八年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)單元速記·巧練（人教版）-第十八章 平行四邊形（壓軸題專練）（原卷版）

第十八章平行四邊形（壓軸題專練）目錄TOC\o"1-3"\h\u【考點(diǎn)一矩形中的折疊問(wèn)題】 1【考點(diǎn)二菱形中的折疊問(wèn)題】 5【考點(diǎn)三正方形中的折疊問(wèn)題】 11【考點(diǎn)四矩形、菱形、正方形中旋轉(zhuǎn)問(wèn)題】 15【考點(diǎn)五矩形、菱形、正方形中求定值問(wèn)題】 22【考點(diǎn)六矩形、菱形、正方形中求最小值問(wèn)題】 27【考點(diǎn)七矩形、菱形、正方形中求最大值問(wèn)題】 31【考點(diǎn)八矩形、菱形、正方形中點(diǎn)四邊形問(wèn)題】 36【考點(diǎn)一矩形中的折疊問(wèn)題】例題：（2023秋·湖南衡陽(yáng)·八年級(jí)校考期末）如圖，將矩形沿著對(duì)角線折疊，使點(diǎn)落在處，交于，若，，______．【變式訓(xùn)練】1．（2023秋·福建福州·八年級(jí)福建省福州第一中學(xué)?？计谀┤鐖D，長(zhǎng)方形中，E為的中點(diǎn)，將沿直線折疊時(shí)點(diǎn)B落在點(diǎn)F處，連接，若，則___________度．2．（2023春·八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）長(zhǎng)方形紙片中，，，點(diǎn)E是邊上一動(dòng)點(diǎn)，連接，把∠B沿折疊，使點(diǎn)B落在點(diǎn)F處，連接，當(dāng)為直角三角形時(shí)，的長(zhǎng)為_(kāi)_____．3．（2022秋·江蘇蘇州·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，長(zhǎng)方形紙片中，，，點(diǎn)、分別在邊和邊上，連接，將紙片沿折疊．(1)如圖（1），若點(diǎn)落在邊的延長(zhǎng)線上的點(diǎn)處，求證：；(2)如圖（2），若點(diǎn)落在邊的中點(diǎn)處，求的長(zhǎng)．【考點(diǎn)二菱形中的折疊問(wèn)題】例題：（2022秋·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，在菱形ABCD中，∠A＝120°，AB＝2，點(diǎn)E是邊AB上一點(diǎn)，以DE為對(duì)稱軸將△DAE折疊得到△DGE，再折疊BE使BE落在直線EG上，點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)H，折痕為EF且交BC于點(diǎn)F．（1）∠DEF＝________；（2）若點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)，則DF的長(zhǎng)為_(kāi)_______．【變式訓(xùn)練】1．（2022·全國(guó)·八年級(jí)假期作業(yè)）如圖，在菱形中，，將菱形折疊，使點(diǎn)恰好落在對(duì)角線上的點(diǎn)處不與、重合，折痕為，若，，則的長(zhǎng)為_(kāi)_____．2．（2022秋·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，在菱形中，F(xiàn)為邊上一點(diǎn)，將沿折疊，點(diǎn)C恰好落在延長(zhǎng)線上的點(diǎn)E處，連接交于點(diǎn)G，若，，則的長(zhǎng)為_(kāi)_____．3．（2023春·江蘇鹽城·九年級(jí)校考階段練習(xí)）如圖，在矩形ABCD中，點(diǎn)E在邊CD上，將△BCE沿BE折疊，使點(diǎn)C落在AD邊上的點(diǎn)F處，過(guò)點(diǎn)F作FG∥CD，交BE于點(diǎn)G，連接CG．(1)判斷四邊形CEFG的形狀，并說(shuō)明理由．(2)若AB=6，AD=10，求四邊形CEFG的面積．【考點(diǎn)三正方形中的折疊問(wèn)題】例題：（2022秋·廣東梅州·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，將正方形紙片按如圖折疊，為折痕，點(diǎn)落在對(duì)角線上的點(diǎn)處，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．【變式訓(xùn)練】1．（2023·全國(guó)·八年級(jí)專題練習(xí)）如圖，將正方形沿對(duì)折，使點(diǎn)落在對(duì)角線上的處，連接，則_________．2．（2022秋·福建寧德·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，在正方形中，，點(diǎn)E在邊上，將沿對(duì)折至，延長(zhǎng)交于點(diǎn)G，G恰好是邊的中點(diǎn)，則的長(zhǎng)是________．3．（2023春·江蘇·八年級(jí)專題練習(xí)）如圖1，在正方形中，點(diǎn)E為上一點(diǎn)，連接，把沿折疊得到，延長(zhǎng)交于G，連接．(1)求證：．(2)如圖2，E為的中點(diǎn)，連接．①求證：；②若正方形邊長(zhǎng)為6，求線段的長(zhǎng)．【考點(diǎn)四矩形、菱形、正方形中旋轉(zhuǎn)問(wèn)題】例題：（2023秋·陜西渭南·九年級(jí)統(tǒng)考階段練習(xí)）如圖，四邊形是矩形，以點(diǎn)B為旋轉(zhuǎn)中心，順時(shí)針旋轉(zhuǎn)矩形得到矩形，點(diǎn)，，的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為點(diǎn)，，，點(diǎn)恰好在的延長(zhǎng)線上．(1)求證：：(2)若，求的長(zhǎng)．【變式訓(xùn)練】1．（2022秋·廣東廣州·九年級(jí)廣州市第一一三中學(xué)?？计谥校┤鐖D，將矩形繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)后，得到矩形，如果，那么_______．2．（2022秋·江西宜春·九年級(jí)校考期中）如圖，將邊長(zhǎng)為的正方形繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)30°到的位置，則陰影部分的面積是___________．3．（2022秋·安徽銅陵·九年級(jí)銅陵市第十五中學(xué)?？计谥校┤鐖D，在菱形中，，把菱形繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到菱形，則圖中陰影部分的面積為_(kāi)________．4．（2022秋·山西呂梁·九年級(jí)統(tǒng)考期中）綜合與實(shí)踐【情境呈現(xiàn)】如圖1，將兩個(gè)正方形紙片和放置在一起.若固定正方形，將正方形繞著點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)．(1)【數(shù)學(xué)思考】如圖1，當(dāng)點(diǎn)E在邊上，點(diǎn)G在邊上時(shí)，線段與的數(shù)量關(guān)系是，位置關(guān)系是．(2)如圖2，是將正方形繞著點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)度得到的，則（1）中的結(jié)論是否仍然成立？若成立，請(qǐng)證明；若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由．(3)【拓展探究】如圖3，若點(diǎn)D，E，G在同一條直線上，且，求線段的長(zhǎng)度（直接寫(xiě)出答案）．【考點(diǎn)五矩形、菱形、正方形中求定值問(wèn)題】例題：（2022秋·山東棗莊·九年級(jí)校考階段練習(xí)）如圖，在矩形中，，，是上異于和的任意一點(diǎn)，且于，于，則為_(kāi)____．【變式訓(xùn)練】1．（2022秋·廣東梅州·九年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，在矩形中，點(diǎn)E是對(duì)角線上一點(diǎn)，有且，點(diǎn)P是上一動(dòng)點(diǎn)，則點(diǎn)P到邊，的距離之和的值（

）A．有最大值a B．有最小值 C．是定值 D．是定值2．（2023秋·吉林長(zhǎng)春·八年級(jí)長(zhǎng)春外國(guó)語(yǔ)學(xué)校?？计谀┤鐖D，菱形的周長(zhǎng)為20，面積為24，是對(duì)角線上一點(diǎn)，分別作點(diǎn)到直線、的垂線段、，則等于______3．（2022·全國(guó)·八年級(jí)專題練習(xí)）如圖，已知四邊形為正方形，，點(diǎn)E為對(duì)角線上一動(dòng)點(diǎn)，連接，過(guò)點(diǎn)E作交于點(diǎn)F，以為鄰邊作矩形，連接．(1)求證：矩形是正方形；(2)探究：的值是否為定值？若是，請(qǐng)求出這個(gè)定值；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由．【考點(diǎn)六矩形、菱形、正方形中求最小值問(wèn)題】例題：（2022秋·重慶沙坪壩·八年級(jí)重慶市鳳鳴山中學(xué)校聯(lián)考期末）如圖，為正方形邊上一點(diǎn)，，，為對(duì)角線上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為（

）A．5 B． C． D．10【變式訓(xùn)練】1．（2023秋·陜西寶雞·九年級(jí)統(tǒng)考期末）已知菱形ABCD的兩條對(duì)角線分別為6和8，M、N分別是邊BC、CD的中點(diǎn)，P是對(duì)角線BD上一點(diǎn)，則PM+PN的最小值是（）A．5 B．5 C．5 D．不能確定2．（2022秋·吉林長(zhǎng)春·八年級(jí)長(zhǎng)春外國(guó)語(yǔ)學(xué)校校考階段練習(xí)）△ABC中，AC＝1，AB＝，BC＝2，點(diǎn)P為BC邊上一動(dòng)點(diǎn)，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，在點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，EF的最小值是（

）A． B．2 C． D．3．（2022春·江蘇淮安·九年級(jí)校考階段練習(xí)）如圖，在正方形中，邊長(zhǎng)，點(diǎn)Q是邊的中點(diǎn)，點(diǎn)P是線段上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為_(kāi)____．【考點(diǎn)七矩形、菱形、正方形中求最大值問(wèn)題】例題：（2022秋·貴州貴陽(yáng)·九年級(jí)統(tǒng)考階段練習(xí)）矩形中，，，點(diǎn)A是y軸正半軸上任意一點(diǎn)，點(diǎn)B在x軸正半軸上．連接．則的最大值是___________．【變式訓(xùn)練】1．（2022秋·福建漳州·九年級(jí)校考期中）如圖，平面內(nèi)三點(diǎn)A、B、C，，，以為對(duì)角線作正方形，連接，則的最大值是（

）A．6 B．11 C． D．2．（2022秋·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在菱形ABCD中，AB＝6，，AC與BD交于點(diǎn)O，點(diǎn)N在AC上且AN＝2，點(diǎn)M在BC上且BM＝BC，P為對(duì)角線BD上一點(diǎn)，則PM﹣PN的最大值為_(kāi)___．3．（2022秋·湖北黃石·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖所示，在菱形ABCD中，AB＝6，∠BAD＝120°，△AEF為等邊三角形，點(diǎn)E、F分別在菱形的邊BC．CD上滑動(dòng)，且E、F不與B、C、D重合．（1）計(jì)算：=________；（2）當(dāng)點(diǎn)E、F在BC、CD上滑動(dòng)時(shí)，△CEF的面積最大值是____________．【考點(diǎn)八矩形、菱形、正方形中點(diǎn)四邊形問(wèn)題】例題：（2022春·安徽合肥·八年級(jí)校考期中）如圖，、、、分別是四邊形四條邊的中點(diǎn)，順次連接、、、得四邊形，連接、，下列命題不正確的是（）A．當(dāng)四邊形是矩形時(shí)，四邊形是菱形B．當(dāng)四邊形是菱形時(shí)，四邊形是矩形C．當(dāng)四邊形滿足時(shí)，四邊形是菱形D．當(dāng)四邊形滿足，時(shí)，四邊形是矩形【變式訓(xùn)練】1．（2022春·北京西城·八年級(jí)?？计谥校┧倪呅蔚膶?duì)角線，交于點(diǎn)，點(diǎn)，，，分別為邊，，，的中點(diǎn)．有下列四個(gè)推斷：①對(duì)于任意四邊形，四邊形都是平行四邊形；②若四邊形是平行四邊形，則與交于點(diǎn)；③若四邊形是矩形，則四邊形也是矩形；④若四邊形是正方形，則四邊形也一定是正方形．所有正確推斷的序號(hào)是（

）A．①② B．①③ C．②③ D．③④2．（2022秋·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，在四邊形中，，分別是，的中點(diǎn)，，分別是對(duì)角線，的中點(diǎn)，依次連接，，，，連接，．（1）求證：四邊形是平行四邊形；（2）當(dāng)時(shí)，與有怎樣的位置關(guān)系？請(qǐng)說(shuō)明理由；3．（2022秋·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）我們給出如下定義：順次連接任意一個(gè)四邊形各邊中所得的四邊形叫中點(diǎn)四邊形．（1）如圖1，在四邊形ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)，