湘教版八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)壓軸題：分式方程及分式方程的實(shí)際應(yīng)用（七種模型）原卷版+解析

專題05分式方程及分式方程的實(shí)際應(yīng)用壓軸題七種模型全攻略

.【考點(diǎn)導(dǎo)航】

【典型例題】

【考點(diǎn)一分式方程的定義】

【考點(diǎn)二解分式方程】

【考點(diǎn)三已知分式方程的增根求參數(shù)】

【考點(diǎn)四已知分式方程的無解求參數(shù)】

【考點(diǎn)五根據(jù)分式方程解的情況求值】

【考點(diǎn)六列分式方程】

【考點(diǎn)七分式方程的實(shí)際應(yīng)用】

尸口

LB【典型例題】

【考點(diǎn)一分式方程的定義】

例題：（2023春?浙江?七年級(jí)專題練習(xí)）下列是分式方程的是（）

【變式訓(xùn)練】

1.（2023春?陜西西安?八年級(jí)高新一中?？茧A段練習(xí)）下列關(guān)于x的方程中，是分式方程的是（）

[Q22，，

2.（2023春?全國?八年級(jí)專題練習(xí)）已知方程：①匕咨=0,0-+—=1,③龍+—=2+二，④

x22x+2x—2

4

（x+-）（x-6）=-l.這四個(gè)方程中，分式方程的個(gè)數(shù)是（）

A.4B.3C.2D.1

【考點(diǎn)二解分式方程】

例題：（2023春?廣東清遠(yuǎn)?八年級(jí)?？计谥校┙夥匠?

1-x-4x-2x

⑴⑵———+2=------

x—2x—1x+1

【變式訓(xùn)練】

1.（2023春?河北保定?八年級(jí)保定十三中校考階段練習(xí)）解方程

⑴主型=」--2；（2）-----------=1.

x-33-xx-2x+2

2.（2023?四川攀枝花??？家荒＃┙夥匠?

⑴匚1）已；

【考點(diǎn)三已知分式方程的增根求參數(shù)】

例題：（2023?湖南永州?統(tǒng)考中考真題）若關(guān)于x的分式方程-----=1（m為常數(shù)）有增根，則增根是

x-44-x

【變式訓(xùn)練】

1.（2023?黑龍江大慶?統(tǒng)考三模）關(guān)于x的方程"2Y-+Y]YLH+l有增根，則根的值是____.

x-33-x

2HtX|

2.（2023?全國?九年級(jí)專題練習(xí)）已知關(guān)于x的分式方程「+三有增根，則加的值為

X—IIX—1IIX+IX十，

【考點(diǎn)四已知分式方程的無解求參數(shù)】

Z7V4

例題：（2023春?湖北武漢?八年級(jí)統(tǒng)考開學(xué)考試）如果關(guān)于尤的方程」"+三匚=1無解，則a的值為—

【變式訓(xùn)練】

1.（2023春?安徽蚌埠?七年級(jí)蚌埠第三十一中學(xué)校考階段練習(xí)）①若關(guān)于x的方程三=1+含有增根,

則增根是％=.

②若關(guān)于X的方程三=1+言無解，則。的值為.

1mm+S

2.（2023?安徽滁州?校聯(lián)考二模）若關(guān)于x的分式方程一1+1=:^無解，則用的值為_____.

x-5x+5x-25

【考點(diǎn)五根據(jù)分式方程解的情況求值】

例題：（2023春?福建泉州?八年級(jí)校聯(lián)考期中）若關(guān)于x的分式方程--3='）的解是正數(shù).則相的取

x—3x—3

值范圍是.

【變式訓(xùn)練】

1.（2023?四川眉山?統(tǒng)考中考真題）關(guān)于x的方程五1=二的解為非負(fù)數(shù)，則機(jī)的取值范圍是

x—22—x

2.（2023春?浙江?七年級(jí)專題練習(xí)）若關(guān)于x的分式方程T+W巴=4的解為正整數(shù)，則正數(shù)機(jī)的值是

x—33—x

【考點(diǎn)六列分式方程】

例題：（2023,遼寧鞍山?統(tǒng)考三模）己知甲廠燒100噸煤與乙廠燒120噸煤所用的天數(shù)相同，已知甲、乙兩

廠每天一共燒煤33噸，求甲、乙兩廠每天分別燒煤多少噸？若設(shè)甲廠每天燒x噸煤，則根據(jù)題意列方程為

【變式訓(xùn)練】

1.（2023,江蘇宿遷,統(tǒng)考三模）某地開展建設(shè)綠色家園活動(dòng)，活動(dòng)期間，計(jì)劃每天種植相同數(shù)量的樹木，該

活動(dòng)開始后，實(shí)際每天比原計(jì)劃每天多植樹40棵，實(shí)際植樹400棵所需時(shí)間與原計(jì)劃植樹320棵所需時(shí)間

相同.設(shè)實(shí)際每天植樹尤棵，則可列方程為.

2.（2023?山西晉城?校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）《九章算術(shù)》是我國古代重要的數(shù)學(xué)專著之一，其中記錄的一道題譯

為白話文是：把一份文件送到900里（1里=0.5千米）外的城市，如果用慢馬送，需要的時(shí)間比規(guī)定的時(shí)

間多1天；如果用快馬送，需要的時(shí)間比規(guī)定的時(shí)間少3天.已知快馬的速度是慢馬速度的2倍，求規(guī)定

的時(shí)間.設(shè)規(guī)定的時(shí)間為尤天，則可列方程為.

【考點(diǎn)七分式方程的實(shí)際應(yīng)用】

例題：（2023?吉林白山?校聯(lián)考三模）第5代移動(dòng)通信技術(shù)簡(jiǎn)稱5G,某地已開通5G業(yè)務(wù)，經(jīng)測(cè)試5G下載速

度是4G下載速度的16倍，小明和小強(qiáng)分別用5G與4G下載一部960兆的公益片，小明比小強(qiáng)所用的時(shí)間

快150秒，求該地4G與5G的下載速度分別是每秒多少兆？

【變式訓(xùn)練】

1.（2023?湖南岳陽?統(tǒng)考中考真題）水碧萬物生，岳陽龍蝦好.小龍蝦產(chǎn)業(yè)已經(jīng)成為岳陽鄉(xiāng)村振興的“閃亮

名片已知翠翠家去年龍蝦的總產(chǎn)量是4800kg,今年龍蝦的總產(chǎn)量是6000kg,且去年與今年的養(yǎng)殖面積

相同，平均畝產(chǎn)量去年比今年少60kg,求今年龍蝦的平均畝產(chǎn)量.

2.（2023春?廣東佛山?八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）2023年5月，江西省突發(fā)港澇災(zāi)害，為響應(yīng)政府救援號(hào)召，

甲、乙兩公司組織全體員工參與"眾志成城，人間大愛”捐款活動(dòng)，甲公司共攜款100000元，乙公司共捐款

140000元.下面是甲、乙兩公司員工的一段對(duì)話：

我們公司的人數(shù)比我們公司的人均捐款

你們公司少30人。數(shù)是你們公司的看倍。

甲公司員工乙公司員工

⑴甲、乙兩公司各有多少人？

⑵現(xiàn)甲、乙兩公司共同使用這筆捐款購買A、B兩種防疫物資，A種防疫物資每箱15000元，B種防疫物

資每箱12000元.若購買8種防疫物資不少于10箱，并恰好將捐款用完，有幾種購買方案？（注：A、8兩

種防疫物資均需購買，并按整箱配送）.

【過關(guān)檢測(cè)】

一、選擇題

921

1.（2023秋?河北石家莊?八年級(jí)?？计谀┓质椒匠蘫大——==的解為（）

x-9x-3x+3

A.2B.-3C.3或一3D.無解

2.（2023春?全國?八年級(jí)專題練習(xí)）已知方程：①匕咨=o；②二+土=i③工+三=2+三；④

xx2x-2x-2

，+：（x-6）=T.這四個(gè)方程中，分式方程的個(gè)數(shù)是（）

A.4B.3C.2D.1

3.（2023?四川南充?統(tǒng)考二模）關(guān)于無的方程佇1=1的解是負(fù)數(shù)，則〃的取值范圍是（）

X+1

A.a<2B.a>lC.a>l,且aw2D.a<2,且awl

4.（2023?黑龍江綏化?統(tǒng)考二模）若關(guān)于x的分式方程2*TH無解，則根的值為（）

xx—2

A,05.2或4C.4D0或2

5.（2023?湖南林K州?統(tǒng)考中考真題）小王從A地開車去5地，兩地相距240%M.原計(jì)劃平均速度為了6/力,

實(shí)際平均速度提高了50%,結(jié)果提前1小時(shí)到達(dá).由此可建立方程為（）

2402401240240?240240?

A.-----=1B.---------二1C.-------------=1D.x+1.5x=240

0.5尤xx1.5%1.5xx

二、填空題

6.（2023春?浙江?七年級(jí)專題練習(xí)）下列方程是關(guān)于x的方程,其中是分式方程的是.（只填序號(hào)）

ax+b；②）x+5lxa+ba+b

=5*+Z?+2=詞*+2=比三；④=—:（5）1+—=2--；⑥

23a2x-\xxxxa

/zx111b小x—b小x+b小x—nx+m八

⑦——="——；⑧——=2+——；⑨——十——=2.

axbxaax+mx—n

7.（2023春?上海徐匯?八年級(jí)上海市園南中學(xué)?？茧A段練習(xí)）某校組織學(xué)生步行去相距5千米的科技館春游,

返回時(shí)由于步行速度比去時(shí)每小時(shí)少2千米，結(jié)果時(shí)間比去時(shí)多用了半小時(shí)，如果設(shè)學(xué)生去時(shí)的步行速度

是1千米/時(shí)，則可根據(jù)題目列出方程.

8.（2023春?上海寶山?八年級(jí)校考期中）已知解關(guān)于x的方程產(chǎn)生增根，那么加的值是.

9.（2023春?全國,七年級(jí)專題練習(xí)）若關(guān)于無的分式方程三+7=三無解，則機(jī)的值為.

x-2x-4尤+2-

YYI3

10.（2023春?全國?八年級(jí)專題練習(xí)）關(guān)于x的分式方程—+2=—；有正數(shù)解，則符合條件的負(fù)整數(shù)小的

1-xx-1

和是.

三、解答題

n.(2023春?浙江?七年級(jí)專題練習(xí))解分式方程:

(1)^^+^—=3

2x-ll-2x

736

⑵-~—7

X+XX—XX—1

12.(2023春?浙江?七年級(jí)專題練習(xí))解方程

⑴，=2；

x-lX+1

，72%21

(2)---1--------=------.

x2-9x+3x-3

13.（2023春?全國?八年級(jí)專題練習(xí)）解下列分式方程:

…x8x+2

(1)+-——7=------

x+24—xx—2

(2)1=r-------------

x-2x-4x+4

713

(3)

X—xX2+X

(x2—x2無一尤2x2—3x+2

14.（2023春?浙江?七年級(jí)專題練習(xí)）某商店3月份購進(jìn)一批T恤衫，進(jìn)價(jià)合計(jì)12萬元，因暢銷，商店又于

4月份購進(jìn)一批同品牌T恤衫，進(jìn)價(jià)合計(jì)18.75萬元，數(shù)量是3月份的1.5倍，但每件進(jìn)價(jià)漲了5元.這兩

批T恤衫開始都以每件180元出售，到5月初，商店把剩下的100件打八折出售，很快售完，問：3,4月

份一共購進(jìn)多少件T恤衫？商店售完后可獲利潤(rùn)（銷售收入減去進(jìn)價(jià)總計(jì)）多少元？

15.（2023?山西陽泉?校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）據(jù)山西省住房和城鄉(xiāng)建設(shè)廳消息，2023年，山西省將開工改造城鎮(zhèn)

老舊小區(qū)1855個(gè)，優(yōu)先將養(yǎng)老托幼、日間照料、社區(qū)食堂等公共服務(wù)設(shè)施配套建設(shè)作為提升改造內(nèi)容.某

社區(qū)改造社區(qū)食堂需要租用垃圾專用車清理建筑垃圾，調(diào)研發(fā)現(xiàn)：若租用甲、乙兩車運(yùn)送，兩車各運(yùn)12趟

可完成，已知甲、乙兩車單獨(dú)運(yùn)完這些垃圾，乙車所運(yùn)趟數(shù)是甲車的2倍，求甲、乙兩車單獨(dú)運(yùn)完這些垃

圾各需運(yùn)多少趟？

2JTIX1

16.(2023春?全國?八年級(jí)專題練習(xí))已知關(guān)于％的方程一--=--

x-1(x-l)(x+2)X+2

(1)已知加=4,求方程的解；

⑵若該方程無解，試求機(jī)的值；

17.(2023?重慶?三模)為了加快推進(jìn)環(huán)境建設(shè)，構(gòu)建生態(tài)宜居城市，實(shí)現(xiàn)“河暢、水清、岸綠、景美”的目標(biāo)，

九龍坡區(qū)計(jì)劃安排甲、乙兩個(gè)施工隊(duì)對(duì)一條全長(zhǎng)為4100米的河道進(jìn)行清淤施工.經(jīng)調(diào)查知：甲隊(duì)每天清淤

的河道長(zhǎng)度是乙隊(duì)每天清淤的河道長(zhǎng)度的1.5倍，甲隊(duì)清淤1200米的河道比乙隊(duì)清淤同樣長(zhǎng)的河道少用2

天.

⑴甲、乙兩隊(duì)每天清淤的河道長(zhǎng)度分別是多少米？

⑵若該條河道先由甲隊(duì)單獨(dú)清淤2天，余下的河道由甲乙兩隊(duì)合作清淤.已知甲隊(duì)施工一天的費(fèi)用為3.2萬

元，乙隊(duì)施工一天的費(fèi)用為2.8萬元，求完成該條河道清淤施工的總費(fèi)用.

18.(2023春?安徽蚌埠?七年級(jí)蚌埠第三十一中學(xué)?？茧A段練習(xí))同學(xué)們學(xué)過分式方程，分式方程有一步必

不可少的一驗(yàn)根.下面給出一些方式方程，它們都有一個(gè)共同的特點(diǎn)：

若x+J_=2+8，則方程的解為2或;；

x2/

111

若1+―=3+彳，則方程的解為3或:；

x33

111

若兀+—=4+:，則方程的解為4或工；

x44

請(qǐng)你用觀察出的特點(diǎn)解決以下問題：

(1)若%+，=6+，，則方程的解為元=_____.

x6

(2)苦x+—匚=9］，求此方程的解.

⑶若％+_L_=d±即土1,求此方程的解(用含有。的代數(shù)式表示).

9x-63a

專題05分式方程及分式方程的實(shí)際應(yīng)用壓軸題七種模型全攻略

..【考點(diǎn)導(dǎo)航】

目錄

【典型例題】...................................................................................1

【考點(diǎn)一分式方程的定義】.................................................................1

【考點(diǎn)二解分式方程】.....................................................................1

【考點(diǎn)三已知分式方程的增根求參數(shù)】.......................................................2

【考點(diǎn)四已知分式方程的無解求參數(shù)】.......................................................2

【考點(diǎn)五根據(jù)分式方程解的情況求值1...................................................................................3

【考點(diǎn)六列分式方程】.....................................................................3

【考點(diǎn)七分式方程的實(shí)際應(yīng)用】.............................................................3

【過關(guān)檢測(cè)】...................................................................................

尸.1

J注【典型例題】

【考點(diǎn)一分式方程的定義】

例題：（2023春?浙江?七年級(jí)專題練習(xí)）下列是分式方程的是（

x+4nxx-5八D.-^—+1=0

B.-+------=0

從Ui*342x+2

【答案】D

【分析】根據(jù)分母中含有未知數(shù)的方程叫做分式方程，對(duì)每個(gè)選項(xiàng)進(jìn)行判斷，找出是等式，且分母含有未

知數(shù)的方程，即可得解.

【詳解】解：A、是一個(gè)代數(shù)式，不是方程，所以A不是分式方程；

8、是一元一次方程，是整式方程，所以B不是分式方程；

C、是一元一次方程，是整式方程，所以C不是分式方程；

D、分母含有未知數(shù)%所以。是分式方程；

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題考查分式方程的定義，正確理解分式方程的概念是解題的關(guān)鍵.

【變式訓(xùn)練】

1.（2023春?陜西西安?八年級(jí)高新一中校考階段練習(xí)）下列關(guān)于x的方程中，是分式方程的是（）

3

D.—x—1

5

【答案】C

【分析】根據(jù)分式方程的定義判斷選擇即可.

【詳解】解：A.孚，是一元一次方程，不符合題意;

56

B.是一元一次方程，不符合題意；

23

Y—1

C,鋁=3,是分式方程，符合題意；

7+x

3

D.|x=l,是一元一次方程，不符合題意.

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題考查分式方程的定義.掌握分式方程是指分母里含有未知數(shù)的有理方程是解答本題的關(guān)鍵.

2.（2023春?全國?八年級(jí)專題練習(xí)）己知方程：①上孚=0,②2+工=1,③龍+三=2+士，④

x22x+2x-2

4

（x+-）（x-6）=-l,這四個(gè)方程中，分式方程的個(gè)數(shù)是（）

A.4B.3C.2D.1

【答案】C

【分析】分母中含有未知數(shù)的方程叫分式方程，根據(jù)定義判斷即可.

【詳解】解：①上￥=0,是分式方程；

X

2

@-+—=1,是整式方程；

22

③1+—-=2+—是分式方程；

x+2x—2

④（尤+令（尤-6）=-1,是整式方程，

則分式方程的個(gè)數(shù)是2.

故選：C.

【點(diǎn)睛】此題考查了分式方程的定義，熟練掌握分式方程的定義是解本題的關(guān)鍵.

【考點(diǎn)二解分式方程】

例題：(2023春?廣東清遠(yuǎn)?八年級(jí)?？计谥?解方程:

【答案】⑴x=l

(2)無解

【分析】(1)方程兩邊同乘以(x-2)化為整式方程求解；

(2)方程兩邊同乘以化為整式方程求解.

【詳解】(1)去分母得：1-尤=-2-2元+4,

解得：x=l,

經(jīng)檢驗(yàn)x=l是分式方程的解；

(2)去分母得：-4X+2%2-2=2%2-2X,

解得：X=T,

經(jīng)檢驗(yàn)x=-l是增根，分式方程無解.

【點(diǎn)睛】本題主要考查分式方程的解法，解題的關(guān)鍵是找準(zhǔn)最簡(jiǎn)公分母，將原分式方程化為整式方程，并

且注意要檢驗(yàn)方程的解.

【變式訓(xùn)練】

1.(2023春?河北保定?八年級(jí)保定十三中校考階段練習(xí))解方程

⑴生三=」--2；(2)————=1.

x-33-xx-2x+2

【答案】⑴無解

[2}x=-6

【分析】(1)分式方程去分母轉(zhuǎn)化為整式方程，求出整式方程的解得到x的值，經(jīng)檢驗(yàn)即可得到分式方程的

解；

(2)分式方程去分母轉(zhuǎn)化為整式方程，求出整式方程的解得到x的值，經(jīng)檢驗(yàn)即可得到分式方程的解.

【詳解】(1)解：土2-—r=91--2,

x-53-x

去分母得：2—x=-1—2(x—3),

解得：x-3,

檢驗(yàn)：把x=2代入得：x-3=0,是增根,

二分式方程無解；

x—2x+2

去分母得：x(x+2)—(x—2)=(x+2)(x—2),

解得：x--6,

檢驗(yàn)：把x=-6代入得：(X+2)(X-2)H0,

.??分式方程的解為x=-6.

【點(diǎn)睛】此題考查了解分式方程，利用了轉(zhuǎn)化的思想，解分式方程注意要檢驗(yàn).

2.(2023?四川攀枝花?校考一模)解方程:

2r?14

(D—+1=—7；(2)--+--=

x+1x—1a+QCL—aa—1

【答案】(l)x=3是原分式方程的解

⑵原分式方程無解

【分析】(1)根據(jù)解分式方程的方法解方程即可，注意要檢驗(yàn)；

(2)根據(jù)解分式方程的方法解方程即可，注意要檢驗(yàn).

【詳解】(1)解：方式方程兩邊同時(shí)乘以(x+l)(x-1),

得2(x—=,

解得尤=3,

當(dāng)x=3時(shí)，(x+l)(x—1)w0,

所以原分式方程的解是x=3；

(2)解：原分式方程可化為，

214

-----1-----=--------

兩邊同時(shí)乘以々(。+1)(?！?),

得2(〃-l)+(a+l)=4ci,

解得a=-l,

當(dāng)a=-1時(shí)，a(a+l)(a-1)=0,

所以原分式方程無解.

【點(diǎn)睛】本題考查解分式方程，掌握解分式方程的步驟正確計(jì)算是解題的關(guān)鍵.

【考點(diǎn)三已知分式方程的增根求參數(shù)】

例題：（2023?湖南永州?統(tǒng)考中考真題）若關(guān)于x的分式方程一1--m4=1（m為常數(shù)）有增根，則增根是

x-44-x

【答案】x=4

【分析】根據(jù)使分式的分母為零的未知數(shù)的值，是方程的增根，計(jì)算即可.

【詳解】團(tuán)關(guān)于x的分式方I程4yn=1（小為常數(shù)）有增根，

x-44-x

團(tuán)無一4=0,

解得x=4,

故答案為：x=4.

【點(diǎn)睛】本題考查了分式方程的解法，增根的理解，熟練掌握分式方程的解法是解題的關(guān)鍵.

【變式訓(xùn)練】

1.（2023?黑龍江大慶?統(tǒng)考三模）關(guān)于x的方程口=4+1有增根，則根的值是____.

x—33-x

【答案】-7

【分析】分式方程去分母轉(zhuǎn)化為整式方程，由分式方程有增根，求出x的值，代入整式方程計(jì)算即可求出機(jī)

的值.

【詳解】解：去分母得：2x+l=f?+x-3,

解得X=-772-4,

由分式方程有增根，得到x-3=0,即x=3,

團(tuán)一力z-4=3,

解得：m=—7.

故答案為：-7.

【點(diǎn)睛】此題考查了分式方程的增根，增根確定后可按如下步驟進(jìn)行：①化分式方程為整式方程；②把增

根代入整式方程即可求得相關(guān)字母的值.

2HTX|

2.（2023?全國?九年級(jí)專題練習(xí)）已知關(guān)于尤的分式方程丁+仆1“一,=力有增根，則機(jī)的值為

X—1IX—1IIA+ZIX-rZ

【答案】-6或1.5

【分析】分式方程去分母轉(zhuǎn)化為整式方程，整理后根據(jù)一元一次方程無解條件求出機(jī)的值；由分式方程增

根求出X的值，代入整式方程求出m的值即可.

2mx1

【詳解】解：hg)(x+2)F

2(x+2)+mx=x-l

2x+4+mx=x—1

(m+l)x=-5,

當(dāng)(x-l)(x+2)=0,即x=l或x=-2時(shí)，分式方程有增根，

當(dāng)x=l時(shí)，心+1=-5,解得m=-6；

當(dāng)x=—2時(shí)，—2。〃+1)=-5,解得機(jī)=1.5；

故機(jī)的值是-6或1.5,

故答案為：-6或1.5.

【點(diǎn)睛】此題考查了分式方程的解，弄清分式方程增根的條件是解本題的關(guān)鍵.

【考點(diǎn)四已知分式方程的無解求參數(shù)】

例題：(2023春?湖北武漢?八年級(jí)統(tǒng)考開學(xué)考試)如果關(guān)于x的方程旦;+4一=1無解，則。的值為一.

x-22-x

【答案】1或2

【分析】根據(jù)方程無解得出其對(duì)應(yīng)的整式方程的解是x=2或整式方程無解，即可求出a.

【詳解】解：將方程兩邊同時(shí)乘以(x-2),

彳導(dǎo)：cix—4-x—2,

整理得：(a-l)x=2,

團(tuán)該分式方程無解，

?2

回。一1=0或——=2,

a-1

回。=1或2,

故答案為：1或2.

【點(diǎn)睛】本題考查了分式方程無解的問題，解題關(guān)鍵是掌握分式方程無解說明了其對(duì)應(yīng)的整式方程無解或

整式方程的解使分母為零.

【變式訓(xùn)練】

1.（2023春?安徽蚌埠?七年級(jí)蚌埠第三十一中學(xué)校考階段練習(xí)）①若關(guān)于x的方程三=1+含有增根,

則增根是工=.

②若關(guān)于x的方程==1+」二無解，則〃的值為_____.

x-4x-4

【答案】42或3

【分析】①根據(jù)分式方程有增根，即分母為。進(jìn)行求解即可；

②分式方程去分母轉(zhuǎn)化為整式方程，由分式方程有增根確定出a的值即可.

【詳解】解：①國分式方程有增根，

團(tuán)無一4=0,

回x=4,

故答案為:4；

②工=1+3

x-4x-4

去分母得：3x=x-A+ax,

移項(xiàng)得：3x—x—ax=-4,

合并同類項(xiàng)得：（2-〃）%=-4,

當(dāng)2-〃=0,即a=2時(shí)，（2）％=-4無解，分式方程無解；

當(dāng)2—awO時(shí)，系數(shù)化為1得：工=4_4，

2-a

團(tuán)分式方程有增根，

團(tuán)光—4=0,BPX=4,

-4

團(tuán)---=4,

2—CL

解得4=3,

經(jīng)檢驗(yàn)，。=3是m=4的解，

2—a

團(tuán)Q=3,

綜上可知，。=2或。=3,

故答案為：2或3；

【點(diǎn)睛】本題主要考查了分式方程有增根的情況，熟知分式方程有增根的情況是分式方程分母為0.

2.（2023?安徽滁州?校聯(lián)考二模）若關(guān)于x的分式方程工+/[=/三無解，則根的值為______.

x-5x+5x-25

【答案】T或5或-,

【分析】直接解方程再利用一元一次方程無解和分式方程無解分別分析得出答案.

1mm+5

【詳解】解:-------1-------=-------

x—5%+5x—25

去分母得：x+5+m(x-5)=m+5,

可得：（根+1）x=6M，

當(dāng)根+1=0時(shí)，一元一次方程無解，

此時(shí)機(jī)=-1；

6H7

當(dāng)根+1W0,入=一；=±5時(shí)，分式方程無解，

m+1

解得：〃?=5或一得；

故答案為：-1或5或-

【點(diǎn)睛】本題主要考查了分式方程的解，正確分類討論不要漏解是解題關(guān)鍵.

【考點(diǎn)五根據(jù)分式方程解的情況求值】

例題：（2023春?福建泉州?八年級(jí)校聯(lián)考期中）若關(guān)于尤的分式方程*-3==的解是正數(shù).則m的取

x-3x-3

值范圍是.

【答案】機(jī)<9且〃件3

【分析】將分式方程去分母轉(zhuǎn)化為整式方程，由分式方程有正數(shù)解，即可確定出機(jī)的范圍.

【詳解】解：去分母得：x-3（x-3）=m,

團(tuán)分式方程解為正數(shù)，

9-m-?9-m一

0------>0,且-----K3,

22

解得：機(jī)<9且W3,

故答案為：m<9且〃件3.

【點(diǎn)睛】此題考查了分式方程的解，始終注意分母不為。這個(gè)條件.

【變式訓(xùn)練】

1.（2023?四川眉山?統(tǒng)考中考真題）關(guān)于尤的方程巨：-1=品■的解為非負(fù)數(shù)，則相的取值范圍是

x-22-x

【答案】mW—1且nzw—3

【分析】解分式方程，可用加表示了,再根據(jù)題意得到關(guān)于加的一元一次不等式即可解答.

【詳解】解：解=-1=三±可得尤=-帆-1,

x-22-x

x的方程"?-1=三土的解為非負(fù)數(shù)，

x-22-x

一m—1之0,

解得機(jī)4-1,

x—2w0,

-in—1—2w0,

即mw—3,

機(jī)的取值范圍是加工一1且加w-3,

故答案為：機(jī)＜-1且加。-3.

【點(diǎn)睛】本題考查了根據(jù)分式方程的解的情況求值，注意分式方程無解的情況是解題的關(guān)鍵.

2.（2023春?浙江?七年級(jí)專題練習(xí)）若關(guān)于％的分式方程江（+==4的解為正整數(shù)，則正數(shù)根的值是

x-33-x

【答案】6或9

【分析】先按照解分式方程的步驟求出尤=-$“+4,再根據(jù)X-3W0結(jié)合分式方程的解為正整數(shù)進(jìn)行求解

即可.

【詳解】解：=+三=4

x-33-x

去分母得:x+m-2m=4（x-3）,

去括號(hào)得：x+m-2m=4x-12f

移項(xiàng)得：%—4x=—12—m+2m,

合并同類項(xiàng)得：-3%=12,

系數(shù)化為1得：x=-jm+4,

回x—3。0,即xw3,

團(tuán)——加+4w3,

3

團(tuán)分式方程有正整數(shù)解，

回正數(shù)機(jī)的值是6或9.

故答案為：6或9.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了根據(jù)分式方程解的情況求參數(shù)，正確求出方程的解為x=-gm+4是解題的關(guān)鍵.

【考點(diǎn)六列分式方程】

例題：（2023?遼寧鞍山?統(tǒng)考三模）已知甲廠燒100噸煤與乙廠燒120噸煤所用的天數(shù)相同，已知甲、乙兩

廠每天一共燒煤33噸，求甲、乙兩廠每天分別燒煤多少噸？若設(shè)甲廠每天燒x噸煤，則根據(jù)題意列方程為

120

【…答案3】——100=

x33T

【分析】設(shè)甲廠每天燒x噸煤，則乙廠每天燒（33-司噸煤，根據(jù)甲廠燒100噸煤與乙廠燒120噸煤所用的

天數(shù)相同列出方程即可.

【詳解】解：設(shè)甲廠每天燒x噸煤，則乙廠每天燒（33-力噸煤，根據(jù)題意得:

100_120

x33

M林上生100120

故答案為：一=—一.

x33-尤

【點(diǎn)睛】本題主要考查了列分式方程，解題的關(guān)鍵是找出題目中的等量關(guān)系式，并用未知數(shù)表示出等量關(guān)

系式.

【變式訓(xùn)練】

1.（2023?江蘇宿遷?統(tǒng)考三模）某地開展建設(shè)綠色家園活動(dòng)，活動(dòng)期間，計(jì)劃每天種植相同數(shù)量的樹木，該

活動(dòng)開始后，實(shí)際每天比原計(jì)劃每天多植樹40棵，實(shí)際植樹400棵所需時(shí)間與原計(jì)劃植樹320棵所需時(shí)間

相同.設(shè)實(shí)際每天植樹尤棵，則可列方程為

400320

【答案】——=

Xx-40

【分析】設(shè)實(shí)際每天植樹X棵，則原計(jì)劃每天植樹（X-40）棵，根據(jù)"實(shí)際植樹400棵所需時(shí)間與原計(jì)劃植樹

320棵所需時(shí)間相同”列出分式方程即可.

【詳解】解：設(shè)實(shí)際每天植樹X棵，則原計(jì)劃每天植樹（X-40）棵,

400320

根據(jù)題意，得

x元一40

“科上320

故答案為：-4-0-0

x尤-40

【點(diǎn)睛】此題考查了由實(shí)際問題列分式方程，關(guān)鍵在尋找相等關(guān)系，列出方程.

2.（2023?山西晉城?校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）《九章算術(shù)》是我國古代重要的數(shù)學(xué)專著之一，其中記錄的一道題譯

為白話文是：把一份文件送到900里（1里=0.5千米）外的城市，如果用慢馬送，需要的時(shí)間比規(guī)定的時(shí)

間多1天；如果用快馬送，需要的時(shí)間比規(guī)定的時(shí)間少3天.已知快馬的速度是慢馬速度的2倍，求規(guī)定

的時(shí)間.設(shè)規(guī)定的時(shí)間為無天，則可列方程為

【答案】

x+1x-3

【分析】根據(jù)題意，先得到慢馬和快馬送的時(shí)間，再根據(jù)快馬的速度是慢馬速度的2倍列方程即可.

【詳解】解：設(shè)規(guī)定的時(shí)間為X天，則慢馬送的時(shí)間為（X+1）天，快馬送的時(shí)間為（X-3）天,

+口900c900

根據(jù)題意，得--x2=-

x+1x-3

900.900

故答案為:——x2=------

x+1x—3

【點(diǎn)睛】本題考查列分式方程，理解題意，找到等量關(guān)系是解答的關(guān)鍵.

【考點(diǎn)七分式方程的實(shí)際應(yīng)用】

例題：（2023?吉林白山?校聯(lián)考三模）第5代移動(dòng)通信技術(shù)簡(jiǎn)稱5G,某地已開通5G業(yè)務(wù)，經(jīng)測(cè)試5G下載速

度是4G下載速度的16倍，小明和小強(qiáng)分別用5G與4G下載一部960兆的公益片，小明比小強(qiáng)所用的時(shí)間

快150秒，求該地4G與5G的下載速度分別是每秒多少兆？

【答案】該地4G的下載速度是每秒6兆，則該地5G的下載速度是每秒96兆

【分析】首先設(shè)該地4G的下載速度是每秒x兆，則該地5G的下載速度是每秒16x兆，根據(jù)題意可得等量

關(guān)系：4G下載960兆所用時(shí)間-5G下載960兆所用時(shí)間=150秒.然后根據(jù)等量關(guān)系，列出分式方程，再解

即可.

【詳解】解：設(shè)該地4G的下載速度是每秒工兆，則該地5G的下載速度是每秒16x兆,

小口古上/日9609601

由您思得：-----——=150,

Xlox

解得：x=6,

經(jīng)檢驗(yàn)：尤=6是原分式方程的解，且符合題意，

貝U16x=16*6=96,

答：該地4G的下載速度是每秒6兆，則該地5G的下載速度是每秒96兆.

【點(diǎn)睛】本題主要考查的是分式方程的應(yīng)用；解答此題，首先確定5G與4G下載的速度關(guān)系，再根據(jù)題意

找出下載960兆的公益片所用時(shí)間的等量關(guān)系.

【變式訓(xùn)練】

1.（2023,湖南岳陽?統(tǒng)考中考真題）水碧萬物生，岳陽龍蝦好.小龍蝦產(chǎn)業(yè)已經(jīng)成為岳陽鄉(xiāng)村振興的“閃亮

名片已知翠翠家去年龍蝦的總產(chǎn)量是4800kg,今年龍蝦的總產(chǎn)量是6000kg,且去年與今年的養(yǎng)殖面積

相同，平均畝產(chǎn)量去年比今年少60kg,求今年龍蝦的平均畝產(chǎn)量.

【答案】今年龍蝦的平均畝產(chǎn)量300kg.

【分析】設(shè)今年龍蝦的平均畝產(chǎn)量是xkg,則去年龍蝦的平均畝產(chǎn)量是（x-60）kg,根據(jù)去年與今年的養(yǎng)殖

面積相同列出分式方程，解方程并檢驗(yàn)即可.

【詳解】解：設(shè)今年龍蝦的平均畝產(chǎn)量是xkg,則去年龍蝦的平均畝產(chǎn)量是（x-60）kg,

60004800

由題意得,

xX—60

解得x=300，

經(jīng)檢驗(yàn)，x=300是分式方程的解且符合題意，

答：今年龍蝦的平均畝產(chǎn)量300kg.

【點(diǎn)睛】此題考查了分式方程的實(shí)際應(yīng)用，讀懂題意，正確列出方程是解題的關(guān)鍵.

2.（2023春?廣東佛山?八年級(jí)校考階段練習(xí)）2023年5月，江西省突發(fā)港澇災(zāi)容，為響應(yīng)政府救援號(hào)召,

甲、乙兩公司組織全體員工參與"眾志成城，人間大愛”捐款活動(dòng)，甲公司共推款100000元，乙公司共捐款

140000元.下面是甲、乙兩公司員工的一段對(duì)話：

我們公司的人均捐款

數(shù)是你們公司的看倍。

乙公司員工

⑴甲、乙兩公司各有多少人？

⑵現(xiàn)甲、乙兩公司共同使用這筆捐款購買A、8兩種防疫物資，A種防疫物資每箱15000元，B種防疫物

資每箱12000元.若購買3種防疫物資不少于10箱，并恰好將捐款用完，有幾種購買方案？（注：A、8兩

種防疫物資均需購買，并按整箱配送).

【答案】(1)甲公司有150人，乙公司有18。人

(2)有2種購買方案：購買8箱A種防疫物資、10箱8種防疫物資，或購買4箱A種防疫物資、15箱8種防

疫物資

【分析】(1)設(shè)乙公司有x人，則甲公司有(x-30)人，根據(jù)對(duì)話，即可得出關(guān)于x的分式方程，解之經(jīng)檢

驗(yàn)后即可得出結(jié)論；

(2)(2)設(shè)購買A種防疫物資機(jī)箱，購買8種防疫物資〃箱，根據(jù)甲公司共捐款100000元，公司共捐款

4

140000元.列出方程，求解出俏根據(jù)整數(shù)解，約束出機(jī)、〃的值，即可得出方案.

【詳解】(1)解：設(shè)乙公司有x人，則甲公司有(尤-30)人，

由題意得

1000007140000

---------x——----------,

%—306x

解得尤=180.

經(jīng)檢驗(yàn)，x=180是原方程的解.

0x-3O=15O.

答：甲公司有150人，乙公司有180人.

(2)解:設(shè)購買A種防疫物資加箱，購買6種防疫物資〃箱，由題意得

4

15000%+12000〃=100000+140000,整理得m=16--n.

又因?yàn)椤?gt;10,且機(jī)、”為正整數(shù)，

fm=8[m=4

所以in,K

[n=10]〃=15

答：有2種購買方案：購買8箱A種防疫物資、10箱B種防疫物資，或購買4箱A種防疫物資、15箱5種

防疫物資.

【點(diǎn)睛】本題考查了分式方程的應(yīng)用，方案問題，二元一次方程整數(shù)解問題，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出方

程是解題的關(guān)鍵.

【過關(guān)檢測(cè)】

一、選擇題

1.（2023秋?河北石家莊?八年級(jí)?？计谀┓质椒匠蘁9三——2-=―1的解為（）

x-9x-3尤+3

A.2B.-3C.3或-3D.無解

【答案】A

【分析】方程兩邊都乘（x+3）（x-3）得出9-2（x+3）=x-3,求出方程的解，再進(jìn)行檢驗(yàn)即可.

9__2_1

【詳解】解:

爐—9x~3%+3

方程兩邊都乘（％+3）（x—3）,得9—2（九+3）=x—3,

解得：x=2,

檢驗(yàn)：當(dāng)元=2時(shí)，（x+3）（x—3）工。，

所以1=2是分式方程的解，

故選A.

【點(diǎn)睛】本題考查了解分式方程，能把分式方程轉(zhuǎn)化成整式方程是解此題的關(guān)鍵.

1_Q22o?

2.（2023春?全國?八年級(jí)專題練習(xí)）已知方程：①上空=0；②二+土=1③x+\=2+展；④

xx2x-2x-2

jx+g）（x-6）=T.這四個(gè)方程中，分式方程的個(gè)數(shù)是（）

A.4B.3C.2D.1

【答案】B

【分析】分母中含有未知數(shù)的方程叫分式方程，根據(jù)定義判斷即可.

【詳解】解：根據(jù)定義可知，①②③為分式方程，④不是分式方程，

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題考查了分式方程的定義，熟記定義是解題的關(guān)鍵.

3.（2023?四川南充?統(tǒng)考二模）關(guān)于x的方程QH—1=1的解是負(fù)數(shù)，貝匹的取值范圍是（）

x+1

A.a<2B.a>lC.a>l,且aw2D.〃<2,且awl

【答案】D

【分析】先解關(guān)于x的分式方程，求得尤的值，然后再依據(jù)“解是負(fù)數(shù)"建立不等式求。的取值范圍即可.

【詳解】解：去分母，得a-l=x+l,

解得x=a—2,

團(tuán)方程的解是負(fù)數(shù)，

0—2<0,且。一2+1/0,

回。＜2,且awl.

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題考查分式方程的解，解題關(guān)鍵是要掌握分式方程的解的定義，使方程成立的未知數(shù)的值叫做

方程的解.

m

4.（2023?黑龍江綏化?統(tǒng)考二模）若關(guān)于x的分式方程2*=無解，則相的值為（）

xx-2

A.03.2或4C.4D0或2

【答案】D

【分析】先將分時(shí)方程化為整式方程，再根據(jù)方程無解的情況分類討論，當(dāng)相-4=0時(shí)，當(dāng)根-4。0時(shí),

分別進(jìn)行計(jì)算即可.

【詳解】解：方程兩邊同乘MX-2）,得2（x-2）=如,

整理得（利-2）%=T,

團(tuán)原方程無解，

團(tuán)當(dāng)機(jī)一2=0時(shí)，m=2；

當(dāng)〃2—2w0時(shí)，止匕時(shí)，X—-----,

m-2

4,

當(dāng)％=0時(shí)，----^二0無解；

m-2

4

當(dāng)％=2時(shí)，------=2,角畢得機(jī)=0；

m-2

綜上，加的值為?；?；

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題考查了分式方程無解的情況，即分式方程有增根，分兩種情況，分別是有增根和化成的整式

方程無解，熟練掌握知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵.

5.（2023?湖南郴州?統(tǒng)考中考真題）小王從A地開車去5地，兩地相距240面.原計(jì)劃平均速度為九6

實(shí)際平均速度提高