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認(rèn)證類型：個人認(rèn)證

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第24講數(shù)列的概念

（9類核心考點精講精練）

考情探究?

1.5年真題考點分布

5年考情

考題示例考點分析

2024年天津卷，第19題,15由遞推數(shù)列研究數(shù)列的有關(guān)性質(zhì)等比數(shù)列通項公式的基本量計算求等

分比數(shù)列前n項和裂項相消法求前n項和

2023年天津卷，第19題,15等差數(shù)列與等比數(shù)列綜合應(yīng)用等差數(shù)列通項公式的基本量計算求等差

分?jǐn)?shù)列前n項和寫出等比數(shù)列的通項公式

2023年天津卷，第5題,5等比數(shù)列通項公式的基本量計算利用等比數(shù)列的通項公式求數(shù)列中的項

2022年天津卷，第18題,15等差數(shù)列通項公式的基本量計算等比數(shù)列通項公式的基本量計算錯位

分相減法求和分組（并項）法求和

2021年天津卷，第19題,15等差數(shù)列前n項和的基本量計算由定義判定等比數(shù)列錯位相減法求和

分?jǐn)?shù)列不等式恒成立問題

2020年天津卷，第19題,15等差數(shù)列通項公式的基本量計算求等差數(shù)列前n項和等比數(shù)列通項公

分式的基本量計算分組（并項）法求和

2.命題規(guī)律及備考策略

【命題規(guī)律】本節(jié)內(nèi)容是天津高考卷的必考內(nèi)容，設(shè)題穩(wěn)定，難度較高，分值為15分

【備考策略】L理解、掌握數(shù)列的概念

2.能掌握數(shù)列的通項公式與遞推公式

3.具備數(shù)形類比遞推的思想意識，會借助函數(shù)求解數(shù)列的最值與單調(diào)性

4.會解數(shù)列中的規(guī)律問題

【命題預(yù)測】本節(jié)內(nèi)容是天津高考卷的必考內(nèi)容，一般給出數(shù)列求解數(shù)列的通項公式與求和問題。

?考點梳理，

1

1.數(shù)列

2.數(shù)列的項考點一、數(shù)列的周期性

r知識點一.數(shù)列的有關(guān)概念13.日?今日，考點二、數(shù)列的單調(diào)性

4.遞推公式考點三、數(shù)列的最值

5.數(shù)列的前項和

考點四、與的關(guān)系求通項公式

1.項數(shù)

考點五、累加法求通項公式

知識點二.數(shù)列的分類2.項與項間的大小關(guān)系

考點六、累乘法求通項公式

數(shù)列的概念

考點七、數(shù)列恒成立

知識點三.數(shù)列與函數(shù)的關(guān)系考點八、遞推數(shù)列問題

考點九、數(shù)列中的規(guī)律

知識點四.數(shù)列常用的結(jié)論

知識點五.數(shù)列的兩種常用表示方法

知識講解

知識點一.數(shù)列的有關(guān)概念

1.數(shù)列：按照確定的順序排列的一列數(shù)

2.數(shù)列的項：數(shù)列中的每一個數(shù)

3.通項公式：如果數(shù)列｛an｝的第n項“與它的序號"之間的對應(yīng)關(guān)系可以用一個式子來表示，那么這個式子

叫做這個數(shù)列的通項公式

4.遞推公式：如果一個數(shù)列的相鄰兩項或多項之間的關(guān)系可以用一個式子來表示，那么這個式子叫做這個

數(shù)列的遞推公式

5.數(shù)列｛冊｝的前n項和：把數(shù)列｛an｝從第1項起到第?1項止的各項之和，稱為數(shù)列｛冊｝的前n項和，記作Sn,

即=a1+a2+…+期

知識點二.數(shù)列的分類

1.項數(shù)：

（1）有窮數(shù)列：項數(shù)有限

（2）無窮數(shù)列：項數(shù)無限

2.項與項間的大小關(guān)系：

（1）遞增數(shù)列：an+l>a?

（2）遞減數(shù)列：a?+l<an

（3）常數(shù)列：an+i=a?

（4）擺動數(shù)列：從第二項起，有些項大于它的前一項，有些項小于它的前一項的數(shù)列（其中-GN*）

2

知識點三.數(shù)列與函數(shù)的關(guān)系

數(shù)列｛斯｝是從正整數(shù)集N*（或它的有限子集｛1,2,…，成）到實數(shù)集R的函數(shù)，其自變量是序號小對應(yīng)的函

數(shù)值是數(shù)列的第〃項即，記為。

知識點四.數(shù)列常用的結(jié)論

1.已知數(shù)列｛。力的前"項和S”則％=%9

2.在數(shù)列｛斯｝中，若斯最大，貝吧咤?T（?>2,"CN*）；若斯最小，則伊亍丁-1（立2,4*）.

知識點五.數(shù)列的兩種常用表示方法

（1）通項公式：如果數(shù)列｛%｝的第〃項與序號〃之間的關(guān)系可以用一個式子來表示，那么這個公式叫做這

個數(shù)列的通項公式.

（2）遞推公式：如果已知數(shù)列｛凡｝的第1項（或前幾項），且從第二項（或某一項）開始的任一項與它的

前一項（或前幾項）間的關(guān)系可以用一個公式來表示，那么這個公式就叫做這個數(shù)列的遞推公式.

考點一、數(shù)列的周期性

典例引領(lǐng)

1.（?湖南?高考真題）已知數(shù)列｛a/滿足臼=0,即+1=*占56%+）,貝必2°=（

vJ十*1*

B.—V3

C.V3

【答案】B

【分析】計算出｛時｝的前四項的值，可得出％計3=即伽€2+）,由此可求得。20的值.

【詳解】因為數(shù)列｛a/滿足的=0,冊+1=氤號56%+）,02=居滯=—如，

GN+，a,@3x6+2=aV3.

由上可知，對任意的九an+3=n???a20=2=一

故選：B.

2.（2024?陜西安康?模擬預(yù)測）在數(shù)列｛an｝中，an>0,%=lfa2=V2,若對VneN*,*+a1+1+a^+2=10,

則。2024=（）

A.V2B.1C.V3D.V5

【答案】A

【分析】根據(jù)遞推公式得出Qn+3=。九，進(jìn)而。2024=。2021=…=牝=魚即可.

【詳解】由成+1+碌+2+碎+3=1。與成+an+l+an+2=1。相減得：碎+3-碎=。，

af

即（t1n+3—。九）（。九+3+。九）=0'又口九>故%i+3=n所以。2024=。2021=…=。2=^2.

故選：A.

即0睜（

+i—

1.（2024?河北?模擬預(yù)測）已知首項為2的數(shù)列｛an｝滿足4c1n5an+1an-2an=2,當(dāng)｛%｝的前n項和S“>16

時，貝仙的最小值為（）

A.40B.41C.42D.43

【答案】B

S414）+

【分析】通過計算得到｛an｝為一個周期為4的數(shù)列，從而計算出=10（%++。2=17,得

到答案.

【詳解】由題意得ai=2,4a2-5a2al-2al=2,解得a2=-1，

2—

同理4a3-5a3a2a2=2,解得a3=0,

4a4—5a4a3—2a3=2,解得以=

4。5—5a5a4—2a4=2,解得G5=2,

234=

故｛an｝為一個周期為4的數(shù)列,且由+。+。+。2-1+0+；=|,

故S40=10（Q]++。3+。4）=15,S41=10（（1]+CL?+。3+。4）+2=17,

故n的最小值為41.

故選：B

2.（2024?山東濟寧?三模）已知數(shù)列｛a九｝中，=2,牝=1，冊+i=冊一。九-1（九22,n6N*）,則02024=

（）

A.-2B.-1C.1D.2

【答案】C

【分析】利用數(shù)列的遞推公式求出數(shù)列的周期，即可求解.

【詳解】由的=2,做=La?i+i=—口九―1（九之2,九eN*）,導(dǎo)

口3=020]=1，

02=2，

—a3=_1，

@6=^5-。4=1，

電二06-05=2,

CLQ=Q7~1，

則｛“｝是以6為周期的周期數(shù)列,

所以。2024=0337x6+2==1?

故選：C

4

3.（2024?陜西榆林?三模）現(xiàn)有甲乙丙丁戊五位同學(xué)進(jìn)行循環(huán)報數(shù)游戲，從甲開始依次進(jìn)行，當(dāng)甲報出1,

乙報出2后，之后每個人報出的數(shù)都是前兩位同學(xué)所報數(shù)的乘積的個位數(shù)字，則第2024個被報出的數(shù)應(yīng)該

為（）

A.2B.4C.6D.8

【答案】A

【分析】列舉出部分?jǐn)?shù)字觀察其周期即可得解.

【詳解】報出的數(shù)字依次是1,2,2,4,8,2,6,2,2,4,8,2,6…，除了首項以外是個周期為6的周期數(shù)列.

去掉首項后的新數(shù)列第一項為2,

因為2023=337x6+1,所以原數(shù)列第2024個被報出的數(shù)應(yīng)該為2.

故選：A.

4.（2024?遼寧?模擬預(yù)測）數(shù)列｛a｝中，的=4,a=3,a=-^-（nEN*,n>2）,貝Uaiooo的值為（）

n2;l+1an-l

134

A.-B.-C.3D.-

443

【答案】A

【分析】根據(jù)遞推公式代入檢驗可知數(shù)列｛冊｝是以6為周期的周期數(shù)列，結(jié)合周期性分析求解即可.

【詳解】因為⑥=4,a=3,a=-^-（nGN*,n>2）,

2n+1an—l

令n=2,可得的=也=3；令九=3,可得。4=%=工；

ai4。24

令幾=4,可得的二里=［；令幾=5,可得即=生=［；

令n=6,可得。7=曳=4；令72=7,可得他="=3；

a6

可知數(shù)列｛冊｝是以6為周期的周期數(shù)列，

所以。1000=0166x6+4=^4=［?

故選：A.

考點二、數(shù)列的單調(diào)性

典例引領(lǐng)

1.（2024?貴州?模擬預(yù)測）已知數(shù)列｛冊｝滿足冊=空尸（卜eR）,貝1J“數(shù)列｛冊｝是遞增數(shù)列”的充要條件是（）

A.fc<0B.k<1C.fc>0D.fc>1

【答案】B

【分析】根據(jù)條件，利用遞增數(shù)列滿足與+i>冊，即可求解.

【詳解】因為“="F（keR）,所以與+i—冊=答—史尸=工

由即+i—詼=肅含>0,得到k<1,所以“數(shù)列｛即｝是遞增數(shù)歹（J”的充要條件是k<1,

5

故選：B.

2.(2024?天津南開?二模)設(shè)數(shù)列｛an｝的通項公式為時二層+6九，若數(shù)列｛冊｝是單調(diào)遞增數(shù)列，則實數(shù)b的

取值范圍為().

A.(—3,+8)B.(—2,+oo)C.[-2,+oo)D.[—3,+8)

【答案】A

【分析】由遞增數(shù)列定義可得冊+i-冊>0,代入計算即可得解.

22

【詳解】由題意可得an+i—Qn>0恒成立，即(幾4-1)+b(n4-1)—n—bn=2n+1+/?>0,

即b>—2n—1,又?！>1,—2n—1<—3,故bG(—3,+oo).

故選：A.

即時檢測

.____________

1.(2024?北京西城?三模)對于無窮數(shù)列｛oj,定義dn=an+1-anCn=1,2,3,-),則“｛an｝為遞增數(shù)列”是“｛dn｝

為遞增數(shù)列，，的()

A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】D

【分析】由遞增數(shù)列的性質(zhì)，分別判斷充分性和必要性即可.

【詳解】｛七｝為遞增數(shù)列時，有%=an+1-an>0,不能得到｛%｝為遞增數(shù)列，充分性不成立；

｛〃｝為遞增數(shù)列時，不一定有〃>0,即不能得到｛冊｝為遞增數(shù)列，必要性不成立.

所以“｛與｝為遞增數(shù)列”是“｛%｝為遞增數(shù)列”的既不充分也不必要條件.

故選：D.

2.(2024?江西?模擬預(yù)測)已知數(shù)列｛冊｝滿足冊=n-a(aeR),則“a。律是｛|叫｝是遞增數(shù)列的()

A.必要不充分條件B.充分不必要條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】B

【分析】根據(jù)充分條件、必要條件的定義判斷即可.

【詳解】當(dāng)aW1時an=n-a20,貝4冊|=\n-a\=n-a,

所以1%+/-=兀+1-a—5—a)=l>。，即1斯+11>1叫，所以｛|冊|｝是遞增數(shù)列，故充分性成立；

UIri(-,n=1

4

當(dāng)a=1時|距|=,一T=<5,則|a/<㈤<同<…，所以｛1怎1｝是遞增數(shù)列，

(一,心2

所以當(dāng)數(shù)列｛|%J｝是遞增數(shù)列，a可以大于1,所以必要性不成立，

所以“a<1”是｛|%1｝是遞增數(shù)列的充分不必要條件.

故選：B

3.(2024?四川雅安?模擬預(yù)測)已知數(shù)列｛“｝滿足an+2=3冊+i-2an,的=九a2=2,｛an｝單調(diào)遞增,則4

6

的取值范圍為

【答案】(一8,2)

【分析】根據(jù)即+2=3an+1-2冊可得冊+2-an+1=2(an+1-an),再結(jié)合｛an｝單調(diào)遞增以及等比數(shù)列定義

可求出冊+1-％，則由an+i-%,>0即可得解.

【詳解】因為冊+2=3ctn+i—2dn,所以Cln+2-^n+1=2(。元+1—冊)，

又因為｛%｝單調(diào)遞增，所以Cln+1—與>0,

所以數(shù)列｛須+1一冊｝是以。2-即=2-4為首項，2為公比的等比數(shù)列，

n-1

所以0n+1—(1n=(2—A)-2,

所以(2-QOnT>0即2—/l>0n2<2,

則4的取值范圍為(—8,2),

故答案為：(-8,2).

4.(2024?河南信陽?模擬預(yù)測)在數(shù)列｛%｝中，方=號2an+1=an+n+2.

(1)記勾=冊一%證明：｛0｝為等比數(shù)列；

(2)記Sn為｛冊｝的前幾項和，若囚+春+詞是遞增數(shù)列，求實數(shù)4的取值范圍.

【答案】(1)證明見詳解

(2)(-2,+oo)

【分析】(1)根據(jù)遞推公式結(jié)合等比數(shù)列定義分析證明；

(2)由(1)可得a”=n+去，進(jìn)而可得Sn+￡+"=*+g(24+l)n+1,結(jié)合二次函數(shù)性質(zhì)分析求解.

【詳解】(1)因為2冊+1=(1rl+71+2,即％+1=—<xn+-?!.+1,

則瓦=%_1=工力0,且皿=—+1)=皿他一空=hzh」,

n

2bnan~an-nan—n2

所以數(shù)列｛g｝是以首項為右公比為T的等比數(shù)列.

⑵由⑴可知：6?=期一n=10=濡,即％1=幾+5，

所以S”=&+鄉(xiāng)+卜+—+-+(n+3=(1+2+-+n)+G+,+???+—

n(n+l),IMI)]_12,1,41

H----i——-xi+-n+i——：

21-1222n

2

可知S"+親+譏="2+*24+1)71+1,

若｛Sn+卷+詞是遞增數(shù)列，結(jié)合二次函數(shù)對稱性可得-G+號<I，解得%>—2,

所以實數(shù)2的取值范圍為(-2,+8).

考點三、數(shù)列的最值

7

典例引領(lǐng)

1.(2020?北京?高考真題)在等差數(shù)列｛an｝中，的=一9,a5--1.記7n=ara2...an(n=1,2,...),則數(shù)列｛Tn｝

().

A.有最大項，有最小項B.有最大項，無最小項

C.無最大項，有最小項D.無最大項，無最小項

【答案】B

【分析】首先求得數(shù)列的通項公式，然后結(jié)合數(shù)列中各個項數(shù)的符號和大小即可確定數(shù)列中是否存在最大

項和最小項.

【詳解】由題意可知，等差數(shù)列的公差4=等苧=再=2,

則其通項公式為：an=%+(?1-l)d=—9+(71—1)x2=2Tl—11j

注意到句<a2<a3<a4<a5<0<a6=1<a7<…，

且由75<0可知<0(i>6jGN),

由4=ai>l(i>7,ieN)可知數(shù)列｛T力不存在最小項，

1i-1

111d]=9,a2=7,=5,CZ4=3,々5=1,口6=]，

故數(shù)列｛〃｝中的正項只有有限項：72=63,74=63X15=945.

故數(shù)列｛〃｝中存在最大項，且最大項為

故選：B.

【點睛】本題主要考查等差數(shù)列的通項公式，等差數(shù)列中項的符號問題，分類討論的數(shù)學(xué)思想等知識，屬

于中等題.

2.(?遼寧?高考真題)已知數(shù)列&｝滿足的=33,an+i—冊=2底吟的最小值為.

【答案】g

【分析】先利用累加法求出an=33+n2-n,所以生=9+九一1,設(shè)f(n)=史+九一1,由此能導(dǎo)出n=5

nnn

或6時f(n)有最小值.借此能得到電的最小值.

n

【詳解】解：,**an+1-an=2n,當(dāng)n>2時，an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+...+(a2-al)+al=

2[l+2+...+(n-1)]+33=n2-n+33

且對n=l也適合，所以an=n2-n+33.

從而&=^+n—1

nn

設(shè)f(n)=-+n-l,令f(n)=亨+1>0,

ny\r

則f(n)在(而，+8)上是單調(diào)遞增，在(0,而)上是遞減的，

因為nWN+,所以當(dāng)n=5或6時f(n)有最小值.

8

所以您的最小值為等=3

n62

故答案為y

【點睛】本題考查了利用遞推公式求數(shù)列的通項公式，考查了累加法.還考查函數(shù)的思想，構(gòu)造函數(shù)利用

導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性.

(_____即__時__檢__測___

1.(24-25高三上?江蘇南通?階段練習(xí))在遞增數(shù)列｛冊｝中，sin(a)=cos(a).已知S表示

6nn+1n

前n項和的最小值，則sin(S9)=()

A.-B.—C.--D.

2222

【答案】c

【分析】由題意依次確定數(shù)列的前9項的值，結(jié)合三角函數(shù)誘導(dǎo)公式，即可得答案.

【詳解】由題意在遞增數(shù)列｛a｝中，-psin(a)=cos(a),

n6nn+1

則cos(an+1)=sin(an),故cos(a2)=siM%)=

則。2=|+2kn,kEZ或也=y+2憶兀,fcGZ,結(jié)合題意取做=j?

又cos(a)=sin(a)=—,則的=-+2攵兀,fcGZ或的=—+2k7i,/cGZ,

32266

結(jié)合題意取的=￥；

同理cos(a4)=sin(a3)=—則4=y+2kji,fcGZ或4=y+2kn,kEZ,

結(jié)合題意取。4=日+2兀，

CTI

同理cos(a5)=sin(a4)=烏則。5=7+2k兀,kEZ或恁=—+2/,fcGZ,

266

結(jié)合題意取=4+2兀，

同理cos(a6)=sin(a5)=—則即=y+2k兀,k6Z或他=y+2kn,kGZ,

結(jié)合題意取。6="+4兀，同理可得即=+4兀，他="+6兀，的=+6兀，

3636

故｛%｝前9項和的最小值S9=￡+[+券+管+2兀)+(素+2兀)+d+4兀)

/II兀\/2兀\/II兀\

+島+甸+(9+6兀)+匕+6。

=—+24n,

6

可得sin(Sg)=—

故選：C

2.(24-25高三上?山西大同?期末)等比數(shù)列｛冊｝中，Sn為其前n項和,%=1,且4%,2a2,。3成等差數(shù)列，

則曰(nCN*)的最小值為()

9

4

A.-B.-D.1

29

【答案】D

【分析】先根據(jù)等差中項及等比數(shù)列得通項求出公比，再根據(jù)等比數(shù)列的前n項和公式求出SQ判斷出數(shù)列

｛,｝的單調(diào)性即可得解.

【詳解】設(shè)公比為q,

由4aL2a2,的成等差數(shù)列，得4a2=4al+a3,

又?jǐn)?shù)列｛冊｝為等比數(shù)列，所以得4。遇=4%+的/,解得q=2,

所以員=利（1一勺刀）_2J

nn(l-q)n

令6-

2n+1-l2n-l(n-l)2n+l、八

則6+i-6----------------------=------7-----7->0,

nnn+1nn(n+l)

所以數(shù)列F9｝遞增數(shù)列，

所以當(dāng)71=1時，且取得最小值1.

n

故選：D.

3.（2024?山東濟南?二模）已知｛冊｝是各項均為正整數(shù)的遞增數(shù)列，｛冊｝前n項和為端,若5?=2024,當(dāng)n

取最大值時，時的最大值為（）

A.63B.64C.71D.72

【答案】C

【分析】因為Sn=2024是定值，要使當(dāng)n取最大值時冊也取得最大值，需滿足前6（m=n—1）項是首

相為1,公差為1的等差數(shù)列，通過計算｛3?｝的前63項和與%=2024作比較，前64項和與%=2024作

比較即可得出時的最大值.

【詳解】因為％=2024是定值，要使當(dāng)n取最大值時期也取得最大值，｛冊｝需滿足各項盡可能取到最小值,

又因為｛七｝是各項均為正整數(shù)的遞增數(shù)列，所以的=1,。2=2,。3=3,…，am=m,即是首相為1,

公差為1的等差數(shù)列，其中m=1;缶眉的前小項和為7加=吟2

當(dāng)m=63時，763=63（61+1）=2016<2024；

當(dāng)m=64時，幾4=64（6；+1=2080>2024；

又因為2024-2016=8<63,

所以n的最大值為63,此時刖=1,。2=2,<13=3,…，。62=62,與取得最大值為&63=63+8=71.

故選：C.

4.（2024?天津和平?二模）已知數(shù)列｛冊｝滿足如+>2+…+京a?=MneN*）,則數(shù)列5｝的通項公式為

冊=，若數(shù)列｛冊｝的前幾項和為Sn,記Rn="C（neN*）,則數(shù)列｛&｝的最大項為第項.

%1+1

【答案】2九3

10

【分析】當(dāng)九=1時求出心,當(dāng)nN2時，3%+*。2+…+/冊-1=九一1，作差即可求出｛an｝的通項公

式，從而求出無,即可表示出治，再由基本不等式求出數(shù)列｛&｝的最大項.

【詳解】因為+…+、％=九（九€

當(dāng)n=1時，=1,解得的=2；

1-1-1

當(dāng)nN2時，5%+聲+…+才九一1=九一1，

兩式相減得/■即=1,即冊=2n（n>2）,

經(jīng)檢驗當(dāng)幾=1時冊=2rl也成立，所以冊=2n；

因為％=2%所以S.=半2=2"+1—2,

所以Rn=65：］；=65x2"+l#2Zn+l+2=55_（￡+2）g65—2J2nx詈=49,

當(dāng)且僅當(dāng)2n=矣即n=3時取等號.

所以數(shù)列｛RJ的最大項為第3項.

故答案為：2n；3.

考點四、&與%的關(guān)系求通項公式

典例引領(lǐng)

1.（2024?山東濟南?三模）若數(shù)列｛冊｝的前n項和Sn=n（n+1）,則等于（）

A.10B.11C.12D.13

【答案】C

【分析】根據(jù)時與無關(guān)系求解即可.

【詳解】0-（,=56-S5=6x7—5x6=12.

故選：C.

2.（2024?貴州遵義?二模）已知數(shù)列｛an｝的前n項和Sn=+71占1,則41+。9=（）

A.16B.17C.18D.19

【答案】D

【分析】根據(jù)給定條件，利用詼=571-5?-1，n22求出（19,即可計算即得.

【詳解】依題意，的=S1=1,。9=$9-58=（92+9-1）一（82+8-1）=18,

所以+CLg—19.

故選：D

即

11

I(2024?內(nèi)蒙古呼和浩特?二模)數(shù)列｛an｝的前n項和為,=3-2an,7ieN*,則S5=()

A.—B.—C.—D.—

81812727

【答案】B

【分析】由%,即的關(guān)系可得｛時｝是以1為首項，以9為公比的等比數(shù)列，由等比數(shù)列的求和公式即可求解.

【詳解】因為%=3-2冊，所以，nN2時，S「i=3-2味1，

兩式相減得，CLn=2%-1—2(zn,即jn>2,

因為Si=3—2的，即⑥=1,

所以數(shù)列是以1為首項，以,為公比的等比數(shù)列，

故選：B.

n+1

2.(2024高三?全國?專題練習(xí))已知數(shù)列｛%｝的前n項和為%,an+1=Sn+2,%=2,貝”八=

【答案】n-2n

【分析】根據(jù)已知式子應(yīng)用冊+i=S.+i-S”得出等差數(shù)列，最后應(yīng)用等差數(shù)列通項公式計算即可.

【詳解】因為“+1=S.+2n+1,則L+1-Sn=Sn+2n+'整理得湍—去=1,

又因為的=2,則半=1,

因此數(shù)列仔｝是首項為1,公差為1的等差數(shù)列，

則宗=1+(n—1)X1=n,

所以32n.

故答案為：n-2n.

3.(2024高三?全國?專題練習(xí))在數(shù)列｛%｝中，ai=前n項和Sn=n(2n-1)冊，則數(shù)列｛冊｝的通項公式

為_____

]

【答案】0=

n(2n-l)(2n+l)

【分析】當(dāng)九22時，由已知的等式可得S-i=(九一l)(2n—3)冊t，與已知的等式相減化簡可得q=",

an-l2九+1

然后利用累乘法可求出冊.

【詳解】由于數(shù)列｛冊｝中，的=5，前幾項和S九=九(2九一1)冊,

所以當(dāng)nN2時，Sn_r=(n-l)(2n-3)an_1,

兩式相減可得：an=n(2n-l)an-(n-l)(2n-3)an_lf

所以(?i—l)(2n—3)a九_]=(24-n—l)an.

(n—l)(2n—3)冊_i=(n—l)(2n+l)an,

所以(2幾—3)冊_i=(2n+l)an,

12

所以w=需，

所以與=%常鷺.?…公

1132n-52n-31

=-X-X-X…X-----X-----=------------,

3572n-l2n+l(2n-l)(2n+l)

-1符合上式,

1

因此“

(2n-l)(2n+l)

]

故答案為：a=

n(2n-l)(2n+l)

Sn=

4.（2024高三?全國?專題練習(xí)）已知數(shù)列｛冊｝的前幾項和為Sn,若2，T，則數(shù)列｛an｝的通項公式為

【答案】冊=2n-2

【分析】利用數(shù)列的前71項和S.與％的關(guān)系求出數(shù)列的通項；

【詳解】Sn=2-1—1

當(dāng)n=1時，a1=S]=20—[=

當(dāng)"22時，an^Sn-S—i=251-2n<=2n-2,%=[也滿足,

所以數(shù)列｛%J的通項公式為％=2n-2.

2

故答案為：an=2"-.

考點五、累加法求通項公式

典例引領(lǐng)

524=()

1.(2024?重慶?三模)已知數(shù)列｛an｝的前n項和為Sn,%=l,Sn+Sn+i=層+CN*),

A.276B.272C.268D.266

【答案】A

【分析】令？i=1得S2=1,當(dāng)n22時，結(jié)合題干作差得%+1-Sn_r=2n—1,從而利用累加法求解S24=

即可.

2

【詳解】的=Si=1,又Sn+Sn+1=n+1,

當(dāng)n=l時，Si+S2=I2+1=2,解得$2=1；

當(dāng)n22時，S「i+Sn=(n—I/+1,作差得S.+i-S「i=2n-1,

S24=(S24—S22)+(S22—S20)+…+S2=

(S4—S2)+2(23+21+???+3)—11+1=276.

故選：A

2.(2024?河北保定?三模)設(shè)｛“｝是公差為3的等差數(shù)列，且0=an+1+an,若的=1,則=()

A.21B.25C.27D.31

【答案】D

13

【分析】由0=冊+1+冊，得g+i=Q九+2+冊+1，從而可得0+1-0=冊+2-冊=3,進(jìn)而可求解.

=

【詳由=。n+1+。九，得"n+1=%i+2+。九+1，則"n+1—bn(Zn.)-2—。九=3,

從而。21=。21—。19+。19—017+…+。3—%+%=3X10+1=31.

故選：D

即時檢測

(___________________

1.(2024?陜西咸陽?三模)在數(shù)列｛冊｝中，的=1,an+1=an+2n—1,則電=()

A.43B.46C.37D.36

【答案】C

【分析】由遞推公式冊+i=an+2n-1用累加法公式冊=(an-an_^+(an_t-an_2)+…+(牝一。1)+

ar(n>2)求出冊，再求劭即可.

k

【詳解】法—：由題得冊=(un—un_|)+(冊_1—cin_2)+…+(。2—的)+的=(2n—3)+(2TI-5)+…+

、

30+?-11+?]1=-(w———l)[(2n~—~3-)~+~1]L+1=nz?—n2n+?c2(n>2),

所以劭=72-2x7+2=37.

V去—?：由=1,。九+1—。九=271—1,

所以劭=(。7—。6)+(@6—。5)+…+(@2—。1)+%=11+9+7+5+3+1+1=37.

故選：C.

2.(2024?湖南衡陽?模擬預(yù)測)已知數(shù)列｛%｝滿足：的=1,an=an_1+n(n>2),且%=看，則數(shù)列也｝

前n項的和端為()

A.S=—B.S=—C.S=—D.S=—

nn+1nn+lnn+2nn+2

【答案】B

【分析】由疊加法求出數(shù)列｛aj通項公式，再代入b?=2,求出數(shù)列｛%｝通項公式，再由列項相消法求出S..

【詳解】由冊=an_t+n(n>2)得利=4+2,a3=a2+3,匆=@3+4,…，an_i=an_2+n—1,an—

an_r+n(n>2),

曾加得冊=。1+2+3+4+...+九=l+2+3+4+…+TI=—--(jiN2),

由題可知的=1也適合上式，故%=也羅；

所以%=2=^1)=2?—京)，

)；；

則數(shù)列｛.bn｝前n項的和Sn=b]+Z2++…+bn-1+bn=2(1—+?—+?—…H——---+-—

\223s4n—1nn

總=2。磊)2n

n+l'

故選：B.

3.(2024?全國?模擬預(yù)測)已知數(shù)列｛冊｝滿足的=3,a2=15,且即+2-2an+1+0n=8,若[幻表示不超過匯

14

4034.4034..40341

的最大整數(shù)，則-------------1-----------------r???H--------------

a

的a22024-

A.2016B.2017C.4032D.4034

【答案】A

【分析】根據(jù)遞推關(guān)系可證數(shù)列｛a“+i-冊｝是等差數(shù)列，進(jìn)而利用累加法求出通項冊，再利用裂項相消法求

出幽+幽+…+幽，結(jié)合條件求得結(jié)果.

?102024

【詳解】由斯+2—2冊+1+Q九=8,可得(冊+2—an+l)—(冊+1—an)=8,又

@2-的=15-3=12,故數(shù)列｛冊+i-冊｝是以12為首項，8為公差的等差數(shù)列,

則Q九+1—CLn—12+(ri—1)x8=8九+4,4—%=8+4,%—。2=8x2+4,

。4—03=8X3+4,…,c1n—a九-1=8(71—1)+4(n22),

故當(dāng)九N2時，即-01=8+8x2+8x34---F8x(n—1)+4(n-1)=4n2—4,

2

則當(dāng)nN2時，an=4n-1,又的=3適合上式，故冊=4九2一1,nGN*,

111

2

an4n—1(2n-l)(2n+l)

40344034

---=----X

2

403440344034Ill11

------+------+…+------=2017XI1----1----=+…H-------------------------------

@2024\3352x2024-12X2024+1

=2017x(1-焉).

又2016<2017x(1—焉)<2017,故管+—+???+—]=2016.

敢O-2024-

故選：A.

4.（2024?廣東深圳?模擬預(yù)測）已知數(shù)列5｝的前n項和為分，且％=n2+3n,若首項為犧數(shù)列也｝滿足---

2%+1

1

則數(shù)列｛g｝的前2024項和為（）

?2025C2023

A.—h).---D?黑

202320242024

【答案】D

【分析】已知數(shù)列｛%J的前n項和為Sn，做差法計算數(shù)列｛%｝的通項公式，代入廠-一；=心,累加法求出

On+1bn

數(shù)列出n｝的通項公式，裂項相消即可求出數(shù)列｛b｝的前2024項和.

2

【詳解】解：Sn=n+3n,an=Sn-Sn_r=2n+2(n>2),

當(dāng)幾=1時，的=4,符合a九=2n+2,

所以數(shù)列｛冊｝的通項公式為冊=2n+2.

1111o.O

','二一鼠二冊--------=2n+2,

bn+lbn

即工」=4,

b2久

工」=6

匕3b2'

15

—=2n,又J=2,累加法可得：5="+九，

bnbnTbl