即可求

解.

【詳解】解：Zl,N2,Z3,N4的外角和等于230。，

Zl+Z2+Z3+Z4=180x4-230°=490°,

五邊形OEFGA的內(nèi)角和為180。x（5-2）=540。,

ZBOD=540°-(Zl+Z2+Z3+Z4)=540°-500°=50°.

故答案為：50°.

7.C

【分析】本題考查了多邊形的外角和定理的應(yīng)用.由題意可知機器人所走的路線為一個正多

邊形，根據(jù)多邊形的外角和，即可求出答案.

【詳解】解：由題意可知機器人所走的路線為一個正多邊形，

該正多邊形的邊數(shù)為：360。+18。=20,

,他需要走20次才會回到原來的起點，

即一共走了20x3=60(米).

故選：C.

8.(1)見解析

⑵十三邊形的內(nèi)角和

【分析】本題主要考查了多邊形的內(nèi)角和定理，熟練掌握多邊形內(nèi)角和計算公式是解題的關(guān)

鍵.

(1)根據(jù)多邊形內(nèi)角和定理進行解答即可；

(2)設(shè)小敏求的是〃邊形得內(nèi)角和，這個外角為廿，根據(jù)公式列出不等式組即可得到答案.

【詳解】(1)解："("上3)邊形的內(nèi)角和為(〃-2)x180。，

故多邊形的內(nèi)角和一定是180。的正整數(shù)倍，

2022+180=11…42,

故這個凸多邊形的內(nèi)角和不可能是2022。；

(2)解:設(shè)小敏求的是“邊形得內(nèi)角和，這個外角為無。，

由題意得：5-2)x180°=2022°-公，

.”=2382—180〃，

0vx<180,

f2382-180n>0

?12382—180〃<180'

22

/.12-<n<13-,

99

Q”為正整數(shù),

71=13.

答：小敏求的是十三邊形的內(nèi)角和.

9.D

【分析】本題主要查了幾何圖形鑲嵌成平面.

根據(jù)“圍繞一點拼在一起的多邊形的內(nèi)角加在一起恰好組成一個周角.360。為正多邊形一個

內(nèi)角的整數(shù)倍才能單獨鑲嵌“，即可作出判斷

【詳解】解：A、正三角形的一個內(nèi)角度數(shù)為180。+3=60。，是360。的約數(shù)，能鑲嵌平面，

不符合題意；

B、正方形的一個內(nèi)角度數(shù)為90。，是360。的約數(shù)，能鑲嵌平面，不符合題意；

C、正六邊形的一個內(nèi)角度數(shù)為二一2：x180。=120。,是360。的約數(shù)，能鑲嵌平面，不符合

O

題意；

D、正十邊形的一個內(nèi)角度數(shù)為（1°-j2°：=144。,不是360。的約數(shù)，不能鑲嵌平面，符

合題意.

故選：D.

10.2012

【分析】本題主要考查了解一元一次方程，即找出黑邊與白邊條數(shù)的比例關(guān)系并列出方程成

為解題的關(guān)鍵.

由一塊白皮（六邊形）中，有三邊與黑皮（五邊形）相連，因此白皮邊數(shù)是黑皮邊數(shù)的2

倍，設(shè)出未知數(shù)列出方程求解即可.

【詳解】解：設(shè)足球上黑皮有尤塊，則白皮為（32-x）塊，五邊形的邊數(shù)共有5尤條，六邊形

邊數(shù)有6（32-x）條.

由圖形關(guān)系可得，每個正六邊形白皮的周圍有3個黑皮邊，則白皮的邊數(shù)為黑皮的2倍，

可得方程：2x5x=6（32-x）,解得：x=12,

32-x=32-12=20（塊），

所以白皮20塊，黑皮12塊.

故答案為：20,12.

11.B

【分析】本題考查了平面密鋪的知識，幾何圖形鑲嵌成平面的關(guān)鍵是：圍繞一點拼在一起的

多邊形的內(nèi)角加在一起恰好組成一個周角.

正多邊形的組合能否鋪滿地面，關(guān)鍵是看位于同一頂點處的幾個角之和能否為360。.若能，

則說明能鋪滿；反之，則說明不能鋪滿.

【詳解】解：A、正方形的每個內(nèi)角是90。，正八邊形的每個內(nèi)角是135。，由于

900+2xl35°=360°,故能鋪滿，不符合題意；

B、正五邊形和正八邊形內(nèi)角分別為108。、135。，顯然不能構(gòu)成360。的周角，故不能鋪滿,

符合題意；

C、正六邊形和正三角形內(nèi)角分別為120。、60°,由于60°x4+120°=360°,故能鋪滿,不符

合題意；

D、正三角形、正方形內(nèi)角分別為60。、90°,由于60。><3+90。*2=360。，故能鋪滿，不符

合題意.

故選：B.

12.試想：3；

fx=2[x=4

驗證2：可以找到適合方程的正整數(shù)解為c或，；結(jié)論2：鑲嵌平面時，在一個頂

U=21y=l

點周圍圍繞著2個正三角形和2個正六邊形的內(nèi)角可以拼成一個周角，或者在一個頂點周圍

圍繞著4個正三角形和1個正六邊形的內(nèi)角可以拼成一個周角，所以同時用正三角形和正六

邊形兩種正多邊形組合可以進行平面鑲嵌；

【問題拓廣】①正三角形、正方形、正六邊形；②正方形、正六邊形、正十二邊形；（答案

不唯一）

【分析】本題主要考查正多邊形，看位于同一頂點處的幾個角之和能否為360。是解題的關(guān)

鍵.根據(jù)常用的正多邊形內(nèi)角進行解答即可.

試想：根據(jù)正六邊形的內(nèi)角為120。即可得到答案；

問題解決：列出方程找出合適的正整數(shù)解即可得到答案；

問題拓廣：根據(jù)上述方法進行擴展即可；

【詳解】解：試想：根據(jù)正六邊形的內(nèi)角為120。，

360。+120。=3,

故在一個頂點周圍應(yīng)該圍繞著3個正六邊形的內(nèi)角；

問題解決：驗證2：在鑲嵌平面時，設(shè)圍繞某一點有x個正三角形和y個正六邊形的內(nèi)角可

以拼成一個周角，

根據(jù)題意，得：60x+120y=360,

整理得無+2y=6,

(尤=2]尤=4

可以找到適合方程的正整數(shù)解為c或,；

[y=2[y=l

結(jié)論2：鑲嵌平面時，在一個頂點周圍圍繞著2個正三角形和2個正六邊形的內(nèi)角可以拼成

一個周角，或者在一個頂點周圍圍繞著4個正三角形和1個正六邊形的內(nèi)角可以拼成一個周

角，所以同時用正三角形和正六邊形兩種正多邊形組合可以進行平面鑲嵌；

問題拓廣：①猜想3：是否可以同時存在用正三角形，正方形和正六邊形三種正多邊形組合

進行平面鑲嵌；

驗證3：設(shè)圍繞某一點有。個正三角形，6個正方形和c個正六邊形的內(nèi)角可以拼成一個周

角，

依題意，得：60。+906+120c=360

整理得：2a+36+4c=12

Cl—\

可以找到唯一一組方程的正整數(shù)解為匕=2,

c=l

結(jié)論3：鑲嵌平面時，在一個頂點周圍圍繞著1個正三角形，2個正方形和1個正六邊形的內(nèi)

角可以拼成一個周角；

②猜想3：是否可以同時存在用，正方形，正六邊形和正十二邊形三種正多邊形組合進行平

面鑲嵌；

驗證3：設(shè)圍繞某一點有機個正方形，〃個正六邊形和z個正十二邊形的內(nèi)角可以拼成一個

周角，

依題意，得：90m+120/2+150z=360

整理得：3:w+4〃+5z=12,

m=l

可以找到唯一一組方程的正整數(shù)解為1=1,

z=1

結(jié)論3：鑲嵌平面時，在一個頂點周圍圍繞著1個正方形，1個正六邊形和1個正十二邊形的

內(nèi)角可以拼成一個周角；

13.(1)120°；(2)ZDOE=180°--ZB--ZC；(3)ZDOE=-ZB+-ZC

2222

【分析】（1）①根據(jù)平行線的性質(zhì)和角平分線的定義可求/BAE,NCDO,再根據(jù)三角形外

角的性質(zhì)可求NAEC,再根據(jù)四邊形內(nèi)角和等于360?？汕驨OOE的度數(shù)；

②根據(jù)三角形外角的性質(zhì)和角平分線的定義可得NOOE和NBA。、/AOC的關(guān)系，再根據(jù)

四邊形內(nèi)角和等于360?？汕驨B、NC、NDOE之間的數(shù)量關(guān)系；

（2）根據(jù)四邊形和三角形的內(nèi)角和得到/BAD+ZADC=360°-ZB-ZC,

ZEAD+ZADO=18Q°-ZDOE,根據(jù)角平分線的定義得到/氏4。=2/胡，ZADC=2ZADO,

于是得到結(jié)論.

【詳解】解：（1）①,：ADHBC

：.ZB+ZBAD=1SO,ZC+ZADC=180

又：/8=50。，ZC=70°

A130°,ZADC=110°

:AE、￡)0分別平分NBA。、ZADC

：.ZBAE=65°,ZODC=55°

：.ZAEC=115°

：.ZDOE=360°-115o-70o-55o=120°

故答案為：120。

@ZDOE=1SQ)--ZB--ZC,理由如下：

22—

AE平分"W

ZDAE=-ZBAD

2

。。平分一ADC

ZADO=-ADC

2

111

/.ZZME+ZADO=-ZBAD+-ADC=-(ZBAD+AADC)

222V7

ZB+ZC+/BAD+ZADC=360°

/.ZBAD+ZADC=360°-ZB-ZC

:.ZDAE+ZADO=-(360°-ZB-ZC}=180°--ZB--ZC

2''22

ZAOD=180°-(ZZ)AE+ZADO)=|zB+|zC

ZDOE80°-ZAOD=180°-^ZB-^ZC

22

即/DOE=180°-1zB-|zC

(2)ZDOE=-ZB+-ZC,理由如下：

22

-AE平分/BAD

ZDAE=-ZBAD

2

平分/ADC

ZADO=-ADC

2

:.ZDAE+ZADO=-ZBAD+-ADC

22

=1(ZBAD+ZA￡>C)

ZB+ZC+ABAD+ZADC=360°

ZBAD+ZADC=360°-ZB-ZC

:.ZDAE+ZADO=1(360°-ZB-ZC)

=180°--ZB--ZC

22

ZAOD=180°-(ZZME+ZADO)

=-ZB+-ZC

22

即：ZDOE^-ZB+-ZC.

22

【點睛】本題考查多邊形內(nèi)角與外角平行線的性質(zhì)，角平分線的定義，關(guān)鍵是熟練掌握四邊

形內(nèi)角和等于360。，這是解題的重點.

14.⑴見解析

(2)70°

44

(3)360o-jm°--77°

【分析】本題考查了三角形的外角的性質(zhì)，多邊形的外角和定理，折疊的性質(zhì)；

(1)選擇A,根據(jù)三角形的外角的性質(zhì)，即可得證;選擇8,由翻折性質(zhì)得：ZADE=ZFDE,

ZAED=ZFED,進而根據(jù)三角形的外角的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)證明

ZADF+ZAEF=360°-(Z1+Z2),即可得證；

（2）延長54,CD交于點K,根據(jù)折疊的性質(zhì)以及角平分線的定義得出

ZEBC+NECB=+ZNCB）=110°,即可求解；

（3）由（2）可知：NEAB+NCBA=NCEF+NECG,設(shè),ZDEF=a,ZDCG=/3,根據(jù)

3a+3/3=m°+n°,得出a+尸=；（加。+〃。），由（1）3可知：Z1+Z2=2ZD,即可求解.

【詳解】（1）證明：選擇A,證明如下：

ZABC=18O°-Z1,ZACB=180°-Z2,ZA+ZABC+ZACB=180°,

.■.ZA+18O°-Z1+18O°-Z2=18O°,

.?.Zl+Z2=180°+ZA；

選擇2,證明如下：

由翻折性質(zhì)得：ZADE=NFDE,ZAED=ZFED,

:.ZADF^2ZADE,ZAEF=2ZAED,

ZADF+ZAEF=2（ZADE+ZAED）,

ZADF+AAEF=\^°-AA,

ZADF+ZAEF=2（180°-ZA）=360°-2ZA,

X-ZADF=180°-Zl,ZAEF=180°-Z2,

ZADF+ZAEF=360°-（Z1+Z2）,

360°-（Zl+Z2）=360°-2ZA,

BPZ1+Z2=2ZA；

故答案為：A或3.

（2）延長R4,CD交于點K,如圖③所示：

③

由（1）A可知：ZBAD+ZCDA=180°+ZK,ZMBC+ZNCB=180°+ZK,

則ZMBC+ZNCB=ABAD+NCDA

ZR4D=100°,ZCZM=120°,

:.ZMBC+ZNCB=100°+120°=220°,

BE、CE分別平分NCSA/、ZBCN,

ZEBC+ZECB=1(ZMBC+ZNCB)=110°,

ZE=180°-(ZEBC+ZECB)=70°；

(3)由(2)可知：AEAB+ZCBA=ZCEF+Z.ECG,

ZEAB^m°,ZCBA=n°,

NFEC+ZGCF=m°+,

設(shè)ZDEF=cz,ADCG=/3,

:.ZCEF=3a,2ECG=30,

:"DEC=2a,ADCE=2(3,

3a+3j3=m0+n°,

即a+〃=g(/n°+7i°),

NO=180。-(/DEC+NDCE),

2

.?./。=180°-2(￡+￡)=180°-](〃『+廢)，

44

由(1)B可知：Nl+N2=2ND=360°——m°-―n°.

33

15.(1)NP=90°+/A；(2)ZP=-(ZA+ZB+ZE+ZF)-180°；(3)ZP=-

22

(ZA+ZB+ZE+ZF)-180°.

【分析】(1)先根據(jù)角平分線的定義表示出NCDP和NDCP,然后再根據(jù)三角形內(nèi)角和為

180。即可得到NP和/A的數(shù)量關(guān)系；

(2)先根據(jù)角平分線的定義表示出/CDP和NDCP,根據(jù)四邊形內(nèi)角和為360。，即可得到

ZBCD+ZADC=360°-(ZA+ZB),再結(jié)合三角形內(nèi)角和為180。，可得NP與NA+NB的

數(shù)量關(guān)系；

(3)先根據(jù)角平分線的定義表示出NCDP和/DCP,根據(jù)六邊形內(nèi)角和為720”，可得

ZBCD+ZADC=720°-(ZA+ZB+ZE+ZF)，再結(jié)合三角形內(nèi)角和為180。，可得NP與

ZA+ZB的數(shù)量關(guān)系.

【詳解】解：(1)NP=9(T+；NA,理由如下：

VDP,CP分別平分NADC和NACD

.\ZCDP=-ZADC,ZDCP=-ZACD

22

ZA+ZADC+ZACD=180°

???ZADC+ZACD=180°-ZA

ZP+ZPDC+ZPCD=180°

AZP=180°-(ZPDC+ZPCD)=180°--(ZADC+ZACD)

2

.\ZP=180o--(180°-ZA)=90°+ZA；

2

(2)ZP=1(ZA+ZB)，理由如下：

VDP,CP分別平分NADC和NBCD

.\ZCDP=-ZADC,ZDCP=-ZBCD

22

ZA+ZB+ZADC+ZBCD=360°

ZBCD+ZADC=360°-(ZA+ZB)

ZP+ZPDC+ZPCD=180°

???ZP=180°-(ZPDC+ZPCD)

=180°--(ZADC+ZBCD)

2

=180°-1[360°-(ZA-ZB)]

=1(ZA+ZB)；

(3)ZP=-(ZA+ZB+ZE+ZF)-180°

2

理由如下：

VDP,CP分另I」平分NEDC和NBCD

.'.ZPDC=-ZEDC,ZDCP=-ZBCD

22

VZA+ZB+ZE+ZF+ZBCD+NEDO720。

AZBCD+ZEDC=720°-(ZA+ZB+ZE+ZF)

*/ZP+ZPDC+ZPCD=180°

.\ZP=180o-(ZPDC+ZPCD)

二180?！?ZEDC+ZBCD)

2

=180°-^-[720°-(ZA+ZB+ZE+ZF)]

=-(ZA+ZB+ZE+ZF)-180°.

2

【點睛】本題主要考查了多邊形的內(nèi)角和、角平分線的性質(zhì)等知識點，掌