（寒假）人教A版高二數(shù)學(xué)寒假培優(yōu)講義+隨堂檢測+課后練習(xí) 第02講 解三角形（原卷版）

第第頁第02講解三角形一．正弦定理、余弦定理在△ABC中，若角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，R為△ABC外接圓半徑，則定理正弦定理余弦定理內(nèi)容eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)＝eq\f(c,sinC)＝2Ra2＝b2＋c2－2bccos_A；b2＝c2＋a2－2cacos_B；c2＝a2＋b2－2abcos_C變形邊化角：a＝2RsinAb＝2RsinBc＝2RsinC角化邊：sinA＝eq\f(a,2R)sinB＝eq\f(b,2R)，sinC＝eq\f(c,2R)；a∶b∶c＝sinA∶sinB∶sinCeq\f(a＋b＋c,sinA＋sinB＋sinC)＝eq\f(a,sinA)cosA＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc)；cosB＝eq\f(c2＋a2－b2,2ac)；cosC＝eq\f(a2＋b2－c2,2ab)二．三角形常用面積公式1.S＝eq\f(1,2)a·ha(ha表示邊a上的高)．2.S＝eq\f(1,2)absinC＝eq\f(1,2)acsin_B＝eq\f(1,2)bcsin_A．3.S＝eq\f(1,2)r(a＋b＋c)(r為三角形內(nèi)切圓半徑)．三．三角形解的判斷A為銳角A為鈍角或直角圖形關(guān)系式a＝bsinAbsinA<a<ba≥ba>b解的個數(shù)一解兩解一解一解四．三角形中的射影定理在△ABC中，a＝bcosC＋ccosB；b＝acosC＋ccosA；c＝bcosA＋acosB．五．盤點易錯易混1．利用正弦定理進行邊角互換時，齊次才能約去2R2.三角形中的大角對大邊：在△ABC中，A＞B?a＞b?sinA＞sinB．3．判斷三角形形狀時，等式兩邊一般不要約去公因式，應(yīng)移項提取公因式，以免漏解．一．正、余弦定理的選用1.正弦定理：一是已知兩角和一角的對邊，求其他邊或角；二是已知兩邊和一邊的對角，求其他邊或角；2.余弦定理：一是已知兩邊和它們的夾角，求其他邊或角；二是已知三邊求角．由于這兩種情形下的三角形是唯一確定的，所以其解也是唯一的．二．求解三角形面積問題1.若三角形中已知一個角(角的大小或該角的正、余弦值)，結(jié)合題意求解這個角的兩邊或該角的兩邊之積，代入公式求面積．2.若已知三角形的三邊，可先求其中一個角的余弦值，再求其正弦值，代入公式求面積．總之，結(jié)合圖形恰當選擇面積公式是解題的關(guān)鍵．三．選擇“邊化角”或“角化邊”，變換原則如下：1.若式子中含有正弦的齊次式，優(yōu)先考慮正弦定理“角化邊”；2.若式子中含有、、的齊次式，優(yōu)先考慮正弦定理“邊化角”；3.若式子中含有余弦的齊次式，優(yōu)先考慮余弦定理“角化邊”；4.代數(shù)式變形或者三角恒等變換前置；5.含有面積公式的問題，要考慮結(jié)合余弦定理求解；6.同時出現(xiàn)兩個自由角（或三個自由角）時，要用到三角形的內(nèi)角和定理.考法一常見的邊角互換模型【例1-1】在中，內(nèi)角的對邊分別為，且滿足，若，則外接圓的半徑長為（

）A．B．1C．D．【例1-2】已知的內(nèi)角的對邊分別為，設(shè)，，則（

）A．B．C．D．【一隅三反】1．在中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別是a，b，c，若，，則A＝（

）A．B．C．D．2．△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知，，則c＝（

）A．4B．6C．D．3．（多選）在中，a，b，c分別為角A，B，C的對邊，已知，，且，則（

）A．B．C．D．考法二三角形的周長與面積【例2-1】在銳角三角形中，角，，所對的邊分別為，，，已知，，，則的面積為______.【例2-2】記的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知．(1)求角B；(2)若c＝3a，D為AC中點，，求的周長．【一隅三反】1．已知在中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，其中，C為鈍角，且.(1)求角B的大??；(2)若的面積為6，求的周長.考法三三角形的中線與角平分線【例3-1】△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c.已知.(1)求B.(2)若，，___________，求.在①D為AC的中點，②BD為∠ABC的角平分線這兩個條件中任選一個，補充在橫線上.注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分.【例3-2】已知為的內(nèi)角所對的邊，向量,，且．(1)求；(2)若，的面積為，且，求線段的長．【一隅三反】1.在中，角A、B、C的對邊分別是a、b、c，且.(1)求角C的大??；(2)若的平分線交AB于點D，且，，求的面積.2.設(shè)的內(nèi)角所對的邊分別為，且．(1)求角A的大??；(2)若，邊上的中線，求的面積．考法四三角形中的取值范圍【例4-1】在銳角中，內(nèi)角的對邊分別為，，，且，，則（

）A．B．C．D．【例4-2】在中，，則的最小值（

）A．-4B．C．2D．【例4-3】已知在中，角，，的對邊分別是，，，面積為，且_____．在①，②；③這三個條件中任選一個，補充在上面的問題中，并根據(jù)這個條件解決下面的問題．(1)求；(2)若，點是邊的中點，求線段長的取值范圍．【一隅三反】1.在中，角、、所對的邊分別為、、，，的平分線交于，若，則的最小值為____.2.已知銳角的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知2ccosC=bcosA+acosB.(1)求角C的大??；(2)若，求的周長的取值范圍.3.在中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知，且．(1)求的外接圓半徑R；(2)求內(nèi)切圓半徑r的取值范圍．考法五三角形解的個數(shù)【例5】由下列條件解，其中有兩解的是（

）A．，，B．，，C．，，D．，，【一隅三反】1.中，角的對邊分別是，，.若這個三角形有兩解，則的取值范圍是（

）A．B．C．D．2.在下列關(guān)于的四個條件中選擇一個，能夠使角被唯一確定的是：（

）①；②；③；④.A．①②B．②③C．②④D．②③④考法六正余弦定理在幾何中應(yīng)用【例6-1】如圖，在中，，點在邊上，．(1)求的長；(2)若的面積為，求的長．【例6-2】如圖，平面四邊形中，對角線與相交于點，，，，.

(1)求的面積；(2)求的值及的長度.【一隅三反】1．如圖，在中，內(nèi)角，，的對邊分別為，，，過點作，交線段于點，且，，.

(1)求；(2)求的面積.2.平面多邊形中，三角形具有穩(wěn)定性，而四邊形不具有這一性質(zhì)．如圖所示，四邊形的頂點在同一平面上，已知．(1)當長度變化時，是否為一個定值？若是，求出這個定值；若否，說明理由．(2)記與的面積分別為和，請求出的最大值．平面向量與解三角形章節(jié)測試一、單選題1．在中，若，則一定是（

）A．正三角形B．直角三角形C．等腰或直角三角形D．等腰三角形2．在中，，，分別為角，，的對邊，已知，，且，則（

）A．B．C．D．3．已知中，角對應(yīng)的邊分別為，是上的三等分點（靠近點）且，，則的最大值是（

）A．B．C．2D．44．在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，，，若點M滿足，且∠MAB＝∠MBA，則△AMC的面積是（

）A．B．C．D．二、多選題5．在△ABC中，已知a＝2b，且，則（

）A．a(chǎn)，c，b成等比數(shù)列B．C．若a＝4，則D．A，B，C成等差數(shù)列6．在銳角中，角所對的邊為，若，且，則的可能取值為（

）A．B．2C．D．三、填空題7．在中，，D為BC邊上一點，且，則的最小值為.8．在中，角的對邊分別為，，，若有最大值，則實數(shù)的取值范圍是.四、解答題9．已知的三個內(nèi)角分別為、、，其對邊分別為、、，若．(1)求角的值；(2)若，求面積的最大值．10．在①；②兩個條件中任選一個，補充在下面的問題中，并解答該問題．在中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，若D為邊上一點，滿足，，且______．注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分．(1)求角；(2)求的取值范圍．11．在中，內(nèi)角，，的對邊分別為，，，且.(1)求；(2)若，，點，分別在邊，上，且將分成面積相等的兩部分，求的最小值.12．記的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知．(1)若，求B；(2)求的取值范圍．解三角形隨堂檢測1．中，是角的對邊，，則此三角形有（

）A．一個解B．2個解C．無解D．解的個數(shù)不確定2.在中，內(nèi)角的對邊分別是，若，且，則（

）A． B． C． D．3.設(shè)的內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且，則A=（

）A． B． C． D．4.在銳角△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且，，則a的取值范圍為（

）A．B．C．D．5.我國南宋著名數(shù)學(xué)家秦九韶提出了由三角形三邊求三角形面積的“三斜求積”，設(shè)的三個內(nèi)角所對的邊分別為，，，面積為S，則“三斜求積”公式為，若，，則用“三斜求積”公式求得