河南省商丘市2025屆高三第二次模擬考試數(shù)學(xué)試卷含解析

河南省商丘市2025屆高三第二次模擬考試數(shù)學(xué)試卷注意事項1．考生要認(rèn)真填寫考場號和座位序號。2．試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結(jié)束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．函數(shù)的圖象大致是（）A． B．C． D．2．已知正方體的棱長為1，平面與此正方體相交.對于實數(shù)，如果正方體的八個頂點中恰好有個點到平面的距離等于，那么下列結(jié)論中，一定正確的是A． B．C． D．3．某四棱錐的三視圖如圖所示，該幾何體的體積是（）A．8 B． C．4 D．4．阿基米德（公元前287年—公元前212年）是古希臘偉大的哲學(xué)家、數(shù)學(xué)家和物理學(xué)家，他和高斯、牛頓并列被稱為世界三大數(shù)學(xué)家.據(jù)說，他自己覺得最為滿意的一個數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)就是“圓柱內(nèi)切球體的體積是圓柱體積的三分之二，并且球的表面積也是圓柱表面積的三分之二”.他特別喜歡這個結(jié)論，要求后人在他的墓碑上刻著一個圓柱容器里放了一個球，如圖，該球頂天立地，四周碰邊，表面積為的圓柱的底面直徑與高都等于球的直徑，則該球的體積為（）A． B． C． D．5．三棱錐的各個頂點都在求的表面上，且是等邊三角形，底面，，，若點在線段上，且，則過點的平面截球所得截面的最小面積為（）A． B． C． D．6．如圖1，《九章算術(shù)》中記載了一個“折竹抵地”問題:今有竹高一丈,末折抵地,去本三尺，問折者高幾何?意思是:有一根竹子,原高一丈（1丈=10尺）,現(xiàn)被風(fēng)折斷，尖端落在地上，竹尖與竹根的距離三尺，問折斷處離地面的高為（）尺.A． B． C． D．7．橢圓的焦點為，點在橢圓上，若，則的大小為（）A． B． C． D．8．已知雙曲線：，，為其左、右焦點，直線過右焦點，與雙曲線的右支交于，兩點，且點在軸上方，若，則直線的斜率為()A． B． C． D．9．已知數(shù)列an滿足：an=2,n≤5a1A．16 B．17 C．18 D．1910．若雙曲線的漸近線與圓相切，則雙曲線的離心率為()A．2 B． C． D．11．已知中內(nèi)角所對應(yīng)的邊依次為，若，則的面積為（）A． B． C． D．12．已知隨機(jī)變量的分布列是則（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．（5分）國家禁毒辦于2019年11月5日至12月15日在全國青少年毒品預(yù)防教育數(shù)字化網(wǎng)絡(luò)平臺上開展2019年全國青少年禁毒知識答題活動，活動期間進(jìn)入答題專區(qū)，點擊“開始答題”按鈕后，系統(tǒng)自動生成20道題.已知某校高二年級有甲、乙、丙、丁、戊五位同學(xué)在這次活動中答對的題數(shù)分別是，則這五位同學(xué)答對題數(shù)的方差是____________．14．在中，角、、所對的邊分別為、、，若，，則的取值范圍是_____．15．已知函數(shù)在處的切線與直線平行，則為________.16．曲線在點處的切線方程為__．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知橢圓與x軸負(fù)半軸交于，離心率.（1）求橢圓C的方程；（2）設(shè)直線與橢圓C交于兩點，連接AM,AN并延長交直線x=4于兩點，若，直線MN是否恒過定點，如果是，請求出定點坐標(biāo)，如果不是，請說明理由.18．（12分）某網(wǎng)絡(luò)商城在年月日開展“慶元旦”活動，當(dāng)天各店鋪銷售額破十億，為了提高各店鋪銷售的積極性，采用搖號抽獎的方式，抽取了家店鋪進(jìn)行紅包獎勵.如圖是抽取的家店鋪元旦當(dāng)天的銷售額（單位：千元）的頻率分布直方圖.（1）求抽取的這家店鋪，元旦當(dāng)天銷售額的平均值；（2）估計抽取的家店鋪中元旦當(dāng)天銷售額不低于元的有多少家；（3）為了了解抽取的各店鋪的銷售方案，銷售額在和的店鋪中共抽取兩家店鋪進(jìn)行銷售研究，求抽取的店鋪銷售額在中的個數(shù)的分布列和數(shù)學(xué)期望.19．（12分）如圖，在四棱錐中，平面平面ABCD，，，底面ABCD是邊長為2的菱形，點E，F(xiàn)分別為棱DC，BC的中點，點G是棱SC靠近點C的四等分點.求證：（1）直線平面EFG；（2）直線平面SDB.20．（12分）已知在平面直角坐標(biāo)系中，直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），以坐標(biāo)原點為極點，軸非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為，點的極坐標(biāo)為．（1）求直線的極坐標(biāo)方程；（2）若直線與曲線交于，兩點，求的面積．21．（12分）為貫徹十九大報告中“要提供更多優(yōu)質(zhì)生態(tài)產(chǎn)品以滿足人民日益增長的優(yōu)美生態(tài)環(huán)境需要”的要求，某生物小組通過抽樣檢測植物高度的方法來監(jiān)測培育的某種植物的生長情況．現(xiàn)分別從、、三塊試驗田中各隨機(jī)抽取株植物測量高度，數(shù)據(jù)如下表（單位：厘米）：組組組假設(shè)所有植株的生長情況相互獨立．從、、三組各隨機(jī)選株，組選出的植株記為甲，組選出的植株記為乙，組選出的植株記為丙．（1）求丙的高度小于厘米的概率；（2）求甲的高度大于乙的高度的概率；（3）表格中所有數(shù)據(jù)的平均數(shù)記為．從、、三塊試驗田中分別再隨機(jī)抽取株該種植物，它們的高度依次是、、（單位：厘米）．這個新數(shù)據(jù)與表格中的所有數(shù)據(jù)構(gòu)成的新樣本的平均數(shù)記為，試比較和的大小．（結(jié)論不要求證明）22．（10分）如圖，已知在三棱臺中，，，.（1）求證：；（2）過的平面分別交，于點，，且分割三棱臺所得兩部分幾何體的體積比為，幾何體為棱柱，求的長.提示：臺體的體積公式（，分別為棱臺的上、下底面面積，為棱臺的高）.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、A【解析】

根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，同增異減以及采用排除法，可得結(jié)果.【詳解】當(dāng)時，，由在遞增，所以在遞增又是增函數(shù)，所以在遞增，故排除B、C當(dāng)時，若，則所以在遞減，而是增函數(shù)所以在遞減，所以A正確，D錯誤故選：A【點睛】本題考查具體函數(shù)的大致圖象的判斷，關(guān)鍵在于對復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的理解，記住常用的結(jié)論：增+增=增，增-減=增，減+減=減，復(fù)合函數(shù)單調(diào)性同增異減，屬中檔題.2、B【解析】

此題畫出正方體模型即可快速判斷m的取值.【詳解】如圖（1）恰好有3個點到平面的距離為；如圖（2）恰好有4個點到平面的距離為；如圖（3）恰好有6個點到平面的距離為.所以本題答案為B.【點睛】本題以空間幾何體為載體考查點，面的位置關(guān)系，考查空間想象能力，考查了學(xué)生靈活應(yīng)用知識分析解決問題的能力和知識方法的遷移能力，屬于難題.3、D【解析】

根據(jù)三視圖知，該幾何體是一條垂直于底面的側(cè)棱為2的四棱錐，畫出圖形，結(jié)合圖形求出底面積代入體積公式求它的體積．【詳解】根據(jù)三視圖知，該幾何體是側(cè)棱底面的四棱錐，如圖所示：結(jié)合圖中數(shù)據(jù)知，該四棱錐底面為對角線為2的正方形，高為PA=2，∴四棱錐的體積為.故選：D.【點睛】本題考查由三視圖求幾何體體積，由三視圖正確復(fù)原幾何體是解題的關(guān)鍵，考查空間想象能力．屬于中等題.4、C【解析】

設(shè)球的半徑為R，根據(jù)組合體的關(guān)系，圓柱的表面積為，解得球的半徑，再代入球的體積公式求解.【詳解】設(shè)球的半徑為R，根據(jù)題意圓柱的表面積為，解得，所以該球的體積為.故選：C【點睛】本題主要考查組合體的表面積和體積，還考查了對數(shù)學(xué)史了解，屬于基礎(chǔ)題.5、A【解析】

由題意畫出圖形，求出三棱錐S-ABC的外接球的半徑，再求出外接球球心到D的距離，利用勾股定理求得過點D的平面截球O所得截面圓的最小半徑，則答案可求.【詳解】如圖，設(shè)三角形ABC外接圓的圓心為G，則外接圓半徑AG=,設(shè)三棱錐S-ABC的外接球的球心為O，則外接球的半徑R=取SA中點E，由SA=4，AD=3SD，得DE=1,所以O(shè)D=.則過點D的平面截球O所得截面圓的最小半徑為所以過點D的平面截球O所得截面的最小面積為故選：A【點睛】本題考查三棱錐的外接球問題，還考查了求截面的最小面積，屬于較難題.6、B【解析】如圖，已知，，

∴，解得

，∴，解得

.∴折斷后的竹干高為4.55尺故選B.7、C【解析】

根據(jù)橢圓的定義可得，，再利用余弦定理即可得到結(jié)論.【詳解】由題意，，，又，則，由余弦定理可得.故.故選：C.【點睛】本題考查橢圓的定義，考查余弦定理，考查運算能力，屬于基礎(chǔ)題.8、D【解析】

由|AF2|＝3|BF2|，可得.設(shè)直線l的方程x＝my+，m＞0，設(shè)，，即y1＝﹣3y2①，聯(lián)立直線l與曲線C,得y1+y2＝-②，y1y2＝③，求出m的值即可求出直線的斜率.【詳解】雙曲線C：，F(xiàn)1，F(xiàn)2為左、右焦點，則F2（，0），設(shè)直線l的方程x＝my+，m＞0，∵雙曲線的漸近線方程為x＝±2y，∴m≠±2，設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），且y1＞0，由|AF2|＝3|BF2|，∴，∴y1＝﹣3y2①由，得∴△＝（2m）2﹣4（m2﹣4）＞0，即m2+4＞0恒成立，∴y1+y2＝②，y1y2＝③，聯(lián)立①②得，聯(lián)立①③得，，即：，，解得：，直線的斜率為，故選D．【點睛】本題考查直線與雙曲線的位置關(guān)系，考查韋達(dá)定理的運用，考查向量知識，屬于中檔題．9、B【解析】

由題意可得a1=a2=a3=a4=a5=2，累加法求得a62+【詳解】解：an即a1=an?6時，a1a1兩式相除可得1+a則an2=由a6a7…，ak2=可得aa1且a1正整數(shù)k(k?5)時，要使得a1則ak+1則k=17，故選：B．【點睛】本題考查與遞推數(shù)列相關(guān)的方程的整數(shù)解的求法，注意將題設(shè)中的遞推關(guān)系變形得到新的遞推關(guān)系，從而可簡化與數(shù)列相關(guān)的方程，本題屬于難題.10、C【解析】

利用圓心到漸近線的距離等于半徑即可建立間的關(guān)系.【詳解】由已知，雙曲線的漸近線方程為，故圓心到漸近線的距離等于1，即，所以，.故選：C.【點睛】本題考查雙曲線離心率的求法，求雙曲線離心率問題，關(guān)鍵是建立三者間的方程或不等關(guān)系，本題是一道基礎(chǔ)題.11、A【解析】

由余弦定理可得，結(jié)合可得a，b，再利用面積公式計算即可.【詳解】由余弦定理，得，由，解得，所以，.故選：A.【點睛】本題考查利用余弦定理解三角形，考查學(xué)生的基本計算能力，是一道容易題.12、C【解析】

利用分布列求出，求出期望，再利用期望的性質(zhì)可求得結(jié)果.【詳解】由分布列的性質(zhì)可得，得，所以，，因此，.故選：C.【點睛】本題考查離散型隨機(jī)變量的分布列以及期望的求法，是基本知識的考查．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、2【解析】

由這五位同學(xué)答對的題數(shù)分別是，得該組數(shù)據(jù)的平均數(shù)，則方差．14、【解析】

計算出角的取值范圍，結(jié)合正弦定理可求得的取值范圍.【詳解】，則，所以，，由正弦定理，.因此，的取值范圍是.故答案為：.【點睛】本題主要考查了正弦定理，正弦函數(shù)圖象和性質(zhì)，考查了轉(zhuǎn)化思想，屬于基礎(chǔ)題．15、【解析】

根據(jù)題意得出，由此可得出實數(shù)的值.【詳解】，，直線的斜率為，由于函數(shù)在處的切線與直線平行，則.故答案為：.【點睛】本題考查利用函數(shù)的切線與直線平行求參數(shù)，解題時要結(jié)合兩直線的位置關(guān)系得出兩直線斜率之間的關(guān)系，考查計算能力，屬于基礎(chǔ)題.16、【解析】

對函數(shù)求導(dǎo)后，代入切點的橫坐標(biāo)得到切線斜率，然后根據(jù)直線方程的點斜式，即可寫出切線方程.【詳解】因為，所以，從而切線的斜率，所以切線方程為，即.故答案為：【點睛】本題主要考查過曲線上一點的切線方程的求法，屬基礎(chǔ)題.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）直線恒過定點,詳見解析【解析】

（1）依題意由橢圓的簡單性質(zhì)可求出，即得橢圓C的方程；（2）設(shè)直線的方程為：，聯(lián)立直線的方程與橢圓方程可求得點的坐標(biāo)，同理可求出點的坐標(biāo)，根據(jù)的坐標(biāo)可求出直線的方程，將其化簡成點斜式，即可求出定點坐標(biāo)．【詳解】（1）由題有，.∴，∴.∴橢圓方程為.（2）設(shè)直線的方程為：，則∴或，∴，同理，當(dāng)時，由有.∴，同理，又∴，當(dāng)時，∴直線的方程為∴直線恒過定點，當(dāng)時，此時也過定點..綜上:直線恒過定點.【點睛】本題主要考查利用橢圓的簡單性質(zhì)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，以及直線與橢圓的位置關(guān)系應(yīng)用，定點問題的求法等，意在考查學(xué)生的邏輯推理能力和數(shù)學(xué)運算能力，屬于難題．18、（1）元；（2）32家；（3）分布列見解析；【解析】

（1）根據(jù)頻率分布直方圖求出各組頻率，再由平均數(shù)公式，即可求解；（2）求出的頻率即可；（3）中的個數(shù)的所有可能取值為，，，求出可能值的概率，得到分布列，由期望公式即可求解.【詳解】（1）頻率分布直方圖銷售額的平均值為千元，所以銷售額的平均值為元；（2）不低于元的有家（3）銷售額在的店鋪有家，銷售額在的店鋪有家.選取兩家，設(shè)銷售額在的有家.則的所有可能取值為，，.，，所以的分布列為數(shù)學(xué)期望【點睛】本題考查應(yīng)用頻率分布直方圖求平均數(shù)和頻數(shù)，考查離散型隨機(jī)變量的分布列和期望，屬于基礎(chǔ)題.19、（1）見解析（2）見解析【解析】

(1)連接AC、BD交于點O,交EF于點H,連接GH,再證明即可.(2)證明與即可.【詳解】（1）連接AC、BD交于點O,交EF于點H,連接GH,所以O(shè)為AC的中點,H為OC的中點,由E、F為DC、BC的中點,再由題意可得,所以在三角形CAS中,平面EFG,平面EFG,所以直線平面EFG.（2）在中,,,,由余弦定理得,,即,解得,由勾股定理逆定理可知,因為側(cè)面底面ABCD,由面面垂直的性質(zhì)定理可知平面ABCD,所以,因為底面ABCD是菱形,所以,因為,所以平面SDB.【點睛】本題考查線面平行與垂直的證明.需要根據(jù)題意利用等比例以及余弦定理勾股定理等證明.屬于中檔題.20、（1）（2）【解析】

（1）先消去參數(shù)，化為直角坐標(biāo)方程，再利用求解.（2）直線與曲線方程聯(lián)立，得，求得弦長和點到直線的距離，再求的面積.【詳解】（1）由已知消去得，則，所以，所以直線的極坐標(biāo)方程為．（2）由，得，設(shè)，兩點對應(yīng)的極分別為，，則，，所以，又點到直線的距離所以【點睛】本題主要考查參數(shù)方程、直角坐標(biāo)方程及極坐標(biāo)方程的轉(zhuǎn)化和直線與曲線的位置關(guān)系，還考查了數(shù)形結(jié)合的思想和運算求解的能力，屬于中檔題.21、（1）；（2）；（3）．【解析】

設(shè)事件為“甲是組的第株植物”，事件為“乙是組的第株植物”，事件為“丙是組