拋物線及其性質(zhì)講義-2025屆高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)

第第頁拋物線及其性質(zhì)【知識點1】拋物線的定義平面內(nèi)與一個定點F和一條定直線的距離相等的點的軌跡叫做拋物線，定點F叫做拋物線的焦點，定直線叫做拋物線的準(zhǔn)線.注意：若在定義中有，則動點的軌跡為的垂線，垂足為點F.【知識點2】拋物線的方程、圖形及性質(zhì)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程有4種形式：，，，.其中一次項與對稱軸一致，一次項系數(shù)的符號決定開口方向.標(biāo)準(zhǔn)方程圖形對稱軸軸軸頂點原點（0，0）焦點坐標(biāo)準(zhǔn)線方程【知識點3】拋物線中常用結(jié)論點與拋物線的關(guān)系P在拋物線內(nèi)（含焦點）.P在拋物線上.P在拋物線外.焦半徑拋物線上點與焦點F的距離稱為焦半徑.焦點弦過焦點的直線與拋物線交于，兩點，則AB就是拋物線的焦點弦.；（2）；（3）焦點弦長公式1：；焦點弦長公式2：（為直線AB與對稱軸的夾角）.（4）（為直線AB與對稱軸的夾角）.拋物線的弦若AB是拋物線的任一條弦，，，弦AB的中點，則弦長公式：；；直線AB方程：題型一：拋物線的定義與標(biāo)準(zhǔn)方程【例1】若點P到直線x=—1的距離比它到點（2，0）的距離小1，則點P的軌跡為（ ）圓 B.橢圓 C.雙曲線 D.拋物線【變式1】動點M到點F（2，l）的距離和到直線的距離相等，則動點M的軌跡為（ ）拋物線 B.直線 C.線段 D.射線【例2】已知拋物線的準(zhǔn)線與圓相切，則的值為（ ）B.1 C.2 D.4【變式1】設(shè)拋物線的頂點在原點，準(zhǔn)線方程為x=—2，則拋物線的方程是（）B. C. D.【例3】設(shè)拋物線上一點P到軸的距離是4，則點P到拋物線焦點的距離是（ ）A.4 B.6 C.8 D.12 【變式1】已知拋物線關(guān)于軸對稱，它的頂點在坐標(biāo)原點0，并且經(jīng)過點M（M到該拋物線焦點的距離為3，則=_________.【變式2】設(shè)F為拋物線的焦點，A，B，C為該拋物線上三點.若,則（）A.9 B.6 C.4 D.3【例4】過拋物線的焦點F作傾斜角為60°的直線與拋物線分別交于A，B兩點（點A在x軸上方），則=___________.【變式1】已知F是拋物線C：的焦點，過點F且斜率為1的直線交C于A，B兩點.設(shè)，則與的比值等于_________.【變式2】已知點A(2，0)，拋物線C：的焦點為F，射線FA與拋物線C相交于點M，與其準(zhǔn)線相交于點N，則=（）A.2：B.1：2C.l：D.1:3【例5】已知直線和直線，拋物線上一動點P到直線和的距離之和的最小值是___________.【變式1】已知點P是拋物線上的一個動點，則點P到點M（0，2）與到該拋物線準(zhǔn)線的距離之和的最小值為___________.【變式2】已知點P在拋物線上，那么當(dāng)點P到點Q(2，一1)的距離與點P到拋物線焦點距離之和取得最小值時，點P的坐標(biāo)為（ ）AB.C.(l，2) D.(l，—2)題型二：拋物線中三角形、四邊形的面積問題【例1】在直角坐標(biāo)系中，直線過拋物線的焦點F，且與該拋物線相交于A，B兩點，其中點A在軸上方，若直線的傾斜角為60°，則的面積為_____________.【變式2】設(shè)F為拋物線C:的焦點，過F且傾斜角為30°的直線交C于A，B兩點，O為坐標(biāo)原點，則△AOB的面積為_________.【變式3】如圖所示，設(shè)拋物線的焦點為F，不經(jīng)過焦點的