數(shù)與式（數(shù)字、圖形規(guī)律題）-2022年中考數(shù)學(xué)壓軸題分類（解析版）

專題02數(shù)與式(數(shù)字、圖形規(guī)律題)

一、單選題

1.(2019?湖南株洲?中考真題)從-1,1,2,4四個數(shù)中任取兩個不同的數(shù)(記作外,4)構(gòu)成一個數(shù)組

MK=｛ak,bk\(其中4=1,2,…,S,且將｛做,砧與他4｝視為同一個數(shù)組)，若滿足：對于任意的峪=｛4?聞

和Afj=｛q,與｝(iw都有q+b尸叫，貝!|S的最大值()

A.10B.6C.5D.4

【答案】C

【分析】

找出q+b,的值，結(jié)合對于任意的M=｛為同和Mj=,血｝(i刁,1<i<S,1W/4S)都有q+b,豐aj+b,,即可

得出S的最大值.

【解析】

解：?.?-1+1=0,-1+2=1,-1+4=3,1+2=3,1+4=5,2+4=6,

.??4+2共有5個不同的值.

又,對于任意的M=｛%,〃｝和Mj=豐j,l<i<S,1W/WS)都有4+瓦豐%+b,,

??.S的最大值為5.

故選C.

【點睛】

本題考查了規(guī)律型：數(shù)字的變化類，找出+4共有幾個不同的值是解題的關(guān)鍵.

2.(2019?湖北?中考真題)一列數(shù)按某規(guī)律排列如下1*1，2得1，2*苒31，2d34，若第〃個數(shù)為5,貝卜=

()

A.50B.60C.62D.71

【答案】B

【分析】

根據(jù)題目中的數(shù)據(jù)可以發(fā)現(xiàn)，分子變化是1,(1,2),(1,2,3),…，分母變化是1,(2,1),(3,2,1),…，從而可以求得第

力個數(shù)為:時〃的值，本題得意解決.

【解析】

1121231234,口石1(12)/123)(1234)

1，2，T，3,2，T，4,3,2，T，""可與瓦T\2，TJ\3,2，TJ\4,3,2，TJ'""

???3的分子和分母的和為12,

分母為11開頭到分母為1的數(shù)有11個，分別為wm，■!，：5,I片,:,

二第九個數(shù)為*,貝1|〃=1+2+3+4+...+10+5=60,

7

故選B.

【點睛】

本題考查數(shù)字的變化類，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，發(fā)現(xiàn)題目中數(shù)字的變化規(guī)律.

3.(2005?江蘇淮安?中考真題)已知一列數(shù)：1,-2,3,-4,5,-6,7,...將這列數(shù)排成下列形式:

第1行1

第2行-23

第3行-45-6

第4行7-89-10

第5行11-1213-1415

按照上述規(guī)律排下去，那么第10行從左邊數(shù)第5個數(shù)等于

A.50B.-50C.60D.-60

【答案】B

【分析】

從所給數(shù)據(jù)可得，第n行有n個數(shù)，此行第一個數(shù)的絕對值為四］』+1；且奇數(shù)為正，偶數(shù)為負(fù)；故第1。

行從左邊數(shù)第1個數(shù)絕對值為46,故這個數(shù)為-46,那么從左邊數(shù)第5個數(shù)等于-50.

【解析】

???第n行有n個數(shù)，此行第一個數(shù)的絕對值為*^+1,且奇數(shù)為正，偶數(shù)為負(fù)，

???第10行從左邊數(shù)第1個數(shù)絕對值為46,從左邊數(shù)第5個數(shù)等于-50,

故選B.

4.(2020?西藏?中考真題)觀察下列兩行數(shù)：

1,3,5,7,9,11,13,15,17,...

1,4,7,10,13,16,19,22,25,...

探究發(fā)現(xiàn)：第1個相同的數(shù)是1,第2個相同的數(shù)是7,…，若第n個相同的數(shù)是103,則n等于()

A.18B.19C.20D.21

【答案】A

【分析】

根據(jù)探究發(fā)現(xiàn)：第1個相同的數(shù)是1,第2個相同的數(shù)是7,…，第"個相同的數(shù)是6(〃-1)+1=6〃-5,進(jìn)而

可得〃的值.

【解析】

解：第1個相同的數(shù)是l=0x6+l,

第2個相同的數(shù)是7=lx6+l,

第3個相同的數(shù)是13=2x6+1,

第4個相同的數(shù)是19=3x6+1,

??,，

第"個相同的數(shù)是6(〃T)+l=6〃-5,

所以6"-5=103,

解得〃=18.

答：第〃個相同的數(shù)是103,則“等于18.

故選：A.

【點睛】

此題主要考查了數(shù)字變化規(guī)律，確定出相同數(shù)的差值，從而得出相同數(shù)的通式是解題的關(guān)鍵.

5.(2020?湖北?中考真題)根據(jù)圖中數(shù)字的規(guī)律，若第n個圖中出現(xiàn)數(shù)字396,則〃=()

A.17B.18C.19D.20

【答案】B

【分析】

觀察上三角形，下左三角形，下中三角形，下右三角形各自的規(guī)律，讓其等于396,解得〃為正整數(shù)即成立，

否則舍去.

【解析】

根據(jù)圖形規(guī)律可得：

上三角形的數(shù)據(jù)的規(guī)律為：2”(1+〃)，若2〃(1+〃)=396,解得“不為正整數(shù)，舍去；

下左三角形的數(shù)據(jù)的規(guī)律為：n2-b若”2-1=396,解得〃不為正整數(shù)，舍去；

下中三角形的數(shù)據(jù)的規(guī)律為：2?-1,若2〃-1=396,解得〃不為正整數(shù)，舍去；

下右三角形的數(shù)據(jù)的規(guī)律為："("+4),若〃(〃+4)=396,解得〃=18,或〃=-22,舍去

故選：B.

【點睛】

本題考查了有關(guān)數(shù)字的規(guī)律，能準(zhǔn)確觀察到相關(guān)規(guī)律是解題的關(guān)鍵.

6.(2020?甘肅天水?中考真題)觀察等式：2+22=2=2;2+22+23=24-2;2+22+23+24=25-2;-B

知按一定規(guī)律排列的一組數(shù)*°,2嗎*2「..,"9,22。。，若2|。。=5,用含5的式子表示這組數(shù)據(jù)的和是()

A.2S2-SB.2S2+SC.2S2-2SD.2S2-2S-2

【答案】A

【分析】

由題意得出2100+2101+2102+■-?+2199+2200=2100(1+2+---+2"+2100),再利用整體代入思想即可得出答案.

解：由題意得：這組數(shù)據(jù)的和為:

2100+2101+2102+...+2199+

=2|00(1+2+--+299+2100)

=2100(2101-1)

2100=S，

.?.原式=$(5*2-l)=2$2-s,

故選：A.

【點睛】

本題考查規(guī)律型問題：數(shù)字變化，列代數(shù)式，整體代入思想，同底數(shù)暴的乘法的逆用，解題的關(guān)鍵是正確

找到本題的規(guī)律2+22+23+.-+2"7+2"=2向-2,學(xué)會探究規(guī)律，利用規(guī)律解決問題，屬于中考填空題中

的壓軸題.

7.（2019?湖北?中考真題）"分母有理化”是我們常用的一種化簡的方法，如:

2+V3(2+向(2+拘

=7+473,除此之外,我們也可以用平方之后再開方的方式來化簡一些有特點的無

2-73(2-6)(2+如

理數(shù)，如：對于/3+/-，3-石，設(shè)x=,3+右_,3-右，易知73+-＞，3-人，故x＞0,由

x2=(73+75-73-V5)2=3+V5+3-V5-27(3+V5)(3-V5)=2,解得x=@即

白+石一口-根據(jù)以上方法，化簡241+，6-36-，6+3石后的結(jié)果為()

A.5+376B.5+76C.5-76D.5-3屈

【答案】D

【分析】

V3-V2

根據(jù)題中給的方法分別對J6--&+3力和進(jìn)行化簡，然后再進(jìn)行合并即可.

V3+V2

【解析】

設(shè)x=（6-3J6+36，且，6-3若＜，6+3人，

x<0,

???X2-6-3A/3-27(6-373)(6+373)+6+373，

???x2=12-2x3=6,

*,*x=1A/6，

=5-2瓜，

???原式=5-2"=5-3指,

故選D.

【點睛】

本題考查了二次根式的混合運算，涉及了分母有理化等方法，弄清題意，理解和掌握題中介紹的方法是解

題的關(guān)鍵.

8.（2020?浙江紹興?模擬預(yù)測）如圖，直角三角形紙片A8C中，AB=6,AC=8,。為斜邊中點，第1

次將紙片折疊，使點/與點。重合，折痕與交于點V；設(shè)4。的中點為A，第2次將紙片折疊，使點/

與點2重合，折痕與交于點8；設(shè)62的中點為2,第3次將紙片折疊，使點/與點3重合，折痕

與工。交于點4,則/巴的長為（）

A—B."C-D,當(dāng)

26X52625X523

【答案】D

【分析】

222

先求出AD的長，再由折疊的性質(zhì)可得APi=§ADi，AP2=JAD2,AP3-JAD3,計算出AD3的長度，可得AP3

的長.

【解析】

解：■.■ZBAC=90°,AB=6,AC=8,

,■,BC=yjAB2+AC2=10，

???D為斜邊BC中點,

??.AD=：BC=5,

由折疊可知：ADF^AD,APi=yAD,

42

2

.?.APi=—ADi，

39i3

AD=-AD—AD,AP=-AD-AD,

24161=2201=

2

.*.AP2=—AD2,

-2

可知：AP3=-AD3,

33x5

ADi=-AD=——,

44

3932X5

AD=-ADi=—AD=

241624

AC3e332X533X5

--.AD=—AD=—x--------=--------

322426

232X5

??AP=yAD=

3325

故選D.

【點睛】

本題主要考查了翻折變換的性質(zhì)、勾股定理、直角三角形的性質(zhì)等幾何知識點及其應(yīng)用問題；靈活運用翻

折變換的性質(zhì)，正確找出命題中隱含的數(shù)量關(guān)系是關(guān)鍵；對運算求解能力提出了較高的要求.

9.（2018?山東濟(jì)南?三模）世界上著名的萊布尼茨三角形如下圖所示：則排在第10行從左邊數(shù)第4個位置

上的數(shù)是（)

I

i

ii

27

111

363

1111

412124

III11

52030205

i2±1±1

63060(M)306

!J__L_LJ__LJ.

742105140105427

1111

A.—B.-----C.-----D.-----

90360840504

【答案】C

【分析】

觀察發(fā)現(xiàn)：下一行的第1和第2個數(shù)相加就等于上一行的第1個數(shù)，下一行的第2和第3個數(shù)相加就等于

上一行的第2個數(shù)，以此類推即可得到第10行左邊第4個位置的數(shù).

【解析】

從圖形中可看出，每行第一個數(shù)的分母就是這行的行數(shù)，第8行的第一個數(shù)是g,第9行的第一個數(shù)是g,

第10行的第一個數(shù)是

再按照上面的規(guī)律，可得:

第8行的第2個數(shù)等于第7行的第一個數(shù)減去第8行的第1個數(shù)，即：E=

7856

第9行的第2個數(shù)等于第8行的第1個數(shù)減去第9行的第1個數(shù)，即：=

第9行的第3個數(shù)等于第8行的第2個數(shù)減去第9行的第2個數(shù)，即：上-27=上，

5672252

第10行的第2個數(shù)等于第9行的第1個數(shù)減去第10行的第1數(shù)，即：=

第10行的第3個數(shù)等于第9行的第2個數(shù)減去第10行的第2個數(shù)，即：上一上=上,

7290360

1____1_1

則第10行第4個數(shù)就等于第9行第3個數(shù)減去第10行第3個數(shù)，即:

252-360-840

故選：c.

【點睛】

本題主要考察學(xué)生對規(guī)律型題目的掌握情況，解題的關(guān)鍵是觀察分析發(fā)現(xiàn)規(guī)律.

10.(2020?湖北武漢?模擬預(yù)測)直線＞+〃分另U與X軸，7軸交于點A,B,在“08內(nèi)，橫、縱坐標(biāo)

111

均為整數(shù)的點叫做"好點分別記"=123,…時,內(nèi)的"好點”數(shù)為生，出嗎，…，則一+—+—+——=

。3。4〃20

()

19c173036

A.——B.——C.—D.——

991919

【答案】D

【分析】

分別求得當(dāng)”=1,2,3,4,5,L時，%,a2,%，區(qū)r，%，L的值，找到規(guī)律，求得

(w-l)(n-2)1.f-2一〃-J,計算即可求解

a-1+2+3H----1-n2—，再傳到12

2anI”

【解析】

如圖：

)b\.

41L11+2x0|「二；+；+3

Q]—0,=0,CI3=1,Q4=1+2,CI5=1+2+3,

L,

(〃一2+1)(〃-2)(n-l)(n-2y

?y=1+2+3+…2="^------------------L=——------21

〃22

二2二2.」」,

an(?-l)(n-2)\n-2n-lj

故選：D.

【點睛】

本題考查了一次函數(shù)的規(guī)律的探索問題以及分式的運算，解答本題的關(guān)鍵在于運用運算技巧把分式拆分，

達(dá)到簡算的目的.

11.（2019?重慶市育才中學(xué)三模）如圖所示的圖形都由同樣大小的小圓圈按一定規(guī)律所組成的，若按此規(guī)律

排列下去，則第7個圖形中小圓圈的個數(shù)為（）

OO

oOOOOOO

O0OOOOOOOOO

0OOOOOOOOOOOOO…

OOOOOOOOOOOOOO

0OOOoOOO

第1個圖第2個困第3個圖第4個困

A.46B.52C.56D.60

【答案】D

【分析】

設(shè)第n個圖形中有a。個小圓圈（n為正整數(shù)），根據(jù)圖形中小圓圈個數(shù)的變化可找出"an=4+n（n+l）（n為正整

數(shù)）"，再代入n=7即可求出結(jié)論.

【解析】

解:設(shè)第n個圖形中有a.個小圓圈（n為正整數(shù)）.

觀察圖形，可知：ai=4+lx2,a2=4+2x3,a3=4+3x4,a4=4+4x5,

.,.an=4+n（n+l）（n為正整數(shù)），

.,.a7=4+7x8=60.

故選D.

【點睛】

本題考查了規(guī)律型：圖形的變化類，根據(jù)圖形中小圓圈個數(shù)的變化找出變化規(guī)律"an=4+n（n+l）（n為正整數(shù)）"

是解題的關(guān)鍵.

12.（2020?全國?三模）已知AA8C的面積為1,如圖1,點。，E分別是邊3C,/C的中點，圖中陰影部分

的面積為E，如圖2,點D,E分別是邊5C,/C的三等分點，圖中陰影部分的面積為$2，如圖3,點。,

E分別是邊8C,NC的四等分點,圖中陰影部分的面積為邑……請用含〃（〃為正整數(shù)）的代數(shù)式表示其

為（）

n2n2nn

A---------B.---------r---------D.----------7

(?+1)2(2〃+1)27(?+1)2(2〃+1)2

【答案】C

【分析】

根據(jù)題意，作EF1BC,作AG1BC,利用相似三角形的性質(zhì)，分別求出線段之間的關(guān)系，從而得到面積的變

化規(guī)律，即可得到答案.

【解析】

解：如圖，作EF1BC,作AG1BC,

在圖1中，有5A松c=；8c?NG=1,

???點E是AC中點，點D是BC中點，

.-.BD=-SC,EF=-AG,

22

=-BD?EF=-x-BCx-AG=~；

陰影22224

在圖2中，有點。，E分別是邊BC,4C的三等分點,

12

：.BD=-BCEF=-AG,

33f

S?.，=-BD?EF=-x-BCx-AG=~；

陰田22339

在圖3中，點D,E分別是邊3C,/C的四等分點，

13

：.BD=-BCEF=-AG,

44f

11133

S=—BD?EF=—x—BCx—AG=—

陰黑224416

n

;在第n個圖中，S陰影=L.LJ_-^AG=

2BDEF=2Xn+1BCXn+15+1)2’

故選：c.

【點睛】

本題考查了圖形的變化規(guī)律，線段的中點，三角形的面積公式等知識，解題的關(guān)鍵是正確求出前幾個圖形

的陰影的面積，找出規(guī)律，再進(jìn)行解題.

35917

13.（2020?湖北?武漢市洪山中學(xué)模擬預(yù)測）有一列數(shù)：…它有一定的規(guī)律性.若把第一個數(shù)記

24816

為由，第二個數(shù)記為a2,.......第n個數(shù)記為a。，則%+/+%+…+%期的值是（）

111

A.2020B.2021-尹C.2020-謬D.2021-尹

【答案】B

【分析】

2"+11

分析數(shù)據(jù)可得a產(chǎn)一=1+—；從而得到％+出+%+,一+%02。的表達(dá)式為

l+g+l+!+l+*…+1+擊，根據(jù)等比數(shù)列的特征即可求和.

【解析】

，〃+11

解：觀察可知?.a二—巳=1+—,

設(shè)q+2+。3+…+。2020二比貝U

1,1,1,1

b=1+2+1+27+1+27+，，+1+2^5'

.■.2b-b=4040+(l+^+^-+^-+---+^T5-)-[2020+(1-+^r+^-+---+^5-)]

.?^=2020+(1-^5-)=2021-^^-,

a=

即<2]+a2+a3+F20202021—220201

故選:B.

【點睛】

本題是一道找規(guī)律的題目，這類題型在中考中經(jīng)常出現(xiàn).對于找規(guī)律的題目首先應(yīng)找出哪些部分發(fā)生了變

化，是按照什么規(guī)律變化的.本題找到a”的表達(dá)式是解題關(guān)鍵.

14.(2020?山東莒縣?模擬預(yù)測)將正整數(shù)按如圖所示的規(guī)律排列下去，若有序數(shù)對("，加)表示第〃排，從左

到右第加個數(shù)，如(4,3)表示8,已知1+2+3+...+〃=出土D,則表示2020的有序數(shù)對是().

2

1……第一排

32……第二排

456……第三排

10987第四排

A.(64,4)B.(65,4)C.(64,61)D.(65,61)

【答案】C

【分析】

根據(jù)數(shù)字的排列規(guī)律，每一排的數(shù)字的個數(shù)與對應(yīng)的排數(shù)相同，然后確定出2020所在的排數(shù)與這一排的序

數(shù)，然后根據(jù)有序數(shù)對的表示寫出即可.

【解析】

解：根據(jù)圖形，

第一排1個數(shù)，

第二排2個數(shù)，數(shù)字從大到小排列，

第三排3個數(shù)，數(shù)字從小到大排列，

第四排4個數(shù)，數(shù)字從大到小排列，

則前n排的數(shù)字共有個數(shù),

2

?.?當(dāng)n=63時，臾出=2016,

2

則可知2020是第64排從右到左的第4個數(shù)，即從左到右的第61個數(shù)，

可表示為（64,61）.

故答案為：（64,61）.

故選：C.

【點睛】

本題是數(shù)字變化規(guī)律的考查，根據(jù)圖形數(shù)字排列規(guī)律判斷出2020所在的排數(shù)與序數(shù)是解題的關(guān)鍵.

15.2020?湖南資興?一模）下圖是蜘蛛結(jié)網(wǎng)過程示意圖，一只蜘蛛先以。為起點結(jié)六條線04OB,OC,OD,

OEQ尸后,再從線CM上某點開始按逆時針方向依次在CM,OB,OC,OD,OE,OF,OA,。瓦..上結(jié)

網(wǎng)，若將各線上的結(jié)點依次記為1、2、3、4、5、6、7、8、…，那么第2020個結(jié)點在（）

A.線。/上B.線上C.線OE上D.線O尸上

【答案】B

【分析】

根據(jù)題意分析，分別找出OA、OB、OC、OD、OE、OF上的點的數(shù)字的特點，從而找出規(guī)律，從而得到答

案.

【解析】

解：根據(jù)題意，得：

0A上的點為：1,7,13,即1+6（n-1）；

0B上的點為：2,8,14,即2+6（n-1）；

0C上的點為：3,9,15,即3+6(n-1)；

0D上的點為：4,10,16,即4+6(n-1)；

OE上的點為：5,11,17,即5+6(n-1)；

OF上的點為:6,12,18,即6+6(n-1)；

???2020+6=336…4,

.?.第2020個結(jié)點在線OD上；

故選:B.

【點睛】

本題是一道找規(guī)律的題目，這類題型在中考中經(jīng)常出現(xiàn).對于找規(guī)律的題目首先應(yīng)找出哪些部分發(fā)生了變

化，是按照什么規(guī)律變化的.

16.(2021?浙江?一模)如圖所示，將形狀、大小完全相同的"?"和線段按照一定規(guī)律擺成下列圖形，第1幅

圖形中"?"的個數(shù)為%,第2幅圖形中"?"的個數(shù)為出，第3幅圖形中“?"的個數(shù)為名，…，以此類推，則

1111

-+—+—+-+——的值為()

^^2^^3^^19

第118圖第1幡圖M3IIES第418圖

2061~589

—B.—C.---

2184840

【答案】C

【分析】

根據(jù)給定幾幅圖形中黑點數(shù)量的變化可找出其中的變化規(guī)律"見="5+2)(〃為正整數(shù))”，進(jìn)而可求出

~=—二］，將其代入」■+▲+，+...+」-中即可求得結(jié)論.

an2\nn+2)axa2a3al9

【解析】

解：???第一幅圖中有％=1x3=3個；

第二幅圖中"?"有%=2x4=8個;

第三幅圖中"?"有%=3x5=15個;

.?.第〃幅圖中…有=〃（〃+2）（"為正整數(shù)）個

in21幾n+2

.??當(dāng)〃=19時

1111

——+——+——+...+——

d?CI3。19

1111

-+-+一+H--------

3815399

+,+—++」

1x32x43x519x21

1

+—x

2

11-14-111

=—x—+—-+

232435

11+」

=-X

2220

589

840

故選：C

【點睛】

此題考查圖形的變化規(guī)律，找出圖形之間的聯(lián)系，找出規(guī)律解決問題.

二、填空題

17.（2021?湖北恩施?中考真題）古希臘數(shù)學(xué)家定義了五邊形數(shù)，如下表所示，將點按照表中方式排列成五

邊形點陣，圖形中的點的個數(shù)即五邊形數(shù)；

■

■?■???

??????????

圖形???????穌???????????

??????????????

??????????

五邊形數(shù)1512223551

將五邊形數(shù)1,5,12,22,35,51,排成如下數(shù)表；1第一行

512第二行

223551第三行

觀察這個數(shù)表，則這個數(shù)表中的第八行從左至右第2個數(shù)為.

【答案】1335

【分析】

分析表格中的圖形和五邊形數(shù)之間的規(guī)律，再找到排成數(shù)表中五邊形數(shù)和行數(shù)之間的規(guī)律.

【解析】

解：由圖形規(guī)律可知，第〃個圖形是一個由〃個點為邊長的等邊三角形和一個長為〃個點，寬為（片1）個

點的矩形組成，則第〃個圖形一共有0羋+個點，化簡得即齊，即第〃個圖形的五邊形數(shù)為

3n2—n

-2--

分析排成數(shù)表，結(jié)合圖形可知：

第一行從左至右第1個數(shù)，是第1個圖形的五邊形數(shù)；

第二行從左至右第1個數(shù)，是第2個圖形的五邊形數(shù)；

第三行從左至右第1個數(shù)，是第4個圖形的五邊形數(shù)；

第四行從左至右第1個數(shù)，是第7個圖形的五邊形數(shù)；

.??第〃行從左至右第1個數(shù)，是第i+攻二D個圖形的五邊形數(shù).

2

???第八行從左至右第2個數(shù)，是第30個圖形的五邊形數(shù).

第30個圖形的五邊形數(shù)為：近二1=上變二型=1335.

22

故答案為：1335.

【點睛】

本題是找規(guī)律題，解此題的關(guān)鍵是分析表格中的圖形個數(shù)與五邊形數(shù)，排成數(shù)表中的五邊形數(shù)和行數(shù)，得

出規(guī)律.

18.（2020?黑龍江大慶?中考真題）如圖，把同樣大小的黑色棋子擺放在正多邊形的邊上，按照這樣的規(guī)律

擺下去，則第20個圖需要黑色棋子的個數(shù)為

△□OO

【答案】440

【分析】

先觀察圖形得出前四個圖中黑色棋子的個數(shù)，再歸納類推出一般規(guī)律，由此即可得.

【解析】

觀察圖形可知，黑色棋子的個數(shù)變化有以下兩條規(guī)律：

(1)正多邊形的各頂點均需要1個黑色棋子

(2)從第1個圖開始，每個圖的邊上黑色棋子的個數(shù)變化依次是04,2,3,…

即第1個圖需要黑色棋子的個數(shù)為3+3x0

第2個圖需要黑色棋子的個數(shù)為4+4x1

第3個圖需要黑色棋子的個數(shù)為5+5x2

第4個圖需要黑色棋子的個數(shù)為6+6x3

歸納類推得：第n個圖需要黑色棋子的個數(shù)為(〃+2)+("+2)(〃-1)=〃(〃+2),其中n為正整數(shù)

則第20個圖需要黑色棋子的個數(shù)為20x(20+2)=440

故答案為：440.

【點睛】

本題考查了整式的圖形規(guī)律探索題，依據(jù)圖形，正確歸納類推出一般規(guī)律是解題關(guān)鍵.

19.(2019?湖北恩施?中考真題)觀察下列一組數(shù)的排列規(guī)律：

112121123412145

3,5,5,9,9,3，17，17，17，17,33,33，11，33'33'''

那么，這一組數(shù)的第2019個數(shù)是.

【分析】

數(shù)據(jù)可分組觀察，每組中的數(shù)據(jù)數(shù)為組數(shù)，每組中分子為組中的序數(shù)號，分母為2“l(fā)(n為組數(shù))，根據(jù)這個

規(guī)律計算即可得答案.

【解析】

觀察數(shù)據(jù)可得：第一組：3士,

第二組:

5~22+1'5~：z2+r

112213

第三組：

9--23+r9-23+1'3-23+1'

1122334_4

第四組:

17一2"+「’17一24+l’17-24+l17-24+r

1122334_45_5

第五組:

33N+1',33-25+l，33―25+133-25+1）33-25+1

第n組：2"+1'2"+1'2"+1……2"+1

??.每組中的數(shù)據(jù)數(shù)為組數(shù)，每組中分子為組中的序數(shù)號，分母為2“l(fā)（n為組數(shù)）,

設(shè)有n組分?jǐn)?shù)和x個分?jǐn)?shù)的和為2019,

〃（幾+1）

+x=2019,

2

63x6464x65

vn為整數(shù),------=2016,-------=2080,

22

***n=639x=3j

???第2019個數(shù)是第64組第3個數(shù),

3

???第2019個數(shù)為

3

故答案為行T

【點睛】

本題考查數(shù)字的變化類問題，把數(shù)據(jù)的分子、分母分別找出規(guī)律是解題關(guān)鍵.

20.（2011?四川南充?中考真題）長為1,寬為a的矩形紙片如圖那樣折一下，剪下一個邊長

等于矩形寬度的正方形（稱為第一次操作）；再把剩下的矩形如圖那樣折一下，剪下一個邊長等于此時矩形

寬度的正方形(稱為第二次操作)；如此反復(fù)操作下去.若在第n此操作后，剩下的矩形為正方形，則操作

終止.當(dāng)n=3時，a的值為

第一次操作第二次操作

【答案】：3或;3.

【分析】

根據(jù)操作步驟，可知每一次操作時所得正方形的邊長都等于原矩形的寬.所以首先需要判斷矩形相鄰的兩

邊中，哪一條邊是矩形的寬.當(dāng)。<a<l時，矩形的長為1,寬為a,所以第一次操作時所得正方形的邊長

為a,剩下的矩形相鄰的兩邊分別為1-a,a.由:L-a<a可知，第二次操作時所得正方形的邊長為1-a,剩下

的矩形相鄰的兩邊分別為1-a,a-(1-a)=2a-l.由于(1-a)-(2a-l)=2-3a,所以(1-a)與(2a-l)的大小

關(guān)系不能確定，需要分情況進(jìn)行討論.又因為可以進(jìn)行三次操作，故分兩種情況：?l-a>2a-l；@l-a<

2a-l.對于每一種情況，分別求出操作后剩下的矩形的兩邊，根據(jù)剩下的矩形為正方形，列出方程，求出a

的值.

【解析】

解:由題意，可知當(dāng)時，第一次操作后剩下的矩形的長為a,寬為1-a,所以第二次操作時正方形

的邊長為:L-a,第二次操作以后剩下的矩形的兩邊分別為1-a,2a-l.

故答案為1-a；

此時，分兩種情況：

2

①如果l-a>2a-l,即a<§,那么第三次操作時正方形的邊長為2a-L

???經(jīng)過第三次操作后所得的矩形是正方形，

矩形的寬等于1-a,

3

BP2a-l=(1-a)-(2a-l),解得a=1；

o

②如果l-aV2a-L即那么第三次操作時正方形的邊長為1-a.

」,3

則1-a=(2a-l)-(1-a),解得a二二.

4

33

綜上所述：a的值是3或“

21.（2018?湖南婁底?中考真題）設(shè)?！背鰡衢L長是一列正整數(shù)，其中％表示第一個數(shù)，出表示第二個數(shù)，依

此類推，。“表示第"個數(shù)（〃是正整數(shù)），已知%=1,%=（4,+「1）2-a-1）2,則a刈8=.

【答案】4035

【解析】

【分析】4aH=包向-1）2-（anT『整理得仁+1）2=已「1）2,從而可得an+ia=2或a/-a2再根據(jù)題意進(jìn)

行取舍后即可求得a。的表達(dá)式，繼而可得a?。必

22

【解析】-4a,,=（an+1-l）-（an-l）,

4aa2=a12

?■-n+(n-l)(n+l-))

2

.-.(an+l)=(an+1-l)\

?■?an+l=an+i-l或an+l=-an+i+l,

.■?an+i-an=2或an=-an+i，

X---a1,a2,a3……是一列正整數(shù)，

：an=-an+：i不符合題意，舍去，

,,.an+1-an=2,

又一產(chǎn)1,

.?.a2=3,a3=5,..,an=2n-l,

?■?22018=2x2018-1=4035,

故答案為4035.

【點睛】本題考查了完全平方公式的應(yīng)用、平方根的應(yīng)用、規(guī)律型題，解題的關(guān)鍵是通過已知條件推導(dǎo)得

出an+l-an~2.

22.（2015?湖南郴州?中考真題）請觀察下列等式的規(guī)律：

，工(］」，(1-1)

1X3233義5235

(1-1),，工(1-1

5X72577X9279

則——+――+——+...+-----——=.

1X33X55X799X101------

_50

【答案】--

【解析】

試題分析：觀察算式得到式子的規(guī)律：—^4（!-—1）⑺為非0自然數(shù)），然后原式把算式拆分

再抵消即可求解?原式二：~~7）=7（1-!+…+

乙3z3jzJ//yy1U1/3333

11、1「1、110050

9910121012101101

考點：規(guī)律型：數(shù)字的變化類.

23.2020?遼寧本溪?一模）如圖，直線y=x+2與V軸相交于點4,過點4作x軸的平行線交直線y=fx+l

于點耳，過點Bx作了軸的平行線交直線y=x+2于點4,再過點4作x軸的平行線交直線了=gx+1于點

層，過點鳥及作丁軸的平行線交直線夕=》+2于點4,…，依此類推，得到直線夕=》+2上的點4，4，

4,…，與直線y=*x+l上的點片，B2,B3,則4T紇的長為.

【答案】㈣'

【分析】

根據(jù)兩直線的解析式分別求出4、4、4…4T與4、鳥、…紇的坐標(biāo)，然后將4月、4與、4鳥、4與

的長度求出，然后根據(jù)規(guī)律寫出4T紇的長即可.

【解析】

解:令x=0代入y=x+2,

y=2,

4（0,2）,

令y=2代入y=*x+l,

X—，

=拒,

令x=6代入y=x+2,

.1.y—+2,

.?，4（V3,V3+2）,

，令）=百+2代入y=^^x+l,

x=3+A/3,

g（3+5/3,-\[3+2）,

=3,

/.AXB2

同理可求得：4員=3⑺，4&=9,

由以上規(guī)律可知：4-1紇=（百）"，

故答案為：（6）?

【點睛】

本題考查數(shù)字規(guī)律問題，解題的關(guān)鍵根據(jù)一次函數(shù)解析式求出相關(guān)點的坐標(biāo)，然后找出4一出,的長的規(guī)律.

24.（2020?遼寧立山?模擬預(yù)測）如圖，等腰AABC中，ZB=9O°AB=4,以A為圓心，直角邊AB為半徑作弧,

交AC于g,作G01AB于Bi，設(shè)弧BCi、CiBi、B6圍成的面積為S＞然后再以A為圓心AB1為半徑作弧,

交AC于C2,作。2層，AB于Bi，設(shè)弧第4、g鳥、鳥片圍成的面積為邑，按此規(guī)律，得到的陰影面積S.

【分析】

先根據(jù)圖中不規(guī)則陰影部分面積的求法，計算出Si、S2、S3的表達(dá)式，觀察代數(shù)式的規(guī)律，進(jìn)而推出Sn的

表達(dá)式即可.

【解析】

解：在等腰直角aABC中，AB=4,

AC}=AB=4,ABx=2y[2>

竺旺土_Lx2后x2后=2小=歸=與；

3602121-1

閂工田c45x%?（2后）21°°,2^-421-4

同理，S=----------V7--X2X2=7T-2=--------=-rr

23602222T

45x^*22

S=

3360

2萬-4

.$=F

2T-4

故答案為:

2"T

【點睛】

本題考查依據(jù)圖形面積找出規(guī)律，利用等腰直角三角形及扇形面積公式準(zhǔn)確計算出Si、S2、S3的表達(dá)式,

通過觀察得出規(guī)律是解題的關(guān)鍵.

25.Q021?山東濱州,一模）已知k為正整數(shù)，無論k取何值，直線4:y=履+左+1與直線（N=（無+D》+4+2

都交于一個固定的點，這個點的坐標(biāo)是；記直線4和12與x軸圍成的三角形面積為5上，則，=,

岳+邑+$3+…+品。的值為.

【答案】（T1）--

4101

【分析】

聯(lián)立直線4和4成方程組，通過解方程組，即可得到交點坐標(biāo)；分別表示出直線4和4與X軸的交點，求得

交點坐標(biāo)即可得到三角形的邊長與高，根據(jù)三角形面積公式進(jìn)行列式并化簡，即可得到直線4和4與x軸圍

成的三角形面積為Sk的表達(dá)式，從而可得到百和耳+$2+$3+…+5100，再依據(jù)分?jǐn)?shù)的運算方法即可得解.

【解析】

解：聯(lián)立直線4：v=b+無+1與直線（左+1）元+左+2成方程組，

[y=kx+k+\

[歹=（左+l）x+左+2'

這兩條直線都交于一個固定的點，這個點的坐標(biāo)是;

?.?直線4：y=履+左+1與x軸的交點為（-空,,

直線4：y=/+l）x+左+2與x軸的交點為

1,k+\k+2

—X1