四川省廣元市高中名校2025屆高考數學倒計時模擬卷含解析

四川省廣元市高中名校2025屆高考數學倒計時模擬卷考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應位置上。2．請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準考證號。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知等式成立，則（）A．0 B．5 C．7 D．132．設，滿足約束條件，則的最大值是（）A． B． C． D．3．在區(qū)間上隨機取一個數，使得成立的概率為等差數列的公差，且，若，則的最小值為（）A．8 B．9 C．10 D．114．已知實數x，y滿足，則的最小值等于（）A． B． C． D．5．已知復數，則（）A． B． C． D．26．在棱長為2的正方體ABCD?A1B1C1D1中，P為A1D1的中點，若三棱錐P?ABC的四個頂點都在球O的球面上，則球O的表面積為（）A．12 B． C． D．107．已知雙曲線的一個焦點與拋物線的焦點重合，則雙曲線的離心率為（）A． B． C．3 D．48．已知等差數列的前n項和為，，則A．3 B．4 C．5 D．69．下列命題為真命題的個數是（）（其中，為無理數）①；②；③.A．0 B．1 C．2 D．310．大衍數列，米源于我國古代文獻《乾坤譜》中對易傳“大衍之數五十”的推論，主要用于解釋我國傳統(tǒng)文化中的太極衍生原理，數列中的每一項，都代表太極衍生過程中，曾經經歷過的兩儀數量總和.已知該數列前10項是0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，…，則大衍數列中奇數項的通項公式為（）A． B． C． D．11．《九章算術》中將底面是直角三角形的直三棱柱稱為“塹堵”.某“塹堵”的三視圖如圖，則它的外接球的表面積為（）A．4π B．8π C． D．12．過橢圓的左焦點的直線過的上頂點，且與橢圓相交于另一點，點在軸上的射影為，若，是坐標原點，則橢圓的離心率為（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．平行四邊形中，，為邊上一點（不與重合），將平行四邊形沿折起，使五點均在一個球面上，當四棱錐體積最大時，球的表面積為________.14．某校開展“我身邊的榜樣”評選活動，現(xiàn)對3名候選人甲、乙、丙進行不記名投票，投票要求詳見選票．這3名候選人的得票數（不考慮是否有效）分別為總票數的88%，75%，46%，則本次投票的有效率（有效票數與總票數的比值）最高可能為百分之________．“我身邊的榜樣”評選選票候選人符號注：1．同意畫“○”，不同意畫“×”．2．每張選票“○”的個數不超過2時才為有效票．甲乙丙15．已知為雙曲線的左、右焦點，過點作直線與圓相切于點，且與雙曲線的右支相交于點，若是上的一個靠近點的三等分點，且，則四邊形的面積為_______．16．已知，則_____。三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）a，b，c分別為△ABC內角A，B，C的對邊.已知a＝3，，且B＝60°.（1）求△ABC的面積；（2）若D，E是BC邊上的三等分點，求.18．（12分）已知函數，其中，為自然對數的底數.（1）當時，證明：對；（2）若函數在上存在極值，求實數的取值范圍。19．（12分）在平面直角坐標系xOy中，已知平行于x軸的動直線l交拋物線C：于點P，點F為C的焦點．圓心不在y軸上的圓M與直線l，PF，x軸都相切，設M的軌跡為曲線E．（1）求曲線E的方程；（2）若直線與曲線E相切于點，過Q且垂直于的直線為，直線，分別與y軸相交于點A，當線段AB的長度最小時，求s的值．20．（12分）已知函數，，若存在實數使成立，求實數的取值范圍.21．（12分）已知函數f(x)=x（1）討論fx（2）當x≥-1時，fx+a22．（10分）為了加強環(huán)保知識的宣傳，某學校組織了垃圾分類知識竟賽活動.活動設置了四個箱子，分別寫有“廚余垃圾”、“有害垃圾”、“可回收物”、“其它垃圾”；另有卡片若干張，每張卡片上寫有一種垃圾的名稱.每位參賽選手從所有卡片中隨機抽取張，按照自己的判斷將每張卡片放入對應的箱子中.按規(guī)則，每正確投放一張卡片得分，投放錯誤得分.比如將寫有“廢電池”的卡片放入寫有“有害垃圾”的箱子，得分，放入其它箱子，得分.從所有參賽選手中隨機抽取人，將他們的得分按照、、、、分組，繪成頻率分布直方圖如圖：（1）分別求出所抽取的人中得分落在組和內的人數；（2）從所抽取的人中得分落在組的選手中隨機選取名選手，以表示這名選手中得分不超過分的人數，求的分布列和數學期望.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、D【解析】

根據等式和特征和所求代數式的值的特征用特殊值法進行求解即可.【詳解】由可知：令，得；令，得；令，得，得，，而，所以.故選：D【點睛】本題考查了二項式定理的應用，考查了特殊值代入法，考查了數學運算能力.2、D【解析】

作出不等式對應的平面區(qū)域，由目標函數的幾何意義，通過平移即可求z的最大值．【詳解】作出不等式組的可行域，如圖陰影部分，作直線：在可行域內平移當過點時，取得最大值.由得：，故選：D【點睛】本題主要考查線性規(guī)劃的應用，利用數形結合是解決線性規(guī)劃題目的常用方法，屬于基礎題.3、D【解析】

由題意，本題符合幾何概型，只要求出區(qū)間的長度以及使不等式成立的的范圍區(qū)間長度，利用幾何概型公式可得概率，即等差數列的公差，利用條件，求得，從而求得，解不等式求得結果.【詳解】由題意，本題符合幾何概型，區(qū)間長度為6，使得成立的的范圍為，區(qū)間長度為2，故使得成立的概率為，又，，，令，則有，故的最小值為11，故選：D.【點睛】該題考查的是有關幾何概型與等差數列的綜合題，涉及到的知識點有長度型幾何概型概率公式，等差數列的通項公式，屬于基礎題目.4、D【解析】

設，，去絕對值，根據余弦函數的性質即可求出．【詳解】因為實數，滿足，設，，，恒成立，，故則的最小值等于.故選：．【點睛】本題考查了橢圓的參數方程、三角函數的圖象和性質，考查了運算能力和轉化能力，意在考查學生對這些知識的理解掌握水平．5、C【解析】

根據復數模的性質即可求解.【詳解】,,故選：C【點睛】本題主要考查了復數模的性質，屬于容易題.6、C【解析】

取B1C1的中點Q，連接PQ，BQ，CQ，PD，則三棱柱BCQ?ADP為直三棱柱，此直三棱柱和三棱錐P?ABC有相同的外接球，求出等腰三角形的外接圓半徑，然后利用勾股定理可求出外接球的半徑【詳解】如圖，取B1C1的中點Q，連接PQ，BQ，CQ，PD，則三棱柱BCQ?ADP為直三棱柱，所以該直三棱柱的六個頂點都在球O的球面上，的外接圓直徑為，球O的半徑R滿足，所以球O的表面積S=4πR2=，故選：C.【點睛】此題考查三棱錐的外接球半徑與棱長的關系，及球的表面積公式，解題時要注意審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)，屬于中檔題.7、A【解析】

根據題意，由拋物線的方程可得其焦點坐標，由此可得雙曲線的焦點坐標，由雙曲線的幾何性質可得，解可得，由離心率公式計算可得答案．【詳解】根據題意，拋物線的焦點為，則雙曲線的焦點也為，即，則有，解可得，雙曲線的離心率.故選：A．【點睛】本題主要考查雙曲線、拋物線的標準方程，關鍵是求出拋物線焦點的坐標，意在考查學生對這些知識的理解掌握水平．8、C【解析】

方法一：設等差數列的公差為，則，解得，所以.故選C．方法二：因為，所以，則.故選C．9、C【解析】

對于①中，根據指數冪的運算性質和不等式的性質，可判定值正確的；對于②中，構造新函數，利用導數得到函數為單調遞增函數，進而得到，即可判定是錯誤的；對于③中，構造新函數，利用導數求得函數的最大值為，進而得到，即可判定是正確的.【詳解】由題意，對于①中，由，可得，根據不等式的性質，可得成立，所以是正確的；對于②中，設函數，則，所以函數為單調遞增函數，因為，則又由，所以，即，所以②不正確；對于③中，設函數，則，當時，，函數單調遞增，當時，，函數單調遞減，所以當時，函數取得最大值，最大值為，所以，即，即，所以是正確的.故選：C.【點睛】本題主要考查了不等式的性質，以及導數在函數中的綜合應用，其中解答中根據題意，合理構造新函數，利用導數求得函數的單調性和最值是解答的關鍵，著重考查了構造思想，以及推理與運算能力，屬于中檔試題.10、B【解析】

直接代入檢驗，排除其中三個即可．【詳解】由題意，排除D，，排除A，C．同時B也滿足，，，故選：B．【點睛】本題考查由數列的項選擇通項公式，解題時可代入檢驗，利用排除法求解．11、B【解析】

由三視圖判斷出原圖，將幾何體補形為長方體，由此計算出幾何體外接球的直徑，進而求得球的表面積.【詳解】根據題意和三視圖知幾何體是一個底面為直角三角形的直三棱柱，底面直角三角形的斜邊為2，側棱長為2且與底面垂直，因為直三棱柱可以復原成一個長方體，該長方體外接球就是該三棱柱的外接球，長方體對角線就是外接球直徑，則，那么.故選：B【點睛】本小題主要考查三視圖還原原圖，考查幾何體外接球的有關計算，屬于基礎題.12、D【解析】

求得點的坐標，由，得出，利用向量的坐標運算得出點的坐標，代入橢圓的方程，可得出關于、、的齊次等式，進而可求得橢圓的離心率.【詳解】由題意可得、.由，得，則，即.而，所以，所以點.因為點在橢圓上，則，整理可得，所以，所以.即橢圓的離心率為故選：D.【點睛】本題考查橢圓離心率的求解，解答的關鍵就是要得出、、的齊次等式，充分利用點在橢圓上這一條件，圍繞求點的坐標來求解，考查計算能力，屬于中等題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】

依題意可得、、、四點共圓，即可得到，從而得到三角形為正三角形，利用余弦定理可得，且，要使四棱錐體積最大，當且僅當面面時體積取得最大值，利用正弦定理求出的外接圓的半徑，再又可證面，則外接球的半徑，即可求出球的表面積；【詳解】解：依題意可得、、、四點共圓，所以因為，所以，，所以三角形為正三角形，則，，利用余弦定理得即，解得，則所以，當面面時，取得最大，所以的外接圓的半徑，又面面，，且面面，面所以面，所以外接球的半徑所以故答案為：【點睛】本題考查多面體的外接球的相關計算，正弦定理、余弦定理的應用，屬于中檔題.14、91【解析】

設共有選票張，且票對應張數為，由此可構造不等式組化簡得到，由投票有效率越高越小，可知，由此計算可得投票有效率.【詳解】不妨設共有選票張，投票的有，票的有，票的有，則由題意可得：，化簡得：，即，投票有效率越高，越小，則，，故本次投票的有效率（有效票數與總票數的比值）最高可能為．故答案為：.【點睛】本題考查線性規(guī)劃的實際應用問題，關鍵是能夠根據已知條件構造出變量所滿足的關系式.15、60【解析】

根據題中給的信息與雙曲線的定義可求得與,再在中,由余弦定理求解得,繼而得到各邊的長度,再根據計算求解即可.【詳解】如圖所示：設雙曲線的半焦距為.因為,,,所以由勾股定理,得.所以.因為是上一個靠近點的三等分點,是的中點,所以.由雙曲線的定義可知：,所以.在中,由余弦定理可得,所以,整理可得.所以,解得.所以.則.則,得.則的底邊上的高為.所以.故答案為：60【點睛】本題主要考查了雙曲線中利用定義與余弦定理求解線段長度與面積的方法,需要根據雙曲線的定義表示各邊的長度,再在合適的三角形里面利用余弦定理求得基本量的關系.屬于難題.16、【解析】

由已知求，再利用和角正切公式，求得，【詳解】因為所以cos因此.【點睛】本題考查了同角三角函數基本關系式與和角的正切公式。三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）【解析】

（1）根據正弦定理，可得△ABC為直角三角形，然后可計算b，可得結果.（2）計算，然后根據余弦定理，可得，利用平方關系，可得結果.【詳解】（1）△ABC中，由csinC＝asinA+bsinB，利用正弦定理得c2＝a2+b2，所以△ABC是直角三角形.又a＝3，B＝60°,所以；所以△ABC的面積為.（2）設D靠近點B，則BD＝DE＝EC＝1.，所以所以.【點睛】本題考查正弦定理的應用，屬基礎題.18、(1)見證明；(2)【解析】

（1）利用導數說明函數的單調性，進而求得函數的最小值，得到要證明的結論；（2）問題轉化為導函數在區(qū)間上有解，法一：對a分類討論，分別研究a的不同取值下，導函數的單調性及值域，從而得到結論.法二：構造函數，利用函數的導數判斷函數的單調性求得函數的值域，再利用零點存在定理說明函數存在極值．【詳解】(1)當時，，于是，.又因為，當時，且.故當時，，即.所以，函數為上的增函數，于是，.因此，對，；(2)方法一：由題意在上存在極值，則在上存在零點，①當時，為上的增函數，注意到，，所以，存在唯一實數，使得成立.于是，當時，，為上的減函數；當時，，為上的增函數；所以為函數的極小值點；②當時，在上成立，所以在上單調遞增，所以在上沒有極值；③當時，在上成立，所以在上單調遞減，所以在上沒有極值，綜上所述，使在上存在極值的的取值范圍是.方法二：由題意，函數在上存在極值，則在上存在零點.即在上存在零點.設，，則由單調性的性質可得為上的減函數.即的值域為，所以，當實數時，在上存在零點.下面證明，當時，函數在上存在極值.事實上，當時，為上的增函數，注意到，，所以，存在唯一實數，使得成立.于是，當時，，為上的減函數；當時，，為上的增函數；即為函數的極小值點.綜上所述，當時，函數在上存在極值.【點睛】本題考查利用導數研究函數的最值，涉及函數的單調性，導數的應用，函數的最值的求法，考查構造法的應用，是一道綜合題．19、（1），（2）．【解析】

根據題意設，可得PF的方程，根據距離即可求出；點Q處的切線的斜率存在，由對稱性不妨設，根據導數的幾何意義和斜率公式，求，并構造函數，利用導數求出函數的最值．【詳解】因為拋物線C的方程為，所以F的坐標為，設，因為圓M與x軸、直線l都相切，l平行于x軸，所以圓M的半徑為，點，則直線PF的方程為，即，所以，又m，，所以，即，所以E的方程為，，設，，，由知，點Q處的切線的斜率存在，由對稱性不妨設，由，所以，，所以，，所以，．令，，則，由得，由得，所以在區(qū)間單調遞減，在單調遞增，所以當時，取得極小值也是最小值，即AB取得最小值此時．【點睛】本題考查了直線和拋物線的位置關系，以及利用導數求函數最值的關系，考查了運算能力和轉化能力，屬于難題．20、【解析】試題分析：先將問題“存在實數使成立”轉化為“求函數的最大值”,再借助柯西不等式求出的最大值即可獲解.試題解析：存在實數使成立，等價于的最大值大于，因為，由柯西不等式：，所以，當且僅當時取“”，故常數的取值范圍是．考點：柯西不等式即運用和轉化與化歸的數學思想的運用.21、（1）見解析；（2）-∞,1【解析】

（1）f′（x）=（x+1）ex-ax-a=（x+1）（ex-a）．對a分類討論，即可得出單調性．

（2）由xex-ax-a+1≥0，可得a（x+1）≤xex+1，當x=-1時，0≤-1e+1恒成立．當x＞-1時，a≤xe【詳解】解法一：（1）f①當a≤0時，x(-∞-1(-1,+∞)f-0+f(x)↘極小值↗所以f(x)在(-∞,-1)上單調遞減，在(-1,+∞)單調遞增.②當a>0時，f'(x)=0的根為x=ln若lna>-1，即a>x(-∞,-1)-1(-1,ln(f+0-0+f(x)↗極大值↘極小值↗所以f(x)在(-∞,-1)，(lna,+∞)上單調遞增，在若lna=-1，即a=f'(x)≥0在(-∞,+∞)上恒成立，所以f(x)在若lna<-1，即0<a<x(-∞,ln(-1(-1,+∞)f+0-0+f(x)↗極大值↘極小值↗所以f(x)在(-∞,lna)，(-1,+∞)上單調遞增，在綜上：當a≤0時，f(x)在(-∞,-1)上單調遞減，在(-1,+∞)上單調遞增；當0