直線、平面平行的判定與性質(zhì)（6題型分類(lèi)）-2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)（原卷版）

專(zhuān)題33直線、平面平行的判定與性質(zhì)6題型分類(lèi)

彩題如工總

題型6：平行關(guān)系的綜合應(yīng)用題型1:直線與平面平行的判定

題型5：探索性問(wèn)題題型2：直線與平面平行的性質(zhì)

直線、平面平行的判定與性質(zhì)6題

型分類(lèi)

題型4：平面與平面平行的性質(zhì)題型3：平面與平面平行的判定

彩和也寶庫(kù)

1.線面平行的判定定理和性質(zhì)定理

文字語(yǔ)言圖形語(yǔ)言符號(hào)語(yǔ)言

如果平面外一條直線與此

a(ta

判定定理平面內(nèi)的一條直線平行,一bua>=〃〃a

那么該直線與此平面平行a//b.

一條直線與一個(gè)平面平

〃〃a]

行，如果過(guò)該直線的平面◎')/

性質(zhì)定理曲\^a//b

與此平面相交,那么該直

aC\6=b,

線與交線平行

2.面面平行的判定定理和性質(zhì)定理

文字語(yǔ)言圖形語(yǔ)言符號(hào)語(yǔ)言

auB、

如果一個(gè)平面內(nèi)的兩條itbuB

判定定理交直線與另一個(gè)平面平行,aC\b=P〉?〃a

那么這兩個(gè)平面平行Z7〃〃a

b"aJ

兩個(gè)平面平行，如果另一個(gè)

性質(zhì)定理平面與這兩個(gè)平面相交,那1=>〃//b

6n尸zj

么兩條交線平行

【常用結(jié)論】

1.垂直于同一條直線的兩個(gè)平面平行，即若a邛,則。〃及

2.平行于同一個(gè)平面的兩個(gè)平面平行，即若p//y,則?！?

3.垂直于同一個(gè)平面的兩條直線平行，即bA_a,則

4.若Q〃夕，QU。，貝！J〃〃夕.

彩他題初籍

直線與平面平行的判定與性質(zhì)

(1)判斷或證明線面平行的常用方法

①利用線面平行的定義(無(wú)公共點(diǎn)).

②利用線面平行的判定定理(aCa,bua,a//b=>a//a).

③利用面面平行的性質(zhì)(a〃/，aua=a〃價(jià).

④利用面面平行的性質(zhì)(a〃S，a<tp,a//a=>a///3).

(2)應(yīng)用線面平行的性質(zhì)定理的關(guān)鍵是確定交線的位置，有時(shí)需要經(jīng)過(guò)已知直線作輔助平面確定交線.

題型1：直線與平面平行的判定

1-1.(2024高三?全國(guó)?專(zhuān)題練習(xí))如圖，在四棱錐P-ABCD中，E,尸分別為尸。，尸8的中點(diǎn)，連接EA當(dāng)G

為尸C上不與點(diǎn)P,C重合的一點(diǎn)時(shí)，證明：所〃平面BDG.

1-2.（2024高三?全國(guó)?專(zhuān)題練習(xí)）如圖，多面體ABCDEF中，四邊形ABC。為矩形，二面角A-CD-尸的大

小為45。，DE//CF,CDIDE,AD=2,DC=3.求證：平面ADE.

1-3.（2024高三?全國(guó)?專(zhuān)題練習(xí)）如圖，四棱錐P-ABCD的底面是菱形，E,尸分別是48,PC的中點(diǎn).求

證：￡F〃平面PAD.

14（2024高三?全國(guó)?對(duì)口高考）已知正方形ABCD和正方形ABEF,如圖所示，N、M分別是對(duì)角線AE、

ENBM

上的點(diǎn)，且——二——.求證：〃平面防C.

ANMD

1-5.（2024?陜西安康?三模）如圖，在四棱錐P-ABC。中，ED,平面ABCD,且四邊形ABCQ是正方形,

E,F,G分別是棱BC,AD,P4的中點(diǎn).

⑴求證：PE〃平面3FG；

平面JBCDC平面=/,證明：CDIII.

2-4.(2024高三下?河南?階段練習(xí))已知四棱錐P-ABCD,底面ABCD為菱形，尸。,平面A5CD,

TT

PD=AD=CD=2,ZBAD=~,E為PC上一點(diǎn).

(1)平面E4￡>c平面P3C=/,證明：BC//1.

(2)當(dāng)直線BE與平面BCD的夾角為芻時(shí)，求三棱錐P—BDE的體積.

彩儺甄祕(mì)籍。

平面與平面平行的判定與性質(zhì)

(1)證明面面平行的常用方法

①利用面面平行的判定定理.

②利用垂直于同一條直線的兩個(gè)平面平行(/La,I邛0a〃扮.

③利用面面平行的傳遞性，即兩個(gè)平面同時(shí)平行于第三個(gè)平面，則這兩個(gè)平面平行(a〃從p//y^a//y).

(2)當(dāng)已知兩平面平行時(shí)，可以得出線面平行，如果要得出線線平行，必須是與第三個(gè)平面的交線.

題型3:平面與平面平行的判定

3-1.(2024高三?全國(guó)?專(zhuān)題練習(xí))如圖，在多面體ABCDEF中，ABCD是正方形，AB=2,DE=BF,BF//DE,

〃為棱AE的中點(diǎn).求證：平面即仍//平面EFC.

4-2.（2024高三.全國(guó).專(zhuān)題練習(xí)）如圖，在三棱柱ABC-A瓦G中，點(diǎn)。為棱AC上動(dòng)點(diǎn)（不與A,C重合）,

平面耳2。與棱4G交于點(diǎn)E.求證：BBJ/DE.

4-3.（2024高一?全國(guó)?課后作業(yè)）如圖，在四棱柱ABCD-ABGA中，底面ABCD為梯形，AD//BC,平面

ADCE與BB1交于點(diǎn)E.求證：EC//A.D.

彩他題祕(mì)籍

解答探索性問(wèn)題的基本策略是先假設(shè)，再?lài)?yán)格證明，先猜想再證明是學(xué)習(xí)和研究的重要思想方法.

題型5:探索性問(wèn)題

5-1.（2024高三?全國(guó)?專(zhuān)題練習(xí)）如圖，在直三棱柱ABC-A與C中，ACYBC,AC=2,且BC=CG=1,

,BD

點(diǎn)D在線段BC（含端點(diǎn)）上運(yùn)動(dòng)，設(shè)％=當(dāng)鉆〃平面AC。時(shí)，求實(shí)數(shù)4的值.

5-2.（2024高三.全國(guó)?專(zhuān)題練習(xí)）如圖、三棱柱4BC-的側(cè)棱AA垂直于底面ABC,AABC是邊長(zhǎng)為

B.E

2的正三角形，⑨=3,點(diǎn)D在線段A0上且4。=2。8,點(diǎn)E是線段8G上的動(dòng)點(diǎn).當(dāng)差為多少時(shí)，直

線￡?〃平面ACJA?

5-3.（2024高二上?安徽合肥?階段練習(xí)）已知正方體ABCO-AAGA中，P、Q分別為對(duì)角線3。、CA上的

（1）求證：2。//平面4。。4；

（2）若R是A8上的點(diǎn)，『的值為多少時(shí)，能使平面尸QR〃平面A2D4?請(qǐng)給出證明.

彩儺甄祕(mì)籍（四）

平行關(guān)系的綜合應(yīng)用

證明平行關(guān)系的常用方法

熟練掌握線線、線面、面面平行關(guān)系間的相互轉(zhuǎn)化是解決線線、線面、面面平行的綜合問(wèn)題的關(guān)鍵.面面

平行判定定理的推論也是證明面面平行的一種常用方法.

題型6:平行關(guān)系的綜合應(yīng)用

6-1.（2024高二上?山西朔州朝中）如圖所示，四邊形EFG8為四面體的一個(gè)截面，若四邊形所G8

為平行四邊形.

⑵若AB=4,CD=6,求四邊形EFGH周長(zhǎng)的取值范圍.

6-2.（2024.福建泉州?模擬預(yù)測(cè)）如圖所示的幾何體是由圓錐與圓柱。。組成的組合體，其中圓柱的軸

截面ABC。是邊長(zhǎng)為2的正方形，圓錐的高S?=2,M為圓柱下底面圓周上異于A,B的點(diǎn).

⑴求證：50〃平面MOC；

⑵若30°<ZBOM<45°,求直線AD與平面MOC所成角的正切值的取值范圍.

6-3.（2024?陜西安康?模擬預(yù)測(cè)）如圖，在直角梯形ABCD中，NA=90°,AD=6,BC=4,AB=2,E,

廠分別是BC,AD上的點(diǎn)，￡EFHAB,現(xiàn)將四邊形ABE尸沿EF向上折起成直二面角，設(shè)區(qū)￡=了（0<%<4）.

A

(1)若x=l,在邊AO上是否存在點(diǎn)尸，滿足AP=2AD,使得CP〃平面筋即？若存在，求出4；若不存在,

說(shuō)明理由.

(2)當(dāng)三棱錐A-CDF的體積最大時(shí)，求點(diǎn)F到平面ACD的距離.

6-4.(2024?河南?模擬預(yù)測(cè))如圖，在三棱錐P—ABC中，AB±BC,AB=2,BC=26.,

「8=/^=6,8尸,4尸,以7的中點(diǎn)分別為DE,0,AO=@)0,點(diǎn)尸在AC上，BF1AO.

(1)證明：Ef7/平面AP。；

(2)證明：平面ADO_L平面BEF；

(3)求二面角尸—3C—A的大小.

煉習(xí)與桎升

一、單選題

1.(2024高一.全國(guó).課后作業(yè))已知直線。和平面a,那么能得出a//a的一個(gè)條件是()

A.存在一條直線6,aUb且bua

B.存在一條直線6,且

C.存在一個(gè)平面夕，au尸且a〃月

D.存在一個(gè)平面夕，a〃夕且a〃2

2.(2024高三.全國(guó)?專(zhuān)題練習(xí))設(shè)a,夕為兩個(gè)不同的平面，則a〃夕的一個(gè)充分條件是()

A.。內(nèi)有無(wú)數(shù)條直線與月平行B.a,2垂直于同一個(gè)平面

C.a,夕平行于同一條直線D.a,P垂直于同一條直線

3.（2024高一?全國(guó)?課后作業(yè)）如圖，在正方體ABC。一4夕。。中，E,尸分別為平面ABCQ和平面AECD

的中心，則正方體的六個(gè)面中與E尸平行的平面有（）

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

4.（2024高一下.江蘇常州?期末）若a、夕是兩個(gè)不重合的平面，

①若。內(nèi)的兩條相交直線分別平行于夕內(nèi)的兩條直線，則?！ā?；

②設(shè)夕相交于直線/,若a內(nèi)有一條直線垂直于/,則C6；

③若a外一條直線/與a內(nèi)的一條直線平行，則〃/&-

以上說(shuō)法中成立的有（）個(gè).

A.0B.1C.2D.3

5.（2024高一下.四川成都.階段練習(xí)）設(shè)a,6為兩條直線，名尸為兩個(gè)平面，下列四個(gè)命題中，正確的命題

是（）

A.若aIla,bua,則a//6B.若aIla,b//p,a/1/3,則q//6

C.若。ua,bu。,a/lb,則a//尸D.若aUa,bua,a//b,則a//a

6.（2024高一下.全國(guó)?課后作業(yè)）如圖，己知立方體48CD—4〃。。，點(diǎn)E,F,G,〃分別是棱ADBB',

B'C,的中點(diǎn)，從中任取兩點(diǎn)確定的直線中，與平面49。，平行的條數(shù)是（）

A.0B.2

C.4D.6

7.（2024高一.全國(guó).課后作業(yè)）如果a,b表示直線，?,夕表示平面，那么下列說(shuō)法中正確的是（）

A.若abua,則a〃aB.若a〃a,b//a,則

C.若a〃b,b//a,則a〃aD.若a〃a,au0,a[\p=b,則a〃6

8.（2024高三.全國(guó)?專(zhuān)題練習(xí)）如圖，正方體ABCD-A4GR的棱長(zhǎng)為1,E,尸是線段8Q上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn),

BF/mACE,則麻的長(zhǎng)度為（）

A.2及B?學(xué)C.72D.2

9.（2024高一?全國(guó)?課后作業(yè)）直線。與平面a不平行，則a內(nèi)與a平行的直線有（）

A.無(wú)數(shù)條B.0條C.1條D.以上均不對(duì)

10.（2024高三?全國(guó)?對(duì)口高考）過(guò)直線/外兩點(diǎn)作與/平行的平面，那么這樣的平面（）

A.不存在B.只有一個(gè)C.有無(wú)數(shù)個(gè)D.不能確定

11.（2024高一?全國(guó)?課后作業(yè)）如果兩直線?！?,且“〃0（,則b與a的位置關(guān)系是（）

A.相交B.b//aC.buaD.b〃a或bua

12.（2024高一.全國(guó)?課后作業(yè)）b是平面a外的一條直線，下列條件中可得出Mla的是

A.b與a內(nèi)的一條直線不相交

B.6與a內(nèi)的兩條直線不相交

C.6與a內(nèi)的無(wú)數(shù)條直線不相交

D.6與。內(nèi)的所有直線不相交

13.（2024.全國(guó)）設(shè)a,4為兩個(gè)平面，則&〃Q的充要條件是

A.a內(nèi)有無(wú)數(shù)條直線與夕平行

B.a內(nèi)有兩條相交直線與夕平行

C.a,夕平行于同一條直線

D.a,夕垂直于同一平面

14.（2024?浙江）如圖已知正方體ABCD-ABIG。，M,N分別是4。，的中點(diǎn)，貝|（）

A.直線4。與直線垂直，直線MN〃平面43co

B.直線4。與直線平行，直線跖V，平面以兀（力

C.直線AQ與直線相交，直線MN〃平面ABC。

D.直線4。與直線。出異面，直線平面3。2瓦

15.（2024?全國(guó)）在正方體ABCD-A4G。中，E,尸分別為AB,BC的中點(diǎn)，貝|（）

A.平面片￡廠，平面8。。B.平面用跖，平面

C.平面片所〃平面AACD.平面4斯//平面

16.（2024高一下?四川成都?期末）在底面為等邊三角形的三棱柱ABC-AgG中，已知平面ABC,

AB=2,M=4,。是棱CG的中點(diǎn)，M是四邊形山狙4內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，若〃平面A&X則線段GM長(zhǎng)

度的最小值為（）

A.2A/2B.2C.y/3D.77

17.（2024高二上?浙江杭州?期中）如圖,四棱錐尸-48。。的底面至。。是平行四邊形,〃、"分別為線段尸C、

PB上一點(diǎn)，若PM:MC=3:1,且AN〃平面BDAf,則PN:NB=

B.3:1

C.3:2D.2:1

18.（2024高一?全國(guó)?課后作業(yè)）下列說(shuō)法正確的是（）

A.直線/平行于平面a內(nèi)的無(wú)數(shù)條直線，貝1|/〃a

B.若直線a在平面a外，則。〃a

C.若直線acb="，直線6ua,貝！Ja〃a

D.若直線a〃b,bua,那么直線a就平行于平面a內(nèi)的無(wú)數(shù)條直線

19.（2024高一?全國(guó)?課后作業(yè)）已知A、B、C、。是不共面四點(diǎn)，M,N分別是AACD、△BCD的重心.以

下平面中與直線MN平行的是（）

①平面ABC；②平面AflD；③平面ACZ）；④平面3C￡）.

A.①③B.①②C.①②③D.①②③④

20.（2024高三下.湖南岳陽(yáng)?開(kāi)學(xué)考試）a,b,c為三條不重合的直線，a,夕，7為三個(gè)不重合的平面，現(xiàn)

給出下面六個(gè)命題：

①a〃c,b//c,則a〃6；②若?！?,b//y,則

③&〃c,13//c,則a〃尸；④若a//y,/?〃7,則a〃萬(wàn)；

⑤若a〃c,a//c,則aPa；⑥若a〃7,a//y,則aPa.

其中真命題的個(gè)數(shù)是（）

A.4B.3C.2D.1

重難點(diǎn)專(zhuān)題04空間直線平面的平行-【同步題型講義】）如圖，點(diǎn)A、B、C、M.N為正方體的頂點(diǎn)或所

22.（2024高一上?廣西崇左?期末）過(guò)直線,外兩點(diǎn)，作與/平行的平面，則這樣的平面（）

A.不可能作出B.只能作出一個(gè)

C.能作出無(wú)數(shù)個(gè)D.上述三種情況都存在

二、填空題

23.（2024高一下?山東東營(yíng)?階段練習(xí)）以下四個(gè)命題中，真命題是（只填真命題的序號(hào)）.

①若。，6是兩條直線，且。/力，則a平行于經(jīng)過(guò)b的任何平面;

②若直線。和平面a滿足a//a,則a與?內(nèi)的任何直線平行；

③若直線。，6和平面口滿足?！╝,blla,則W力；

④若直線a,6和平面“滿足a//Z>,alia,b<Za,則b//a.

24.（2024高二上?江西贛州?階段練習(xí)）已知四棱錐P-ABC。的底面為平行四邊形，E,F,G分別為必，PD,

CD的中點(diǎn)，則BC與平面EFG的位置關(guān)系為.

25.（2024高三?全國(guó)?對(duì)口高考）如圖所示，已知ABCD是平行四邊形，點(diǎn)尸是平面ABCD外一點(diǎn)，M是PC

的中點(diǎn)，在立欣上取一點(diǎn)G,過(guò)G和AP作平面交平面雙砌于GH,則轉(zhuǎn)與G/Z的位置關(guān)系是.

26.（2024高一下.安徽馬鞍山.階段練習(xí)）如圖，四棱錐P-ABCD的底面A8CD是平行四邊形，分別為

線段PC,P3上一點(diǎn)，若PM：MC=4：1,且AN//平面雙必，則PN：NB=.

27.（2024高一上?全國(guó)?專(zhuān)題練習(xí)）正方體ABCD-ABCQ中，E為的中點(diǎn)，則與過(guò)A,C,E三

點(diǎn)的平面的位置關(guān)系是

28.（2024高一下?全國(guó)?課后作業(yè)）在AABC中，AB=5,AC=1,ZA=60°,G是重心，過(guò)G的平面。與

8C平行，ABrya=M,AC[}a=N,則AW=.

三、解答題29.（2024高三?全國(guó)?專(zhuān)題練習(xí)）如圖，四棱錐P-ABCD的底面ABC。為正方形，E為依的

中點(diǎn).證明：尸￡）〃平面E4C.

B2-----------------%

30.（2024高三?全國(guó)?專(zhuān)題練習(xí)）在四棱錐P-ABCD中，底面A3CD為直角梯形，BC//AD,

BC=CD=^AD=l,E為線段AD的中點(diǎn)，平面5EF與棱尸。相交于點(diǎn)G.

求證：BE//FG.

31.（2024高三.全國(guó)?專(zhuān)題練習(xí)）四棱錐S-ABCD中，底面ABCD為矩形，平面&W與平面S3C的交線為/,

求證：直線/平行于平面ABCD.

32.（2024高三.全國(guó)?專(zhuān)題練習(xí)）如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面A3CD是梯形，AB//CD,AB=2CD,

E為棱尸3的中點(diǎn).證明：CE〃平面PAD.

33.（2024高三?全國(guó)?專(zhuān)題練習(xí)）如圖，在三棱錐P-ABC中，E,尸分別為PC,尸3的中點(diǎn)，平面AEP與底面

A3C的交線為/.證明："/平面P3C.

34.（2024（W；二.全國(guó)?專(zhuān)題練習(xí)）在如圖所示的圓柱中，A3,C￡）分別是下底面圓0,上底面圓。1的直徑,

ADIC是圓柱的母線，E為圓。上一點(diǎn)，尸為。E上一點(diǎn)，且OP〃平面BCE.

求證：DP=PE.

35.（2024高三.全國(guó)?專(zhuān)題練習(xí)）如圖所示，四邊形EFGH為空間四邊形ABC。的一個(gè)截面，若截面為平行

四邊形.求證：〃平面EFGH.

36.（2024高三?全國(guó)?專(zhuān)題練習(xí)）如圖，直四棱柱A8C。-A4G。被平面a所截,截面為CDEF,且EF=DC,

DC=2AD=4AE=2,ZADC=~,平面EFCD與平面ABCD所成角的正切值為.證明：AD//BC.

i33

37.（2024高三.全國(guó)?專(zhuān)題練習(xí)）在圓柱中，等腰梯形ABC。為底面圓。|的內(nèi)接四邊形，且

AD=DC=BC=1,矩形ABFE是該圓柱的軸截面，CG為圓柱的一條母線，CG=1.

求證：平面QCG〃平面ADE.

38.（2024高三.全國(guó)?專(zhuān)題練習(xí)）如圖，在矩形ABCD中，點(diǎn)E在邊上，且滿足A。=DE==走,

2

將VADE沿AE向上翻折，使點(diǎn)。到點(diǎn)尸的位置，構(gòu)成四棱錐P-ABCE.點(diǎn)F在線段AP上，且斯//平面

PBC,試確定點(diǎn)r的位置.

39.（2024高三?全國(guó)?專(zhuān)題練習(xí)）如圖所示，在直三棱柱ABC-AB?中，AC1BC,AC=BC=CCX=2,

點(diǎn)。、E分別為棱AC、4G的中點(diǎn)，點(diǎn)歹是線段8片上的點(diǎn)（不包括兩個(gè)端點(diǎn)）.設(shè)平面。斯與平面ABC

相交于直線加，求證：A4//m.

40.（2024高三.全國(guó)?專(zhuān)題練習(xí)）如圖，在三棱錐尸-ABC中，點(diǎn)E是PC的中點(diǎn)，點(diǎn)P在尸3上，平面AEb

與平面ABC相交于直線/,BC//1,證明：F是PB的中點(diǎn).

41.（2024高三?全國(guó)?專(zhuān)題練習(xí)）直四棱柱ABCD-4耳G。中，AB//DC,求證：〃平面。CCQ.

42.（2024高三?全國(guó)?專(zhuān)題練習(xí)）如圖，在三棱錐B-ACD中，AB=BC,DA±AC,G為點(diǎn)3在平面ACD

上的射影，〃為BC的中點(diǎn).證明：MG〃平面MD.

43.（2024高三?全國(guó)?專(zhuān)題練習(xí)）如圖，四棱錐P-ASCD中，陽(yáng)，平面A3CD,四邊形ABCD是正方形，E,

F,G分別是棱BC,AD,的中點(diǎn).證明：PE〃平面BFG.

P

44.（2024高三?全國(guó)?專(zhuān)題練習(xí)）如圖，在三棱柱ABC-A與G中，底面ABC,AB=AC=45,BC=2,

A4,=0,D、E分別為棱BC、44的中點(diǎn)，4P=2麗，QQ=2QE.求證：尸?！ㄆ矫鍯|A。.

45.（2024高三?全國(guó)?專(zhuān)題練習(xí)）在四棱錐P-ABCD中，四邊形ABCD為矩形，E為棱48的中點(diǎn)，DE與AC

交于點(diǎn)b，G為APBC的重心.求證：尸G〃平面

46.（2024高三.全國(guó)?專(zhuān)題練習(xí)）如圖，在正三棱柱ABC-A4G中，。，2,尸分別是BC,A片的中

點(diǎn)，BC=4B￡，求證：EF〃平面

47.（2024高三.全國(guó)?專(zhuān)題練習(xí)）如圖，四棱錐尸-ABCD的底面是矩形，E、尸分別是48、尸￡）的中點(diǎn).求證:

AF〃平面PEC.

48.（2024高三.全國(guó)?專(zhuān)題練習(xí)）如圖，在多面體ABCDEF中,四邊形A8CD是正方形，AE//CF,AE=2CF,

G為AE的中點(diǎn).求證：CG〃平面DEF.

Bc

49.（2024高一.全國(guó)?課后作業(yè)）長(zhǎng)方體48。-4旦￡。中,M是矩形BCC4的中心，N是矩形CDDg的

中心.證明：MM/平面ABCD

50.（2024高三.全國(guó).專(zhuān)題練習(xí)）在多面體A3CGA耳中，四邊形24cle是正方形，A為A片的中點(diǎn)，求證:

直線AC//平面A^G.

51.（2024高三上.陜西漢中?期末）如圖，在三棱柱ABC-A4G中，41口平面ABC,且

AAMABMBCMACMZ,點(diǎn)E是棱AB的中點(diǎn).

G

⑴求證：26//平面4比；

（2）求三棱錐E-A〈G的體積.

52.（2024高三?全國(guó)?專(zhuān)題練習(xí)）如圖，在直三棱柱ABC-ABC中，點(diǎn)。是棱BC的中點(diǎn).求證：〃平

面ACtD.

53.（2024高三?全國(guó)?專(zhuān)題練習(xí)）在如圖所示的三棱錐O-MC中，已知E為A3的中點(diǎn)，尸為AC的中點(diǎn),

G為CD的中點(diǎn).證明：AD//平面￡FG.

54.（2024高三.全國(guó)?專(zhuān)題練習(xí)）如圖，四棱錐尸-ABCD中，四邊形ABC。為梯形，AB//CD,ADJ.AB,

AB=AP=2OC=4,PB=2AD=4五,PD=2瓜M,N分別是P。，P8的中點(diǎn).求證：直線加N//平

面ABCD.

55.（2024高三.全國(guó)?專(zhuān)題練習(xí)）如圖所示，在正四棱錐P-ABCD中，底面ABC。的中心為。，尸。邊上的

垂線交線段尸。于點(diǎn)孔PF=2FO.證明：EO〃平面尸BC.

56.（2024高三.全國(guó)?專(zhuān)題練習(xí)）如圖，在四棱錐尸-ABCD中，AZMBC,BC=2,4。=4,點(diǎn)E為的中點(diǎn).求

證：3E〃平面PCD

p

57.（2024高三?全國(guó)?專(zhuān)題練習(xí)）如圖1,在平行四邊形ABCM中，AB=2BC=273,ZMAD=60°,D為CM

的中點(diǎn)，AF=^FC,AH=HD，沿AD將翻折到△R4D的位置，如圖2.證明：加7/平面PBD.

58.（2024高三.全國(guó)?專(zhuān)題練習(xí)）如圖，在四棱錐尸-ABCD中，ADUBC,ZADC=ZPAB=90°,

BC=CD=^AD=\,E為邊AO的中點(diǎn)，異面直線出與8所成的角為90。.在直線R4上找一點(diǎn)使

得直線MC〃平面PBE,并求*的值.

AP

P

59.（2024高二?全國(guó)?專(zhuān)題練習(xí)）在四棱錐尸-ABCD中，己4,底面ABCD,且上4=2,四邊形ABCD是直

角梯形，且至，AD,BC//AD,AD=AB=2,3c=4,M為PC中點(diǎn)，E在線段BC上，且5E=1.求證:

OW//平面上4B；

60.（2024?四川南充?三模）如圖所示，已知AC3D是圓錐SO底面的兩條直徑，M為劣弧BC的中點(diǎn).

（2）若/BOC=T，E為線段上的一點(diǎn)，且SE=2EM,求證：平面3CE〃平面皿入

61.（2024高二.全國(guó)?專(zhuān)題練習(xí)）如圖，在三棱柱ABC-人出。中，平面ABC,D,￡分別為棱AB,