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文檔簡介
2025屆北京市海淀區(qū)知春里中學高三第四次模擬考試數學試卷注意事項1.考生要認真填寫考場號和座位序號。2.試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上,在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答;第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3.考試結束后,考生須將試卷和答題卡放在桌面上,待監(jiān)考員收回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.觀察下列各式:,,,,,,,,根據以上規(guī)律,則()A. B. C. D.2.復數的共軛復數為()A. B. C. D.3.已知命題:,,則為()A., B.,C., D.,4.已知曲線,動點在直線上,過點作曲線的兩條切線,切點分別為,則直線截圓所得弦長為()A. B.2 C.4 D.5.已知為等差數列,若,,則()A.1 B.2 C.3 D.66.中國古代數學著作《算法統(tǒng)宗》中有這樣一個問題:“三百七十八里關,初行健步不為難,次日腳痛減一半,六朝才得到其關,要見次日行里數,請公仔細算相還.”意思為有一個人要走378里路,第一天健步行走,從第二天起腳痛,每天走的路程為前一天的一半,走了六天恰好到達目的地,請問第二天比第四天多走了()A.96里 B.72里 C.48里 D.24里7.“中國剩余定理”又稱“孫子定理”,最早可見于中國南北朝時期的數學著作《孫子算經》卷下第二十六題,叫做“物不知數”,原文如下:今有物不知其數,三三數之剩二,五五數之剩三,七七數之剩二.問物幾何?現有這樣一個相關的問題:將1到2020這2020個自然數中被5除余3且被7除余2的數按照從小到大的順序排成一列,構成一個數列,則該數列各項之和為()A.56383 B.57171 C.59189 D.612428.若雙曲線的離心率為,則雙曲線的焦距為()A. B. C.6 D.89.已知雙曲線的一條漸近線方程為,,分別是雙曲線C的左、右焦點,點P在雙曲線C上,且,則()A.9 B.5 C.2或9 D.1或510.已知函數,.若存在,使得成立,則的最大值為()A. B.C. D.11.如圖,在平行四邊形中,對角線與交于點,且,則()A. B.C. D.12.已知,函數在區(qū)間上恰有個極值點,則正實數的取值范圍為()A. B. C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.如果函數(,且,)在區(qū)間上單調遞減,那么的最大值為__________.14.已知函數,若關于的方程恰有四個不同的解,則實數的取值范圍是______.15.的展開式中,常數項為______;系數最大的項是______.16.已知點為雙曲線的右焦點,兩點在雙曲線上,且關于原點對稱,若,設,且,則該雙曲線的焦距的取值范圍是________.三、解答題:共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)在直角坐標系xOy中,以坐標原點為極點,x軸的非負半軸為極軸建立極坐標系;曲線C1的普通方程為(x-1)2+y2=1,曲線C2的參數方程為(θ為參數).(Ⅰ)求曲線C1和C2的極坐標方程:(Ⅱ)設射線θ=(ρ>0)分別與曲線C1和C2相交于A,B兩點,求|AB|的值.18.(12分)已知橢圓:的長半軸長為,點(為橢圓的離心率)在橢圓上.(1)求橢圓的標準方程;(2)如圖,為直線上任一點,過點橢圓上點處的切線為,,切點分別,,直線與直線,分別交于,兩點,點,的縱坐標分別為,,求的值.19.(12分)已知,,且.(1)求的最小值;(2)證明:.20.(12分)(選修4-4:坐標系與參數方程)在平面直角坐標系,已知曲線(為參數),在以原點為極點,軸的非負半軸為極軸建立的極坐標系中,直線的極坐標方程為.(1)求曲線的普通方程和直線的直角坐標方程;(2)過點且與直線平行的直線交于,兩點,求點到,的距離之積.21.(12分)在平面直角坐標系中,曲線,曲線的參數方程為(為參數).以坐標原點為極點,軸的正半軸為極軸建立極坐標系.(1)求曲線、的極坐標方程;(2)在極坐標系中,射線與曲線,分別交于、兩點(異于極點),定點,求的面積22.(10分)已知拋物線的焦點為,點在拋物線上,,直線過點,且與拋物線交于,兩點.(1)求拋物線的方程及點的坐標;(2)求的最大值.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1、B【解析】
每個式子的值依次構成一個數列,然后歸納出數列的遞推關系后再計算.【詳解】以及數列的應用根據題設條件,設數字,,,,,,,構成一個數列,可得數列滿足,則,,.故選:B.【點睛】本題主要考查歸納推理,解題關鍵是通過數列的項歸納出遞推關系,從而可確定數列的一些項.2、D【解析】
直接相乘,得,由共軛復數的性質即可得結果【詳解】∵∴其共軛復數為.故選:D【點睛】熟悉復數的四則運算以及共軛復數的性質.3、C【解析】
根據全稱量詞命題的否定是存在量詞命題,即得答案.【詳解】全稱量詞命題的否定是存在量詞命題,且命題:,,.故選:.【點睛】本題考查含有一個量詞的命題的否定,屬于基礎題.4、C【解析】
設,根據導數的幾何意義,求出切線斜率,進而得到切線方程,將點坐標代入切線方程,抽象出直線方程,且過定點為已知圓的圓心,即可求解.【詳解】圓可化為.設,則的斜率分別為,所以的方程為,即,,即,由于都過點,所以,即都在直線上,所以直線的方程為,恒過定點,即直線過圓心,則直線截圓所得弦長為4.故選:C.【點睛】本題考查直線與圓位置關系、直線與拋物線位置關系,拋物線兩切點所在直線求解是解題的關鍵,屬于中檔題.5、B【解析】
利用等差數列的通項公式列出方程組,求出首項和公差,由此能求出.【詳解】∵{an}為等差數列,,∴,解得=﹣10,d=3,∴=+4d=﹣10+11=1.故選:B.【點睛】本題考查等差數列通項公式求法,考查等差數列的性質等基礎知識,考查運算求解能力,是基礎題.6、B【解析】
人每天走的路程構成公比為的等比數列,設此人第一天走的路程為,計算,代入得到答案.【詳解】由題意可知此人每天走的路程構成公比為的等比數列,設此人第一天走的路程為,則,解得,從而可得,故.故選:.【點睛】本題考查了等比數列的應用,意在考查學生的計算能力和應用能力.7、C【解析】
根據“被5除余3且被7除余2的正整數”,可得這些數構成等差數列,然后根據等差數列的前項和公式,可得結果.【詳解】被5除余3且被7除余2的正整數構成首項為23,公差為的等差數列,記數列則令,解得.故該數列各項之和為.故選:C.【點睛】本題考查等差數列的應用,屬基礎題。8、A【解析】
依題意可得,再根據離心率求出,即可求出,從而得解;【詳解】解:∵雙曲線的離心率為,所以,∴,∴,雙曲線的焦距為.故選:A【點睛】本題考查雙曲線的簡單幾何性質,屬于基礎題.9、B【解析】
根據漸近線方程求得,再利用雙曲線定義即可求得.【詳解】由于,所以,又且,故選:B.【點睛】本題考查由漸近線方程求雙曲線方程,涉及雙曲線的定義,屬基礎題.10、C【解析】
由題意可知,,由可得出,,利用導數可得出函數在區(qū)間上單調遞增,函數在區(qū)間上單調遞增,進而可得出,由此可得出,可得出,構造函數,利用導數求出函數在上的最大值即可得解.【詳解】,,由于,則,同理可知,,函數的定義域為,對恒成立,所以,函數在區(qū)間上單調遞增,同理可知,函數在區(qū)間上單調遞增,,則,,則,構造函數,其中,則.當時,,此時函數單調遞增;當時,,此時函數單調遞減.所以,.故選:C.【點睛】本題考查代數式最值的計算,涉及指對同構思想的應用,考查化歸與轉化思想的應用,有一定的難度.11、C【解析】
畫出圖形,以為基底將向量進行分解后可得結果.【詳解】畫出圖形,如下圖.選取為基底,則,∴.故選C.【點睛】應用平面向量基本定理應注意的問題(1)只要兩個向量不共線,就可以作為平面的一組基底,基底可以有無窮多組,在解決具體問題時,合理選擇基底會給解題帶來方便.(2)利用已知向量表示未知向量,實質就是利用平行四邊形法則或三角形法則進行向量的加減運算或數乘運算.12、B【解析】
先利用向量數量積和三角恒等變換求出,函數在區(qū)間上恰有個極值點即為三個最值點,解出,,再建立不等式求出的范圍,進而求得的范圍.【詳解】解:令,解得對稱軸,,又函數在區(qū)間恰有個極值點,只需解得.故選:.【點睛】本題考查利用向量的數量積運算和三角恒等變換與三角函數性質的綜合問題.(1)利用三角恒等變換及輔助角公式把三角函數關系式化成或的形式;(2)根據自變量的范圍確定的范圍,根據相應的正弦曲線或余弦曲線求值域或最值或參數范圍.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、18【解析】
根據函數單調性的性質,分一次函數和一元二次函數的對稱性和單調區(qū)間的關系建立不等式,利用基本不等式求解即可.【詳解】解:①當時,,在區(qū)間上單調遞減,則,即,則.②當時,,函數開口向上,對稱軸為,因為在區(qū)間上單調遞減,則,因為,則,整理得,又因為,則.所以即,所以當且僅當時等號成立.綜上所述,的最大值為18.故答案為:18【點睛】本題主要考查一次函數與二次函數的單調性和均值不等式.利用均值不等式求解要注意”一定,二正,三相等”.14、【解析】
設,判斷為偶函數,考慮x>0時,的解析式和零點個數,利用導數分析函數的單調性,作函數大致圖象,即可得到的范圍.【詳解】設,則在是偶函數,當時,,由得,記,,,故函數在增,而,所以在減,在增,,當時,,當時,,因此的圖象為因此實數的取值范圍是.【點睛】本題主要考查了函數的零點的個數問題,涉及構造函數,函數的奇偶性,利用導數研究函數單調性,考查了數形結合思想方法,以及化簡運算能力和推理能力,屬于難題.15、【解析】
求出二項展開式的通項,令指數為零,求出參數的值,代入可得出展開式中的常數項;求出項的系數,利用作商法可求出系數最大的項.【詳解】的展開式的通項為,令,得,所以,展開式中的常數項為;令,令,即,解得,,,因此,展開式中系數最大的項為.故答案為:;.【點睛】本題考查二項展開式中常數項的求解,同時也考查了系數最大項的求解,涉及展開式通項的應用,考查分析問題和解決問題的能力,屬于中等題.16、【解析】
設雙曲線的左焦點為,連接,由于.所以四邊形為矩形,故,由雙曲線定義可得,再求的值域即可.【詳解】如圖,設雙曲線的左焦點為,連接,由于.所以四邊形為矩形,故.在中,由雙曲線的定義可得,.故答案為:【點睛】本題考查雙曲線定義及其性質,涉及到求余弦型函數的值域,考查學生的運算能力,是一道中檔題.三、解答題:共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(Ⅰ),;(Ⅱ)【解析】
(Ⅰ)根據,可得曲線C1的極坐標方程,然后先計算曲線C2的普通方程,最后根據極坐標與直角坐標的轉化公式,可得結果.(Ⅱ)將射線θ=分別與曲線C1和C2極坐標方程聯(lián)立,可得A,B的極坐標,然后簡單計算,可得結果.【詳解】(Ⅰ)由所以曲線的極坐標方程為,曲線的普通方程為則曲線的極坐標方程為(Ⅱ)令,則,,則,即,所以,,故.【點睛】本題考查極坐標方程和參數方程與直角坐標方程的轉化,以及極坐標方程中的幾何意義,屬基礎題.18、(1);(2).【解析】
(1)因為點在橢圓上,所以,然后,利用,,得出,進而求解即可(2)設點的坐標為,直線的方程為,直線的方程為,分別聯(lián)立方程:和,利用韋達定理,再利用,,即可求出的值【詳解】(1)由橢圓的長半軸長為,得.因為點在橢圓上,所以.又因為,,所以,所以(舍)或.故橢圓的標準方程為.(2)設點的坐標為,直線的方程為,直線的方程為.據得.據題意,得,得,同理,得,所以.又可求,得,,所以.【點睛】本題考查橢圓標準方程的求解以及聯(lián)立方程求定值的問題,聯(lián)立方程求定值的關鍵在于利用韋達定理進行消參,屬于中檔題19、(1)(2)證明見解析【解析】
(1)利用基本不等式即可求得最小值;(2)關鍵是配湊系數,進而利用基本不等式得證.【詳解】(1),當且僅當“”時取等號,故的最小值為;(2),當且僅當時取等號,此時.故.【點睛】本題主要考查基本不等式的運用,屬于基礎題.20、(1)曲線:,直線的直角坐標方程;(2)1.【解析】試題分析:(1)先根據三角函數平方關系消參數得曲線化為普通方程,再根據將直線的極坐標方程化為直角坐標方程;(2)根據題意設直線參數方程,代入C方程,利用參數幾何意義以及韋達定理得點到,的距離之積試題解析:(1)曲線化為普通方程為:,由,得,所以直線的直角坐標方程為.(2)直線的參數方程為(為參數),代入化簡得:,設兩點所對應的參數分別為,則,.21、(1),;(2).【解析】
(1)先把參數方程化成普通方程,再利用極坐標的公式把普通方程化成極坐標方程;(2)先利用極坐標求出弦長,再求高,最后求的面積.【詳解】(1)曲線的極坐標方程為:,因為曲線的普通方程為:,曲線的極坐標方程為;(2)由(1)得:點的極坐標為,點的極坐標為,,點到射線的距離為的面積為.【點睛】本題考查普通方程、參數方程與極坐標方程之間的互化,同時也考查了利用極坐標方程求解面積問題,考查計算能力,屬于中等題.22、(1),;(2)1.【解析】
(1)根據拋物線上的點到焦點和準線的距離相等,可得p值,即可求拋物線C的方程從
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