北師版九年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)期末復(fù)習(xí)考題猜想 專題01 特殊平行四邊形（考題猜想易錯(cuò)必刷40題7種題型專項(xiàng)訓(xùn)練）

專題01特殊平行四邊形（易錯(cuò)必刷40題7種題型專項(xiàng)訓(xùn)練）菱形的性質(zhì)矩形的性質(zhì)矩形的判定矩形的判定與性質(zhì)正方形的性質(zhì)正方形的判定與性質(zhì)軸對(duì)稱-最短路線問題一．菱形的性質(zhì)（共5小題）1．如圖，已知菱形ABCD的邊長為6，點(diǎn)M是對(duì)角線AC上的一動(dòng)點(diǎn)，且∠ABC＝120°，則MA+MB+MD的最小值是（）A． B．3+3 C．6+ D．2．如圖，菱形ABCD的對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O，過點(diǎn)D作DH⊥AB于點(diǎn)H，連接OH，若OA＝10，S菱形ABCD＝100，則OH的長為（）A． B．10 C．5 D．3．如圖，點(diǎn)F是菱形對(duì)角線BD上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)E是線段BC上一點(diǎn)，且CE＝4BE，連接EF、CF，設(shè)BF的長為x，EF+CF＝y(tǒng)，點(diǎn)F從點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)D時(shí)，y隨x變化的關(guān)系圖象，圖象最低點(diǎn)的縱坐標(biāo)是（）A． B． C．4 D．4．如圖，邊長為1的菱形ABCD中，∠DAB＝60°，連接對(duì)角線AC，以AC為邊作第二個(gè)菱形ACC1D1，使∠D1AC＝60°；連接AC1，再以AC1為邊作第三個(gè)菱形AC1C2D2，使∠D2AC1＝60°，…，按此規(guī)律所作的第2023個(gè)菱形的邊長為（）A． B． C． D．5．如圖，四邊形ABCD為菱形，∠D＝60°，AB＝4，E為邊BC上的動(dòng)點(diǎn)，連接AE，作AE的垂直平分線GF交直線CD于F點(diǎn)，垂足為點(diǎn)G，則線段GF的最小值為．二．矩形的性質(zhì)（共14小題）6．如圖，矩形ABCD的對(duì)角線AC，BD交于點(diǎn)O，AB＝6，BC＝8，過點(diǎn)O作OE⊥AC，交AD于點(diǎn)E，過點(diǎn)E作EF⊥BD，垂足為F，則OE+EF的值為（）A． B． C． D．7．定義：如果一個(gè)三角形有一邊上的中線等于這條邊的一半，那么稱三角形為“智慧三角形”．如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，矩形OABC的邊OA＝3，OC＝4，點(diǎn)M（2，0），在邊AB存在點(diǎn)P，使得△CMP為“智慧三角形”，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為（）A．（3，1）或（3，3） B．（3，）或（3，3） C．（3，）或（3，1） D．（3，）或（3，1）或（3，3）8．如圖，矩形ABCD的對(duì)角線AC與BD交于點(diǎn)O，過點(diǎn)O作BD的垂線分別交AD，BC于E，F(xiàn)兩點(diǎn)．若AC＝2，∠AEO＝120°，則EF的長度為（）A．1 B．2 C． D．9．如圖，∠MON＝90°，矩形ABCD在∠MON的內(nèi)部，頂點(diǎn)A，B分別在射線OM，ON上，AB＝4，BC＝2，則點(diǎn)D到點(diǎn)O的最大距離是（）A．2﹣2 B．2+2 C．2﹣2 D．10．如圖，矩形ABCD中，AB＝6，AD＝8，且有一點(diǎn)P從B點(diǎn)沿著BD往D點(diǎn)移動(dòng)，若過P點(diǎn)作AB的垂線交AB于E點(diǎn)，過P點(diǎn)作AD的垂線交AD于F點(diǎn)，則EF的長度最小為多少（）A． B． C．5 D．711．如圖，矩形ABCD中，對(duì)角線BD的垂直平分線MN分別交AD，BC于點(diǎn)M，N．若AM＝1，BN＝2，則BD的長為（）A． B．3 C． D．12．如圖，在矩形AOBC中，點(diǎn)A的坐標(biāo)是（﹣2，1），點(diǎn)C的縱坐標(biāo)是4，則B、C兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別是（）A．（，3），（﹣，4） B．（，），（，4） C．（，3），（，4） D．（，），（，4）13．如圖，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝2，點(diǎn)E在CD上，DE＝1，點(diǎn)F是邊AB上一動(dòng)點(diǎn)，以EF為斜邊作Rt△EFP．若點(diǎn)P在矩形ABCD的邊上，且這樣的直角三角形恰好有兩個(gè)，則AF的值是．14．如圖，將矩形ABCD沿直線EF對(duì)折，點(diǎn)D恰好與BC邊上的點(diǎn)H重合，∠GFP＝62°，那么∠EHF的度數(shù)等于°．15．如圖，在矩形ABCD中，EF為對(duì)角線BD的垂直平分線，分別交AD、BC于點(diǎn)E、F，連接AO，若AO＝4，EF＝6，則AB＝．16．如圖，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，四邊形OABC為矩形，A（20，0），C（0，8），D為OA的中點(diǎn)，點(diǎn)P在邊BC上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)PD＝OD時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為．17．如圖，A，B，C，D為矩形的四個(gè)頂點(diǎn)，AB＝4cm，AD＝2cm，動(dòng)點(diǎn)P、Q分別從點(diǎn)A，C同時(shí)出發(fā)，都以1cm/s的速度運(yùn)動(dòng)，其中點(diǎn)P由A運(yùn)動(dòng)到B停止，點(diǎn)Q由點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)D停止．（1）求四邊形PBCQ的面積；（2）P、Q兩點(diǎn)從出發(fā)開始到幾秒時(shí)，點(diǎn)P、Q、D組成的三角形是等腰三角形？18．已知，如圖，在長方形ABCD中，AB＝4，AD＝6．延長BC到點(diǎn)E，使CE＝3，連接DE．（1）動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)，以每秒1個(gè)單位的速度沿BC﹣CD﹣DA向終點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒，求當(dāng)t為何值時(shí)，△ABP和△DCE全等？（2）若動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)，以每秒1個(gè)單位的速度僅沿著BE向終點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)，連接DP．設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒，是否存在t，使△PDE為等腰三角形？若存在，請(qǐng)求出t的值；否則，說明理由．19．如圖，在矩形ABCD中，點(diǎn)E在AB上，AB＝DE，CF⊥DE，垂足為F．（1）求證：CF＝CB；（2）若∠FCB＝30°，且AD＝2，求EF的長．三．矩形的判定（共1小題）20．下列說法中錯(cuò)誤的是（）A．兩條對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形 B．兩條對(duì)角線相等的四邊形是矩形 C．兩條對(duì)角線互相垂直的矩形是正方形 D．兩條對(duì)角線相等的菱形是正方形四．矩形的判定與性質(zhì)（共2小題）21．如圖，直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，點(diǎn)D是AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)D作DE⊥AC于E點(diǎn)，DF⊥BC于F點(diǎn)，連接EF，則線段EF長的最小值為．22．如圖，在?ABCD中，AC⊥AD，作∠ECA＝∠ACD，CE交AB于點(diǎn)O，交DA的延長線于點(diǎn)E，連接BE．（1）求證：四邊形ACBE是矩形；（2）連接OD，若AB＝4，∠ACD＝60°，求OD的長．五．正方形的性質(zhì)（共16小題）23．將n個(gè)邊長都為1cm的正方形按如圖所示的方法擺放，點(diǎn)A1，A2，…，An分別是正方形對(duì)角線的交點(diǎn)，則n個(gè)正方形重疊形成的重疊部分的面積和為（）A．cm2 B．cm2 C．cm2 D．（）ncm224．如圖，已知CB＝CA，∠ACB＝90°，點(diǎn)D在邊BC上（與B，C不重合），四邊形ADEF為正方形，過點(diǎn)F作FG⊥CA，交CA的延長線于點(diǎn)G，連接FB，交DE于點(diǎn)Q，得出以下結(jié)論：①AC＝FG；②S△FAB：S四邊形CBFG＝1：2；③∠ABC＝∠ABF；④AD2＝FQ?AC．其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（）A．1 B．2 C．3 D．425．已知：如圖，在正方形ABCD外取一點(diǎn)E，連接AE，BE，DE．過點(diǎn)A作AE的垂線交DE于點(diǎn)P．若，PB＝10，下列結(jié)論：①△APD≌△AEB；②∠AEB＝135°；③；④S△APD+S△APB＝33；⑤CD＝11．其中正確結(jié)論的序號(hào)是（）A．①②③④ B．①④⑤ C．①②④ D．③④⑤26．如圖，在正方形ABCD和正方形CEFG中，點(diǎn)G在CD上，BC＝8，CE＝4，H是AF的中點(diǎn)，那么CH的長為（）A．4 B．2 C．4 D．227．如圖，正方形ABCD的邊長為10，AG＝CH＝8，BG＝DH＝6，連接GH．則線段GH的長（）A． B．10﹣5 C．2 D．28．如圖，在正方形ABCD的外側(cè)，作等邊△ADE，則∠ABE為（）A．10° B．15° C．20° D．25°29．一個(gè)正方形和兩個(gè)等邊三角形的位置如圖所示，若AB∥CD，則∠1+∠2＝（）A．90° B．100° C．110° D．120°30．如圖，已知正方形ABCD的邊長為4，P是對(duì)角線BD上一點(diǎn)，PE⊥BC于點(diǎn)E，PF⊥CD于點(diǎn)F，連接AP，EF．給出下列結(jié)論：①PD＝DF；②四邊形PECF的周長為8；③EF的最小值為2；④AP⊥EF．其中正確結(jié)論的序號(hào)為（）A．①② B．①②④ C．②③④ D．①②③31．如圖，在正方形ABCD中，AB＝3，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在CD，AD上，CE＝DF，BE，CF相交于點(diǎn)G．若圖中陰影部分的面積與正方形ABCD的面積之比為2：3，則△BCG的周長為．32．如圖，在正方形ABCD中，E為對(duì)角線AC上一點(diǎn)，連接DE，過點(diǎn)E作EF⊥DE，交BC延長線于點(diǎn)F，以DE，EF為鄰邊作矩形DEFG，連接CG．在下列結(jié)論中：①DE＝EF；②△DAE≌△DCG；③AC⊥CG；④CE＝CF．其中正確的結(jié)論序號(hào)是．33．如圖，在正方形ABCD中，AD＝4，點(diǎn)E、F分別為AB、BC上的動(dòng)點(diǎn)，且AE＝BF，AF與DE交于點(diǎn)O，點(diǎn)P為EF的中點(diǎn)．（1）若AE＝1，則EF的長＝；（2）在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過程中，OP長的最小值為．34．已知邊長為4的正方形OABC在直角坐標(biāo)系中，OA與y軸的夾角為30°，則點(diǎn)B的坐標(biāo)是．35．如圖，正方形ABCD的邊長為8，P是邊CD上的一動(dòng)點(diǎn)，EF⊥BP交BP于G，且EF平分正方形ABCD的面積，則線段GC的最小值是．36．如圖，分別以△ABC的邊AB，AC為邊往外作正方形ABDE和正方形ACFG，連接BG，CE，EG，若AB＝3，AC＝1，則BC2+EG2的值為．37．如圖，點(diǎn)G是正方形ABCD對(duì)角線CA的延長線一點(diǎn)，對(duì)角線BD與AC交于點(diǎn)O，以線段AG為邊作一個(gè)正方形AEFG，連接EB、GD．（1）求證：EB＝GD；（2）若AB＝5，AG＝2，求EB的長．38．如圖1，在正方形ABCD中，∠AEF＝90°，且EF交正方形外角的平分線CF于點(diǎn)F．（1）若點(diǎn)E是BC邊上的中點(diǎn)，求證：AE＝EF；（2）如圖2，若點(diǎn)E是BC的延長線上（除C點(diǎn)外）的任意一點(diǎn)，其他條件不變，那么結(jié)論“AE＝EF”是否仍然成立，若成立，請(qǐng)寫出證明過程；若不成立，請(qǐng)說明理由；（3）如圖3，若點(diǎn)E是BC邊上的任意點(diǎn)一，在AB邊上是否存在點(diǎn)M，使得四邊形DMEF是平行四邊形？若存在，請(qǐng)給予證明；若不存在，請(qǐng)說明理由．六．正方形的判定與性質(zhì)（共1小題）39．如圖，已知四邊形ABCD是正方形，AB＝4，點(diǎn)E為對(duì)角線AC上一動(dòng)點(diǎn)，連接DE，過點(diǎn)E作EF⊥DE，交射線BC于點(diǎn)F，以DE，EF為鄰邊作矩形DEFG，連CG．（1）求證：四邊形DEFG是正方形；（2）求AE2+CE2的最小值．七．軸對(duì)稱-最短路線問題（共1小題）40．如圖，在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝5，點(diǎn)P在AD上，點(diǎn)Q在BC上，且AP＝CQ，連接CP，QD，則PC+QD的最小值為（）A．10 B．11 C．12 D．13

專題01特殊平行四邊形（易錯(cuò)必刷40題7種題型專項(xiàng)訓(xùn)練）菱形的性質(zhì)矩形的性質(zhì)矩形的判定矩形的判定與性質(zhì)正方形的性質(zhì)正方形的判定與性質(zhì)軸對(duì)稱-最短路線問題一．菱形的性質(zhì)（共5小題）1．如圖，已知菱形ABCD的邊長為6，點(diǎn)M是對(duì)角線AC上的一動(dòng)點(diǎn)，且∠ABC＝120°，則MA+MB+MD的最小值是（）A． B．3+3 C．6+ D．【答案】D【解答】解：如圖，過點(diǎn)M作ME⊥AB于點(diǎn)E，連接BD交AC于O，∵菱形ABCD中，∠ABC＝120°，∴∠DAB＝60°，AD＝AB＝DC＝BC，∴△ADB是等邊三角形，∴∠MAE＝30°，∴AM＝2ME，∵M(jìn)D＝MB，∴MA+MB+MD＝2ME+2DM＝2DE，點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)到DE上，且DE⊥射線AB時(shí)，DE取得最小值，此時(shí)DE最短，即MA+MB+MD最小，∵菱形ABCD的邊長為6，∴DE＝＝＝3，∴2DE＝6．∴MA+MB+MD的最小值是6．故選：D．2．如圖，菱形ABCD的對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O，過點(diǎn)D作DH⊥AB于點(diǎn)H，連接OH，若OA＝10，S菱形ABCD＝100，則OH的長為（）A． B．10 C．5 D．【答案】C【解答】解：∵四邊形ABCD是菱形，∴AC＝2AO＝20，又∵S菱形ABCD＝×AC×BD＝20×BD＝100，∴BD＝10，∵DH⊥AB，∴在Rt△BHD中，點(diǎn)O是BD的中點(diǎn)，∴OH＝BD＝10＝5．故選：C．3．如圖，點(diǎn)F是菱形對(duì)角線BD上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)E是線段BC上一點(diǎn)，且CE＝4BE，連接EF、CF，設(shè)BF的長為x，EF+CF＝y(tǒng)，點(diǎn)F從點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)D時(shí)，y隨x變化的關(guān)系圖象，圖象最低點(diǎn)的縱坐標(biāo)是（）A． B． C．4 D．【答案】B【解答】解：如圖1，連接AF，AE，AE交BD于F1，∵在菱形ABCD中點(diǎn)A，點(diǎn)C關(guān)于BD對(duì)稱，∴AF＝CF，∴y＝EF+CF＝EF+AF，當(dāng)A、F、E三點(diǎn)在同一直線上時(shí)，y取最小值，y的最小值為線段AE的長，如圖2，當(dāng)x＝0時(shí)，y＝6，設(shè)BE＝a，則CE＝4a，∴y＝a+5a＝6，∴a＝1，∴BC＝5，由圖2知：BD＝6，如圖3，連接AC交BD于G，連接EG，過點(diǎn)E作EH⊥AC于H，∵四邊形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，BG＝BD＝3，由勾股定理得：CG＝4，∴△ECG的面積＝S△BCG＝?CG?EH，∴××3×4＝×4×EH，∴EH＝，∴CH＝＝＝，∴AH＝AC﹣CH＝8﹣＝，∴AE＝＝＝，即圖象最低點(diǎn)的縱坐標(biāo)是．故選：B．4．如圖，邊長為1的菱形ABCD中，∠DAB＝60°，連接對(duì)角線AC，以AC為邊作第二個(gè)菱形ACC1D1，使∠D1AC＝60°；連接AC1，再以AC1為邊作第三個(gè)菱形AC1C2D2，使∠D2AC1＝60°，…，按此規(guī)律所作的第2023個(gè)菱形的邊長為（）A． B． C． D．【答案】B【解答】解：連接BD，交AC于點(diǎn)O，∵四邊形ABCD是菱形，∴∠AOB＝90°，OB＝BD，OA＝AC，DA＝AB＝1，∵∠DAB＝60°，∴△ADB是等邊三角形，∴BD＝AB＝AD＝1，∴OB＝BD＝，∴AO＝＝＝，∴AC＝2AO＝，同理可得：AC1＝3，∴第1個(gè)菱形的邊長＝1＝（）0，第2個(gè)菱形的邊長＝＝（）1，第3個(gè)菱形的邊長＝3＝（）2，…∴第2023個(gè)菱形的邊長＝（）2022，故選：B．5．如圖，四邊形ABCD為菱形，∠D＝60°，AB＝4，E為邊BC上的動(dòng)點(diǎn)，連接AE，作AE的垂直平分線GF交直線CD于F點(diǎn)，垂足為點(diǎn)G，則線段GF的最小值為3．【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：連接AC，過點(diǎn)F作FM⊥AC于M，作FN⊥BC延長線于N，連接AF、EF，∵四邊形ABCD是菱形，且∠D＝60°，∴∠B＝∠D＝60°，AD∥BC，∴∠FCN＝∠D＝60°＝∠FCM，∴FM＝FN，∵FG垂直平分AE，∴AF＝EF，∴Rt△AFM≌Rt△EFN（HL），∴∠AFM＝∠EFN，∴∠AFE＝∠MFN，∵∠FMC＝∠FNC＝90°，∠MCN＝120°，∴∠MFN＝60°，∴∠AFE＝60°，∴△AEF是等邊三角形，∴FG＝AG＝，∴當(dāng)AE⊥BC時(shí)，Rt△ABE中，∠B＝60°，∴∠BAE＝30°，∵AB＝4，∴BE＝2，AE＝2，∴當(dāng)AE⊥BC時(shí)，即AE＝2時(shí)，F(xiàn)G最小，最小為3；故答案為：3．參考第二種解法如下：取AB中點(diǎn)點(diǎn)P，連接PG，如圖所示，∵GF垂直平分AE，∴AG＝EG，GF⊥AE，∵AP＝BP，∴PG＝BE，由此可見，當(dāng)點(diǎn)P，G，F(xiàn)共線時(shí)，GF有最小值，此時(shí)PF⊥AE于點(diǎn)G，AE⊥BC，∴PF＝AD＝AB＝4，PG＝BE＝×2＝1，∴GF＝PF﹣PG＝4﹣1＝3．故答案為：3．二．矩形的性質(zhì)（共14小題）6．如圖，矩形ABCD的對(duì)角線AC，BD交于點(diǎn)O，AB＝6，BC＝8，過點(diǎn)O作OE⊥AC，交AD于點(diǎn)E，過點(diǎn)E作EF⊥BD，垂足為F，則OE+EF的值為（）A． B． C． D．【答案】C【解答】解：∵AB＝6，BC＝8，∴矩形ABCD的面積為48，AC＝＝10，∴AO＝DO＝AC＝5，∵對(duì)角線AC，BD交于點(diǎn)O，∴△AOD的面積為12，∵EO⊥AO，EF⊥DO，∴S△AOD＝S△AOE+S△DOE，即12＝AO×EO+DO×EF，∴12＝×5×EO+×5×EF，∴5（EO+EF）＝24，∴EO+EF＝，故選：C．7．定義：如果一個(gè)三角形有一邊上的中線等于這條邊的一半，那么稱三角形為“智慧三角形”．如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，矩形OABC的邊OA＝3，OC＝4，點(diǎn)M（2，0），在邊AB存在點(diǎn)P，使得△CMP為“智慧三角形”，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為（）A．（3，1）或（3，3） B．（3，）或（3，3） C．（3，）或（3，1） D．（3，）或（3，1）或（3，3）【答案】D【解答】解：由題意可知，“智慧三角形”是直角三角形，∠CPM＝90°或∠CMP＝90°，∴設(shè)P（3，a），則AP＝a，BP＝4﹣a；①若∠CPM＝90°，在Rt△BCP中，由勾股定理得：CP2＝BP2+BC2＝（4﹣a）2+9，在Rt△MPA中，由勾股定理得：MP2＝MA2+AP2＝1+a2，在Rt△MPC中，由勾股定理得：CM2＝MP2+CP2＝1+a2+（4﹣a）2+9＝2a2﹣8a+26，又∵CM2＝OM2+OC2＝4+16＝20，∴2a2﹣8a+26＝20，∴（a﹣3）（a﹣1）＝0，解得：a＝3或a＝1，∴P（3，3）或（3，1）；②若∠CMP＝90°，在Rt△BCP中，由勾股定理得：CP2＝BP2+BC2＝（4﹣a）2+9，在Rt△MPA中，由勾股定理得：MP2＝MA2+AP2＝1+a2，∵CM2＝OM2+OC2＝20，在Rt△MCP中，由勾股定理得：CM2+MP2＝CP2，∴20+1+a2＝（4﹣a）2+9，解得：a＝．∴P（3，）．綜上，P（3，）或（3，1）或（3，3）．故選：D．8．如圖，矩形ABCD的對(duì)角線AC與BD交于點(diǎn)O，過點(diǎn)O作BD的垂線分別交AD，BC于E，F(xiàn)兩點(diǎn)．若AC＝2，∠AEO＝120°，則EF的長度為（）A．1 B．2 C． D．【答案】B【解答】解：∵∠AEO＝120°，∠DOE＝90°，∴∠EDO＝30°，又∵AC＝2，∴DO＝BD＝AC＝，∴Rt△DOE中，OE＝tan30°×DO＝1，同理可得，Rt△BOF中，OF＝1，∴EF＝2，故選：B．9．如圖，∠MON＝90°，矩形ABCD在∠MON的內(nèi)部，頂點(diǎn)A，B分別在射線OM，ON上，AB＝4，BC＝2，則點(diǎn)D到點(diǎn)O的最大距離是（）A．2﹣2 B．2+2 C．2﹣2 D．【答案】B【解答】解：取AB中點(diǎn)E，連接OE、DE、OD，∵∠MON＝90°，∴OE＝AB＝2．在Rt△DAE中，利用勾股定理可得DE＝2．在△ODE中，根據(jù)三角形三邊關(guān)系可知DE+OE＞OD，∴當(dāng)O、E、D三點(diǎn)共線時(shí)，OD最大為OE+DE＝2+2．故選：B．10．如圖，矩形ABCD中，AB＝6，AD＝8，且有一點(diǎn)P從B點(diǎn)沿著BD往D點(diǎn)移動(dòng)，若過P點(diǎn)作AB的垂線交AB于E點(diǎn)，過P點(diǎn)作AD的垂線交AD于F點(diǎn)，則EF的長度最小為多少（）A． B． C．5 D．7【答案】B【解答】解：如圖，連接AP、EF，∵PE⊥AB，PF⊥AD，∴∠AEP＝∠AFP＝90°．∵四邊形ABCD是矩形，∴∠BAD＝90°．∴四邊形AEPF為矩形．∴AP＝EF．∴要求EF的最小值就是要求AP的最小值．∵點(diǎn)P從B點(diǎn)沿著BD往D點(diǎn)移動(dòng)，∴當(dāng)AP⊥BD時(shí)，AP取最小值．下面求此時(shí)AP的值，在Rt△BAD中，∵∠BAD＝90°，AB＝6，AD＝8，∴BD＝＝＝＝10．∵S△ABD＝＝，∴AP＝＝＝．∴EF的長度最小為：．故本題選B．11．如圖，矩形ABCD中，對(duì)角線BD的垂直平分線MN分別交AD，BC于點(diǎn)M，N．若AM＝1，BN＝2，則BD的長為（）A． B．3 C． D．【答案】A【解答】解：由題意，連接BM，記BD與MN交于點(diǎn)O．∵線段MN垂直平分BD，∴BO＝DO，BM＝DM．∵四邊形ABCD是矩形，∴AD∥BC．∴∠MDO＝∠NBO．又∠DOM＝∠BON，∴△DMO≌△BNO（ASA）．∴DM＝BN＝BM＝2．在Rt△BAM中，∴AB＝＝．∴在Rt△BAD中可得，BD＝＝2．故選：A．12．如圖，在矩形AOBC中，點(diǎn)A的坐標(biāo)是（﹣2，1），點(diǎn)C的縱坐標(biāo)是4，則B、C兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別是（）A．（，3），（﹣，4） B．（，），（，4） C．（，3），（，4） D．（，），（，4）【答案】A【解答】解：如圖，過點(diǎn)A作AD⊥x軸于點(diǎn)D，過點(diǎn)B作BE⊥x軸于點(diǎn)E，過點(diǎn)C作CF∥y軸，過點(diǎn)A作AF∥x軸，交點(diǎn)為F，延長CA交x軸于點(diǎn)H，∵四邊形AOBC是矩形，∴AC∥OB，AC＝OB，∴∠CAF＝∠BOE＝∠CHO，在△ACF和△OBE中，，∴△CAF≌△BOE（AAS），∴BE＝CF＝4﹣1＝3，∵∠AOD+∠BOE＝∠BOE+∠OBE＝90°，∴∠AOD＝∠OBE，∵∠ADO＝∠OEB＝90°，∴△AOD∽△OBE，∴＝，即＝，∴OE＝，即點(diǎn)B（，3），∴AF＝OE＝，∴點(diǎn)C的橫坐標(biāo)為：﹣（2﹣）＝﹣，∴點(diǎn)C（﹣，4）．故選：A．13．如圖，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝2，點(diǎn)E在CD上，DE＝1，點(diǎn)F是邊AB上一動(dòng)點(diǎn)，以EF為斜邊作Rt△EFP．若點(diǎn)P在矩形ABCD的邊上，且這樣的直角三角形恰好有兩個(gè)，則AF的值是0或1＜AF或4．【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：∵△EFP是直角三角形，且點(diǎn)P在矩形ABCD的邊上，∴P是以EF為直徑的圓O與矩形ABCD的交點(diǎn)，①當(dāng)AF＝0時(shí)，如圖1，此時(shí)點(diǎn)P有兩個(gè)，一個(gè)與D重合，一個(gè)交在邊AB上；②當(dāng)⊙O與AD相切時(shí)，設(shè)與AD邊的切點(diǎn)為P，如圖2，此時(shí)△EFP是直角三角形，點(diǎn)P只有一個(gè)，解法一：當(dāng)⊙O與BC相切時(shí)，如圖6，連接OP，EP，PF，此時(shí)構(gòu)成三個(gè)直角三角形，∵EC∥OP∥BF，EO＝OF，∴PC＝BP＝1，∵DE＝1，CD＝4，∴CE＝3，∵∠ECP＝∠EPF＝∠B＝90°，∴∠EPC＝∠BFP，∴△ECP∽△PBF，∴，即，BF＝，∴AF＝4﹣＝；解法二：當(dāng)⊙O與BC相切時(shí)，如圖4，連接OP，此時(shí)構(gòu)成三個(gè)直角三角形，則OP⊥BC，設(shè)AF＝x，則BF＝P1C＝4﹣x，EP1＝x﹣1，∵OP∥EC，OE＝OF，∴OG＝EP1＝，∴⊙O的半徑為：OF＝OP＝+（4﹣x），在Rt△OGF中，由勾股定理得：OF2＝OG2+GF2，∴，解得：x＝，∴當(dāng)1＜AF＜時(shí)，這樣的直角三角形恰好有兩個(gè)，如圖3，③當(dāng)AF＝4，即F與B重合時(shí)，這樣的直角三角形恰好有兩個(gè)，如圖5，綜上所述，則AF的值是：0或1＜AF或4．故答案為：0或1＜AF或4．14．如圖，將矩形ABCD沿直線EF對(duì)折，點(diǎn)D恰好與BC邊上的點(diǎn)H重合，∠GFP＝62°，那么∠EHF的度數(shù)等于56°．【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：∵矩形ABCD沿直線EF對(duì)折，點(diǎn)D恰好與BC邊上的點(diǎn)H重合，∴∠CFP＝∠GFP，HE∥GF∴∠CFG＝2∠GFP＝124°，∴∠HFG＝180°﹣∠CFG＝56°，∴∠EHF＝∠HFG＝56°．故答案為56．15．如圖，在矩形ABCD中，EF為對(duì)角線BD的垂直平分線，分別交AD、BC于點(diǎn)E、F，連接AO，若AO＝4，EF＝6，則AB＝4.8．【答案】4.8．【解答】解：連接BE，∵EF為矩形ABCD的對(duì)角線BD的垂直平分線，AO＝4，∴BD＝2DO＝2AO＝8，BE＝DE，∠DOE＝90°，∴DO＝4，∵四邊形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∴∠EDO＝∠FBO，∵OB＝OD，∠EOD＝∠FOB，∴△EOD≌△FOB（ASA），∴EO＝OF，∵EF＝6，∴EO＝3，設(shè)AE＝x，由勾股定理得：BE＝DE＝＝5，AB2＝BD2﹣AD2＝BE2﹣AE2，∴82﹣（5+x）2＝52﹣x2，∴x＝，∴AB＝＝4.8．故答案為：4.8．16．如圖，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，四邊形OABC為矩形，A（20，0），C（0，8），D為OA的中點(diǎn)，點(diǎn)P在邊BC上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)PD＝OD時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（4，8）或（16，8）．【答案】（4，8）或（16，8）．【解答】解：如圖，作DH⊥BC于H，∵D為OA的中點(diǎn)，A（20，0），∴OD＝10，∵DP＝DO，∴DP＝10，當(dāng)點(diǎn)P在H左邊時(shí)，在Rt△DHP中，由勾股定理得，PH＝＝6，當(dāng)點(diǎn)P'在H右邊時(shí)，HP'＝PH＝6，∴CP＝4，CP'＝16，∴P（4，8）或（16，8），故答案為：（4，8）或（16，8）．17．如圖，A，B，C，D為矩形的四個(gè)頂點(diǎn)，AB＝4cm，AD＝2cm，動(dòng)點(diǎn)P、Q分別從點(diǎn)A，C同時(shí)出發(fā)，都以1cm/s的速度運(yùn)動(dòng)，其中點(diǎn)P由A運(yùn)動(dòng)到B停止，點(diǎn)Q由點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)D停止．（1）求四邊形PBCQ的面積；（2）P、Q兩點(diǎn)從出發(fā)開始到幾秒時(shí)，點(diǎn)P、Q、D組成的三角形是等腰三角形？【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：（1）設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t，則AP＝t，CQ＝t，∵四邊形ABCD是矩形，∴CD＝AB＝4cm，BC＝AD＝2cm，∠B＝∠C＝90°，∴BP＝4﹣t，∴四邊形PBCQ的面積＝（PB+CQ）?BC＝4×2＝4（cm）2；（2）設(shè)P、Q兩點(diǎn)從出發(fā)開始到t秒時(shí)，點(diǎn)P、Q、D組成的三角形是等腰三角形，∵CQ＝t，∴DQ＝4﹣t，①當(dāng)PQ＝DQ＝4﹣t時(shí)，如圖1，過P作PH⊥DQ于H，則PH＝AD＝2，DH＝AP＝t，∵CQ＝t，∴HQ＝4﹣2t，∵PH2+HQ2＝PQ2，∴22+（4﹣2t）2＝（4﹣t）2，解得：t＝2，t＝，②當(dāng)PQ＝PD時(shí)，如圖2，過P作PH⊥DQ于H，則PH＝AD＝2，DH＝AP＝HQ＝t，∵CQ＝t，∴HQ＝4﹣2t，∴4﹣2t＝t，∴t＝，③當(dāng)DQ＝PD時(shí)，∴DQ＝4﹣t，∴PD＝DQ＝4﹣t，∵AP2+AD2＝PD2，∴t2+22＝（4﹣t）2，∴t＝，綜上所述，當(dāng)t＝2秒或t＝秒或t＝秒或t＝秒時(shí)，點(diǎn)P、Q、D組成的三角形是等腰三角形．18．已知，如圖，在長方形ABCD中，AB＝4，AD＝6．延長BC到點(diǎn)E，使CE＝3，連接DE．（1）動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)，以每秒1個(gè)單位的速度沿BC﹣CD﹣DA向終點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒，求當(dāng)t為何值時(shí)，△ABP和△DCE全等？（2）若動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)，以每秒1個(gè)單位的速度僅沿著BE向終點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)，連接DP．設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒，是否存在t，使△PDE為等腰三角形？若存在，請(qǐng)求出t的值；否則，說明理由．【答案】（1）當(dāng)t為3或13時(shí)，△ABP和△DCE全等；（2）t＝3或4或時(shí)，△PDE為等腰三角形．【解答】解：（1）若△ABP與△DCE全等，∴BP＝CE或AP＝CE，當(dāng)BP＝CE＝3時(shí)，則t＝3÷1＝3，當(dāng)AP＝CE＝3時(shí)，則t＝（6+6+4﹣3）÷1＝13，∴當(dāng)t為3或13時(shí)，△ABP和△DCE全等；（2）∵四邊形ABCD是矩形，∴AB＝CD＝4，AD＝BC＝6，CD⊥BC，在Rt△DCE中，CE＝3，∴DE＝＝5，若△PDE為等腰三角形，則PD＝DE或PE＝DE或PD＝PE，當(dāng)PD＝DE時(shí)，∵PD＝DE，DC⊥BE，∴PC＝CE＝3，∵BP＝BC﹣CP＝3，∴t＝3÷1＝3，當(dāng)PE＝DE＝5時(shí)，∵BP＝BE﹣PE，∴BP＝9﹣5＝4，∴t＝4÷1＝4，當(dāng)PD＝PE時(shí)，∴PE＝PC+CE＝3+PC，∴PD＝3+PC，在Rt△PDC中，DP2＝CD2+PC2．∴（3+PC）2＝16+PC2，∴PC＝，∵BP＝BC﹣PC，∴BP＝，∴t＝÷1＝，綜上所述：當(dāng)t＝3或4或時(shí)，△PDE為等腰三角形．19．如圖，在矩形ABCD中，點(diǎn)E在AB上，AB＝DE，CF⊥DE，垂足為F．（1）求證：CF＝CB；（2）若∠FCB＝30°，且AD＝2，求EF的長．【答案】（1）證明見解答；（2）4﹣2．【解答】（1）證明：如圖，連接CE，∵四邊形ABCD是矩形，∴AB＝CD，AB∥CD，∴∠DCE＝∠BEC，∵AB＝DE，∴CD＝DE，∴∠DCE＝∠DEC，∴∠DEC＝∠BEC，∵∠B＝∠EFC＝90°，CE＝CE，∴△EFC≌△EBC（AAS），∴CF＝CB；（2）解：∵∠FCB＝30°，∠BCD＝90°，∴∠DCF＝60°，∵∠DFC＝90°，∴∠CDF＝30°，∵AD＝BC＝CF＝2，∴CD＝2CF＝4，DF＝2，∴EF＝DE﹣DF＝4﹣2．答：EF的長為4﹣2．三．矩形的判定（共1小題）20．下列說法中錯(cuò)誤的是（）A．兩條對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形 B．兩條對(duì)角線相等的四邊形是矩形 C．兩條對(duì)角線互相垂直的矩形是正方形 D．兩條對(duì)角線相等的菱形是正方形【答案】B【解答】解：A、對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形，故A選項(xiàng)正確；B、對(duì)角線相等的平行四邊形才是矩形，故B選項(xiàng)錯(cuò)誤；C、對(duì)角線互相垂直的矩形是正方形，故C選項(xiàng)正確；D、兩條對(duì)角線相等的菱形是正方形，故D選項(xiàng)正確；綜上所述，B符合題意，故選：B．四．矩形的判定與性質(zhì)（共2小題）21．如圖，直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，點(diǎn)D是AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)D作DE⊥AC于E點(diǎn)，DF⊥BC于F點(diǎn)，連接EF，則線段EF長的最小值為2.4．【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：如圖，連接CD．∵∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，∴AB＝＝5，∵DE⊥AC，DF⊥BC，∠ACB＝90°，∴四邊形CFDE是矩形，∴EF＝CD，由垂線段最短，可得當(dāng)CD⊥AB時(shí)，CD最短，即線段EF的值最小，此時(shí)，S△ABC＝BC?AC＝AB?CD，即×4×3＝×5?CD，解得CD＝2.4，∴線段EF長的最小值為2.4．故答案為：2.422．如圖，在?ABCD中，AC⊥AD，作∠ECA＝∠ACD，CE交AB于點(diǎn)O，交DA的延長線于點(diǎn)E，連接BE．（1）求證：四邊形ACBE是矩形；（2）連接OD，若AB＝4，∠ACD＝60°，求OD的長．【答案】（1）證明見解答；（2）2．【解答】（1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC，AD＝BC，∵AC⊥AD，∴∠EAC＝∠DAC＝90°，∵∠ECA＝∠ACD，∴∠AEC＝∠ADC，∴CE＝CD，∴AE＝AD＝BC，∵AE∥BC，∴四邊形ACBE是平行四邊形，∵∠EAC＝90°，∴四邊形ACBE是矩形；（2）解：如圖，過點(diǎn)O作OF⊥DE于F，由（1）知：四邊形ACBE是矩形，∴對(duì)角線AB和CE相等且互相平分，AO＝AB＝2，∴OA＝OC，∵∠ACD＝∠ACO＝60°，∴△AOC是等邊三邊形，∴∠OAC＝60°，∵∠EAC＝90°，∴∠FAO＝90°﹣60°＝30°，Rt△AFO中，OF＝AO＝1，AF＝，Rt△AEB中，AE＝＝2，∴DF＝AF+AD＝+2＝3，∴OD＝＝＝2．五．正方形的性質(zhì)（共16小題）23．將n個(gè)邊長都為1cm的正方形按如圖所示的方法擺放，點(diǎn)A1，A2，…，An分別是正方形對(duì)角線的交點(diǎn)，則n個(gè)正方形重疊形成的重疊部分的面積和為（）A．cm2 B．cm2 C．cm2 D．（）ncm2【答案】B【解答】解：由題意可得陰影部分面積等于正方形面積的，即是，5個(gè)這樣的正方形重疊部分（陰影部分）的面積和為×4，n個(gè)這樣的正方形重疊部分（陰影部分）的面積和為×（n﹣1）＝．故選：B．24．如圖，已知CB＝CA，∠ACB＝90°，點(diǎn)D在邊BC上（與B，C不重合），四邊形ADEF為正方形，過點(diǎn)F作FG⊥CA，交CA的延長線于點(diǎn)G，連接FB，交DE于點(diǎn)Q，得出以下結(jié)論：①AC＝FG；②S△FAB：S四邊形CBFG＝1：2；③∠ABC＝∠ABF；④AD2＝FQ?AC．其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D【解答】解：∵四邊形ADEF為正方形，∴∠FAD＝90°，AD＝AF＝EF，∴∠CAD+∠FAG＝90°，∵FG⊥CA，∴∠GAF+∠AFG＝90°，∴∠CAD＝∠AFG，在△FGA和△ACD中，，∴△FGA≌△ACD（AAS），∴AC＝FG，故①正確；∵BC＝AC，∴FG＝BC，∵∠ACB＝90°，F(xiàn)G⊥CA，∴FG∥BC，∴四邊形CBFG是矩形，∴∠CBF＝90°，S△FAB＝FB?FG＝S四邊形CBFG，故②正確；∵CA＝CB，∠C＝∠CBF＝90°，∴∠ABC＝∠ABF＝45°，故③正確；∵∠FQE＝∠DQB＝∠ADC，∠E＝∠C＝90°，∴△ACD∽△FEQ，∴AC：AD＝FE：FQ，∴AD?FE＝AD2＝FQ?AC，故④正確；故選：D．25．已知：如圖，在正方形ABCD外取一點(diǎn)E，連接AE，BE，DE．過點(diǎn)A作AE的垂線交DE于點(diǎn)P．若，PB＝10，下列結(jié)論：①△APD≌△AEB；②∠AEB＝135°；③；④S△APD+S△APB＝33；⑤CD＝11．其中正確結(jié)論的序號(hào)是（）A．①②③④ B．①④⑤ C．①②④ D．③④⑤【答案】C【解答】解：①在正方形ABCD，AB＝AD，∠BAD＝90°，∵EA⊥PA，∴∠EAP＝∠BAD＝90°∴∠EAB+∠BAP＝90°，∠PAD+∠BAP＝90°，∴∠EAB＝∠PAD，∵AE＝AP，在△APD和△AEB中，，∴△APD≌△AEB（SAS）；故①成立；②∵AE＝AP＝3，∠EAP＝90°，∴∠AEP＝∠APE＝45°，PE＝AE＝6，∵△APD≌△AEB，∴∠AEB＝∠APD＝180°﹣45°＝135°，故②成立；③∴∠BEP＝135°﹣45°＝90°，∴EB⊥ED，在Rt△BPE中，PE＝6，PB＝10，∴BE＝＝8，故③不成立；④如圖，連接BD，由②得：PE＝6，BE＝8，∵△APD≌△AEB，∴S△APD+S△APB＝S△AEB+S△APB＝S四邊形AEBP＝S△AEP+S△EPB＝?AE?AP+?PE?BE＝×3×3+×6×8＝33．故④成立；∵△APD≌△AEB，∴PD＝BE＝8，∴S△BDP＝PD?BE＝32，∴S△ABD＝S△APD+S△APB+S△BPD＝33+32＝65，∴S正方形ABCD＝2S△ABD＝130，∴CD2＝130，∴CD＝，故⑤不成立．綜上所述，正確結(jié)論的序號(hào)是①②④，故選：C．26．如圖，在正方形ABCD和正方形CEFG中，點(diǎn)G在CD上，BC＝8，CE＝4，H是AF的中點(diǎn)，那么CH的長為（）A．4 B．2 C．4 D．2【答案】B【解答】解：連接AC、CF，如圖：∵四邊形ABCD和四邊形CEFG是正方形，∴∠ACG＝45°，∠FCG＝45°，∴∠ACF＝90°，∵BC＝8，CE＝4，∴AC＝8，CF＝4，由勾股定理得，AF＝＝4，∵H是AF的中點(diǎn)，∠ACF＝90°，∴CH＝AF＝2，故選：B．27．如圖，正方形ABCD的邊長為10，AG＝CH＝8，BG＝DH＝6，連接GH．則線段GH的長（）A． B．10﹣5 C．2 D．【答案】C【解答】解：如圖，延長BG交CH于點(diǎn)E，∵AB＝CD＝10，BG＝DH＝6，AG＝CH＝8，∴AG2+BG2＝AB2，∴△ABG和△DCH是直角三角形，在△ABG和△CDH中，，∴△ABG≌△CDH（SSS），∴∠1＝∠5，∠2＝∠6，∠AGB＝∠CHD＝90°，∴∠1+∠2＝90°，∠5+∠6＝90°，又∵∠2+∠3＝90°，∠4+∠5＝90°，∴∠1＝∠3＝∠5，∠2＝∠4＝∠6，在△ABG和△BCE中，，∴△ABG≌△BCE（ASA），∴BE＝AG＝8，CE＝BG＝6，∠BEC＝∠AGB＝90°，∴GE＝BE﹣BG＝8﹣6＝2，同理可得HE＝2，在Rt△GHE中，GH＝＝＝2，故選：C．28．如圖，在正方形ABCD的外側(cè)，作等邊△ADE，則∠ABE為（）A．10° B．15° C．20° D．25°【答案】B【解答】解：∵四邊形ABCD為正方形，△ADE為等邊三角形，∴AB＝BC＝CD＝AD＝AE＝DE，∠BAD＝90°，∠DAE＝60°，∴∠BAE＝∠BAD+∠DAE＝150°，又∵AB＝AE，∴∠ABE＝（180°﹣150°）＝15°．故選：B．29．一個(gè)正方形和兩個(gè)等邊三角形的位置如圖所示，若AB∥CD，則∠1+∠2＝（）A．90° B．100° C．110° D．120°【答案】A【解答】解：∵AB∥CD∴∠BED＝∠B＝60°∵△CHE的外角和為360°∴∠1+90°+∠2+60°+60°×2＝360°∴∠1+∠2＝90°故選：A．30．如圖，已知正方形ABCD的邊長為4，P是對(duì)角線BD上一點(diǎn)，PE⊥BC于點(diǎn)E，PF⊥CD于點(diǎn)F，連接AP，EF．給出下列結(jié)論：①PD＝DF；②四邊形PECF的周長為8；③EF的最小值為2；④AP⊥EF．其中正確結(jié)論的序號(hào)為（）A．①② B．①②④ C．②③④ D．①②③【答案】B【解答】解：如圖，連接PC，①∵正方形ABCD的邊長為4，P是對(duì)角線BD上一點(diǎn)，∴∠PDC＝45°，又∵PF⊥CD，∴∠PFD＝90°，∴△PDF為等腰直角三角形，∴PD＝DF，故①正確；②由①同理得：△BPE是等腰直角三角形，∴PE＝BE，∵∠PEC＝∠ECF＝∠PFC＝90°∴四邊形PECF為矩形，∴四邊形PECF的周長＝2CE+2PE＝2CE+2BE＝2（CE+BE）＝2BC＝2×4＝8，故②正確；③∵四邊形PECF為矩形，∴PC＝EF，∵四邊形ABCD為正方形，∴AD＝CD，∠ADP＝∠CDP，在△ADP和△CDP中，，∴△ADP≌△CDP（SAS），∴AP＝PC，∴AP＝EF，當(dāng)AP最小時(shí)，EF最小，∴當(dāng)AP⊥BD時(shí)，垂線段最短，即AP＝BD＝2時(shí)，EF的最小值等于2；故③錯(cuò)誤；④延長FP交AB于M，延長AP交EF于H，∵AB∥CD，PF⊥CD，∴FM⊥AB，∵BD平分∠ABC，PM⊥AB，PE⊥BC，∴PM＝PE，∵AP＝EF，∠AMP＝∠EPF＝90°，∴Rt△AMP≌Rt△FPE（HL），∴∠BAP＝∠PFE，∵∠AMP＝90°，∴∠BAP+∠APM＝90°，∵∠APM＝∠HPF，∴∠PFH+∠HPF＝90°，∴∠PHF＝90°，∴AP⊥EF，故④正確；綜上，①②④正確．故選：B．31．如圖，在正方形ABCD中，AB＝3，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在CD，AD上，CE＝DF，BE，CF相交于點(diǎn)G．若圖中陰影部分的面積與正方形ABCD的面積之比為2：3，則△BCG的周長為+3．【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：∵陰影部分的面積與正方形ABCD的面積之比為2：3，∴陰影部分的面積為×9＝6，∴空白部分的面積為9﹣6＝3，由CE＝DF，BC＝CD，∠BCE＝∠CDF＝90°，可得△BCE≌△CDF，∴△BCG的面積與四邊形DEGF的面積相等，均為×3＝，∠CBE＝∠DCF，∵∠DCF+∠BCG＝90°，∴∠CBG+∠BCG＝90°，即∠BGC＝90°，設(shè)BG＝a，CG＝b，則ab＝，又∵a2+b2＝32，∴a2+2ab+b2＝9+6＝15，即（a+b）2＝15，∴a+b＝，即BG+CG＝，∴△BCG的周長＝+3，故答案為：+3．32．如圖，在正方形ABCD中，E為對(duì)角線AC上一點(diǎn)，連接DE，過點(diǎn)E作EF⊥DE，交BC延長線于點(diǎn)F，以DE，EF為鄰邊作矩形DEFG，連接CG．在下列結(jié)論中：①DE＝EF；②△DAE≌△DCG；③AC⊥CG；④CE＝CF．其中正確的結(jié)論序號(hào)是①②③．【答案】①②③．【解答】解：過E作EM⊥BC于M點(diǎn)，過E作EN⊥CD于N點(diǎn)，如圖所示：∵四邊形ABCD是正方形，∴∠BCD＝90°，∠ECN＝45°，∴∠EMC＝∠ENC＝∠BCD＝90°，∴NE＝NC，∴四邊形EMCN為正方形，∵四邊形DEFG是矩形，∴EM＝EN，∠DEN+∠NEF＝∠MEF+∠NEF＝90°，∴∠DEN＝∠MEF，又∠DNE＝∠FME＝90°，在△DEN和△FEM中，，∴△DEN≌△FEM（ASA），∴ED＝EF，故①正確；∴矩形DEFG為正方形；∴DE＝DG，∠EDC+∠CDG＝90°，∵四邊形ABCD是正方形，∵AD＝DC，∠ADE+∠EDC＝90°，∴∠ADE＝∠CDG，在△ADE和△CDG中，，∴△ADE≌△CDG（SAS），故②正確；∴AE＝CG，∠DAE＝∠DCG＝45°，∴∠ACG＝90°，∴AC⊥CG，故③正確；當(dāng)DE⊥AC時(shí)，點(diǎn)C與點(diǎn)F重合，∴CE不一定等于CF，故④錯(cuò)誤，綜上所述：①②③．故答案為：①②③．33．如圖，在正方形ABCD中，AD＝4，點(diǎn)E、F分別為AB、BC上的動(dòng)點(diǎn)，且AE＝BF，AF與DE交于點(diǎn)O，點(diǎn)P為EF的中點(diǎn)．（1）若AE＝1，則EF的長＝；（2）在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過程中，OP長的最小值為．【答案】（1）；（2）．【解答】解：（1）∵ABCD是正方形，∴AD＝AB＝4，∠DAB＝∠ABF＝90°，又∵AE＝BF，∴△DAE≌△ABF（SAS），∴∠ADE＝∠BAF，AE＝BF，∵AE＝1，∴BF＝1，BE＝3，∴EF＝＝；故答案為：；（2）∵∠ADE＝∠BAF，∴∠ADE+∠DAF＝∠BAF+∠DAF＝90°，∴∠EOF＝∠AOD＝90°，又∵點(diǎn)P為EF的中點(diǎn)，∴OP＝EF，設(shè)AE＝BF＝x，則BE＝4﹣x，∴EF＝＝＝，∴當(dāng)x＝2時(shí)，EF最小為2，即OP最小為；故答案為：．34．已知邊長為4的正方形OABC在直角坐標(biāo)系中，OA與y軸的夾角為30°，則點(diǎn)B的坐標(biāo)是（﹣2+2，2+2）．【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：作AD⊥x軸于D，作CE⊥x軸于E，作BF⊥CE于F，如圖，∵OA與y軸的夾角為30°，∴∠AOD＝60°，∵∠AOC＝90°，∴∠COE＝30°，在Rt△COE中，CE＝OC＝2，OE＝CE＝2，∵∠OCE＝60°，∠BCO＝90°，∴∠BCF＝30°，∴BF＝BC＝2，CF＝BF＝2，∴B（﹣2+2，2+2）．故答案為：（﹣2+2，2+2）．35．如圖，正方形ABCD的邊長為8，P是邊CD上的一動(dòng)點(diǎn)，EF⊥BP交BP于G，且EF平分正方形ABCD的面積，則線段GC的最小值是．【答案】．【解答】解：如圖，連接AC，BD交于點(diǎn)O．∵四邊形ABCD是正方形，∴AC⊥BD，∴∠BOC＝90°，∵直線EF平分正方形ABCD的面積，∴直線EF經(jīng)過點(diǎn)O，取OB的中點(diǎn)H，連接CH，GH．∵AB＝AD＝8，∠DAB＝90°，∴BD＝＝，∴OB＝OC＝，OH＝2，∵EF⊥PB，∴∠OGB＝90°，Rt△BOG中，HG＝OB＝，Rt△CHO中，CH＝＝，∵CG≥CH﹣GH＝，∴CG的最小值為．故答案為：．36．如圖，分別以△ABC的邊AB，AC為邊往外作正方形ABDE和正方形ACFG，連接BG，CE，EG，若AB＝3，AC＝1，則BC2+EG2的值為20．【答案】20．【解答】解：如圖，連接BE，CG，∵正方形ABDE和正方形ACFG，∴AB＝AE，AG＝AC，∠BAE＝∠CAG＝90°，∴∠BAG＝∠CAE，∴△BAG≌△EAC（SAS），∴∠ABG＝∠AEC，∵∠AHB＝∠OHE，∴∠EOH＝∠BAH＝90°，∴∠EOG＝∠BOC＝90°，∴BC2+EG2＝OB2+OC2+OE2+OG2＝BE2+CG2，∵AB＝3，AC＝1，∴BE2＝32+32＝18，CG2＝12+12＝2，∴BE2+CG2＝18+2＝20，∴BC2+EG2＝20．故答案為：20．