陜西省寶雞市金臺區(qū)2024-2025學(xué)年高三年級上冊第二次模擬考試數(shù)學(xué)試題

陜西省寶雞市金臺區(qū)2024-2025學(xué)年高三上學(xué)期第二次模擬考

試數(shù)學(xué)試題

學(xué)校:姓名：班級：考號：

一、單選題

LZ=Jy，則目=()

1+1

A.-B.邁C.也D.2

222

2.已知向量。，。的夾角為45。，且同=4,。?卜-6)=0,則b在“上的投影向量為()

A.2aB.aC.0aD.20a

3

3.已知命題P：VxeR,2同＜3%命題x=l-^,則下列命題中為真命題的是

()

c.p且rD.M且F

,則點A的軌跡方程是()

c―=1D-U=1

5.已知正數(shù)羽V滿足x+'=l,則工+2y的最小值是()

yx

A.2+20B.6c.4A/2D.3+2收

6.將函數(shù)/(x)=2sin(2xq]圖象上所有的點向左平移三個單位長度，再把所有點的縱坐標(biāo)

V6；12

變?yōu)樵瓉淼?后，得到函數(shù)g(x)的圖象則gj1]=()

A.73B.且C.-D.1

22

7.如圖，在四棱臺ABC。-ASG2中，底面為平行四邊形，側(cè)棱DA，平面ABCD,

AD±BD,AB=2AD=2^=4,若四棱臺ABCD-48cA的體積為述.則直線2c與

3

平面ABCD所成角的正切值是()

A.立B.在C.BD.正

7333

8.“求方程=1的解”有如下解題思路：設(shè)=則在R上

單調(diào)遞減，且/(2)=1,所以原方程有唯一解x=2.類比上述解題思路，不等式

2Y的解集是()

A.(-oo,0)B.(1,4-00)C.(-oo,0)u(l,+oo)D.fju

二、多選題

9.已知a,Z?GR,有一組樣本數(shù)據(jù)為2+a,3,6-b,1-a,8,10,11+6,12,13,若

在這組數(shù)據(jù)中再插入一個數(shù)8,則()

A.平均數(shù)不變B.中位數(shù)不變C.方差不變D.極差不變

10.己知函數(shù)〃x)=lnx+ln(2-x),則()

A./(x)在(0,1)單調(diào)遞增B.y=/(x)的圖象關(guān)于點(1,0)對稱

C.y=/(%)的圖象關(guān)于直線元=1對稱D.函數(shù)y=|f(x)|-e，有兩個零點

11.設(shè)曲線C的方程為N+y2=2|x|—2僅|,則()

A.曲線C既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形

B.曲線C圍成圖形的面積為2兀-4

C.曲線C的周長為血兀

D.曲線上任意兩點間距離的最大值為4

三、填空題

12.從2024年伊始，各地旅游業(yè)爆火，兵馬俑是陜西省旅游勝地.某大學(xué)一個寢室6位同

學(xué)A,氏C,￡),EP慕名而來，游覽結(jié)束后，在門前站一排合影留念，要求AB相鄰，C在。的

左邊，則不同的站法共有;(用數(shù)字做答)

13.設(shè)等比數(shù)列｛%｝滿足4/+。3=10,6/2+04=5,則6W2…即的最大值為

14.已知sin(a-/7)=2cos(a+夕)tan(cr-y0)=—,貝°tana—tan(3=

試卷第2頁，共4頁

四、解答題

15.已知VA2C的內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為。，b,c,且gsinA+cosA=2.

⑴求角A;

(2)若"=#,。為邊BC邊上一點，AD為254C的平分線，且A￡)=l,求VABC的面積.

16.某趣味運動設(shè)置了“謎語競猜”活動，在活動中設(shè)置①、②、③三道謎語題，猜謎者按照

一定的順序猜謎，只有猜對當(dāng)前謎語才能繼續(xù)競猜下一道謎語，并且獲得本謎語的獎金.每

次猜謎的結(jié)果相互獨立.猜對三道謎語的概率及獲得的相應(yīng)獎金如下表：

謎語①②③

猜對的概率0.8p（0<p<l）0.5

獲得的獎金(元)102030

(1)若。=0.5,按“①、②、③”的順序猜謎，求所獲獎金至少為30元的概率；

(2)假設(shè)只按“①、②、③”和“③、②、①”兩種順序猜謎.若以猜謎所獲獎金的數(shù)學(xué)期望為決

策依據(jù)，按哪種順序猜謎所獲獎金更多？

71

17.如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面A5C。為菱形，ZABC=~,底面ABC。，

AB=PA,E是PC上任一點,ACBD=O.

(1)求證：平面平面PAC.

(2)四棱錐P-ABCD的體積為％,三棱錐3-CED的體積為匕，若/=；，求直線網(wǎng)與平

面BE。所成角的正弦值.

18.已知為實數(shù)，函數(shù)〃x)=e-依+6-1(其中e=2.71828是自然對數(shù)的底數(shù)).

⑴討論函數(shù)的單調(diào)性;

⑵若對任意的xeRJ(x)20恒成立，求的最小值.

19.已知曲線「：b(x,y)=O,對坐標(biāo)平面上任意一點P(x,y),定義尸［P］=*x,y).若兩

點、P,Q,滿足刊尸卜尸［0＞0,稱點尸，。在曲線「同側(cè)；若刊尸］?尸稱點尸,。在曲

線「兩側(cè).

(1)直線/過原點，線段A8上所有點都在直線/同側(cè)，其中A(-U)、3(2,3),求直線/的斜

率的取值范圍；

⑵已知曲線尸(x,y)=(3x+4y-5)?小二^^=0，。為坐標(biāo)原點，求點集

5=｛尸|成尸＞外0］＞0｝的面積;

(3)記到點(0,1)與到x軸距離和為5的點的軌跡為曲線C,曲線「尸(無,〉)=%2+/一〉一。=。,

若曲線C上總存在兩點M,N在曲線「兩側(cè)，求曲線C的方程與實數(shù)。的取值范圍.

試卷第4頁，共4頁

參考答案:

題號12345678910

答案CBADDCADADACD

題號11

答案ABD

1.C

【分析】利用復(fù)數(shù)的除法運算及模的運算即可求解.

11-i1-iii.

【詳解】由z----------------------------1

-l+i-(l+i)(l-i)22'

故選：C.

2.B

【分析】化簡。0求出欠=4后，進(jìn)而求出b在”上的投影向Wcos45。-/即可.

［詳解】因為a-(q_6)=0,所以q2_q.b=0,即同~。心=16,

所以am=|3|?|5|-cos45°=4'|5|x=16,解得忖=40,

從而，b在"上的投影向量為Wcos45。-j=a.

故選：B.

3.A

【分析】先判斷命題。，4的真假性，由此對選項進(jìn)行分析，從而確定正確答案.

【詳解】對于命題P：VxeR,2同＜3也當(dāng)x=0時，

2M=3問=1，所以P為假命題.

對于命題4：玉'?尺，x3=l-x,

畫出y=/與y=l-尤的圖象如下圖所示，由圖可知，

兩個函數(shù)圖象有1個公共點，所以4為真命題.

答案第1頁，共13頁

所以力且q為真命題，

p且4、P且r、力且r為假命題.

故選：A

4.D

【分析】根據(jù)動點A(x,y)滿足等式小+3)2+;/=8一#-3)2+1,得到點A的軌跡是以

耳(-3,0),名(3,0)為焦點的橢圓求解.

2

【詳解】解：因為動點A(x,y)滿足等式J(x+3『+尸=8一^X-3)+/,

所以表示點A到點耳(-3,0),8(3,0)的距離之和為8,且山閶<8,

所以點A的軌跡是以4(-3,0),鼻(3,0)為焦點的橢圓,

其中：a=4,c=3,b2=7,

22

所以橢圓的方程是土+乙=1,

167

故選：D

5.D

【分析】利用力”的妙用和代入消元思想，借助于基本不等式即可求得所求式的最小值.

【詳解】由％+'=1可得砂=yT,因1>0,y>0,貝!Jy>l,

y

i

XH----

于是工+2y=——^+2y=l+—+2y=l+^—+2y=3+-^—+2(y-l),

xxxyy-1y-1

因」7+2(y-l)Z2)一1-2(丁-1)=2收，當(dāng)且僅當(dāng)一二=2(y-l)時等號成立,

y-1y-1y-i

即y=l+g,苫=應(yīng)-1時，工+2y的最小值為3+2點.

2x

故選：D.

答案第2頁，共13頁

6.C

【分析】結(jié)合三角函數(shù)圖象變換結(jié)論求g(x)的解析式，再求g

【詳解】將函數(shù)/(x)=2sin12x-野圖象上所有的點向左平移展個單位長度，可得函數(shù)

y=2sin^2x+-^---^-j=2sin2x的圖象，

將函數(shù)y=2sin2x圖象上所有點的縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼臋M坐標(biāo)不變，可得函數(shù)丫=$也2彳的

2

圖象，

所以g(x)=sin2x,故g(j|J=sin"；.

故選：C.

7.A

［分析】過點耳，作Bp1BD,連接CE,根據(jù)￡>￡>,!平面ABCD,得到與E，平面ABCD,

連接CE,從而/用CE為用C與平面A5CD的夾角求解.

【詳解】如圖所示：

過點瓦，作3產(chǎn)18D,連接CE,

因為_L平面ABCD,u平面D.DBB,,

所以平面ABCD1平面“DBBi,

所以瓦E_L平面ABCD,連接CE,

則ZBtCE為瓦C與平面ABCD的夾角，

在平面A2CD中，AD±BD,AB=4,AD=2,貝

四邊形四邊形

SABCD=46>S44GBi=石)

所以四棱臺的體積為：V=道+退+2百)=孚，

所以。2=1,.?.。。］=4后=1,

答案第3頁，共13頁

E為BO的中點，:,CE=/i，

tanZB.CE=—.

17

故選：A

8.D

【分析】將不等式轉(zhuǎn)化為(2x2y+(2/)>(x+l)3+(x+l),構(gòu)造函數(shù)8(月=三+》，確定單

調(diào)性即可得2/>》+1,從而可得不等式的解集.

【詳解】原式化簡為：8X6+2X2>(X+1)3+(X+1),即(2/)3+(2/)>@+1)3+(尤+1)

令g(x)=/+x,典|g〈x)=3x2+l>0,貝！jy=g(x)在R上單調(diào)遞增，

則不等式轉(zhuǎn)化為2-八+1,所以方程解集為，雙-'。。,+“).

故選：D.

9.AD

【分析】求出樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)，判斷A的真假；令出人取特殊值，驗證B的真假；利用方

差的計算公式求方差判斷C的真假；因為8不是最值，所以插入8不影響極差，可判斷D

的真假.

【詳解】對于A選項，原數(shù)據(jù)的平均數(shù)為8,插入一個數(shù)8,平均數(shù)不變，正確；

對于B選項，取。=-2,b=l,原數(shù)據(jù)的中位數(shù)為9,新數(shù)據(jù)的中位數(shù)為8.5,錯誤；

對于C選項，新數(shù)據(jù)的方差為s'2=：[(2+a-8)?+(3-8)?+…(13-8)4(8-8)1

<|[(2+a-8)2+(3-8)2+-(13-8)2]=?,錯誤；

對于D選項，因為3<8<13,所以8不是最值，故新數(shù)據(jù)的極差不變，正確.

故選：AD

10.ACD

【分析】先求出函數(shù)/(尤)的定義域，然后將函數(shù)F。)利用對數(shù)的運算變形，再利用復(fù)合函

數(shù)的單調(diào)性的判斷法則以及二次函數(shù)的性質(zhì)依次判斷A,B,C即可；分析函數(shù)y與函

數(shù)丁=6,的單調(diào)性結(jié)合圖象的交點，即可判斷函數(shù)y=/(x)|-e*零點個數(shù)，從而判斷D.

【詳解】函數(shù)/(x)定義域為(。，2),又/(x)=lnx+ln(2-x)=ln(2x-f),

答案第4頁，共13頁

4g(JC)=2x-X2=-(.X-1)2+1,xe(0,2),

所以g(x)在(0,1)上單調(diào)遞增,在(1,2)上單調(diào)遞減，

又y=lnx為單調(diào)遞增函數(shù)，

所以/(無)在(0,1)上單調(diào)遞增，在(L2)上單調(diào)遞減，故選項A正確；

因為函數(shù)g(x)的對稱軸為x=l,則函數(shù)/(x)關(guān)于直線尤=1對稱，故選項B錯誤，選項C

正確；

因為“X)皿=〃1)=°，所以函數(shù)yT/ah-/。)，

所以y=|/(0|在(o,1)上單調(diào)遞減，在(1,2)上單調(diào)遞增，

又函數(shù)y=e'在R上為增函數(shù)，

則函數(shù)>=|/(刈與函數(shù)y=e*在平面直角坐標(biāo)系中的圖象如下圖所示：

故函數(shù)y=〃(x)|與函數(shù)y=e'在區(qū)間(0,2)上有兩個交點，即函數(shù)y=〃(x)|-e*有兩個零點,

故D正確.

故選：ACD.

11.ABD

【分析】根據(jù)方程特點分類討論分別畫出圖像，然后逐個判斷即可.

［詳解］當(dāng)時方程為(x_iy+(y+l)2=2,

當(dāng)x2O,”0時方程為(x_iy+(y_l)2=2,

當(dāng)x<O,”0時方程為(x+iy+(y+l)2=2,

當(dāng)x<O,y<0時方程為(x+iy+(y_l)2=2,

如圖所示，

答案第5頁，共13頁

對于A：易知曲線關(guān)于X軸對稱，關(guān)于y軸對稱，關(guān)于原點中心對稱，A正確；

對于B：因為曲線關(guān)于X軸對稱，關(guān)于y軸對稱，關(guān)于原點中心對稱，

所以只需要計算第一象限內(nèi)圖像的面積即可，

因為。（2,0）,且圓的半徑r=所以弦心距d=J（直

所以O(shè)Q所對的圓心角為

所以該圖形為圓心角為]的扇形剪去等腰直角三角形得到的弓形，

所以s=；x（0『兀一所以總面積為4s=2計4,B正確；

對于C：第一象限內(nèi)的圖形是圓心角為的扇形的弧長，所以：板x]=字，

所以曲線。的周長為4/=2&兀，C錯誤；

對于D：曲線上任意兩點間距離的最大值為附|=4,D正確，

故選：ABD

【點睛】關(guān)鍵點睛：對MY分類討論得到不同情況下的方程進(jìn)而得到圖像是解決該類題型的

關(guān)鍵.

12.120

【分析】根據(jù)相鄰問題“捆綁法”和排列數(shù)公式，利用分步乘法計數(shù)原理計算即得.

【詳解】先將A8“捆綁”看成一個元素，與另外四人在五個位置上進(jìn)行全排，

再考慮C在￡）的左邊，最后“解綁”，故有:A；A：=120種方法.

故答案為：120.

13.64

C/7=8

a,+a,=10a（l+/）=101

【詳解】試題分析：設(shè)等比數(shù)列的公比為4,由｛?3（得，｛“；、一解得1.

%+/=5axq（l+q）=5q=—

、2

1心-1）_ln2+Zn

所以〃1%an~aiQi+2++（/1-1）=X（―）2=225,于是當(dāng)〃=3或4時，%取得最大

值26=64.

考點：等比數(shù)列及其應(yīng)用

答案第6頁，共13頁

14.加8

【分析】由已知結(jié)合同角基本關(guān)系及和差角公式進(jìn)行化簡即可求解.

m

[詳解】因為sin(a—,)=2cos(a+/?),tan(a_,)=[=s*儀,

2cos(cr-p)

所以gcos(a-/?)=2cos(a+A),

所以cosacos尸+sinasinp=4(cosacosp一sinasin0),

即3cosacos=5sincrsin/?,

3

即tanaJ3=—,

1__tancr-tan/3_tan?-tan(3

因為5=tan(a-￡)=不啟礪="3,

5

4

則tana-tan方=y.

4

故答案為：—.

71

15.(1)A=-

⑵也

2

【分析】(1)利用三角恒等變換的知識求得A.

(2)利用三角形的面積公式、余弦定理列方程，求得兒，進(jìn)而求得三角形ABC的面積.

【詳解】(1)由GsinA+cosA=2,即sin(A+'1=1,

因為A40,7i),所以A+7)，

所以A+?=g,得A=f.

o23

7T

(2)由AD為4c的平分線，^ZBAD=ZCAD=-,

6

=

因為SABCSABD+SACD,

W—Z?csin—=—cxlxsin—+—Z?xlxsin—,

232626

BPy/3bc=b+c9①

由余弦定理得a2=b2+c2-2bccosg,

BPb1+c2-bc=69②

答案第7頁，共13頁

由①②，得be=2,

所以S&BC=^csiny=~-

16.(1)0.4

(2)答案見解析

【分析】(1)設(shè)事件4B,C,D，依題D=(ABC)u(ABC),根據(jù)事件ABC與事件ABC的互斥

與AB,C的相互獨立，利用概率公式計算即得；

(2)分兩種方案分別計算隨機變量對應(yīng)取值的概率，列出分布列，計算期望值，作差比較

即得.

【詳解】(1)設(shè)“猜謎者①猜對”為事件4"猜謎者②猜對”為事件B；“猜謎者③猜對”為事

件C

記“所獲得獎金至少為30元”為事件D,則包括獲得獎金30元或60元.

獎金30元指①、②猜對，③猜錯，即事件ABe發(fā)生；

獎金60元指①、②猜對，③猜對，即事件A3C發(fā)生.

因事件42已與事件A3C互斥，且A,3,C相互獨立，

則P(D)=P(ABC)+P(ABC)=P(A)P(B)P(C)+P(A)P(B)P(C)

=0.8x0.5x0.5+0.8x0.5x0.5=0.4.

即所獲得獎金至少為30元的概率為0.4;

(2)若猜謎者按“①、②、③”的順序猜謎語.

則他所獲獎金X的所有可能取值為0,10,30,60(元)，

p(X=0)=l-0.8=0.2,

P(X=10)=0.8(1”),

尸(X=30)=0.8xpx0.5=0.4p,

P(X=6O)=O.8xpxO.5=O.4p,

列出X的分布列為：

X0103060

P0.20.8（l-p）OAp0.4p

答案第8頁，共13頁

故E（X）=8（l-p）+12p+24P=28p+8；

若猜謎者按“③、②、①”順序猜謎語.

則他所獲獎金y的所有可能取值為0,30,50,60（元）,

p(y=0)=0.5,

叩=30)=0.5(1-p),

p(y=50)=0.5px0.2=0.1p,

p(y=60)=0.5xpx0.8=0.4p,

列出y的分布列為：

Y0305060

P0.50.5(1-^)0.1/70.42

故E（y）=15（l-p）+50+24p=14°+15.

由E（X）-E（y）=14p-7,

當(dāng)14〃-7>0,即pe（0.5,l）時，應(yīng)按①、②、③順序猜謎所獲得獎金更多；

當(dāng)14。-7=0,即0=0.5時，按①、②、③和③、②、①順序猜謎所獲獎金一樣多；

當(dāng)14〃-7<0,即pe（0,0.5）時，應(yīng)按③、②、①順序猜謎所獲得獎金更多.

17.（1）證明見解析

⑵走

4

【分析】（1）由線面垂直的判定定理和性質(zhì)定理可證得5D工平面PAC,再由面面垂直的判

定定理即可證明；

（2）由錐體的體積公式可得E是PC的中點，建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面BED的法向

量，由線面角的向量公式求解即可.

【詳解】（1）在四棱錐尸-ABCD中，底面A2CD為菱形，所以AC13Z）,

又因為PA_L底面ABC。，5Z>u底面A3C。，所以E4_LBD,

PAAC=A,PA,ACu平面PAC,所以BD1平面PAC,

因為BDu平面所以平面EBD_L平面尸AC.

答案第9頁，共13頁

V1

（2）四棱錐尸-ABCD的體積為％三棱錐3-CEO的體積為匕，寸="

設(shè)E到平面BCD的距離為",

則V_bBC；SBCD?_h=i

pA

X^^ABCD---2SBCD-PA2PA4

3/i2）（_zLz3D\^LJ

所以B4=2/7,所以E是尸C的中點，

__7T

取BC的中點尸，連接AF,因為底面ABCD為菱形且/A3C=§,

所以VABC為等邊三角形，所以AF13C,所以AFLAZ),

如圖以A為坐標(biāo)原點，以AEAZZAP所在直線為％y,z軸，建立空間直角坐標(biāo)系,

^AB=PA=2,則0（0,2,。），C（/l,0）,B（A/3,-1,0）,

P（0,0,2）,所以DE=冬-g,l,BD=（-73,3,0）,P2=（且,一1,

\7\7

DE,幾=0

設(shè)平面BED的法向量為元=(%y,z),所以｛,

BDn=0

旦一3+z=0

即2“2Jz一，令x=6,貝巾=(指J,。)，

_百尤+3,=0

設(shè)直線PB與平面BED所成角為6,

用U1l|sing=1cos<PB,n)\1=阿「IKk」_=——4

所以直線尸8與平面3即所成角的正弦值為變.

4

18.(1)答案見解析

答案第10頁，共13頁

(2)1--

e

【分析】(1)對求導(dǎo)，得至1]尸(司=1一。，再分aWO和。>0兩種情況，利用導(dǎo)數(shù)與

函數(shù)單調(diào)性間的關(guān)系，即可求解；

(2)根據(jù)條件，利用(1)中結(jié)果得到。+6Nalna+l,構(gòu)造函數(shù)g(x)=xlnx+1,利用導(dǎo)數(shù)

與函數(shù)單調(diào)性間的關(guān)系，求出g(x)=xlnx+l的單調(diào)區(qū)間，進(jìn)而求出g(x)=xlnx+l的最小值,

即可求解.

【詳解】(1)易知尤eR,因為〃x)=eX—依+6—1,所以/=，

當(dāng)aWO時，/'("=廿一。>0恒成立，此時“X)在R上單調(diào)遞增，

當(dāng)4>0時，由/''(x)=e*—。=0,得至(jx=lna,

當(dāng)x<lna時，f'kx)<0,當(dāng)x>lna時，/'(無)>0,即/(x)在區(qū)間(-℃,lna)上單調(diào)遞減，在

區(qū)間(Ina,+oo)上單調(diào)遞增，

綜上，aWO時，/(X)在R上單調(diào)遞增，

a>0時，“X)的減區(qū)間為(Y?,lna),增區(qū)間為(Ina,+oo).

(2)因為當(dāng)a<0時，xf-oo時，f(x)-—oo,

由(1)知，要使對任意的彳€艮/(%)20恒成立，則。>0,>/(ln6z)=elnfl-alna+&-l>0

恒成立，

即a-alna+b-lWOT亙成立，得至iJbNalna—a+1,

所以a++a+l=alna+l,

令g(x)=xlnx+l,則g<%)=lnx+l,由/(%)=lnx+l=O,得到％=工，

e

當(dāng)0<%<工時，gr(x)<0,時，，(%)>0,

ee

所以g(x)=xlnx+l在區(qū)間(0-)上單調(diào)遞減，在區(qū)間(上+8)上單調(diào)遞增，

ee

所以g(%)Ng(，)='ln1+l=l-」，故的最小值為1一」.

eeeee

19.⑴[1，|)

答案第11頁，共13頁

（3）C:￡=8（3—y）（O4y43）和V=12（y+2）（—2Wy<0）,ae（6,24）

【分析】（1）設(shè)直線/：y=丘，由刊A]/國>0可解不等式求得結(jié)果；

（2）根據(jù)方程的幾何意義，將問題轉(zhuǎn)化為圓/+丁=4在直線3x+4y-5=0下方的部分（不

含邊界）的面積的求