材料力學(xué)（第2版）課件：桿件的變形分析

桿件的變形分析桿件的變形分析(A)DeformationPARTA桿件的變形分析（A）Deformation（PARTA）4.1直桿軸向拉伸或壓縮時的變形4.2圓截面軸扭轉(zhuǎn)時的變形4.1直桿軸向拉伸或壓縮時的變形4.1直桿軸向拉伸或壓縮時的變形桿件承受軸向載荷，軸向和橫向尺寸均發(fā)生變化。桿件沿軸線方向的變形稱為軸向變形或縱向變形；垂直于軸線方向的變形稱為橫向變形?？v向變形縱向應(yīng)變當(dāng)桿橫截面上的應(yīng)力不超過比例極限時EA：拉(壓)剛度4.1直桿軸向拉伸或壓縮時的變形橫向變形橫向應(yīng)變

通過試驗發(fā)現(xiàn)，當(dāng)材料在彈性范圍內(nèi)時，拉壓桿的縱向應(yīng)變和橫向應(yīng)變存在如下的比例關(guān)系泊松比各向同性材料：4.1直桿軸向拉伸或壓縮時的變形只適用于桿件均勻變形只適用彈性范圍只適用等直桿

若桿件橫截面沿軸線緩慢變化，軸力沿軸線變化，作用線仍與軸線重合。4.1直桿軸向拉伸或壓縮時的變形直桿系一般桿件4.1直桿軸向拉伸或壓縮時的變形西蒙?泊松Simeon-DenisPoisson法國數(shù)學(xué)家、幾何學(xué)家和物理學(xué)家無神論者在固體力學(xué)中，泊松以材料的橫向變形系數(shù)，即泊松比而知名。他在1829年發(fā)表的《彈性體平衡和運動研究報告》一文中，用分子間相互作用的理論導(dǎo)出彈性體的運動方程，發(fā)現(xiàn)在彈性介質(zhì)中可以傳播縱波和橫波，并且從理論上推演出各向同性彈性桿在受到縱向拉伸時，橫向收縮應(yīng)變與縱向伸長應(yīng)變之比是一常數(shù)，其值為四分之一。但這一數(shù)值和實驗有差距，如1848年G.維爾泰姆根據(jù)實驗就認(rèn)為這個值應(yīng)是三分之一。4.1直桿軸向拉伸或壓縮時的變形負(fù)泊松比材料通常認(rèn)為,幾乎所有的材料泊松比值都為正,約為1/3,橡膠類材料為1/2,金屬鋁為0.33,銅為0.27,典型的聚合物泡沫為0.11～0.14等,即這些材料在拉伸時材料的橫向發(fā)生收縮。而負(fù)泊松比NegativePoisson’sRatio)效應(yīng),是指受拉伸時,材料在彈性范圍內(nèi)橫向發(fā)生膨脹;而受壓縮時,材料的橫向反而發(fā)生收縮。

1987年,PoderickLakes把110×38×38mm的普通聚氨酯泡沫放入75×25×25mm的鋁制模具中,進行三維壓縮后再對其進行加熱、冷卻和松弛處理,得到的泡孔單元呈內(nèi)凹(re-entrant)結(jié)構(gòu)，首次通過對普通聚合物泡沫的處理得到具有特殊微觀結(jié)構(gòu)的負(fù)泊松比材料,并測得其泊松比值為-0.17。自此,這一領(lǐng)域內(nèi)的研究開始蓬勃發(fā)展起來。文獻檢索:負(fù)泊松比材料的應(yīng)用前景和價值？4.1直桿軸向拉伸或壓縮時的變形例題4.1階梯形直桿受力如圖所示，桿各段的橫截面面積分別A1=A2=2500mm2，A3=1000mm2，桿各段的長度如圖，彈性模量E=200GPa。求桿的總伸長量。4.1直桿軸向拉伸或壓縮時的變形總伸長：4.1直桿軸向拉伸或壓縮時的變形例題4.2

如圖所示桿系結(jié)構(gòu)，已知桿BD為圓截面鋼桿，直徑d=20mm，長度l=1m，E=200GPa；桿BC為方截面木桿，邊長a=100mm，E=12GPa。載荷F=50kN。求點B的位移。4.1直桿軸向拉伸或壓縮時的變形

通過節(jié)點B的受力分析可以判斷AB桿受拉而BC桿受壓，AB桿將伸長，而BC桿將縮短。

因此，節(jié)點B變形后將位于B0點

由于材料力學(xué)中的小變形假設(shè)，可以近似用B1和B2處的圓弧的切線來代替圓弧，得到交點B3

故點B的位移近似等于BB3的距離。4.1直桿軸向拉伸或壓縮時的變形(1)計算軸力(2)計算變形4.1直桿軸向拉伸或壓縮時的變形(2)計算點B的位移點B的位移4.1直桿軸向拉伸或壓縮時的變形【討論】(1)桿件變形是桿件在載荷作用下其形狀和尺寸的變化，結(jié)構(gòu)節(jié)點的位移指結(jié)構(gòu)在載荷作用下某個節(jié)點空間位置的改變。(2)圖解法求結(jié)構(gòu)位移，“以切線代弧線”是以小變形假設(shè)為前提的。(3)求解結(jié)構(gòu)位移的步驟:受力分析，求軸力；應(yīng)用胡克定律求各桿變形；用“以切線代弧線”方法找出節(jié)點變形后的位置。4.1直桿軸向拉伸或壓縮時的變形【課堂討論】試計算以下剛性梁AB的B處位移。其它桿件為彈性桿，剛度EA。（討論計算思路）4.2圓截面軸扭轉(zhuǎn)時的變形4.2圓截面軸扭轉(zhuǎn)時的變形圓軸扭轉(zhuǎn)變形計算公式相距l(xiāng)

的兩截面之間的扭轉(zhuǎn)角適用于等截面軸

相對扭轉(zhuǎn)角若在長l的兩橫截面之間T為常量，則對于截面變化不大的圓錐截面軸同種材料階梯軸扭轉(zhuǎn)時:4.2圓截面軸扭轉(zhuǎn)時的變形取單位長度扭轉(zhuǎn)角

用來表示扭轉(zhuǎn)變形的大小單位長度扭轉(zhuǎn)角的單位:rad/m抗扭剛度越大，單位長度扭轉(zhuǎn)角越小轉(zhuǎn)換為(°/m)4.2圓截面軸扭轉(zhuǎn)時的變形例題4.3如圖所示受扭圓軸，已知：Me1=1400N·m，Me2=600N·m，Me3=800N·m，d1=60mm，d2=40mm，剪切彈性模量G=80GPa，計算最大單位長度扭轉(zhuǎn)角。4.2圓截面軸扭轉(zhuǎn)時的變形1）根據(jù)題意，首先畫出扭矩圖2）AB段單位長度扭轉(zhuǎn)角：3）BC段單位長度扭轉(zhuǎn)角：綜合兩段，最大單位扭轉(zhuǎn)角應(yīng)在BC段為0.03978rad/m4.2圓截面軸扭轉(zhuǎn)時的變形例題4.4

如圖所示鉆桿橫截面直徑為20mm，在旋轉(zhuǎn)時BC段受均勻分布的扭力矩m的作用。已知使其轉(zhuǎn)動的外力偶矩Me=120N·m，材料的切變模量G=80GPa，求鉆桿兩端的相對扭轉(zhuǎn)角。4.2圓截面軸扭轉(zhuǎn)時的變形解(1)求各段扭矩由截面法，BC任一截面上的扭矩(2)求相對扭轉(zhuǎn)角AB段

任一截面上的扭矩4.2圓截面軸扭轉(zhuǎn)時的變形代入數(shù)據(jù)桿件的變形分析(B)DeformationPARTB桿件的變形分析（B）Deformation（PARTB）4.3撓曲線近似微分方程4.4用積分法計算梁的變形4.5用疊加法計算梁的變形

梁必須有足夠的剛度，即在受載后不至于發(fā)生過大的彎曲變形，否則構(gòu)件將無法正常工作。例如軋鋼機的軋輥，若彎曲變形過大，軋出的鋼板將薄厚不均勻，產(chǎn)品不合格；如果是機床的主軸，則將嚴(yán)重影響機床的加工精度。4.3撓曲線近似微分方程4.3撓曲線近似微分方程取變形前的梁軸線為軸x，垂直向上的軸為軸y平面xy為梁的縱向?qū)ΨQ面

對稱彎曲的情況下，變形后梁的軸線將成為平面xy內(nèi)的一條曲線，稱為撓曲線。橫截面形心在y方向的位移撓度(deflection)

w橫截面對其原來位置轉(zhuǎn)過的角度

轉(zhuǎn)角(slope)q4.3撓曲線近似微分方程規(guī)定撓度w向上為正，轉(zhuǎn)角q逆時針為正。撓曲線方程截面轉(zhuǎn)角

q

就是軸

y

與撓曲線法線的夾角，小變形條件下轉(zhuǎn)角方程4.3撓曲線近似微分方程彎矩與曲率的關(guān)系：平面曲線的曲率數(shù)學(xué)計算：4.3撓曲線近似微分方程小變形條件下，撓曲線近似微分方程4.4用積分法計算梁的變形4.4用積分法計算梁的變形梁的撓曲線近似微分方程對上式進行一次積分,可得到轉(zhuǎn)角方程再進行一次積分,可得到撓曲線方程C和D是積分常數(shù)，需要通過邊界條件或者連續(xù)條件來確定其值。4.4用積分法計算梁的變形邊界條件

根據(jù)約束的性質(zhì)，確定約束處的撓度，轉(zhuǎn)角4.4用積分法計算梁的變形連續(xù)條件

在梁的彎矩方程分段處，截面轉(zhuǎn)角相等，撓度相等(撓曲線是光滑連續(xù)曲線)。若梁分為n段積分，則要出現(xiàn)2n個待定常數(shù)，總可找到2n個相應(yīng)的邊界條件或連續(xù)條件將其確定。4.4用積分法計算梁的變形

彎曲剛度為EI的簡支梁如圖所示，在截面C處受一集中力F作用。求梁的撓度方程和轉(zhuǎn)角方程，并確定其最大撓度。4.4用積分法計算梁的變形（1）求約束反力FAFB（2）列出彎矩方程AC段CB段（3）建立撓曲線微分方程并積分；由于彎矩方程在C點處分段，故應(yīng)對AC和CB分別計算4.4用積分法計算梁的變形（3）建立撓曲線微分方程并積分；由于彎矩方程在C點處分段，故應(yīng)對AC和CB分別計算AC段CB段FAFB4.4用積分法計算梁的變形FAFB利用邊界條件和連續(xù)條件確定四個積分常數(shù)AC段CB段邊界條件:連續(xù)條件:代入以上各式

求得積分常數(shù)4.4用積分法計算梁的變形FAFBAC段CB段求最大撓度最大撓度位于此時代入得4.4用積分法計算梁的變形討論FAFB(1)在CB段內(nèi)積分時，對含有(x2－a)的項不展開，以(x2－a)為自變量進行積分，可使確定積分常數(shù)的工作得到簡化。(2)結(jié)果為負(fù)，表示撓度方向向下。4.4用積分法計算梁的變形FAFB(3)跨中撓度若若集中力作用于跨中，則若取極端情形，力

F

接近于右端支座b0w0此時而跨中撓度若用跨度中點撓度代替最大撓度，引起的誤差僅為2.6%

4.5用疊加法計算梁的變形4.5用疊加法計算梁的變形

在桿件符合線彈性、小變形的前提下，變形與載荷成線性關(guān)系，即任一載荷使桿件產(chǎn)生的變形均與其他載荷無關(guān)。這樣只要分別求出桿件上每個載荷單獨作用產(chǎn)生的變形，將其相加，就可以得到這些載荷共同作用時桿件的變形。這就是求桿件變形的疊加法。

在很多的工程計算手冊中，已將各種支承條件下的靜定梁在各種典型的簡單載荷作用下的撓度和轉(zhuǎn)角表達式一一列出，稱為撓度表。實際工程計算中，往往只需要計算梁在幾個載荷作用下的最大撓度和最大轉(zhuǎn)角，或某些特殊截面的撓度和轉(zhuǎn)角，此時用疊加法較為簡便。4.5用疊加法計算梁的變形

如圖所示起重機大梁的自重為均布載荷，集度為q，集中力F=ql

作用于梁的跨度中點C。已知彎曲剛度EI，求跨度中點C的撓度。4.5用疊加法計算梁的變形=+=+4.5用疊加法計算梁的變形

類似于外伸梁和其它一些較為復(fù)雜結(jié)構(gòu)的梁的問題中，有些梁是不能直接查表進行位移的疊加計算，需要經(jīng)過分析和處理才能查表計算。

一般的處理方式是把梁分段，并把每段按照受力與變形等效的原則變成表中形式的梁，然后查表按照疊加法求解梁的變形。也可將復(fù)雜梁的各段逐段剛化求解位移，最后進行疊加來處理（逐段剛化法）。4.5用疊加法計算梁的變形例題4.5

如圖所示外伸梁，其外伸端受集中力F的作用，已知梁彎曲剛度EI，求外伸端C的撓度和轉(zhuǎn)角。4.5用疊加法計算梁的變形分析

在載荷F作用下，全梁均產(chǎn)生彎曲變形。變形在截面C引起的轉(zhuǎn)角和撓度，不僅與BC段的變形有關(guān)，而且與AB段的變形也有關(guān)。因此，可先將AB段“剛化”（假設(shè)其不變形），求出截面C相對截面B的撓度和轉(zhuǎn)角；再求AB段變形引起的截面C的牽連位移（此時，BC段被“剛化”）。4.5用疊加法計算梁的變形(1)只考慮BC段變形剛化ABBC段視為懸臂梁(2)只考慮AB段變形剛化BC段將力F向點B簡化為一個力和一個力偶只需討論力偶M對梁AB的作用4.5用疊加法計算梁的變形(3)疊加法計算截面C

轉(zhuǎn)角和撓度4.5用疊加法計算梁的變形討論(1)局部剛化的思想就是分段研究梁的變形（以便直接利用撓度表結(jié)果），將其余部分暫時看成剛體，最后再疊加，這種方法可以解決比較復(fù)雜的變形問題。(2)在小變形的條件下因此才有4.5用疊加法計算梁的變形

變截面梁如圖所示，已知AE段和DB段的彎曲剛度為EI，ED段的彎曲剛度為2EI，求跨度中點C

的撓