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文檔簡介

專題22圓錐曲線軌跡全歸納

更盤點(diǎn)?置擊看老

M目錄

題型一:定義法:圓型............................................................................1

題型二:橢圓定義型..............................................................................2

題型三:雙曲線定義型............................................................................3

題型四:拋物線定義型...........................................................................4

題型五:直接設(shè)點(diǎn)型..............................................................................4

題型六:相關(guān)點(diǎn)代入法............................................................................5

題型七:交軌法..................................................................................6

題型八:參數(shù)消參法..............................................................................7

題型九:空間型:坐標(biāo)法.........................................................................8

題型十:空間型:截面型曲線軌跡.................................................................10

題型十一:空間型:雙球圓錐型...................................................................11

題型十二:立體幾何定角型.......................................................................13

題型十三:復(fù)數(shù)中的軌跡.........................................................................14

更突圍?錯(cuò);住握分

題型一:定義法:圓型

指I點(diǎn)I迷I津

如果動(dòng)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)規(guī)律合乎我們已知的某種曲線(如圓、橢圓、雙曲線、拋物線)的定義,可直接寫出所

求的動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程,這種方法叫做定義法.

平面內(nèi)到一定點(diǎn)的距離等于定長的點(diǎn)的軌跡是圓,定點(diǎn)為圓心,定長為圓的半徑.

(1)若直線含參,參數(shù)在x系數(shù)出,則不包含豎直,如y=k(x-1)+1,不含想x=1

(2)若直線含參,參數(shù)在y的系數(shù)出,則不含水平,如x+m(y-1)+2=0,不含y=1

(3)若直線參數(shù)在常數(shù)位置,則為一系列平行線,如x+y+c=0與y=-x平行

1.(22-23高三?四川綿陽,階段練習(xí))已知加eR,若過定點(diǎn)A的動(dòng)直線4:+機(jī)-2=。和過定點(diǎn)8的動(dòng)

直線小丁-4=-加尤+2)交于點(diǎn)?(尸與A,B不重合),則錯(cuò)誤的是()

A.A點(diǎn)的坐標(biāo)為(2,1)B.點(diǎn)尸的軌跡方程Y+y2-5y=0

C.R42+PB2=25D.2B4+P3的最大值為5班

2.(2022高三?全國?專題練習(xí))設(shè)“eR,過定點(diǎn)A的動(dòng)直線x+,孫+機(jī)=。和過定點(diǎn)B的動(dòng)直線如-了-根+2=0

交于點(diǎn)尸(x,y),則IPAI+IPBI的取值范圍是()

A.[75,2A/5]B.[A/10,2A/5]C.[畫,4質(zhì)D.12乖,4乖1

3.(24-25高三?福建廈門?階段練習(xí))已知。(0,0),。0,直線4:kx-y+2%+3=0,直線

l2-.x+ky+3k+2=0,若尸為44的交點(diǎn),貝U3|PO|+21P0的最小值為()

A.3A/3B.6-30C,9-3&D.3+76

4.(22-23高三?福建莆田?階段練習(xí),多選)已知〃zeR,若過定點(diǎn)A的動(dòng)直線4:x-my+=。和過定點(diǎn)

8的動(dòng)直線3丫-4=TW(X+2)交于點(diǎn)尸(P與A,B不重合),則下列結(jié)論中正確的是()

A.A點(diǎn)的坐標(biāo)為(2,1)B.點(diǎn)P的軌跡方程V+j?-5y=0

C.PA2+PB2=25D.2B4+尸3的最大值為5石

5.(22-23高三?新疆烏魯木齊?階段練習(xí))設(shè)meR,過定點(diǎn)A的動(dòng)直線x+啊+1=0和過定點(diǎn)3的動(dòng)直線

mx-y-2〃z+3=0交于點(diǎn)P(x,y),則尸點(diǎn)的軌跡方程是

題型二:橢圓定義型

;指I點(diǎn)I迷I津:

平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)F1,F2的距離之和等于常數(shù)(大于|F1F2|)的點(diǎn)的軌跡叫做橢圓.這兩個(gè)定點(diǎn)叫做橢圓:

■的點(diǎn),兩焦點(diǎn)間的距離叫做橢圓的焦距

17^20^21*於后近荃奉醺薇)而百~~2POQ=60","^i£VABC的揚(yáng)筐%"2,"M泊就諦黃:G石VABC印

重心,B,C分別在射線OP,。。上運(yùn)動(dòng),記M的軌跡為C-G的軌跡為G,貝U()

A.G為部分圓,G為部分橢圓B.G為部分圓,a為線段

c.c為部分橢圓,q為線段D.G為部分橢圓,G也為部分橢圓

|Tr,1rr

2.(2024?浙江紹興?模擬預(yù)測)單位向量向量B滿足卜+0=;。2+2,若存在兩個(gè)均滿足此條件的向量

ITIT/ITr

瓦使得偽+包=4他+@x,設(shè)z,瓦,a在起點(diǎn)為原點(diǎn)時(shí),終點(diǎn)分別為4穌%則s△物星的最大值()

A.2A/3B.6C.4D.2

3.(23-24高三上?上海?模擬)設(shè)圓。1和圓。2是兩個(gè)定圓,動(dòng)圓P與這兩個(gè)定圓都相切,則動(dòng)圓P的圓心的

軌跡不可熊是()

5.(23-24高三?陜西榆林?模擬)已知點(diǎn)N(2,0),動(dòng)點(diǎn)A在圓跖(尤+2區(qū)+;/=64上運(yùn)動(dòng),線段AN的垂直

平分線交AM于尸點(diǎn),則尸的軌跡方程為;若動(dòng)點(diǎn)。在圓(x+球+V=1上運(yùn)動(dòng),則|尸0的最大值為.

題型三:雙曲線定義型

指I點(diǎn)I迷I津

平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)F1,F2的距離的差的絕對值等于常數(shù)(小于|F1F2|)的點(diǎn)的軌跡叫做雙曲線.這兩個(gè)定

點(diǎn)做雙曲線的焦點(diǎn),兩焦點(diǎn)間的距離叫做雙曲線的焦距.

1.(22-23高三?江西?階段練習(xí))已知點(diǎn)4(0,20),8(2忘,0),點(diǎn)尸為圓X2+/-5A/2X+V2y+12=0上一

點(diǎn),則冏的最小值為()

A.2B.4C.逑D./

55

2.(21-22高三?江蘇南通?階段練習(xí))在矩形WA中,AA=8,A5=6,把邊AB分成〃等份,在88的

延長線上,以B'B的〃分之一為單位長度連續(xù)取點(diǎn).過邊A3上各分點(diǎn)和點(diǎn)A作直線,過上8延長線上的對應(yīng)

分點(diǎn)和點(diǎn)A作直線,這兩條直線的交點(diǎn)為尸,如圖建立平面直角坐標(biāo)系,則點(diǎn)P滿足的方程可能是()

22

—+^-=l(x>8,y>0)

6436v7

2222

C.————=l(x>4,y>0)D.---^-=l(x>8,y>0)

169V76436l,

3.(2018高三上?全國?專題練習(xí))已知定點(diǎn)耳(-2,0),月(2,0),N是圓0:/+/=1上任意一點(diǎn),點(diǎn)^關(guān)

于點(diǎn)N的對稱點(diǎn)為線段4M的中垂線與直線鳥”相交于點(diǎn)P,則點(diǎn)P的軌跡是

A.直線B.圓

C.橢圓D.雙曲線

4.(20-21高三?湖北武漢?模擬,多選)在平面直角坐標(biāo)系X0y中,動(dòng)點(diǎn)尸與兩個(gè)定點(diǎn)片卜6,0)和耳(君,0)

連線的斜率之積等于g,記點(diǎn)P的軌跡為曲線E,直線/:y=Mx-2)與E交于A,B兩點(diǎn),貝U()

r2

A.E的方程為¥-丁=1B.E的離心率為百

C.E的漸近線與圓(尤-2j+y2=i相切D.滿足|AB|=2g的直線/有2條

5.(24-25高三?全國?模擬)過曲線C上一點(diǎn)P作圓/+>2=1的兩條切線,切點(diǎn)分別為A,8,若左“心=2,

則曲線C的方程為

題型四:拋物線定義型

;指I點(diǎn)I迷I津:

I平面內(nèi)與一個(gè)定點(diǎn)F和一條定直線1(1不經(jīng)過點(diǎn)F)的距離相等的點(diǎn)的軌跡叫做拋物線.點(diǎn)F叫做拋物線:

的焦點(diǎn),直線I叫做拋物線的準(zhǔn)線.

1?-(21-2^缸卡?雨范.訴酶芍廠巨而反而m-直殯7;?二二匚萬礪而石祇商,一證商/祚置殯"

垂線,垂足為0,且55?/=麗,而,動(dòng)點(diǎn)尸的軌跡為C,已知圓M過定點(diǎn)。(0,2),圓心M在軌跡C

上運(yùn)動(dòng),且圓M與x軸交于A、8兩點(diǎn),T§:\DA\=II,\DB\=l2,則}+%的最大值為()

12

A.2B.3C.272D.372

2.(2024高三?全國?專題練習(xí))己知尸是直線,:x-y-2=0上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),過點(diǎn)P作拋物線C:y=f的兩條

切線R4,PB,切點(diǎn)分別為A,B,則ZX/IPB的重心G的軌跡方程為()

3.(20-21高三?廣西南寧?模擬)拋物線:丁=人的過焦點(diǎn)的弦的中點(diǎn)的軌跡方程為()

A.=x—1B.y~=x-萬C.=2(x—1)D.y2=2x—1

4.(2024?浙江?模擬預(yù)測,多選)已知曲線C上的點(diǎn)滿足:到定點(diǎn)(1,0)與定直線V軸的距離的差為定值加,

其中,點(diǎn)A,3分別為曲線C上的兩點(diǎn),且點(diǎn)8恒在點(diǎn)A的右側(cè),則()

A.若機(jī)=!,則曲線C的圖象為一條拋物線

B.若機(jī)=1,則曲線C的方程為V=4x

C.當(dāng)機(jī)>1時(shí),對于任意的A(%,%),3(孫%),都有㈤>國

D.當(dāng)加<-1時(shí),對于任意的A&,%),3(孫%),都有㈤

5.(24-25高三?全國?模擬)設(shè)廠(1,0),點(diǎn)M在x軸上,點(diǎn)尸在y軸上,且旃=2痔,而J.麗,當(dāng)點(diǎn)尸在

,軸上運(yùn)動(dòng)時(shí),點(diǎn)N的軌跡方程為.

題型五:直接設(shè)點(diǎn)型

;指I點(diǎn)I迷I津1

:如果動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的條件就是一些幾何量的等量關(guān)系,這些條件簡單明確,不需要特殊的技巧,易于表述:

;成含x,y的等式,就得到軌跡方程,這種方法稱之為直接法.

(1)到線段兩端點(diǎn)相等的點(diǎn)的軌跡是該線段的垂直平分線.

(2)到角的兩邊相等的點(diǎn)的軌跡是該角的平分線及外角平分線.

:(3)平面內(nèi)到一定點(diǎn)的距離等于定長的點(diǎn)的軌跡是圓,定點(diǎn)為圓心,定長為圓的半徑.

:求解過程:

(1)建系:建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系

(2)設(shè)點(diǎn):設(shè)軌跡上的任一點(diǎn)P(x,y)

;(3)列式:列出有限制關(guān)系的幾何等式

:(4)代換:將軌跡所滿足的條件用含久,y的代數(shù)式表示,

:(5)檢驗(yàn):對某些特殊值應(yīng)另外補(bǔ)充檢驗(yàn).

1.(24-25高三上?河北保定?階段練習(xí))已知曲線C:/+/=9(y>0),從C上任意一點(diǎn)尸向x軸作垂線段PP,

尸,為垂足,點(diǎn)M滿足麗=2祈尸,則點(diǎn)M的軌跡方程為()

A.^2+y=l(J>0)B.y+y2=l(j>0)

2222

C.2+2L=l(y>0)D.土+匕=l(y〉O)

369936

25

2.(24-25高三?河南南陽?階段練習(xí))動(dòng)點(diǎn)M(羽y)與定點(diǎn)尸(4,0)的距離和M到定直線,:龍=1的距離的比

4

是常數(shù)則動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程是()

"Il

A.——+匚=1B.

2516259

c.工+,%2V

D.—+—=1

169167

3.(23-24高三?江蘇南通?階段練習(xí))己知等腰VABC底邊兩端點(diǎn)的坐標(biāo)分別為3(4,0),C(0,Y),則頂點(diǎn)

A的軌跡方程是()

A.y=xB.y=x(xw2)

C.y=-xD.y=-x(x^2)

4.(24-25高三上?山東濟(jì)南?開學(xué)考試,多選)在平面直角坐標(biāo)系X0V中,已知點(diǎn)A(-LO),3。,0),直線AM,

8M相交于點(diǎn)Af,且它們的斜率之和是2.設(shè)動(dòng)點(diǎn)M(x,y)的軌跡為曲線C,則()

A.曲線C關(guān)于原點(diǎn)對稱

B.曲線C關(guān)于某條直線對稱

C.若曲線C與直線丫=丘(左>0)無交點(diǎn),則左

5.(24-25高三?江蘇常州?階段練習(xí))已知在平面直角坐標(biāo)系xOy中,直線/:2依->+3左=0上存在動(dòng)點(diǎn)P滿

足條件4(-3,0),6(1,0),且|啊=3|即時(shí),則實(shí)數(shù)上的取值范圍為.

題型六:相關(guān)點(diǎn)代入法

指I點(diǎn)I迷I津

如果動(dòng)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)是由另外某一點(diǎn)P'的運(yùn)動(dòng)引發(fā)的,而該點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律已知,(該點(diǎn)坐標(biāo)滿足某已知曲線方

程),則可以設(shè)出PQ,y),用Q,y)表示出相關(guān)點(diǎn)P'的坐標(biāo),然后把P'的坐標(biāo)代入已知曲線方程,即可得到動(dòng)點(diǎn)P

的軌跡方程.

第一步:設(shè)所求軌跡的點(diǎn)”(x,y),曲線上的動(dòng)點(diǎn)Q(%,%);

第二步:找出"(x,y)與Q(%,%)的關(guān)系,由匚丁表示七,%,即

[%=g(x,y)

第三步:為)滿足已知的曲線方程,將可,為代人,消去參數(shù).對于不符合條件的點(diǎn)要注意取舍.

1.(22-23高三?北京?階段練習(xí))設(shè)。為坐標(biāo)原點(diǎn),動(dòng)點(diǎn)M在橢圓C:—+/=1±,過”作x軸的垂線,

2

垂足為N,點(diǎn)尸滿足而=0麗,則點(diǎn)P的軌跡方程是()

A.-+y2=lB.—+x2=1C.x2+y2=2D.x2+y2=1

22

2.(21-22高三?遼寧沈陽?模擬)設(shè)0為坐標(biāo)原點(diǎn),動(dòng)點(diǎn)N在圓C:f+尸=8上,過N作V軸的垂線,垂足

_.1____

為M,點(diǎn)、P滿足MP=3MN,則點(diǎn)尸的軌跡方程為

2222D.JJ

A.——+—=1B.——+—=1c

82282442

3.(22-23高三?四川內(nèi)江?模擬)已知面積為16的正方形A3C。的頂點(diǎn)A、8分別在1軸和y軸上滑動(dòng),0

為坐標(biāo)原點(diǎn),OP=^-OA+\OB,則動(dòng)點(diǎn)尸的軌跡方程是()

42

x2j2x2j2%2y2x2y2

32944884

4.(24-25高三?河北唐山?階段練習(xí),多選)數(shù)學(xué)著作《圓錐曲線論》中給出了圓的一種定義:平面內(nèi),到

兩個(gè)定點(diǎn)A,B距離之比是常數(shù)彳(/1>0,且人1)的點(diǎn)M的軌跡是圓.若兩定點(diǎn)4(-2,0),3(2,0),動(dòng)

點(diǎn)”滿足|加4|=及|M8|,則下列說法正確的是()

A.點(diǎn)M的軌跡圍成區(qū)域的面積為32兀

B.點(diǎn)河的軌跡關(guān)于直線x-y-6=0對稱

C.點(diǎn)〃到原點(diǎn)的距離的最大值為6

D.AABM面積的最大值為8應(yīng)

5.(20-21高三?上海楊浦?模擬)已知回A3C的頂點(diǎn)4(-3,0)、B(6,0),若頂點(diǎn)C在拋物線y=/上移動(dòng),貝幅

ABC的重心的軌跡方程為.

題型七:交軌法

指I點(diǎn)I迷I津

1.所求點(diǎn)滿足條件方程1

2.所求點(diǎn)滿足條件方程2

3.動(dòng)點(diǎn)是方程1、2兩軌跡方程,則滿足兩個(gè)軌跡所組成的方程組,通過兩個(gè)方程選擇適當(dāng)?shù)?/p>

技巧消去參數(shù)得到軌跡的普通方程

4.參數(shù)法求軌跡方程,關(guān)鍵有兩點(diǎn):一是選參,容易表示出動(dòng)點(diǎn);二是消參,消參的途徑靈

活多變.

22

I.(2024高三?全國?專題練習(xí))設(shè)A,&是橢圓土+匕=1與X軸的兩個(gè)交點(diǎn),匕鳥是橢圓上垂直于A4的

94

弦的端點(diǎn),則直線46與45交點(diǎn)的軌跡方程為()

B.一川

94'941

c一丁一1(

"土3)D.%*土3)

94194'

2.(2014?四川?一模)過拋物線d=4y的焦點(diǎn)作直線/交拋物線于A,B兩點(diǎn),分別過A,8作拋物線的切

線4,4,貝必與乙的交點(diǎn)P的軌跡方程是()

A.y=-lB.y=-2C.y=x-\D.y=-x-l

V.2

3.(22-23高三?全國?單元測試,多選)已知A,B是橢圓E:二+丁=1的左右頂點(diǎn),過點(diǎn)尸(1,0)且斜率不

4-

為零的直線與E交于N兩點(diǎn),kAM,kBM,kAN,分別表示直線A",BM,AN,BN的斜率,則

下列結(jié)論中正確的是()

,,1

A.kAM,《BM=--B.kBM-kBN=

C.k1M=3kBND.直線AM與BN的交點(diǎn)的軌跡方程是尤=4

4.(2022高三?全國?專題練習(xí))兩條直線無一沖一1=0和〃簧+丁一1=。的交點(diǎn)的軌跡方程是

5.(2022高三?全國?專題練習(xí))由圓外一定點(diǎn)。(。力)向圓/+丁2=/作割線,交圓周于43兩點(diǎn),求弦相

中點(diǎn)的軌跡

6.(2022高三?全國?專題練習(xí))在平面直角坐標(biāo)系xOy中,拋物線y=/上異于坐標(biāo)原點(diǎn)。的兩不同動(dòng)點(diǎn)A、

B滿足求VA03得重心G(即三角形三條中線的交點(diǎn))的軌跡方程.

題型八:參數(shù)消參法

指I點(diǎn)I迷I津

有時(shí)不容易得出動(dòng)點(diǎn)應(yīng)滿足的幾何條件,也無明顯的相關(guān)點(diǎn),但卻較容易發(fā)現(xiàn)(或經(jīng)分析可發(fā)現(xiàn))該動(dòng)點(diǎn)

常常受到另一個(gè)變量(角度,斜率,比值,截距或時(shí)間等)的制約,即動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)(久斤)中的久,y分別隨另一變

量的變化而變化,我們稱這個(gè)變量為參數(shù),由此建立軌跡的參數(shù)方程,這種方法叫參數(shù)法,進(jìn)而通過消參化

為軌跡的普通方程F(%y)=0.

(1)選擇坐標(biāo)系,設(shè)動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)P(x,y);

(2)分析軌跡的已知條件,選定參數(shù)(選擇參數(shù)時(shí)要考慮,既要有利于建立方程又要便于消去參數(shù));

(3)建立參數(shù)方程;

(4)消去參數(shù)得到普通方程;

(5)討論并判斷軌跡.

解題步驟:

1引入?yún)?shù),用此參數(shù)分別表示動(dòng)點(diǎn)的橫縱坐標(biāo)x,y;

2.消去參數(shù),得到關(guān)于的方程,即為所求軌跡方程。

1.(20-21高三?上??可?模面)血圖,設(shè)雙A和B去施法獲丁=20元(p>0)工森黃[以外而兩個(gè)動(dòng)總己知

OA±OB,OM±AB,則點(diǎn)M的軌跡方程為()

x1+y2-2px=0(原點(diǎn)除外)

B.x2+y2-2py=0(原點(diǎn)除外)

C.x2+y2+2px=0(原點(diǎn)除外)

D.x2+y2+2py=0(原點(diǎn)除外)

2.(2022?河南南陽?三模)A和笈是拋物線V=8x上除去原點(diǎn)以外的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn),。是坐標(biāo)原點(diǎn)且滿足

OAOB=0^OMAB=0則動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程為()

無2v2

A.x2+y2-8%=0B.y=6x2C.x2+4y2=1D........-=1

94

3.(22-23高三下?江蘇揚(yáng)州?開學(xué)考試)在平面直角坐標(biāo)系xOy中,1軸正半軸上從左至右四點(diǎn)A、5、C、O橫

坐標(biāo)依次為〃-C、Q、4+C、2Q,y軸上點(diǎn)M、N縱坐標(biāo)分別為徵、-2機(jī)(m>0),設(shè)滿足|制|+|尸。|=2〃的動(dòng)點(diǎn)尸的軌

跡為曲線E,滿|QN|二2|QA1|的動(dòng)點(diǎn)。的軌跡為曲線6當(dāng)動(dòng)點(diǎn)。在y軸正半軸上時(shí),。。交曲線E于點(diǎn)Po

(異于O),且。Po與8。交點(diǎn)恰好在曲線廠上,則〃:c=()

A.垃B.6C.2D.3

22

4.(2022高三?全國?專題練習(xí))設(shè)M是橢圓C:三+&=1上的一點(diǎn),P、Q、T分別為M關(guān)于y軸、原點(diǎn)、

124

無軸的對稱點(diǎn),N為橢圓C上異于M的另一點(diǎn),且QN馬PT的交點(diǎn)為E,當(dāng)M沿橢圓C運(yùn)動(dòng)時(shí),

求動(dòng)點(diǎn)E的軌跡方程.

題型九:空間型:坐標(biāo)法

指I點(diǎn)I迷I津

立體幾何內(nèi)的軌跡,,嘗嘗從以下方向切入

1.建系,利用空間坐標(biāo)系求出方程。

2.通過轉(zhuǎn)化,把空間關(guān)系轉(zhuǎn)化為平面關(guān)系,把空間軌跡轉(zhuǎn)化為平面軌跡求解。

1.(2022?北京石景山?模擬)如圖,正方體ABC。的棱長為1,點(diǎn)〃在棱A8上,且4/=;,點(diǎn)

產(chǎn)是平面A8CD上的動(dòng)點(diǎn),且動(dòng)點(diǎn)尸到直線46的距離與點(diǎn)P到點(diǎn)M的距離的平方差為1,則動(dòng)點(diǎn)尸的軌

跡是()

拋物線C.雙曲線D.橢圓

2.(24-25高三?重慶?階段練習(xí))如圖,已知正方體A8C。-A4C。的棱長為2,M.N分別為線段BC

的中點(diǎn),若點(diǎn)尸為正方體表面上一動(dòng)點(diǎn),且滿足平面MDC,則點(diǎn)P的軌跡長度為()

A.2A/2B.VsC.&D.2

3.(2024?遼寧?模擬預(yù)測)如圖,在棱長為2的正方體ABC。-44G2中,已知M,N,P分別是棱G2,

AA,BC的中點(diǎn),。為平面麗上的動(dòng)點(diǎn),且直線。耳與直線。片的夾角為30。,則點(diǎn)。的軌跡長度為()

C.2兀D.3兀

2

4.(24-25高三?吉林長春,階段練習(xí),多選)如圖,在棱長為1的正方體A8CD-A瓦G2中,M為百G邊的

中點(diǎn),點(diǎn)P在底面48CD內(nèi)運(yùn)動(dòng)(包括邊界),則下列說法正確的有()

A.不存在點(diǎn)P,使得RPLAR

B.不存在點(diǎn)P,使得MP//AG

C.點(diǎn)N在棱2月上,且用N=4A?,若D、P上NP,則點(diǎn)尸的軌跡是圓

D.當(dāng)尸是正方形ABC。的中心時(shí),。為線段A8上的動(dòng)點(diǎn),則尸。+。4的最小值為巫

2

5.(24-25高三?浙江?階段練習(xí))如圖所示的試驗(yàn)裝置中,兩個(gè)正方形框架488、43£F的邊長都是2,且

它們所在的平面互相垂直.長度為2的金屬桿端點(diǎn)N在對角線所上移動(dòng),另一個(gè)端點(diǎn)M在正方形ABCD內(nèi)

(含邊界)移動(dòng),且始終保持則端點(diǎn)M的軌跡長度為.

題型十:空間型:截面型曲線軌跡

1.(24-25高三?湖北?階段練習(xí))動(dòng)點(diǎn)。在棱長為3的正方體ABCD-側(cè)面小£耳上,滿足=2|。目,

則點(diǎn)。的軌跡長度為()

A.271B.yC.岳D,亭

2.(23-24高一下?湖北武漢?模擬)已知棱長為4的正方體點(diǎn)E是棱AB的中點(diǎn),點(diǎn)廠是

棱CG的中點(diǎn),動(dòng)點(diǎn)P在正方形AAOR(包括邊界)內(nèi)運(yùn)動(dòng),且尸耳〃平面DE尸,則尸。的長度范圍為()

A.[屈,B.1平,2同C.]鴕,2同D.[半,M

3.(23-24高三?浙江寧波?模擬)已知正方體AB。-AAGR的棱長為3,以2為球心,內(nèi)為半徑的球面

與正方體表面的交線記為曲線E,則曲線E的長度為()

A.3兀B.島C.拽兀D.2扃

33

4.(24-25高三上?云南昆明?階段練習(xí),多選)如圖,在四棱錐尸-ABCZ)中,底面ABC。為直角梯形,PA1.

平面ABC。,PA=AB=AD=2CD=4,AB//CD,AB±AD,已知點(diǎn)Af在平面PAD上運(yùn)動(dòng),點(diǎn)H在平面

ASCD上運(yùn)動(dòng),則下列說法正確的是()

A.若點(diǎn)H到CD的距離等于其到平面的距離,則點(diǎn)H的軌跡為拋物線的一部分

B.若NBMA=/CMD,則點(diǎn)Af的軌跡為圓的一部分

C.若8河與BD所成的角為30。,則點(diǎn)M的軌跡為橢圓的一部分

D.若CM與平面ABCD所成的角為30。,則點(diǎn)M的軌跡為雙曲線的一部分

5.(24-25高三上?河南?開學(xué)考試)如圖,在四棱錐尸-ABCZ)中,PAL平面ABCZ),底面ABCD為正方形,

P4=AB=2,點(diǎn)瓦尸分別為CD,CP的中點(diǎn),點(diǎn)7為^^45內(nèi)的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(包括邊界),若CT〃平面AEF,

則點(diǎn)T的軌跡的長度為.

題型H--:空間型:雙球圓錐型

1.(2023?遼寧阜新?模擬預(yù)測)比利時(shí)數(shù)學(xué)家丹德林(GerminalDandelin)發(fā)現(xiàn):在圓錐內(nèi)放兩個(gè)大小不同且

不相切的球使得它們與圓錐的側(cè)面相切,用與兩球都相切的平面截圓錐的側(cè)面得到的截線是橢圓.這個(gè)結(jié)

論在圓柱中也適用,如圖所示,在一個(gè)高為20,底面半徑為4的圓柱體內(nèi)放兩個(gè)球,球與圓柱底面及側(cè)面

均相切.若一個(gè)平面與兩個(gè)球均相切,則此平面截圓柱側(cè)面所得的截線為一個(gè)橢圓,則該橢圓的短軸長為

()

A.12B.4C.275D.8

2.(19-20高三?河南?階段練習(xí))比利時(shí)數(shù)學(xué)家Germ/7ia/Oande/M發(fā)現(xiàn):在圓錐內(nèi)放兩個(gè)大小不同且不相切

的球,使得它們分別與圓錐的側(cè)面、底面相切,用與兩球都相切的平面截圓錐的側(cè)面得到的截面曲線是橢

圓.這個(gè)結(jié)論在圓柱中也適用,如圖所示,在一個(gè)高為10,底面半徑為2的圓柱體內(nèi)放球,球與圓柱底面及

側(cè)面均相切.若一個(gè)平面與兩個(gè)球均相切,則此平面截圓柱邊緣所得的圖形為一個(gè)橢圓,該橢圓的離心率為

()

2765

AB.一D

-T3T

3.(23-24高三?浙江寧波?模擬)如圖1,用一個(gè)平面去截圓錐,得到的截口曲線是橢圓.許多人從純幾何的

角度對這個(gè)問題進(jìn)行研究,其中比利時(shí)數(shù)學(xué)家Germinaldandelion(1794-1847)的方法非常巧妙,極具創(chuàng)造

性.在圓錐內(nèi)放兩個(gè)大小不同的球,使得它們分別與圓錐的側(cè)面、截面相切,兩個(gè)球分別與截面切于E、F,

在截口曲線上任取一點(diǎn)A,過A作圓錐的母線,分別與兩個(gè)球切于C、B,由球和圓的幾何性質(zhì),可以知道,

AE=AC,AF=AB,于是AE+AF=AB+AC=3C,由B、C的產(chǎn)生方法可知,它們之間的距離是定

值,由橢圓定義可知,截口曲線是以E、尸為焦點(diǎn)的橢圓.如圖2,一個(gè)半徑為1的球放在桌面上,桌面上

方有一點(diǎn)光源尸,則球在桌面上的投影是橢圓,已知44是橢圓的長軸,尸4垂直于桌面且與球相切,尸4=3,

3

D.

5

4.(2024?山東日照?一模,多選)如圖是數(shù)學(xué)家GerminalDandelin用來證明一個(gè)平面截圓錐側(cè)面得到的截口

曲線是橢圓的模型(稱為"Dandelin雙球”).在圓錐內(nèi)放兩個(gè)大小不同的小球,使得它們分別與圓錐的側(cè)面、

截面相切,截面分別與球。一球劣切于點(diǎn)E,F(E,尸是截口橢圓C的焦點(diǎn)).設(shè)圖中球。一球O?的半徑

分別為4和1,球心距卜后,貝IJ()

A.橢圓C的中心不在直線上

B.但川=4

C,直線。與橢圓C所在平面所成的角的正弦值為出

34

.3

D.橢圓C的圖心率為w

5.(2020?吉林?模擬預(yù)測)如圖(1),在圓錐內(nèi)放兩個(gè)大小不同且不相切的球,使得它們分別與圓錐的側(cè)面、

底面相切,用與兩球都相切的平面截圓錐的側(cè)面得到截口曲線是橢圓.理由如下:如圖(2),若兩個(gè)球分別

與截面相切于點(diǎn)瓦尸,在得到的截口曲線上任取一點(diǎn)A,過點(diǎn)A作圓錐母線,分別與兩球相切于點(diǎn)C8,

由球與圓的幾何性質(zhì),得|圈=附,\AF\^\AB\,所以I物+|AF|=|Aa+|AB|=|Bq=2a,且2。>但周,

由橢圓定義知截口曲線是橢圓,切點(diǎn)瓦尸為焦點(diǎn).這個(gè)結(jié)論在圓柱中也適用,如圖(3),在一個(gè)高為10,底

面半徑為2的圓柱體內(nèi)放球,球與圓柱底面及側(cè)面均相切.若一個(gè)平面與兩個(gè)球均相切,則此平面截圓柱所

得的截口曲線也為一個(gè)橢圓,則該橢圓的離心率為.

圖(1)圖(2)圖(3)

題型十二:立體幾何定角型

1.(20-21高三?浙江寧波?模擬)如圖,在棱長為1的正方體48。-42。|2中,點(diǎn)河是底面正方形筋。1)

的中心,點(diǎn)P是底面ABC。所在平面內(nèi)的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),且滿足NMGP=30°,則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡為()

A.圓B.拋物線C.雙曲線

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