上海市某中學(xué)2024-2025學(xué)年高二年級上冊期中考試數(shù)學(xué)試卷（含答案解析）

上海市延安中學(xué)2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試卷

學(xué)校:姓名：班級：考號：

一、填空題

1.若點(diǎn)Ae直線。，且直線"U平面a,則A?.（填合適的符號）

2.已知角a的兩邊和角△的兩邊分別平行且夕=60。，則戶=.

3.棱錐的高為9,底面積為162,平行于底面的截面面積為32,則截得的棱臺的高為.

4.如果三棱錐S-ABC的側(cè)棱與底面所成角都相等，頂點(diǎn)S在底面的射影。在VABC內(nèi)，

那么。是VABC的心.

5.已知圓柱的側(cè)面展開圖是一個(gè)邊長為4的正方形，則該圓柱的表面積是.

6.如圖，在長方體A8CZ）-4耳。|2中，AB=8,=6,則棱片￡與平面ABCQ的距離

為________.

7.在長方體ABCD-A4G2中，BD=2CD=2AAi,則直線BC；與直線BQ所成角的余弦

值為.

,、2

8.在各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列｛%｝中，前〃項(xiàng)和為S“，滿足，圾S“=了,那么的取值范

圍是__?

9.在平面上畫，條直線，假設(shè)其中任意2條直線都相交，且任意3條直線都不共點(diǎn)，設(shè)左條

直線將平面分成了/（幻個(gè)區(qū)域，那么左+1條直線可把平面分成/（左）+個(gè)區(qū)域.

10.己知VABC用斜二測畫法畫出的直觀圖是邊長為1的正三角形AAB'C'（如圖），則VABC

中邊長與AABC的邊長相等的邊上的高為

VA'B'x'

11.已知在直三棱柱ABC-A4G中，底面為直角三角形，ZACB=90°,AC=6,

BC=CC1=O,尸是BG上一動(dòng)點(diǎn)，則CP+PA的最小值為

12.已知兩個(gè)等比數(shù)列｛〃“｝,但｝滿足q=a（a＞。），々-%=1,b2-a2=2,4-%=3.若

數(shù)列｛%｝唯一，則“=.

二、單選題

13.以下命題中真命題的是（）.

A.所有側(cè)面都是矩形的棱柱是長方體B.有兩個(gè)相鄰的側(cè)面是矩形的棱柱是直棱柱

C.側(cè)棱垂直底面兩條棱的棱柱是直棱柱D.各側(cè)面都是全等的矩形的直棱柱是正棱柱

14.4、4是空間兩條直線，a是平面，以下結(jié)論正確的是（）.

A.如果4〃a,4〃則一定有4〃丸

B.如果/1_LL/2,則一定有4_La.

C.如果/[I*4，。，則一定有4〃a.

D.如果4,a,乙〃則一定有

15.如圖，正方體ABCD-A瓦G2中，八。、尺5分別為棱4&3。、3穌。）的中點(diǎn)，連接

A8耳。，對空間任意兩點(diǎn)M、N,若線段MN與線段4$瓦。都不相交，則稱M、N兩點(diǎn)可

視，下列選項(xiàng)中與點(diǎn)，可視的為（）

試卷第2頁，共4頁

16.意大利數(shù)學(xué)家斐波那契以兔子繁殖為例，引入“兔子數(shù)列”：1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,...,

即4=%=1,an=加+%_2(〃23,〃eN),此數(shù)列在現(xiàn)代物理“準(zhǔn)晶體結(jié)構(gòu)”、化學(xué)等領(lǐng)域都

有著廣泛的應(yīng)用.若此數(shù)列被2除后的余數(shù)構(gòu)成一個(gè)新數(shù)列｛%｝,則數(shù)列｛%｝的前2026項(xiàng)的

和為()

A.1350B.676C.1351D.1352

三、解答題

17.已知等差數(shù)列｛q,｝的首項(xiàng)為q，公差為d,前〃項(xiàng)和為S".若q="=l,用數(shù)學(xué)歸納法證

明：td=S；("eN,aNl).

i=l

18.已知A是圓錐的頂點(diǎn)，2。是圓錐底面的直徑，C是底面圓周上一點(diǎn)，BD=2,BC=1,

yr

AC與底面所成的角為過點(diǎn)A作截面ABC、ACD,截去部分后的幾何體如圖.

⑴求原來圓錐的側(cè)面積；

(2)求該幾何體的體積.

19.如圖，正四面體尸-ABC中，棱長為2,的中點(diǎn)為求:

B

⑴二面角M-3C-P的大小;

(2)點(diǎn)尸到平面BMC的距離.

20.如圖，在四棱柱中，四邊形ABCZ)為直角梯形，AB//CD,AB>CD,

ZABC=90。.過點(diǎn)G作G。，平面ABCD,垂足為O,OB=OC,M是CQ的中點(diǎn).

(1)在四邊形A3CD內(nèi)，過點(diǎn)。作OE2.AD,垂足為E.

⑴求證：平面。平面AD2A；

(ii)判斷O,E,2，￡是否共面，并證明.

(2)在棱BC上是否存在一點(diǎn)N,使得AC】〃平面OMN?若存在，給出證明：若不存在，請

說明理由.

21.已知數(shù)列｛?！埃凉M足4=2,對任意正整數(shù)加、。都有4+p=%,?%.

⑴求數(shù)列｛。“｝("€2〃21)的通項(xiàng)公式。.；

⑵數(shù)列｛2｝滿足。“=含+￡+￡j+…+含(〃eN,"21),求數(shù)列｛"｝的前〃項(xiàng)和4；

⑶在⑵中的紇，設(shè)仇喙,求數(shù)列｛g｝(〃eN,〃21)中最小項(xiàng)的值.

試卷第4頁，共4頁

參考答案:

題號13141516

答案BDBC

1.e

【分析】由點(diǎn)線面的位置關(guān)系判斷即可.

【詳解】點(diǎn)Ae直線。，且直線au平面a,則

故答案為：?

2.60°或120°

【分析】由等角定理求解即可.

【詳解】角a的兩邊和角夕的兩邊分別平行且夕=60。，

由等角定理可知，￡=c或￡+a=180。，

則a=60。或120°,

故答案為：60?；?20,

3.5

【分析】設(shè)出截得的棱臺的高，利用棱錐平行于底面的截面比例關(guān)系列式求解.

【詳解】設(shè)截得的棱臺的高為”,

由棱錐被平行于底面的平面所截，截面面積與底面積的比等于截得錐體的高與原錐體高的平

方比，

得(f)2=者，解得％=5,

9lo2

所以截得的棱臺的高為5.

故答案為：5

4.外

【分析】設(shè)側(cè)棱與底面所成角為0,貝hand=2sc=tSC=《，故。4=a?=oc,從而判

OA(JBOC

斷即可.

【詳解】三棱錐S-MC的側(cè)棱與底面所成角都相等，設(shè)夾角為。,

頂點(diǎn)S在底面的射影。在VABC內(nèi),

scSOSO

所以tan6=——=

OA~OB~~OC

所以。4=QB=OC,故。是VABC的外心.

答案第1頁，共12頁

故答案為：外

5.§+16

71

【分析】根據(jù)給定條件，求出該圓柱的底面圓半徑，再求出其表面積.

【詳解】依題意，圓柱的底面圓周長為4,則半徑r=4,

71

Q

所以該圓柱的表面積5=2兀產(chǎn)+16=—+16.

71

Q

故答案為：一+16

7t

【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，由qC"/平面ABCR,所以棱BG與平面ABC。的距離即為

與到平面ABCR的距離，利用坐標(biāo)法求解點(diǎn)到平面的距離即可.

B\C\〃BC,瓦G<Z平面48c2，BCu平面ABCp,

所以4G//平面4BCA,所以用到平面AIBCDI的距離即為棱B6與平面48cA的距離,

如圖：建立空間直角坐標(biāo)系，AB=8,M=6,設(shè)AD=q,

所以A（。,0,6）,B（a,8,0）,C（0,8,0）,月（0,0,6）,耳（a,8,6）,

港=(0,8,-6),BC=(-a,0,0),

設(shè)平面A8CA的法向量為沆=（x,y,z）,

fn-AB=0[8y—6z=0人

則i故<八，貝!J%=0,令y=6,z=8,

m-BC=Q-ax=0

故用=(O,6,8),函=(0,0,6),

\m-BB,AQoj

所以用到平面48c2的距離為：=J=多

|m|J36+645

答案第2頁，共12頁

故答案為：~

3

7.-/0.75

4

【分析】根據(jù)異面直線所成角的定義可得NDBG或其補(bǔ)角即為所求的角，再由余弦定理計(jì)

算可得結(jié)果.

【詳解】如圖所示：

不妨設(shè)BD=2CD=2AAI=2,則由長方體性質(zhì)可得BC=6,

易知直線BC,與直線BR所成的角即為直線與直線班）所成的角，即為/DBG或其補(bǔ)角;

在ABOG中，可得BD=2,Bq=2,CQ=拒,

BD°+CB-Cp24+4-23

由余弦定理可知cosZDBQ

2xBDxC]B2x2x24

3

故答案為：—

4

8.（0,72）

【分析】利用等比數(shù)列前〃項(xiàng)和的極限，得到關(guān)于q的代數(shù)式，進(jìn)而求得4的取值范圍.

【詳解】各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列｛5｝中，設(shè)其公比為q,首項(xiàng)為q,

則limSn=-^-,0<q<l,

n->+ooi-q

則言=則丁=在（j），

由。<q<l,可得。0<2（1-（7）<2,

則則q的取值范圍是

故答案為：倒，后）

9.k+1/l+k

答案第3頁，共12頁

【分析】根據(jù)題意，依次分析/⑴J(2)"(3)"(4)J(5)的值，由此類推，歸納可得答案.

【詳解】1條直線把平面分成2個(gè)區(qū)域，2條直線把平面分成2+2=4個(gè)區(qū)域，則有

/(2)=/(1)+2,

同理，3條直線把平面分成2+2+3=7個(gè)區(qū)域，則有/(3)=/(2)+3,

4條直線把平面分成2+2+3+4=11個(gè)區(qū)域，則有/(4)=/(3)+4,

5條直線把平面分成2+2+3+4+5=16個(gè)區(qū)域，則有，(5)=/(4)+5,

依次類推，第左+1條直線與前左條直線都相交，

則第％+1條直線有上個(gè)交點(diǎn)，被分為人+1段，每段都會把對應(yīng)的平面分為兩部分，

則增加了％+1個(gè)平面，即f(k+1)=f(k)+k+\.

【分析】由斜二測畫法的特點(diǎn)可知平行于x軸的邊長不變，在直觀圖中由正弦定理求出0，C,

然后求出原圖中OC的長度即可求解.

【詳解】由于VA3C用斜二測畫法畫出的直觀圖是邊長為1的正三角形A/V夕C',

則VABC中邊長與AA'B'C'的邊長相等的邊為AB=AB，

在AO'AC'中AC'=1,ZA'O'C'=45°,NC'A'B'=60°,

C'O'A'C

所以NCWO,=120。，由正弦定理得:

sinZCA'O'sinNC'O'A

息

所以。，。=擊=乎，所以原圖VA3C中A8邊上的高為：oc=2x】f=后,

故答案為：瓜.

11.5后

答案第4頁，共12頁

【分析】把面AGB沿展開與△CBG在一個(gè)平面上如圖，連接AC,則AC的長度即為

CP+PA的最小值，求解即可.

【詳解】由題意知，尸4在幾何體內(nèi)部，但在面AC出內(nèi)，

把面AGB沿2G展開與△CBG在一個(gè)平面上如圖，連接AC,

因?yàn)樵谥比庵鵄BC-A用G中，。6，平面4片6，

而AGu平面44G，則AG1CG，

因?yàn)閆ACB=90°,則NAG耳=90°,即AQ1BXC1,

又CC[c4cl=Cl,CCi,BlClu平面BBgC,則AlCl-L平面BBgC,

而8C|U平面BBCC，所以AG^BG，即/ACI8=90。，

因?yàn)?C=CC]=J^,易知CC]_LBC,所以/。。建=45。

所以NCGA=45°+90°=135°,

而AG=6,cq=72,

22

所以在ACQAI中，AC=AG+CC^-2AiC1CCIcos135°=50,

所以AC=50,即CP+尸4的最小值為50.

故答案為：50.

12.-

3

【分析】設(shè)等比數(shù)列｛%｝的公比為4（4彳0）,依題意可得a/-4aq+3a-l=0,且

2

A=4a+4a>0,由于數(shù)列｛%｝唯一，則公比q的值只能有一個(gè)，故方程必有一解為0,代

入方程即可求解參數(shù).

答案第5頁，共12頁

【詳解】設(shè)等比數(shù)列｛%｝的公比為4（qH。），???o1=a（a>。），

1

“一%=1,b2—a2=2,4一。3=3,.?.b]=l+a,b2=2+aq,Z?3=3+aq.

?/bx,b2,4成等比數(shù)列，.?.（2+aq）2=（l+G（3+aq2）,

整理得。陵一4政+3。-1=o.：a>o,A=4tz2+4o>0,

???關(guān)于公比4的方程有兩個(gè)不同的根，且兩根之和為4,兩根之積為3-工.

a

又?jǐn)?shù)列｛4｝唯一，公比q的值只能有一個(gè)，故這兩個(gè)q的值必須有一個(gè)不滿足條件.

:公比q的值不可能等于0,

方程aq?-4aq+3a-l=。必有一根為0,把4=。代入此方程，解得

故答案為：—

13.B

【分析】利用長方體、直棱柱、正四棱柱的定義，對各個(gè)選項(xiàng)逐一分析判斷，即可求解.

【詳解】對于A,直棱柱的側(cè)面都是矩形，但不一定是長方體，

如直三棱柱，故A不正確，

對于B,有兩個(gè)相鄰側(cè)面是矩形，則利用線面垂直的判定定理證明出側(cè)棱垂直于底面，則該

四棱柱是直棱柱，故B正確，

對于C,斜四棱柱可以滿足側(cè)棱垂直底面兩條棱，但不是直棱柱，故C不正確；

對于D,底面是菱形的直棱柱，滿足底面四條邊相等，各側(cè)面都是全等的矩形，

但不是正四棱柱，故D不正確.

故選：B.

14.D

【分析】由空間中直線與直線、直線與平面、平面與平面的關(guān)系逐一核對四個(gè)選項(xiàng)得答案.

【詳解】對于A,若4〃a,L〃a,則有4〃4或4與相交或4與,2異面，故A錯(cuò)誤；

對于B、C,如果L,a，則有4〃a或4ua,故B、C錯(cuò)誤；

對于D,如果《_La,則4垂直a內(nèi)的所有直線，又“〃1，則過4與a相交的平面交。于a,

則4〃a,六4_L4，故D正確.

故選：D.

答案第6頁，共12頁

15.B

【分析】根據(jù)異面直線的定義判斷即可.

【詳解】A選項(xiàng)：四邊形ARSP是平行四邊形，AS與2P相交，故A錯(cuò)；

C選項(xiàng)：四邊形。田2。是平行四邊形，RR與。片相交，故c錯(cuò)；

D選項(xiàng)：四邊形。耳網(wǎng)＞是平行四邊形，與。耳相交，故D錯(cuò)；

利用排除法可得選項(xiàng)B正確.

故選：B.

16.C

【分析】依據(jù)斐波那契數(shù)列性質(zhì)得出數(shù)列中數(shù)字規(guī)律即可求得新數(shù)列｛與｝的規(guī)律，再利用數(shù)

列的周期性即可得結(jié)果.

【詳解】根據(jù)斐波那契數(shù)列性質(zhì)可得｛即｝中的數(shù)字呈現(xiàn)出奇數(shù)、奇數(shù)、偶數(shù)循環(huán)的規(guī)律，

因此新數(shù)列仍“｝即為按照1,1，。成周期出現(xiàn)的數(shù)列，周期為3,

易知2026=675x3+1,一個(gè)周期內(nèi)的三個(gè)數(shù)字之和為2；

所以數(shù)歹式6?｝的前2026項(xiàng)的和為675x2+1=1351.

故選：C

17.證明見解析.

【分析】根據(jù)給定條件，求出等差數(shù)列｛冊｝的通項(xiàng)前”項(xiàng)和為S“，再利用數(shù)學(xué)歸納法證

明.

【詳解】等差數(shù)列｛即｝中，an=al+(n-l)d=n,$“=幽歲="D，

當(dāng)〃=1時(shí)，s；=i,原等式成立；

假設(shè)當(dāng)〃=%(4eN*)時(shí)，原等式成立，即￡＞：=瞪,巧3=["與，

z=lz=l2

貝IJS=￡媛+嬉1=R+a+1)3=產(chǎn)“++伏+I)3

z=lz=l2

=『?9+4(*+1)卜亨Q+2『=S3

即當(dāng)〃=左+1時(shí)，原等式成立，

所以對一切〃eN*,等式成立.

?=1

18.(1)2〃；

答案第7頁，共12頁

c、3+島

\Z7--------------------*

6

【分析】⑴設(shè)8。的中點(diǎn)為。，連結(jié)OC,則Q4L平面BCD,求出圓錐母線長度即能

求出圓錐側(cè)面積.

(2)該幾何體的體積V=1(SABCD+S￥B).AO,由此能求出結(jié)果.

【詳解】(1)如圖，設(shè)8。的中點(diǎn)為0,連接Q4、OC,

?.?A是圓錐的頂點(diǎn)，8。是圓錐底面的直徑，

.?.Q1_L平面BCD.

JI

?;BD=2,BC=1,AC與底面所成角的大小為

...在Rt^AOC中，0c=1,ZAC0=1,AC=2,AO=j3,

2

???圓錐側(cè)面積為：7ir-AC=7TX-x2=27T；

2

(2)該幾何體為三棱錐與半個(gè)圓錐的組合體，

AO=6,/BCD=90。,

CD-,

該幾何體的體積v=；(4BS+S半圓)-AO=；xx1X道+胃］X石=北咨.

JJX.乙乙J\J

19.(l)arcsin^-

3

(2)1

【分析】(1)取BC的中點(diǎn)0,連接易證得PAL平面BMC,OMLBC,OP±BC,

則NP0M即為二面角M-3C-P的平面角，再解Rb尸0W即可；

(2)由尸加，平面3MC,可得線段的長度即為點(diǎn)P到平面3MC的距離，即可得解.

【詳解】(1)取BC的中點(diǎn)。，連接。W,OP,

在正四面體尸-ABC中，叢的中點(diǎn)為M,

答案第8頁，共12頁

則BM_LPA,CM±PA,BM=CM=y/3,

因?yàn)椤锽C的中點(diǎn)，所以

所以/POM即為二面角河-3。-尸的平面角，

因?yàn)閏CM=M,CMu平面BMC,

所以PA_L平面BMC,

又。Wu平面BMC,所以尸AJLOM,

在Rt△尸中，PM=1,OP<,則$出/尸0知=叫=定

OP3

所以二面角M-3C-P的大小為arcsin;

(2)由(1)知PM_L平面BMC,

所以線段尸河的長度即為點(diǎn)P到平面3MC的距離，

所以點(diǎn)P到平面BMC的距離為1.

20.(1)(i)證明見解析；(ii)不共面，證明見解析

(2)存在，證明見解析

【分析】(1)(i)由線面垂直的性質(zhì)可得GO，AD,然后由面面垂直的判定可證，(ii)利

用反證法，假設(shè)不共面，利用面面平行的性質(zhì)推出矛盾，進(jìn)而得到結(jié)論正確；

(2)利用面面平行的判定可得平面OMN〃平面ABG，然后利用線面平行的定義得證.

【詳解】(1)(i)由CQ_L平面ABCO,ADu平面ABC。，則G。，AD，

又OE_LAD,OEQOCX=O,。瓦。6<=平面?！?；6，則ADJL平面。EG，

因?yàn)?>u平面AD2A，所以平面?！?，平面4。24；

答案第9頁，共12頁

(ii)o,>q，G不共面,

假設(shè)o,及2,G共面于a,

由四棱柱ABC。-A瓦C［。］,得平面ABCD〃平面，

又平面ABCDcar=OE,平面ABiGRca=G。，所以。￡//(7］，，

又CD〃G2，所以O(shè)E//C。，又OE1.AD,即CD_LAD,

又NABC=90。，且ZADC=90°,ABI/CD,

從而四邊形ABC。為矩形，與AB>CD矛盾！

所以O(shè),E,，，G不共面；

(2)取BC的中點(diǎn)N,連接CO并延長交48于P,

因?yàn)镹ABC=90。，OB=OC,所以。為CP的中點(diǎn)，ON//AB,

因?yàn)镺N<Z平面ABC1，ASu平面ABC，所以O(shè)N〃平面ABC一

由“是CG的中點(diǎn)，MN/ABC”MN<z平面ABC-BQu平面ABC1，

所以肱V〃平面ABC1，

因?yàn)镺NcMN=N,ON,MNu平面OMN,所以平面OMV〃平面4BG,

因?yàn)锳Gu平面ABC一所以AC"/平面OMN.

21.⑴=2"(〃eN,〃21)

94

⑵4=-x4n+2,,+j(?eN,H>l).

(3)3

【分析】(1)直接給加，“賦值得到一個(gè)等比數(shù)列的關(guān)系式，求出｛廝｝的通項(xiàng);

(2)通過和前