山東省濟寧市2024-2025學年高三年級上冊期中教學質量檢測數(shù)學試題【含解析】

2024?2025學年度第一學期期中教學質量檢測

高三數(shù)學試題

2024.11

本試卷滿分150分.考試用時120分鐘.

注意事項：

1.答卷前，考生務必將自己的考場、座號、姓名、班級填（涂）寫在答題卡上，將條形碼

粘貼在“貼條形碼區(qū)”.

2.做選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目選項的答案信息點涂

黑；如需改動，用橡皮擦干凈后，再改涂其它答案標號.

3.非選擇題須用黑色字跡鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡中各題目指定的區(qū)域內

相應位置上；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新的答案；不準使用鉛筆和涂改

液.否則，該答題無效.

4.考生必須保持答題卡的整潔；書寫要求字體工整，符號規(guī)范，筆跡清楚.

一、選擇題：本題共8個小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有

一項是符合題目要求的.

1.已知集合尸=卜心療』，。小人卡!則尸n&0=

)

A.0B.[1,+co）C.（-℃,0）D.(-oo,-l]

【答案】D

【解析】

【分析】首先根據(jù)偶次方根的被開方數(shù)非負求出集合尸，再求出集合。，最后根據(jù)集合的運算法則計算可

得.

【詳解】由y=Jx2—1可得120,解得或xM-1,

所以尸=卜J=Vx2=(-00,-1]u[1,+oo),

又必一1之0，則了=Jx?—12o，所以0==_i|=[o,+”),

所以4。=（一叫o）,所以尸（（4。）=（一8,-1].

故選：D

2.若復數(shù)z=，(i為虛數(shù)單位)，則彳=()

2-1

21.21.33.

A.----1B.—+—1C.----1

555555

【答案】A

【解析】

【分析】利用復數(shù)的除法化簡復數(shù)z,利用共輾復數(shù)的定義可得結果.

12+i2+i二+L

【詳解】因為z=5二"

(2-認2+工)"T55

故選:A

3.已知角a的頂點與原點重合，始邊與x軸正半軸重合，終邊經(jīng)過點貝Ijtan2a=()

3434

A.B.D.

4343

【答案】D

【解析】

【分析】利用三角函數(shù)定義求解tan。，使用二倍角公式求解tan2a.

【詳解】由三角函數(shù)的定義有：tana===2,

-1

ll…c2tana44

所以tan2a=--------=——二——；

1—tana—33

故選：D.

4.已知函數(shù)/(x)的定義域為R,滿足/(x+y)—[/(x)+/(y)]=2024,則下列說法正確的是()

A./(x)是偶函數(shù)B./(“是奇函數(shù)

C./(x)+2024是奇函數(shù)D./(力+2024是偶函數(shù)

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)抽象函數(shù)，利用奇偶函數(shù)的性質直接判斷即可.

【詳解】因為/(x+y)—[/(x)+/(y)]=2024,

所以令x=y=0,可得/(0)=_2024,

令,v=.x,貝|/(O)_/(x)_/(_x)=2O24,

所以/(-X)=-〃X)-4048,

則f（X）既不是奇函數(shù)又不是偶函數(shù)，

且/（一力+2024=-[/（力+2024],

所以/（x）+2024是奇函數(shù).

故選：C

5.向量）=（1,2）,3=（—1,1）,則￡在B上的投影向量是（）

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)投影向量的定義計算得解.

a-bb（11

【詳解】由題意可知，）在行上的投影向量為：WW=5（—n

故選：C.

x2-l,x<1

6.已知函數(shù)/(x)=1,則/(〃3))=()

,x〉1

.X-1

3101

A.8B.---C.——D.-

492

【答案】B

【解析】

【分析】利用分段函數(shù)求值.

x2-l,x<1

1_1

【詳解】因為函數(shù)/（》）=<

1，，所以/（3）=-

----.X>13^12

、x-l

I-1=-|

故選：B.

兀7T

7.已知。=cos—,Z?=sin—,c=log32,貝ij()

54

A.b<a<cB.b<c<aC.c<a<bD.c<b<a

【答案】D

【解析】

3

【分析】根據(jù)余弦函數(shù)的單調性可判斷6的大小關系，利用32〉23可得3〉25〉2加，結合兩邊取對數(shù)

可得Ac的大小關系，即可得答案.

■h-n▼r-j-t、[兀兀I./兀7T.7L兀7.7L

【詳角柒】因為一<一,故cos—>cos—=sm—,nErtpa=cos—>b=sin—,

5454454

71

又32耳，即3>2，>2^log33>log32,

_/1兀

即1〉力log32,—>log32，即b=sin^〉c=log32,

故選：D

8.如圖，在△48C中，ACf，AB=&，ZA=90°,若P。為圓心為A的單位圓的一條動直

【答案】A

【解析】

【分析】以A為坐標原點，2瓦%的方向分別為x軸、歹軸，建立坐標系，設

尸(cos。,sin8)招e[0,2兀)，則。(-cosa-sin。)，利用向量的坐標運算及三角恒等變換求解即可.

【詳解】解：以A為坐標原點，彳瓦%的方向分別為x軸、N軸，

則2(0,0),5(76,0),C(0,V3),

設尸(cos9,sin0\0G[0,2TI),則0(—cos6^,-sin3),

所以BP=（cos0-y[6,sinO'）,CQ=（-cos6,-sin，一,

所以BPCQ=-cos，（cos8-癡）+sin，（一sin。一

=V6COSd-百sin9-1

=3sin（8+0）-1,

其中tan0=-后（9為第二象限角），

所以當sin（8+9）=l時，3sin（，+°）-l取最大值,為2.

即麗?西的最大值為2.

故選：A.

【點睛】關鍵點睛：本題的關鍵是建立坐標系，利用向量的坐標運算求解.

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個選項中，有多個

選項符合題目要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.

9.下列說法正確的是（）

A.命題“VxeR,無2+彳+1＞0”的否定形式是“女wR,Y+x+lWO”

B.當xe（0,兀）時，y=sinx+」一的最小值為4

smx

C.tan250+tan200+tan25°tan20°=1

ITKTT

D."，=加土一（左eZ）”是“。=一（左eZ）”的必要不充分條件

44

【答案】AC

【解析】

【分析】寫出命題'VxeR,Y+x+i〉?！钡姆穸ㄐ问脚袛噙x項A；求得當xe（O㈤時，y=smx+^—

smx

IT

的最小值判斷選項B；求得tan25。+tan20。+tan25。tan20。的值判斷選項C；求得“8=祈±—（左eZ）”

4

"jT

與“。=一（左eZ）”的邏輯關系判斷選項D.

4

【詳解】選項A：命題“VxeR,Y+x+i＞?！钡姆穸ㄐ问绞?/p>

“*eR,Y+x+iwo”判斷正確；

選項B：當xe（0,兀）時，sinxe（0,1],令sinx=%,

則＞=/+；在（0』]單調遞減，最小值為5,

則當xe(0,兀)時，j=sinx+-^―的最小值為5.判斷錯誤;

sinx

tan250+tan20°

選項C：由1=tan45°=

1-tan25°tan20°

可得tan250+tan200+tan25°tan20°=1.判斷正確；

選項D：0-—(左eZ),

4

可化為e=〃兀——或。=〃?；?=〃兀+—或8=〃兀+—(HGZ),

442

ITKTT

故"8=桁±—(AwZ)”是“。二一(左EZ)”的充分不必要條件.判斷錯誤.

44

故選：AC

10.已知函數(shù)/(%)=JJsinx+cosx,則()

jr27r

A.函數(shù)/(x)在—上單調遞減

_63

(5n、

B.函數(shù)/(x)的圖象關于點—,0對稱

I。)

C.函數(shù)/(X)的圖象向左平移用(ffl>0)個單位長度后，所得的圖象關于N軸對稱，則機的最小值是

兀

3

D.若實數(shù)機使得方程/(%)=根在［0,2兀］上恰好有三個實數(shù)解占，x2,x3,則西+々+%3=］^

【答案】BCD

【解析】

【分析】利用輔助角公式化簡函數(shù)，根據(jù)三角函數(shù)的單調性、對稱性、奇偶性以及圖像問題逐個選項判斷

即可.

【詳解】/(x)=^3sinx+cosx=2^^-sinx+-^-cosx=2sin［x+看］,

,兀2兀7C7157c

對于A,令％￡—--，貝+，

O93636

兀571

所以對于函數(shù)y=sinx,XG時，有增有減，A錯;

36

對于C,平移后，得y=2sin[x+M+EJ,若圖象關于歹軸對稱,

7T7T

則冽+—=一+左兀,左EZ,m=—+kTt,keZ,C正確;

623

因為xe[0,2兀],作出/(x)圖像如下圖所示，

由/(x)與了=機有且只有三個交點，所以七=2兀，

又因為/(x)=2時x=],且看,》2關于直線無=/對稱，

718兀

所以國+/+退=2x—+2兀=,D正確.

故選：BCD

11.設數(shù)列｛4｝前〃項和為S“，滿足(4-1)2=4(100—S"),〃eN*且4〉0，%+%.尸0

(“22),則下列選項正確的是()

A.an=2〃-23

B.數(shù)列2為等差數(shù)列

n

C.當〃=10時，S,有最大值

D.設"=44+4+2，則當"=8或〃=10時，數(shù)列｛4｝的前九項和取最大值

【答案】BCD

【解析】

【分析】對于A,由4和S”的關系，求出數(shù)列｛冊｝的通項公式，進行判定；對于B,由等差數(shù)列求和公式

求出5,由定義判斷是否為等差數(shù)列；對于C,借助二次函數(shù)性質判定；對于D,由%的正負判定

n

b?=anan+lan+2正負，即可判定最值.

【詳解】對于A,當”=1時，(%—丁=4(100—%),解得q=19或4=—21,

因為4>0,所以4=19,

當心2時，由.“—1)2=4(00—5"),〃eN*得(——1)2=4(100—S"_J,〃eN*，

2

所以(4-I)?-K1-l)=4(100-5?)-4(100-5?_1),

整理得(%+%)(%——+2)=0,

因為%+a“_[>0,所以a=一%_]+2=0,即a”一an_x=-2,

所以數(shù)列｛a?｝是首項為19,公差為-2的等差數(shù)列，

所以%=19+(H-1)X(-2)=-2/?+21,故A錯誤；

n—1)

對于B,由A可知，Sn=19nH———^x(-2)=—二+20〃，

r-rPIS—+20〃

所以二L=--------=一〃+20,

nn

qq

所以*L—_^=—(〃+i)+20—(―〃+20)=—1,

n+1n

所以數(shù)列是首項為19,公差為-1的等差數(shù)列，故B正確;

對于C,因為邑=—“2+20〃=—10)2+100,〃eN*，

所以當〃=10時，s“取得最大值，故C正確;

對于D,由a”=—2〃+21〉0,得1W〃W1O,〃eN*，

由%=—2〃+21<0,得〃211,〃eN*,

所以當W8,〃eN*時，b“=anan+lan+2>0,

當，時，b9=a9al0an<0,

當〃=10時，bl0=awanan>0,

當〃211,〃eN*時，bn=anan+lan+2<0,

因為6==3x1x(—1)=-3,bl0=1x(—l)x(-3)=3,

所以當〃=8或〃=10時，數(shù)列｛"｝的前n項和取最大值.故D正確.

故選：BCD

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

12.已知Q,6都是正數(shù)，且6-3ab=0,則a+b的最小值為

【答案】1+—

3

【解析】

【分析】由題意可得2+^=3,從而得4+6='(3+2+2),利用基本不等式求解即可.

ba3ba

【詳解】解：因為。，b都是正數(shù)，且2a+6-3/=0,

所以7~|——3，

ba

所以。+6=%+6)(2+4)=』(3+四+與/普)=：(3+2&)=1+半

3ba3ba3ba55

0A

當且僅當:=—,即6=行。時，等號成立,

ba

將b=6a，代入2a+b—3ab=0,得。==正2時，等號成立.

33

故答案為：1+巫

3

1x

13.已知函數(shù)/(x)=V—,比萬+口》在區(qū)間(2,+co)上沒有零點，則實數(shù)。的取值范圍是

【答案】［—2,+8)

【解析】

【分析】根據(jù)題意轉化為/(耳=/一彳1出2+辦〉0在區(qū)間(2,+”)上恒成立，得到12—在區(qū)間

22a>~~~%

2x

1—

(2,+。)上恒成立，設/萬、0,利用導數(shù)求得函數(shù)的單調性和最值，即可求解.

/人

1X

【詳解】因為函數(shù)/(x)=/-^Ing+ax在區(qū)間(2,+。)上沒有零點，且x趨向正無窮時，/(x)趨向正

無窮，

1Y

所以/(x)=--iln^+ax〉。在區(qū)間(2,+。)上恒成立，

所以在區(qū)間(2,+。)上恒成立，

a〉x

2x

'八In—?曰1-ln—1-ln--2x2

fe22

g[x}=—^-x,x>2'°g\x)=-2-1=

2x2x2x2

因為x>2,ln->0,Wl-ln--2x2<0,所以g'(x)<0,

22

所以g(x)在區(qū)間(2,+e)上單調遞減,所以g(x)<g⑵=-2,所以。2-2,

所以，實數(shù)。的取值范圍為［-2,+8).

故答案為：［-2,+℃).

14.已知函數(shù)/(x)=——,g(x)=/(x-l)+2,則g(x)的對稱中心為______；若

ex+1

%=gd)+g(2)+g(3)+…+g(生3(〃eN*)，則數(shù)列｛叫的通項公式為.

nnnn

【答案】0.(1,2)②.%=4〃-2

【解析】

【分析】利用中心對稱的定義求出g(x)圖象的對稱中心，利用函數(shù)g(x)的對稱性及倒序相加法求出通項.

【詳解】函數(shù)/(x)=工匚的定義域為R,/(_乃=匕直=—/(x),

eA+1e-x+1ex+1

由g(x)=/(x—l)+2,得g(x+l)=/(x)+2,

則g(-x+l)+g(x+l)=/(-x)+/(x)+2+2=4,

因此函數(shù)g(x)圖象的對稱中心是(1,2)；

由8(_》+1)+80+1)=4,得g(x)+g(2—x)=4,當〃eN*時，g(-)+g(2--)=4,

nn

an=g(3+gA)+g(—)+-??+g(—~-)，

nnnn

a?=g(^^)+g(^^)+g(^^)+--?+g(-)，

nnnn

于是2%=4(2〃—1),即%=4〃—2,所以數(shù)列｛%｝的通項公式為%=4〃—2.

故答案為：(1,2)；an=4n-2

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

15.已知在△45。中，角A,B,C,所對的邊分別為。，b,c,2bcosB=JJ(〃cosC+ccos4).

(1)求角B；

(2)過點A作/Z)〃8C,連接CD,使A,B,C,。四點組成四邊形48C。，若48=近，

AC=2,CD=y/2<求40的長.

IT

【答案】(1)B=—

6

(2)40=1或2.

【解析】

【分析】(1)利用正弦定理邊化角即可求解；

(2)利用余弦定理來求解邊邊角三角形，得到兩解.

【小問1詳解】

由26cos8=g^acosC+ccosZ),結合由正弦定理邊化角可得

2sin5-cosB=百(sinAcosC+sinCcosZ),

故2sin8?cos8=V^sin(N+C),而sinB=sin(N+C)>0,

所以cos5=@，又Be(o,n),所以8=^.

26

【小問2詳解】

在“BC中，AB=5，AC=2，由正弦定理可得sinNACB=ABx吧0=—,

AC4

因為Z￡)〃8C,所以ND4C=NZC8,即sinND4c=2,

4

在A/CD中，因為CD<AC,所以ND4c為銳角，所以

又因為NC=2,CD=C，結合定理可得cosNO/C一，3.

2AD義24

解得40=1或2.

16.已知數(shù)列｛4｝的前〃項和為S,,2an=Sn+2,(〃eN*).

(1)求數(shù)列｛%｝的通項公式；

(2)記與=log2%,數(shù)列＜會,的前〃項和為若關于"的不等式"2-北)W"〃：：)恒成立,求

實數(shù)X的取值范圍.

【答案】(1)%=2”

⑵]|，+“

【解析】

【分析】(1)利用條件，再寫一式，兩式相減，可證得數(shù)列｛4｝是首項為2,公比為2的等比數(shù)列，即可

求出數(shù)列｛4｝的通項公式；

(2)求出數(shù)列的通項，利用錯位相減法求出北，再將題意轉化為可得VX，記

--Imax

皿士11,求出〃的最大值，即可得出答案.

"2"

【小問1詳解】

由2a“=S“+2,可得2a“+i=S/i+2,

兩式相減可得：2an+l-2an=an+l,所以an+l=2%,

令〃=1,可得2%=%+2,所以%=2,

所以數(shù)列｛%｝是首項為2,公比為2的等比數(shù)列，其通項公式為4=2X2”T=2".

【小問2詳解】

%〃

C"=logT^n,

2a

n乙

可得＜…則;北…+9’

1-

In

兩式相減得：LT1±+±...±_2L￡

2"=2+2223++2"2n+1=1-;2^

l"n]〃+2cn+2

=1-|一/=i-^zr，所以5=2-

〃("2)J(〃+2)則

因為“(2—7；)=

2"n+\

〃(〃+1)V/恒成立,可得

原題意等價于關于〃的不等式

2"max

記4=

2"

>

b“Nb"+i.2"2向

令＜n，解得〃=2或3,

bnNb”_i〃(〃+1)n-ljn

-T~~

2"T

3

則…，即當〃=2或〃=3時，〃取到最大值2,

333)

可得42—,所以實數(shù)X的取值范圍-,+?).

222)

x2+2x-3,x<0

17.已知函數(shù)/(x)=<

-2+Inx,x>0

(1)請在網(wǎng)格紙中畫出了(%)的簡圖，并寫出函數(shù)的單調區(qū)間(無需證明);

f(x)-x2-4x+1,-2<x<0

⑵定義函數(shù)g3=上2_2,。。交在定義域內的飛，若滿足g(Xo)=Xo，則稱/為

12

函數(shù)g(x)的一階不動點，簡稱不動點；若滿足8伍(%))=/，則稱/為函數(shù)g(x)的二階不動點，簡稱

穩(wěn)定點.

①求函數(shù)g（x）的不動點；

②求函數(shù)g（x）的穩(wěn)定點.

【答案】⑴作圖見解析，單增區(qū)間為[—1,0],（0,+“），/（X）的單減區(qū)間為（一叫―1]

232

（2）①--；②---,---和1.

323

【解析】

【分析】（1）根據(jù)分段函數(shù)解析式，畫出相應的函數(shù)圖像，結合函數(shù)圖像寫出單調區(qū)間.

（2）結合分段函數(shù)解析式，由不動點，穩(wěn)定點的定義計算分析求解.

【小問1詳解】

/(X)的單增區(qū)間為[—1,0],(0,+8),/(x)的單減區(qū)間為(―叫―1].

【小問2詳解】

—2x—2,—2Vx?0

易知8⑴二工丁一,。^

[2

2

①當-時，g(x0)=-2x0-2,令8由上/得-2%-2=%,解得/=—1；

2

當0</〈2時，g(x0)=1-x0-2,令g(Xo)=Xo得;/2_2=%,解得七=1±近(舍)

綜上所述：函數(shù)g(x)的不動點為-g.

②當-2VXo<-1時，g(x0)=-2x0-2,且0<8(/)?2,

1

貝Jg(g(x()))=g(—2xo-2)=5(-2%0-2)2-2=2x；+4x0

3

令g(g(x()))=Xo得，2XQ+4x0=x0,解得Xo=-,或/=0(舍)；

當-IV/<0時，g(x0)=-2x0-2,且-2Vg(與)VO,

則g(g(x()))=g(-2x0-2)=-2(-2x0-2)-2=4x0+2

令g(g(x()))=Xo，得4x°+2=Xo，解得/=一§；

當0</<2時，g(xo)=；x；—2,且一2<g(Xo)〈O,

則g(g(x()))=ggx；_2]=-2&工；_2,2=_x；+2,

令g（g（x（）））=Xo，得一只+2=%,解得/=1或%=-2（舍）

32

綜上所述：函數(shù)g（x）的穩(wěn)定點有3個，分別是-5，-§和L

18.摩天輪是一種大型轉輪狀的機械建筑設施，游客坐在摩天輪的座艙里慢慢地往上轉，可以從高處俯瞰

四周景色，如圖，某摩天輪最高點距離地面高度為100m,轉盤直徑為90m,均勻設置了依次標號為1?

48號的48個座艙.開啟后摩天輪按照逆時針方向勻速旋轉，游客在座艙轉到距離地面最近的位置進艙，

開始轉動ftnin后距離地面的高度為//m,轉一周需要24min.

（1）求在轉動一周的過程中，X關于t的函數(shù)解析式；

（2）若甲、乙兩人分別坐在1號和9號座艙里，在運行一周的過程中，求兩人距離地面的高度差力（單

位：m）關于f的函數(shù)解析式，并求/為何值時高度差,最大.

（參考公式：sin6,-sin^=2cos~~~sin'cos0-cos°=2sin'；°sin'2’）

【答案】(1)H=55-45cos—r,re[0,24].

（兀2兀?

（2）〃=45cos[五1一三JtG[0,24]；/=8min或/=20min

【解析】

【分析】⑴據(jù)題意，設8=Nsin（0/+9）+5[0〉O,[d<|^,由條件確定4及0,。的值;

71

(2)由題意，1號與9號座艙的角度差為一，不妨假設1號座艙出發(fā)早于9號座艙，/min時1號與9號

3

f兀2兀)

的高度分別為〃1，H9,進而求出高度差〃=45COSJ/-§,由余弦函數(shù)性質即可求.

【小問1詳解】

2?！?/p>

設27=Zsin(o/+o)+5[a>>，則切=

。，解若T=n

兀

令f=0時，則sine=—l,(P=一一,

2+8=1002=45

又4解得

—2+8=105=55

所以A=45sin-t--+55=55-45cos—r,re[0,24].

1122j12

【小問2詳解】

71

由題意得：1號與9號座艙的角度差為一.

3

不妨假設1號座艙出發(fā)早于9號座艙，Zmin時1號與9號的高度分別為A1，&,

itrr/工.?71?__._.?717T71?__._.(7157l?__

則H1—45sin—t+55,THT°—45sin—t---------+55-45sin—t-------+55,

<122)[1223)[126)

所以高度h=\HX—//9|=45sin^——sin^—,

由參考公式得，上式=90cosf—r-―Isin—=45cosf—r-―1

(123J6(123)

從而高度差為〃=45cos『|/—g],fe[0,24]；

當cosI—t-----1=1,即—t------=ku,左eN時，解得，=8+12左，左eN,

(123)123

又fe[0,24],所以/=8min或/=20min,此時高度差力的最大值為45m.

19.已知aeR,函數(shù)/(x)=q+lnx,g(x)=ax-lnx-2.

X

(1)當/(X)與g(x)都存在極小值，且極小值之和為。時，求實數(shù)a的值；

112

(2)若/(再)=/(%2)=2(石W%2)，求證：一十一〉一.

X］x?a

【答案】(1)1(2)證明見解析

【解析】

【分析】(1)分別對/(x),g(x)求導，討論HO和a>0,得出/(x)和g(x)的單調性，即可求出

/(X),g(x)的極小值，即可得出答案.

(2)令機由/(%1)=/(%2)=2(