胡廣書《現(xiàn)代信號處理教程》第一章

《現(xiàn)代信號處理教程》

（清華大學出版社

第二版2015

胡廣書編著）

hgs-dea@歡迎您選用

前言數(shù)字信號處理理論的發(fā)展及體系上個世紀的六十、七十年代：

DFT，F(xiàn)FT，Z變換，Hilbert變換；離散系統(tǒng)分析理論；各種數(shù)字濾波器設計理論；隨機信號統(tǒng)計分析理論；上個世紀的八十年代：現(xiàn)代功率譜估計理論

（AR，ARMA模型）；自適應濾波理論；時頻聯(lián)合分析

（Wigner分布，Cohen類分布）；濾波器組理論（多抽樣率信號處理）；

高階統(tǒng)計量理論；上個世紀的九十年代：

小波變換理論；獨立分量分析理論（ICA）Hilbert－Huang變換（HHT）

信號的稀疏表達這10年（2006－）：

壓縮感知（compressedsensing，CS）被譽為信號處理領域的

“Nextabigidea”

數(shù)字信號處理的理論

大體上可以分為：一、經(jīng)典信號處理二、統(tǒng)計信號處理三、現(xiàn)代信號處理

一.經(jīng)典信號處理:主要圍繞兩大部分內(nèi)容：

（一）有關信號；

（二）有關系統(tǒng)；基礎性的；重要的；較為成熟的；“經(jīng)典”的內(nèi)容，自然是：有關信號1.信號的描述：函數(shù)式；曲線；2.特殊信號：沖激；階躍；斜坡；正弦，指數(shù)；白噪3.信號的運算：加；減；乘；卷積；變換；4.信號的分解：正交分解（傅里葉變換）；5.信號的抽樣：抽樣定理；6.信號的重建：正交分解；有關系統(tǒng)1.離散時間系統(tǒng)的描述；2.離散時間系統(tǒng)的屬性線性；移不變性；因果性；穩(wěn)定性4.離散時間系統(tǒng)的分析屬性判別？LP？HP?BP?BS?線性相位？5.離散時間系統(tǒng)設計

（數(shù)字濾波器設計）IIRDFFIRDF3.離散時間系統(tǒng)的輸入輸出關系；時域卷積頻域相乘

二.統(tǒng)計信號處理:（一）隨機信號的描述；（三）估計問題；（二）平穩(wěn)及各態(tài)遍歷信號均值；方差；自相關函數(shù)；功率譜自相關函數(shù)估計；功率譜估計（經(jīng)典，現(xiàn)代）（四）最優(yōu)濾波；維納濾波器；線性預測；自適應濾波器；卡爾曼濾波器

三.現(xiàn)代信號處理:

（一）非平穩(wěn)信號的

聯(lián)合時頻分析；（三）小波變換；

（二）多抽樣率信號處理；

（四）高階統(tǒng)計量分析；

（五）獨立分量分析（ICA）；

（六）壓縮感知理論（CS）；Wigner分布Cohen類分布；希爾波特－黃變換信號抽??；信號插值；兩通道濾波器組；M通道濾波器組現(xiàn)代信號處理這十多年來的新進展一、Hilbert－Huang變換－1998；二、信號的稀疏表達

（sparserepresentations）－1998；三、壓縮感知

（compressedsensing，CS）－2006本教材講述：全部是現(xiàn)代信號處理的內(nèi)容第1章信號分析基礎1.1信號的時間和頻率1.2克服傅里葉變換不足的一些主要方法1.3信號的時寬與帶寬1.4不定原理1.5信號的瞬時頻率1.6信號的分解1.7信號的正交分解1.8標架的基本概念1.9

Poisson和公式1.10

Zak變換1.1信號的時－頻聯(lián)合分析前言：對一個給定的信號，我們可以用眾多的方法來描述它。在這些眾多的描述方法中，有兩個最基本的物理量，即時間和頻率。顯然，時間和頻率與我們的日常生活關系最為密切，我們時時可以感受到它們的存在。時間自不必說，對頻率，如夕陽西下時多變的彩霞，音樂會上那優(yōu)美動聽的旋律以及在一片寂靜中突然冒出的一聲刺耳的尖叫等，這些都包含了豐富的頻率內(nèi)容。正因為如此，時間和頻率也成了描述信號行為的兩個最重要的物理量。傅里葉變換的不足：1.不具有時間和頻率的“定位”功能;2.傅里葉變換對于非平穩(wěn)信號的局限性3．傅里葉變換在分辨率上的局限性傅立葉變換：為克服傅里葉變換的不足，人們提出了很多方法，這些方法構成了現(xiàn)代信號處理的豐富內(nèi)容。聯(lián)系了時間和頻率1.傅里葉變換在時間、頻率“定位”的不足：如果我們想求一個信號，如，在某一個頻率，如處的值，則反之，如果我們想求某一個時刻，如處的值，需要；需要；例設信號x(n)由三個不同頻率的正弦所組成，即思考：對做傅里葉變換，其頻譜是什么樣子？我們希望知道：在哪一個時刻（或哪一段時間）產(chǎn)生了我們所要考慮的頻率，或反之，如下例：信號的時－頻聯(lián)合分析：(a)信號，（b）的頻譜；(c)的時頻分布；（d）時頻分布的三維表示

2.傅里葉變換對于非平穩(wěn)信號的局限性：信號的頻率不隨時間變化，這樣的信號稱為時不變信號。也就是說，對該信號的一次記錄（或一次觀察）得到的信號所做的傅里葉變換和過一段時間后再記錄該信號所做的傅里葉變換基本上是一樣的。這樣，信號的傅里葉變換與時間無關。所以，傅里葉變換只適合于時不變的信號。在時不變的情況下，信號可展開為無窮多復正弦的和，而這無窮多復正弦的幅度、頻率和相位都不隨時間變化，即是取某一特定值的常數(shù)。頻率隨時間變化的信號又稱為時變信號，又稱這一類信號為“非平穩(wěn)”信號，而把頻率不隨時間變化的時不變信號稱為“平穩(wěn)”信號。傅里葉變換反映不出信號頻率隨時間變化的行為，因此，它只適合于分析平穩(wěn)信號，而對頻率隨時間變化的非平穩(wěn)信號，即時變信號，它只能給出一個總的平均效果。瞬時頻率：時間的函數(shù)

圖(a)是時域波形，圖(b)是頻譜。圖(c)是時－頻分布表示,圖(d)是圖(c)的立體表示。例3.傅里葉變換在分辨率上的局限性：“分辨率（resolution）”是信號處理中的基本概念，它包括頻率分辨率和時間分辨率，其含義是指對信號能作出辨別的時域或頻域的最小間隔（又稱最小分辨細胞）。頻率分辨率是通過一個頻域的窗函數(shù)來觀察頻譜時所看到的頻率的寬度，時間分辨率是通過一個時域的窗函數(shù)來觀察信號時所看到的時間的寬度。顯然，這樣的窗函數(shù)越窄，相應的分辨率就越好。分辨能力的好壞一是取決于信號的特點，二是取決于信號的長度，三是取決于所用的算法。希望既能得到好的時間分辨率又能得到好的頻率分辨率，然而，由不定原理可知，二者不可能同時達到最好。不定原理是信號處理中的基本原理，不可能違背，但是在實際工作中可以根據(jù)信號的特點及信號處理任務的需要選取不同的時間分辨率和頻率分辨率。例如，對時域快變的信號，希望時域的分辨率要好（即觀察間隔盡量短），以保證能觀察到該瞬變信號發(fā)生的時刻及瞬變的形態(tài)，這時要忽視頻率分辨率；反之，對時域慢變的信號，沒有必要強調(diào)時域分辨率而轉(zhuǎn)而強調(diào)頻率分辨率。好的信號分析算法，應能適應信號的特點自動調(diào)節(jié)時域分辨率和頻域分辨率。以前我們只強調(diào)頻域分辨率，而基本上沒有考慮時域分辨率，更沒有把二者結合起來考慮。實際上，二者都是需要的。傅里葉變換：基函數(shù)基函數(shù)在頻域是位于處的函數(shù)。因此，用傅里葉變換來分析信號的頻域行為時，它具有最好的頻率分辨率。但是，在時域?qū)氖钦液瘮?shù)，時域的持續(xù)時間是從，因此，在時域有著最壞的時間分辨率。對傅里葉反變換，分辨率的情況正好相反。信號截短是信號處理中的基本問題，等效使用矩形窗。矩形窗的寬度和其頻譜主瓣的寬度成反比。時域取得越短，即保持在時域有高的分辨率，其頻譜的主瓣變寬導致頻域的分辨率下降。這既體現(xiàn)了不定原理的制約關系也體現(xiàn)了傅里葉變換在時域和頻域分辨率方面所固有的矛盾。顯然，傅里葉變換無法根據(jù)信號的特點來自動的調(diào)節(jié)時域及頻域的分辨率。方法一:STFT(ShortTimeFourierTransform)基函數(shù)

1.2克服傅里葉變換不足的一 些主要方法加窗傅里葉變換二維函數(shù)方法二：聯(lián)合時頻分析Cohen分布：

二維函數(shù)Cohen類分布變成Wigner-Ville分布Gabor變換與信號的Gabor離散展開：Gabor展開Gabor展開系數(shù)Gabor展開的核 函數(shù)該二維函數(shù)：1.應是時間和頻率的聯(lián)合函數(shù)；2.可反映信號能量隨時間和頻率變化的形態(tài)；3.應既具有好的時間分辨率，同時又具有好的頻率分辨率。給定一維信號找到二維函數(shù)方法三：小波變換找到一個基本函數(shù)

并記的伸縮與位移

和這一族函數(shù)的內(nèi)積即定義為的小波變換：a:是尺度定標常數(shù)，決定頻率中心及帶寬;b:是位移，決定分析位置；又稱為基本小波或母小波。

方法四、信號的子帶分解將信號的頻譜均勻或非均勻地分解成若干部分，每一個部分都對應一個時間信號，我們稱它們?yōu)樵盘柕淖訋盘?。對信號x(n)，我們欲將其傳輸，若用數(shù)字方法，其傳輸過程包括數(shù)字化、量化、編碼及調(diào)制等步驟。若對該信號用抽樣頻率fs進行抽樣，每一個抽樣數(shù)據(jù)為16bit，那么其1秒數(shù)據(jù)所需要的bit數(shù)是16fs。例

能否保證在傳輸信號不失真的情況下，減少所用的bit數(shù)？我們發(fā)現(xiàn)x(n)的頻譜能中在歸一化頻率0.08及0.15處，而從0.25～0.5處的能量很小。解決方法分別用一個低通濾波器H0(z)和一個高通濾波器H1(z)進行濾波H0(z)↓2H1(z)↓2方法五、信號的多分辨率分析上述方法是將信號的頻譜均勻地分成M等分，為了適應在不同頻段對時域和頻域分辨率的不同要求（快變信號要求好的時間分辨率，降低頻率分辨率；慢變信號要求好的頻率分辨率，降低時間分辨率），我們可以將信號的頻譜做非均勻分解。下面的分解過程就形成了多分辨率分析的基本內(nèi)容。

其中f1=1Hz,f2=20Hz，f3=40Hz,fs=200Hz,這樣保證了對每一個正弦分量都可采到整周期。設數(shù)據(jù)長度取400點，現(xiàn)希望能將的抽樣中的三個正弦信號分離出來。例設信號信號二進制分解的實現(xiàn)現(xiàn)在我們用二等分的方法將其頻帶逐級分開

在信號處理中，信號的“時間中心”“時間寬度（time-duration）”“頻率中心”“頻帶寬度（frequence-bandwidth）是非常重要的概念。它們分別說明了信號在時域和頻域的中心位置以及在兩個域內(nèi)的擴展情況。是討論各種信號處理算法的基礎。1.3信號的時寬與帶寬

概念：信號能量：時間中心：頻率中心：

瞬時頻率(IF)復信號x(t):實信號x(t):的Hilbert變換：直接求出“頻率中心”:則：時間寬度：頻率寬度：時寬和帶寬：

時寬－帶寬積：又一定義

令：實高斯信號，可求出，歸一化高斯信號?？汕蟪觯豪咚剐盘柕母道锶~變換仍然是高斯的，中心在由此可以看出，該例和上例不同的是頻率中心變成了，但由于該例是純正弦調(diào)制，故信號的帶寬、時寬及時寬－帶寬積沒有改變。例記上例中的高斯信號為，令則x(t)為一高斯幅度調(diào)制信號，調(diào)制頻率為。該例和上例不同的是頻率中心變成了，但由于該例是純正弦調(diào)制，故信號的帶寬、時寬及時寬－帶寬積沒有改變。

圖(a)是一個高斯信號與一chirp信號的乘積稱之為“高斯幅度調(diào)制chirp信號”，圖(b)是其頻譜?？汕蟪觯豪撔盘柕臅r寬－帶寬積大于1。

給定信號，設其能量為，時間中心，頻率中心分別是和，時寬和帶寬分別是和，令其中為常數(shù)，現(xiàn)研究的能量,時、頻中心及時寬與帶寬。例Q為信號的“品質(zhì)因數(shù)”：

品質(zhì)因數(shù)＝信號的帶寬/信號的頻率中心1．4 不定原理

（UncertaintyPrinciple）

給定信號x(t)，若，則