中考數(shù)學(xué)專項復(fù)習(xí)：正方形基本型（原卷版）

專題1-5正方形基本型

題型?歸納

模型解讀...................................................................................2

【模型一】中點+折疊...................................................................2

【模型二】雙中點（十字架模型拓展）...................................................4

【模型三】對角線模型.................................................................H

【模型四】半角模型（七個性質(zhì)）.......................................................11

題型一中點+折疊模型....................................................................15

題型二雙中點模型（十字架拓展）.........................................................16

2023?東營?中考真題....................................................................16

2203?綏化?中考真題....................................................................17

題型三對角線模型........................................................................18

2023?攀枝花?中考真題..................................................................20

2023?四川宜賓?統(tǒng)考中考真題...........................................................20

題型四半角模型（七個性質(zhì)）.............................................................21

2023?重慶?中考真題....................................................................21

2023?眉山?中考真題....................................................................21

2022達州?中考真題....................................................................22

知識點?梳理

模型解讀

【模型一】中點+折疊

性質(zhì)一：44'，2'￡＞；性質(zhì)二：F,G為中點；性質(zhì)三：⑷G_LCG;性質(zhì)四：ZEBG=45°；

性質(zhì)五：DG=2CG；性質(zhì)六：tanNDCN=L

3

性質(zhì)一證明：AA±AD

性質(zhì)二證明：G是BC中點

性質(zhì)三，四證明：HL全等

性質(zhì)五證明：勾股，或“12345”模型

【12345模型說明】易知a+￡=45°,tan(z=1,故tan/?=；,記AB=12=CG=4,DG=8

性質(zhì)六證明：12345模型

【模型二】雙中點(十字架模型拓展)

(1)知2推1：①M中點；②N是中點；?AM±DN

交AD于F

①求EM:ED:EN:AE=

②證明：EC平分NNEM

aDF

③求》

【解析】

法二：旋轉(zhuǎn)相似（手拉手模型）

②法一：角平分線定理

A____2__D

F在角平分線上，過F作角兩邊垂線

AAp-OADEF-Ap-9（角平分線定理2）

ArOAAEFABZ

BNC

法二：12345模型(正切和角公式)

11

ZDEF=45°,ZEDC=-=>tanZDCF=-

BNC

(3)已知：M,N是中點，。是中心,連接OE,①求DE:EG:GN;②證/OEC=90°

BNC

【解析】第一問

DE_2NG_1

NE=3,DG=2ro12345模型

【解析】第二問

法一：由(2)可知/NEC=45°,故構(gòu)造手拉手模型可得△黃義△黃(SAS),從而可得/NEO=45°,得證

或者換個方向也可以，像這種方方正正的圖形也可以試試建系

法二：四點共圓法三：補成玄圖易知NOEG=45。

(4)已知：M,N是中點，連接BE,證BE=CD

【解析】法一斜邊上的中線等于斜邊一般

法二：過AD的中點P作AE垂線，交AM于Q,可得Q是AE中點，則BQ垂直平分AE,故AB=BE

法三：對角互補得四點共圓，導(dǎo)角得等腰

法四：勾股定理，由(2)可知DE：NE=2:3,設(shè)值求值即可

(5)已知：M,N是中點，連接BE,AH_LBE于H,交DN于K,證AK=CD

N1=N2=N3=N4

法三：建系求坐標(biāo)（略）

【模型三】對角線模型

互推關(guān)系

PA=PC①PA_LPE=>R4=PE

?PA=PE^>PA1PE

【模型四】半角模型

如圖，已知ABCD為正方形，ZFAE=45°,對角線BD交AE于M,交AF與N,AG±EF

5個條件知1推4

①ZEAF=45°

②BE+DF=EF

③AH工EF，AH=AB

④AE平分NBEF

⑤AF平分/DFE

【性質(zhì)一】5個條件知1推4（全等）

【性質(zhì)二】BG-+HD^GH2（勾股證）

【性質(zhì)三】ZMGN=90"

2

【性質(zhì)四】①AM。=MN?MD；?AN=NM-NB；③SABCD=BN-DM（2組子母，1共享型相似）

【性質(zhì)五】△ANE,AAMF,是2個隱藏的等腰直角三角形（反8字相似或四點共圓）

5

【性質(zhì)六】△AMN^AAFE,且相似比為注（用全等導(dǎo)角）

2

ND_BM_42

【性質(zhì)七】（旋轉(zhuǎn)相似）

EC~FC~2

【性質(zhì)一】DF+BE=EF

易證ZkABE義AAGE,易證ZkAGF04ADF

【性質(zhì)二】BG2+HD2=GH2簡證,如圖

【性質(zhì)三】ZMGN=90°簡證，如圖：兩組全等

AD

【性質(zhì)四】①AM。=MN?MD;②AN?=NM?NB;③S/BCD=BN-DM（2組子母，1共享型相似）

簡證③，如圖

5^=BN-DM（共享型相似）

Z1=45°+Z2=ZBAN=>ABAN^>ADMA=S>BN?DM=AB?AD

【性質(zhì)五】aANE,AAMF,是2個隱藏的等腰直角三角形

簡證，以△ANE為例，△AMF方法相同

AMNM

法一：兩次相似△AMNs/\BMEn——=——?AKBMA^AEMN*ZABM=ZNEM=45°o

BMEM

法二：ABEN四點共圓，對角互補NABE+NANE=180°或NABN=NAEN

【性質(zhì)六】△AMNs/iAFE,且相似比為J

2

先證相似，易知N1=N2=N3,故相似成立

相似比為：4H=4H=收

AGAB2

【性質(zhì)七】血=也=正

ECFC2

…NDvr

EC2

重點題型-歸類精

題型一中點+折疊模型

1.如圖，在邊長4的正方形/BCD中，E是邊3c的中點，將ACDE沿直線DE折疊后，點C落在點尸處,

再將其打開、展平，得折痕OE.連接CF、BF,EF,延長8尸交4D于點G.則下列結(jié)論：①

112

BG=DE；②@sinZZ）FG=-；@S^FG=-f其中正確的有（）

C.3個D.4個

2.如圖，正方形/5C。中，48=12,點E在邊3C上，B￡=EC,將"）?！暄??！陮φ壑罙Z）也，延長￡尸

交邊45于點G,連接。G,BF,給出以下結(jié)論：?\DAG=NDFG,@BG=2AG；③BF"DE、④

72

y.其中所有正確結(jié)論的個數(shù)是（）

D

1

BE

A.1B.2C.3D.4

3.如圖，矩形48co中，AB=3瓜,BC=12,E為ND中點，F(xiàn)為AB上一點,將A4E尸沿E尸折疊后,

點/恰好落到CF上的點G處，則折痕的長是.

題型二雙中點模型（十字架拓展）

2023?東營?中考真題

1.如圖，正方形MCD的邊長為4,點E,尸分別在邊DC,BC±.,且=4E平分/C4D,連接

DF,分別交/E,/C于點G,M,P是線段/G上的一個動點，過點P作PNLNC垂足為N,連接尸

有下列四個結(jié)論：①4E垂直平分DM；②尸朋'+PN的最小值為3亞；@CF2=GE-AE；④

S"宓=6a.其中正確的是（）

A.①②B.②③④C.①③④D.①③

2.如圖，正方形4BC。中，點、E、F、G分別為邊/8、BC、AD上的中點，連接/尸、DE交于點、M,

連接GM、CG,CG與DE交于點、N,則結(jié)論①GWLCN；?CD=DM-③四邊形/GC尸是平行四邊

形；④NCM）=4GN中，正確的有（）個.

A.1B.2C.3D.4

2203?綏化?中考真題

3.如圖，在正方形48co中，點￡為邊CD的中點，連接NE,過點B作AF，NE于點尸，連接BD交4E

于點G,FH平分NBFG交BD于點、H.則下列結(jié)論中，正確的個數(shù)為（）

①AB?=BF-AE;②SABGF：SAKAF=2：3;③當(dāng)AB=a時，BD2-BD-HD=a2

A.0個B.1個C.2個D.3個

4.如圖，已知E,尸分別為正方形的邊4B,3C的中點，4F與DE交于點M,。為3。的中點,

則下列結(jié)論：

2

①N/ME=90。；@ZBAF=ZEDB；③NBMO=90°；@MD=2AM=4EM；@AM=-MF.其中正確

結(jié)論的是（）

A.①③④B.②④⑤C.①③④⑤D.①③⑤

5.如圖，在正方形48co中，E、尸分別在CD、2。邊上，S.CE=DF,連接BE、CF相交于G點.則下

列結(jié)論：①BE=CF；@SABCG=S^DFGE.③CG;BG-GE;④當(dāng)￡為C。中點時，連接DG,則

NFGD=45°,正確的結(jié)論是.（填序號）

題型三對角線模型

1.如圖，在邊長為1的正方形48co中，動點尸，E分別以相同的速度從。，。兩點同時出發(fā)向C和8

運動（任何一個點到達即停止），連接/￡、BF交于點、P,過點尸作四//CD交于/點，PNIIBC交

CD于N點，連接MV,在運動過程中則下列結(jié)論：①AABE三ABCF；②AE=BF；③AE上BF；④

=PE,BF；⑤線段的最小值為叵工.其中正確的結(jié)論有（）

2

C.4個D.5個

2.如圖，正方形488中，/8=3,點E是對角線/C上的一點，連接,過點E作斯，交AB

于點尸，連接。歹交4C于點G,下列結(jié)論：

①DE=EF；②ZADF=ZAEF；③DG?=GE.GC;④若4F=1,則EG=：后,其中結(jié)論正確的個數(shù)是

()

C.3D.4

3.如圖，正方形438中，點E,尸分別為邊2C,上的點，連接NE,AF,與對角線3。分別交于

點G,H,連接若NE4尸=45°,則下列判斷錯誤的是()

B.BG2+HD2^GH-

C.E,尸分別為邊8C,。的中點D.AHA.EH

4.在正方形488中，點￡為8。邊上一點且C￡=22E,點尸為對角線BD上一點且8尸=2￡＞尸，連接/￡

交于點G,過點尸作出，/￡于點X,連接CH、CF,若HG=2cm,則AC/小的面積是

cm2.

5.如圖，正方形AFBH,點T是邊AF上一動點,M是HT的中點,MNLHT交AB于N,當(dāng)點T在AF上運動時,

MN』

h的值是否發(fā)生改變?若改變求出其變化范圍:若不改變請求出其值并給出你的證明

2023?攀枝花?中考真題

6.如圖，已知正方形/3CD的邊長為3,點尸是對角線3。上的一點，PFLAD于點、尸,尸￡，/8于點E,

連接PC,當(dāng)尸E:尸尸=1:2時，貝lJPC=()

A.VsB.2C.y/5D.—

2023?四川宜賓?統(tǒng)考中考真題

7.如圖，邊長為6的正方形中，M為對角線8。上的一點，連接并延長交CD于點尸.若

A.3（V3-1）B.3-2C.6（V3-1）D.6(3退-2)

題型四半角模型（七個性質(zhì)）

2023?重慶?中考真題

1.如圖，在正方形/BCD中，點￡,尸分別在8C,CD上，連接/E,AF,EF,ZEAF=45°.若

NBAE=a,則/FEC一定等于（）

C.45°—aD.90°-a

2023?眉山?中考真題

2.如圖，在正方形他CD中，點￡是。0上一點，延長C2至點R使BF=DE,連結(jié)EF交

4B于點K,過點/作/G_LEF,垂足為點H,交CF于點G,連結(jié)HDHC.下列四個結(jié)論：①

AH=HC-?HD=CD-③NFAB=NDHE；?AK-HD=42HE2.其中正確結(jié)論的個數(shù)為（）

A.1個B.2個C.3個D.4個

3.如圖，在正方形N2CD中，點E,尸分別在2C,CO上，AE=AF,4。與E尸相交于點G.下列結(jié)論①

4c垂直平分E/；②BE+DF=EF；③當(dāng)ND4尸=15。時，A4E/為等邊三角形；④當(dāng)NE/尸=60。時，

NAEB=NAEF.其中正確的結(jié)論是（）

C.①③④D.②③④

2022達州?中考真題

4.如圖，在邊長為2的正方形48co中，點￡,尸分別為ND,邊上的動點（不與端點重合），連接

BE,BF,分別交對角線/C于點P,。.點￡,尸在運動過程中，始終保持/￡8尸=45。，連接E尸，PF,

PD.以下結(jié)論：①PB=PD；?ZEFD=2ZFBC；③尸0=P/+C0；④A8尸尸為等腰直角三角形；⑤若

過點B作BH工EF,垂足為〃，連接則?！ǖ淖钚≈禐?亞-2.其中所有正確結(jié)論的序號是—.

AED

BC

5.如圖，點M、N分別是正方形4BCD的邊3C、CD上的兩個動點，在運動過程中保持/K4N=45。，

AM、ZN分別與對角線2。交于點￡、F,連接EN、相交于點。，以下結(jié)論①=+；②

BE2+DF2=EF2；?BC2=BFDE-,（S）OM=6DF，一定成立的是.

6.如圖，點V、N分別是正方形的邊2C、CD上的兩個動點，在運動過程中保持NM4N=45。，

4M、4N分別與對角線8。交于點E、F,連接W相交于點O,以下結(jié)論：①

MN=BM