圓周角-2022-2023學(xué)年九年級數(shù)學(xué)上學(xué)期期末考試試題匯編（蘇科版）（解析版）

專題05圓周角

經(jīng)冷基砒題

選擇題（共4小題）

1.（2021秋?泗陽縣期末）如圖，點A、B、C都在。O上，若NACB=60°,則NAOB的度數(shù)是（）

A.100°B.110°C.120°D.130°

【分析】根據(jù)圓周角定理進行求解即可得出答案.

【解答】解：???NACB=60°,

ZAOB=2ZACB=2X60°=120°.

故選：C.

【點評】本題主要考查了圓周角定理，根據(jù)圓周角定理進行求解計算是解決本題的關(guān)鍵.

2.（2021秋?徐州期末）如圖，AB為。O的直徑，點C、D在圓上，若NBCD=a,則NABD等于（）

A

C

A.aB.2aC.90°-aD.900-2a

【分析】由圓周角定理得出NADB=90°,NBAD=NBCD=a,由直角三角形的性質(zhì)求出NABD=

90°-a即可.

【解答】解：???AB是。O的直徑，

???NADB=90°,

?.?NBAD=NBCD=a,

???NABD=90°a.

故選：c.

【點評】此題主要考查了圓周角定理以及直角三角形的性質(zhì)，熟練掌握圓周角定理是解題的關(guān)鍵.

3.（2021秋?崇川區(qū)期末）如圖，點A,B,C,D,E在（30上，AB=CD,ZAOB=36°,則/CED的度

【分析】連接OC、OD,可得NAOB=NCOD=36°,由圓周角定理即可得NCEDn^NCOD=

18°.

.,.ZAOB=ZCOD=36°,

1

/.ZCED=-ZC0D=18°.

故選：C.

【點評】本題主要考查圓心角、弧、弦三者的關(guān)系以及圓周角定理，解題的關(guān)鍵是掌握圓周角定理：在

同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，都等于這條弧所對的圓心角的一半.

4.（2021秋?姜堰區(qū)期末）如圖，四邊形ABCD是。。的內(nèi)接四邊形，若NC=140。，則/BOD的度數(shù)為

（）

A

A.40°B.70°C.80°D.90°

【分析】根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)求出NA的度數(shù)，根據(jù)圓周角定理解答.

【解答】解：?..四邊形ABCD是。。的內(nèi)接四邊形，

；.NA+NC=180°,

VZC=140°,

/.ZA=40°,

由圓周角定理得，ZBOD=2ZA=80°,

故選：C.

【點評】本題考查的是圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)和圓周角定理，掌握圓內(nèi)接四邊形的對角互補是解題的關(guān)

鍵.

二.填空題（共4小題）

5.（2021秋?寶應(yīng)縣期末）如圖，AB是。。的直徑，CD是。O的弦，ZCAB=42°,則/D的度數(shù)是

48°.

【分析】根據(jù)直徑所對的圓周角是直角推出NACB=90°,再結(jié)合圖形由直角三角形的性質(zhì)得到/B=

90°-ZCAB=48°,進而根據(jù)同弧所對的圓周角相等推出/D=NB=48°.

【解答】解：連接CB.

VAB是。O的直徑,

.,.ZACB=90°,

VZCAB=42°,

.\ZB=90°-ZCAB=48°,

/.ZD=ZB=48°.

故答案為：48.

【點評】本題考查圓周角定理，解題的關(guān)鍵是結(jié)合圖形根據(jù)圓周角定理推出/ACB=90°及ND=NB,

注意運用數(shù)形結(jié)合的思想方法.

6.（2021秋?常州期末）如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于00,DA=DC,若/CBE=40°,則NDAC的度數(shù)是

70°

【分析】根據(jù)鄰補角互補求出/ABC,根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)得出/D+/ABC=180。，求出/D,再

根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理求出NDAC即可.

【解答】解：VZCBE=40°,

.".ZABC=180°-ZCBE=140°,

.四邊形ABCD是。O的內(nèi)接四邊形，

.,.ZD+ZABC=180°,

.\ZD=40o,

：AD=CD,

1

.\ZDAC=ZDCA--（180°-ZD）=70°,

故答案為：70°.

【點評】本題考查了圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，圓心角、弧、弦之

間的關(guān)系，圓周角定理等知識點，能熟記圓內(nèi)接四邊形的對角互補是解此題的關(guān)鍵.

7.2021秋?靖江市期末）如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于以BD為直徑的。O,CA平分NBCD,若四邊形ABCD

的面積是30"J2,貝l|AC=2V15cm.

A

【分析】過點A作AE，AC,交CD的延長線于點E,證明△ABCgZ\ADE從而得到4ACE的面積等于

四邊形ABCD的面積，證明4ACE為等腰直角三角形，根據(jù)三角形面積公式即可求出AC.

【解答】解：如圖，過點A作AEJ_AC,交CD的延長線于點E,

?「BD為。。的直徑，

???NBCD=NBAD=90°,

VCA平分NBCD,

???NACB=NACD=45°,

Z.ZABD=ZADB=45°,

???AB=AD,

???四邊形ABCD內(nèi)接于。O,

.,.ZABC+ZADC=180°,

又?.?NADE+NADC=180°,

，NABC=NADE.

VAE±AC,

/.ZCAE=90°,

又：NACE=45°

???AC=AE

VZBAD=90°,ZCAE=90°,

???NBAC=NDAE.

在AABC與4ADE中，

ZBAC=ZDAE

AB=AD,

/-ABC=Z.ADE

AAABC^AADE(ASA),

=

SAABCSAADE，

SAACE=SABCD_30,

12

???/C=30,

AAC=2V15.

故答案為：2V15.

【點評】本題主要考查了圓周角定理和圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是將四邊形ABCD的面積轉(zhuǎn)化

為4ACE的面積.

8.（2021秋?寶應(yīng)縣期末）在銳角三角形ABC中，ZA=30°,BC=3,設(shè)BC邊上的高為〃，則〃的取值

3-

范圍是0V〃W3土V遮.

【分析】做出三角形的外接圓，根據(jù)/zWAO+OP求解即可.

【解答】解：如圖，作AABC的外接圓。O,過O作OPLBC,

VZBAC=30°,

???NBOC=60°,

VBC=3,

3「

APO=-V3,

3-

.,./z^AO+OP=3+-V3,

VAABC是銳角三角形，

???〃>3存

L3廣

J〃的取值范圍是：3V3<//^3+-V3,

3

故答案為：3V^</zW3+萬\氏

【點評】本題考查圓周角定理，作出三角形的外接圓是解題關(guān)鍵.

三.解答題(共4小題)

9.(2021秋?廣陵區(qū)期末)如圖，在等腰AABC中，AB=BC,以AB為直徑的。O,分別與AC和BC相

交于點D和E,連接OD.

(1)求證：OD〃:BC；

(2)求證：AD=DE.

【分析】(1)利用等腰三角形的性質(zhì)得到/OAD=NODA,ZBAC=ZOAD=ZC,所以/ODA=/C,

然后根據(jù)平行線的判定方法得到結(jié)論；

(2)連接半徑OE,如圖，利用等腰三角形的性質(zhì)得/B=NOEB,由(1)知OD〃BC,利用平行線的

性質(zhì)得/AOD=NB,然后證明NAOD=NEOD,從而得到結(jié)論.

【解答】證明：(1)VOA=OD,

/.ZOAD=ZODA,

VAB=BC,

ZBAC=ZOAD=NC,

.\ZODA=ZC,

；.OD〃BC；

(2)連接半徑OE,如圖，

.*.OB=OE,

/.ZB=ZOEB,

由(1)知OD〃BC,

.".ZAOD=ZB,

/.ZOEB=ZEOD,

.*.ZEOD=ZB,

；.NAOD=/EOD,

；.AD=DE.

【點評】本題考查了圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，都等于這條弧所對

的圓心角的一半.也考查了圓心角、弧、弦的關(guān)系和利用等腰三角形的性質(zhì).

10.（2021秋?亭湖區(qū)期末）如圖所示，已知在。O中，AB是。。的直徑，弦CG_LAB于D,F是。O上的

點，且?=生，BF交CG于點E,求證：CE=BE.

【分析】連接BC,根據(jù)垂徑定理得到能=瓦;，等量代換得到除=松，根據(jù)圓周角定理得到NCBF=N

BCG,根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論.

【解答】證明：連接BC,

VAB是。O直徑，弦CGXAB于點D,

BC=BG,

VCF-CB,

r.CF=BG,

/.ZCBF=ZBCG,

.\CE=BE.

【點評】本題考查了圓周角，等腰三角形的判斷，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵.

11.(2022春?興化市期末)如圖，AB是。O的直徑，弦AD平分/BAC,過點D分另U作DE_LAC、DF±

AB,垂足分別為E、F,。。與AC交于點G.

(1)求證：EG=BF；

(2)若。O的半徑r=6,BF=2,求AG長.

【分析】(1)連接DG,BD,根據(jù)角平分線的性質(zhì)得到NGAD=NBAD,DE=DF,求得DG=BD,根

據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論；

(2)根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到AE=AF=10,根據(jù)線段的和差即可得到結(jié)論.

【解答】(1)證明：連接DG,BD,

：AD平分NBAC,DE_LAC、DF±AB,

/.ZGAD=ZBAD,DE=DF,

.,.DG=BD,

；.DG=BD,

在RfADEG與RfADFB中,

[DE=DF

lDG=BD'

/.R/ADEG^RfADFB(HL),

；.EG=BF；

(2)解：:。0的半徑r=6,BF=2,

.*.AF=10,

在R?AAED與RZAAFD中，

CDE=DF

lAD^AD'

：.R?AAED^R?AAFD(HL),

.'.AE=AF=10,

VEG=BF=2,

；.AG=AE-EG=8.

【點評】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵.

12.(2020秋?鼓樓區(qū)期末)如圖，。。的半徑為4,點E在。O上，OEJ_弦AB,垂足為D,0口=2K.

(1)求AB的長；

(2)若點C為。O上一點(不與點A,B重合)，直接寫出NACB的度數(shù).

【分析】（1）連接0A.利用勾股定理求出AD,再根據(jù)垂徑定理可得結(jié)論.

（2）分兩種情況討論：點C在優(yōu)弧AB或劣弧AB上，分別求解即可.

【解答】解：（1）連接OA,

:弦AB_LOE,

1

.*.AD=BD=-AB,ZODA=90°,

.".AD2+OD2=OA2

AAD2=42-（2V3）2=4,

；.AD=2,

；.AB=4；

（2）分兩種情況討論：

情況一，在優(yōu)弧施上，連接OA,0B,如圖1,

VOD=2V3,0A=4,

./sn°D2向V3

..cosZAOD=—=-=—

.?.ZAOD=30°,

???NAOB=60°,

11

Z.ZC=-Z.AOB=-x60°=30°,

情況二，在劣弧疝上，

ZACB=180°-30°=150°,

綜上所述，NACB=30°或150°.

【點評】本題考查垂徑定理，圓周角定理等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會用分類討論的思想思考問題，屬于

中考常考題型.

然逡握洲題Q

選擇題（共4小題）

1.（2021秋?蘇州期末）如圖，在AABC中，以BC為直徑的。O,交AB的延長線于點D,交AC于點

E.連接OD,OE,若NDOE=130°,則/A的度數(shù)為（）

1

【分析】連接DC,根據(jù)圓周角定理求出/ACD=5NEOD=65°,根據(jù)圓周角定理求出NADC=90°,

再根據(jù)直角三角形的兩銳角互余求出即可.

【解答】解：連接DC,

1

.\ZACD--ZEOD=65°,

?；BC是。O的直徑，

AZADC=90°,

.,.ZA=90°-ZACD=90°-65°=25°,

故選：D.

【點評】本題考查了圓周角定理，圓心角、弧、弦之間的關(guān)系，直角三角形的性質(zhì)等知識點，能根據(jù)圓

1

周角定理得出NACD=54EOD和NADC=90°是解此題的關(guān)鍵.

2.（2022秋?東臺市月考）如圖，AB是。O的直徑，若AC=2,ZD=60°,則BC長等于（）

c

A.4B.5D.2V3

【分析】根據(jù)圓周角定理得出NACB=90°,ZCAB=ZD=60°,求出NABC=90°-ZCAB=30°,

根據(jù)含30度角的直角三角形的性質(zhì)求出AB=2AC=4,再根據(jù)勾股定理求出BC即可.

【解答】解：TAB是。。的直徑,

.,.ZACB=90°，

VZD=60°,

...NCAB=ND=60°,

AZABC=90°-ZCAB=30°，

VAC=2,

；.AB=2AC=4,

ABC=7AB2-AC=V42-22=2V3,

故選：D.

【點評】本題考查了圓周角定理和直角三角形的性質(zhì)，能熟記圓周角定理是解此題的關(guān)鍵.

3.（2022秋?秦淮區(qū)校級月考）如圖，AB,CD為。O的兩條弦，若NA+/C=120°,AB=2,CD=4,則

?O的半徑為（）

C2^^D.等

A.2V5B.2V7

,3

【分析】連接OB,OA,OC,OD,證明NAOB+NCOD=90°,在。O上點D的右側(cè)取一點E,使得

DE=AB,過點E作ETLCD交CD的延長線于點T,則血=血，利用勾股定理求解即可.

【解答】解：如圖，連接OB,OA,OC,OD,

VZBOC=2ZCAB,ZAOD=2ZACD,ZCAB+ZACD=120°,

.'.ZBOC+ZAOD=240°,

.,.ZAOB+ZCOD=120°,

在。O上點D的右側(cè)取一點E,使得DE=AB,過點E作ET_LCD交CD的延長線于點T,則電=施，

Z.ZAOB=ZDOE,

???NCOE=120°,

.\ZCDE=120°,

???NEDT=60°,

VDE=AB=2,

ADT=1,ET=V3,

???CT=CD+DT=4+1=5,

:?CE=7CT2+ET2=卜2+（圾2=2行,

作OF_LCE,則NCOF=60°,CF=V7,

V72V2T

JOC=OE=VT=-------,

V3

故選：D.

【點評】本題主要考查圓周角定理，勾股定理，垂徑定理，解答的關(guān)鍵是結(jié)合圖形找到相應(yīng)的角或邊之

間的關(guān)系.

4.（2021秋?常州期中）如圖，已知直線PA交。O于A、B兩點，AE是。O的直徑，點C為。。上一點,

且AC平分NPAE,過C作CD_LPA,垂足為D,且DC+DA=12,。。的直徑為20,則AB的長等于

p

A.8B.12C.16D.18

【分析】連接OC,根據(jù)題意可證得NCAD+NDCA=90°,再根據(jù)角平分線的性質(zhì)，得NDCO=90°,

過O作OFLAB,則NOCD=NCDA=NOFD=90°,得四邊形OCDF為矩形，設(shè)AD=x,在RzZ^AOF

中，由勾股定理得(10-x)2+(12-%)2=102,從而求得工的值，由勾股定理得出AB的長.

【解答】解：連接OC,過O作OFLAB,垂足為F,

VOA=OC,

???NOCA=NOAC,

VAC平分NPAE,

AZDAC=ZCAO,

???NDAC=NOCA,

APB/7OC,

VCDXPA,

???NOCD=NCDA=NOFD=90°,

???四邊形DCOF為矩形，

???OC=FD,OF=CD.

VDC+DA=12,

設(shè)AD=x,則OF=CD=12-x,

???。0的直徑為20,

ADF=OC=10,

???AF=10-x,

在RzAAOF中，由勾股定理得AF2+OF2=OA2.

即(10-x)2+(12-x)2=102,

解得修=4,%2=18?

：CD=12-x大于0,故x=18舍去,

/.AD=4,AF=10-4=6,

VOFXAB,由垂徑定理知，F(xiàn)為AB的中點,

.*.AB=2AF=12.

故選：B.

【點評】本題考查了切線的判定和性質(zhì)、勾股定理、矩形的判定和性質(zhì)以及垂徑定理，是基礎(chǔ)知識要熟

練掌握.

二.填空題（共4小題）

5.（2022秋?泰興市期中）如圖，點M是半圓。。的中點，點A、C分別在半徑OM和曲上，NACB=

90°,AC=3,BC=4,則。。的半徑為右

BOD

【分析】延長CA,ZACB=90°,BD為直徑，所以D在CA上，根據(jù)勾股定理得AB=5,由點M是

半圓。O的中點，得MOLBD,所以AD=AB=5,再根據(jù)勾股定理得BD2=BC2+CD2,即可求出答

案.

【解答】解：如圖，延長CA,

VZACB=90o,BD為直徑,

；.D在CA上，

VAC=3,BC=4,

.?.AB=AMC2+8C2=5,

?點M是半圓。O的中點,

AMOXBD,

；.AD=AB=5,

；.CD=8,

在RfZ^BCD中，BD2=BC2+CD2,

.,.BD=V82+42=4V5,

OO的半徑為2遙.

故答案為：2迷.

【點評】本題考查了圓周角定理，解題的關(guān)鍵是延長CA,得D在CA上，得R/4BCD.

6.（2022秋?儀征市期中）如圖，已知點A,B,C依次在。O上，ZB-ZA=30°,則/AOB的度數(shù)為

60°.

【分析】設(shè)AC與OB相交于點D,利用三角形內(nèi)角和定理以及對頂角相等可得NO+/A=/C+/B,從

11

而可得NO-NC=NB-/A=30°,然后根據(jù)圓周角定理可得NC=萬/0,從而可得/0-萬/0=

30°,進行計算即可解答.

【解答】解:如圖：設(shè)AC與OB相交于點D,

VZO+ZA+ZODA=180°,NB+NC+NBDC=180°，ZADO=ZBDC,

.\ZO+ZA=ZC+ZB,

AZO-ZC=ZB-ZA=30°,

1

vzc=-zo,

1

：.ZO--ZO=30°,

???NO=60°,

故答案為：60.

【點評】本題考查了圓周角定理，熟練掌握圓周角定理是解題的關(guān)鍵.

7.（2022秋?江陰市期中）如圖，AB是。O的直徑，點C是血的中點，點D是直徑AB所在直線下方一點,

「9

連接CD,且滿足NADB=60°，BD=2,AD=3V3,則4ABD的面積為-；CD的長為

——2——

7V2

2-

【分析】AD交OO于E,連接BE,連接CA、CB,如圖，根據(jù)圓周角定理得到NAEB=NACB=90°,

再利用含30度角的直角三角形三邊的關(guān)系得到DE=1,BE=遍,則根據(jù)三角形面積公式可計算出AABD

的面積接著利用點C是血的中點得到AC=BC,所以4CDB繞點C順時針旋轉(zhuǎn)90°得到ACFA,過F

點作FHJ_DA于H點，如圖，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到/FCD=90°,ZCFA=ZCDB,CF=CD,AF=BD

=1,接著證明NAFD+/ADF=30°,所以/HAF=30°,利用含30度角的直角三角形三邊的關(guān)系得到

計算出FH=1,AH=V3,則利用勾股定理可計算出DF=7,然后根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得到CD

的長.

【解答】解：AD交。O于E,連接BE,連接CA、CB,如圖，

VAB為直徑，

/.ZAEB=ZACB=90°,

VZADB=60°,

1

.?.DE=-BD=1,

.*.BE=V3DE=V3,

1「「9

/.△ABD的面積=5x341x8=5；

???點C是血的中點，

.\AC=BC,

???AC=BC,

AAACB為等腰直角三角形，

把4CDB繞點C順時針旋轉(zhuǎn)90°得到ACFA,過F點作FHLDA于H點，如圖,

???NFCD=90°,NCFA=NCDB,CF=CD,AF=BD=1,

NCFA+NCDA=NCDB+NCDA=NADB=60°,

???NAFD+NADF=30°，

???NHAF=30°，

1

.'.FH=~AFZ=1,

.*.AH=V3FH=V3,

在R"\DFH中，DF=7FH2+DH2=/+(4場2=7,

；.CD考DF=苧.

97A/2

故答案為：—;——.

乙z

【點評】本題考查了圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，都等于這條弧所對

的圓心角的一半；半圓（或直徑）所對的圓周角是直角，90°的圓周角所對的弦是直徑.也考查了勾股

定理.

8.（2022秋?梁溪區(qū)校級期中）如圖，AB為半。。的直徑，C為圓上一點，D為京的中點，連接BD,分別

BM1

與、交于點、且則

OCACMN.CN=MN,NABD=----------1---8-----------°,—Z-?/1=----o----.

C

【分析】如圖，連接AD,DC,在OD上取一點J,使得AJ=AD,連接AJ.設(shè)/ABD=NCBD=x,則

ZOBC=ZOC=2x,ZCMN=ZOCB+ZCBM=3x,利用三角形內(nèi)角和定理構(gòu)建方程求出x即可.證明

CD=CM=AD=AJ,設(shè)AD=AJ=CD=CM=冽，利用相似三角形的性質(zhì)求出OD（用冽表示出OD）,

可得結(jié)論.

【解答】解：如圖，連接AD,DC,在OD上取一點J,使得AJ=AD,連接AJ.

VAD=Cb,

AZDBC=ZDBA,AD=CD,

VCN=MN,

???NNMC=NNCM,

VOA=OC=OB,

.,.ZOAC=ZOCA,ZOBC=ZOCB,

設(shè)NABD=NCBD=x,則NOBC=NOCB=2x,NCMN=NOCB+NCBM=3x,

，NCAB=NCMN=3x,

VAB是直徑，

/.ZACB=90°,

：.5x=90°,

.,.x=18°,

???NABD=18°,ZCAB=ZCDB=ZCMD=54°,

???CD=CM=AD=AJ,

設(shè)AD=AJ=CD=CM=加，

VZADJ=DAO=ZAJD=72°,ZAOD=36°

???NDAJ=NAOD=36°,

/.AJ=OJ=加，

VZADJ=ZADO,

AAADJ^AODA,

ADDJ

*'OD=~AD'

.mOD-m

m，

1+V5—1-V5人,

..OD—2冽或OD—寸3“（舍去）,

.cccr1+V5

??OC=OD=-------m,

2

VAD=Cb,

AODXAC,

VACXCB,

AOD/7BC,

BMCM7nVs-i

/.-----=------=1+V5=--------.

BDCOm2

故答案為：18,當工.

【點評】本題考查圓周角定理，垂徑定理，相似三角形的判定和性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會添加常

用輔助線，構(gòu)造特殊三角形解決問題.

三.解答題（共4小題）

9.（2022秋?工業(yè)園區(qū)校級期中）如圖，BC是。O的直徑，點A在＜30上，AD±BC.垂足為點D.AE=

AB,BE分別交AD、AC于點F、G.

（1）判斷AFAG的形狀.并說明理由；

（2）延長AD交。。于點M,連接ME,求證：MEXAC.

【分析】（1）根據(jù)直徑所對的圓周角是直角可得/BAC=90°,從而利用直角三角形的兩個銳角互余可

MZABG+ZAGB=90°,然后再利用垂直定義可得NADC=90°,再利用直角三角形的兩個銳角互余

可得/FAG+NACD=90°,最后根據(jù)已知易得/ABG=NACD,從而利用等角的余角相等可得NAGB=

ZFAG,進而利用等角對等邊即可解答；

（2）設(shè)EM與AC交于點P,利用垂徑定理可得血=曲，從而可得NC=NBEM,再根據(jù)已知和對頂角

相等可得NFAG=NEGP,從而可得NEGP+NBEM=90°,然后利用三角形內(nèi)角和定理可得NEPG=

90°,即可解答.

【解答】(1)解：4FAG是等腰三角形，

理由：TBC是。。的直徑，

.\ZBAC=90o,

.?.ZABG+ZAGB=90°,

VADXBC,

???NADC=90°,

.'.ZFAG+ZACD=90°,

?「AB=AE,

/.AB=AE,

???NABG=NACD,

???NAGB=NFAG,

???FA=FG,

???△FAG是等腰三角形；

(2)證明：設(shè)EM與AC交于點P,

VOD±AM,

AB=BM,

AZC=ZBEM,

NEGP=ZAGF,NFAG=ZAGF,

.,.ZFAG=ZEGP,

VZFAG+ZC=90°,

???NEGP+NBEM=90°,

，NEPG=180°-(ZEGP+ZBEM)=90°,

AME±AC.

【點評】本題考查了圓周角定理，熟練掌握圓周角定理是解題的關(guān)鍵.

10.(2022秋?高新區(qū)期中)如圖，四邊形ABCD是。。的內(nèi)接四邊形，BC的延長線與AD的延長線交于

點E,且DC=DE.

(1)求證：NA=NAEB；

(2)連接OE,交CD于點F,若OELCD,求NA的度數(shù).

【分析】⑴根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)可得/A+NBCD=180°,根據(jù)鄰補角互補可得NDCE+NBCD=

180°,進而得到/A=NDCE,然后利用等邊對等角可得/DCE=NAEB,進而可得/A=NAEB；

(2)首先證明4DCE是等邊三角形，進而可得/AEB=60°,再根據(jù)/A=NAEB,可得4ABE是等

腰三角形，進而可得^ABE是等邊三角形，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論.

【解答】證明：(1)???四邊形ABCD是OO的內(nèi)接四邊形，

...NA+NBCD=180°,

VZDCE+ZBCD=180°,

；./A=NDCE,

：DC=DE,

.\ZDCE=ZAEB,

.\ZA=ZAEB；

(2)VZA=ZAEB,

/.△ABE是等腰三角形，

VEOXCD,

；.CF=DF,

AEO是CD的垂直平分線,

；.ED=EC,

VDC=DE,

???DC=DE=EC,

???△DCE是等邊三角形，

???NAEB=60°,

???△ABE是等邊三角形，

.\ZA=60o.

【點評】此題主要考查了等邊三角形的判定和性質(zhì)，以及圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，關(guān)鍵是掌握圓內(nèi)接四邊

形對角互補.

11.(2022秋?大豐區(qū)校級月考)如圖，AB是。O的直徑，點C在。O上且不與點A,B重合，NABC的

平分線交。O于點D,過點D作DELAB,垂足為點G,交。O于點E,連接CE交BD于點F,連接

FG.

1

(1)求證：FG=-DE；

(2)若AB=66，F(xiàn)G=6,求AG的長.

【分析】(1)證明NEFD=90°,再利用直角三角形斜邊中線的性質(zhì)證明即可;

(2)利用勾股定理求出O