中考數(shù)學(xué)模型專項(xiàng)突破：輔助圓系列最值模型（含答案及解析）

大招

輔助圓系列最值模型

模型介紹

0【點(diǎn)睛1】觸發(fā)隱圓模型的條件

(1)動(dòng)點(diǎn)定長(zhǎng)模型

若P為動(dòng)點(diǎn)，但AB=AC=AP原理：圓A中，AB=AC=AP

則B、C、P三點(diǎn)共圓，A圓心，AB半徑備注：常轉(zhuǎn)全等或相似證明出定長(zhǎng)

(2)直角圓周角模型

固定線段AB所對(duì)動(dòng)角/C恒為90°原理：圓O中，圓周角為90。所對(duì)

弦是直徑

則A、B、C三點(diǎn)共圓，AB為直徑備注：常通過互余轉(zhuǎn)換等證明出動(dòng)角恒為直角

(3)定弦定角模型

固定線段AB所對(duì)動(dòng)角NP為定值原理：弦AB所對(duì)同側(cè)圓周角恒相

等

則點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)軌跡為過A、B、C三點(diǎn)的圓備注：點(diǎn)P在優(yōu)弧、劣弧上運(yùn)動(dòng)皆

可

(4)四點(diǎn)共圓模型①

若動(dòng)角NA+動(dòng)角/C=180°原理：圓內(nèi)接四邊形對(duì)角互補(bǔ)

則A、B、C、D四點(diǎn)共圓備注：點(diǎn)A與點(diǎn)C在線段AB異側(cè)

(5)四點(diǎn)共圓模型②

固定線段AB所對(duì)同側(cè)動(dòng)角NP=/C原理：弦AB所對(duì)同側(cè)圓周角恒相

等

則A、B、C、P四點(diǎn)共圓備注：點(diǎn)P與點(diǎn)C需在線段AB同

側(cè)

團(tuán)【點(diǎn)睛2】圓中旋轉(zhuǎn)最值問題

條件：線段AB繞點(diǎn)。旋轉(zhuǎn)一周，點(diǎn)M是線段AB上的一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)C是定點(diǎn)

(1)求CM最小值與最大值

(2)求線段AB掃過的面積

(3)求SAABC最大值與最小值

作法：如圖建立三個(gè)同心圓，作OM_LAB,B、A、M運(yùn)動(dòng)路徑分別為大圓、中圓、小圓

國結(jié)論:

①CMi最小，CM3最大

②線段AB掃過面積為大圓與小圓組成的圓環(huán)面積

③S-BC最小值以AB為底，CMi為高；最大值以AB為底，CM2為高

o

例題精講

考點(diǎn)一：定點(diǎn)定長(zhǎng)構(gòu)造隱圓

【例1].如圖，已知/CBD=2/BDC,ZBAC=44°,則NCA。的度數(shù)

A變式訓(xùn)練

【變式17].如圖所示，四邊形ABC。中，DC//AB,BC=\,AB=AC=AD=2.則8。的

A.舊B.715c.3V2D.273

【變式1-2].如圖，點(diǎn)A,8的坐標(biāo)分別為A(4,0),B(0,4),C為坐標(biāo)平面內(nèi)一點(diǎn),

BC=2,點(diǎn)M為線段AC的中點(diǎn)，連接OM,OM的最大值為.

考點(diǎn)二：定弦定角構(gòu)造隱圓

【例2].如圖，在△ABC中，BC=2,點(diǎn)A為動(dòng)點(diǎn)，在點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)的過程中始終有

45°,則△ABC面積的最大值為.

A變式訓(xùn)練

【變式2-1].如圖，尸是矩形ABC。內(nèi)一點(diǎn)，AB=4,AD=2,AP±BP,則當(dāng)線段。尸最

【變式2-2].如圖，邊長(zhǎng)為4的正方形A3C。外有一點(diǎn)E,NAE2=90°,尸為。E的中點(diǎn),

連接CF,則CF的最大值為

考點(diǎn)三：對(duì)角互補(bǔ)構(gòu)造隱圓

【例3].如圖，在矩形ABC。中，AB=3,8C=5,點(diǎn)E在對(duì)角線AC上，連接作EF

-LBE,垂足為E,直線EF交線段。。于點(diǎn)尸，則里=.

BE

A變式訓(xùn)練

【變式3-1].如圖，在四邊形ABCZ)中，/BAD=/BCD=90°,NAC￡)=30°,A￡)=2,

E是AC的中點(diǎn)，連接DE,則線段DE長(zhǎng)度的最小值為.

【變式3-2].如圖，正方形ABC。的邊長(zhǎng)為2,點(diǎn)E是BC邊上的一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)歹是C。上一

點(diǎn)，且C￡=ORAF,DE相交于點(diǎn)O,B0=BA,則0c的值為

實(shí)戰(zhàn)演練

1.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)4、8的坐標(biāo)分別為(-3,0)、(0,4),以點(diǎn)A為圓心,

以AB長(zhǎng)為半徑畫弧交x軸上點(diǎn)C,則點(diǎn)C的坐標(biāo)為()

B.(2,0)

C.(-8,0)D.(2,0)或(-8,0)

2.如圖，在矩形ABC。中，已知AB=3,BC=4,點(diǎn)P是8C邊上一動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)P不與8,C

重合），連接AP,作點(diǎn)8關(guān)于直線AP的對(duì)稱點(diǎn)則線段MC的最小值為（）

C.3D.\410

3.如圖，在矩形ABCD中，AB=8,8c=6,點(diǎn)尸在矩形的內(nèi)部，連接必，PB,PC,若

ZPBC=ZPAB,則PC的最小值是（)

C.2^13-4D.4A/13-4

4.如圖所示，NMON=45°,RtAABC,ZACB=90°,BC=6,AC=8,當(dāng)A、8分別在

射線OM、ON上滑動(dòng)時(shí)，OC的最大值為（)

D.I4/2

5.如圖，已知AB=AC=AD,NCBD=2NBDC,N3AC=44°，則/CA。的度數(shù)為

6.如圖示，A,2兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(-2,0),(3,0),點(diǎn)C在y軸上，且NACB=45

7.如圖，RtAABC+,AB±BC,AB=6,BC=4,尸是△ABC內(nèi)部的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且滿足/

PAB+ZPBA=9Q°,則線段CP長(zhǎng)的最小值為.

8.在△ABC中，AB=4,ZC=45°，則&AC+BC的最大值為

9.如圖，等邊△ABC中，AB=6,點(diǎn)點(diǎn)E分另I］在2C和AC上，且B￡)=CE,連接AD、

BE交于點(diǎn)F,則C尸的最小值為.

10.如圖，正方形ABC。中，AB=2,動(dòng)點(diǎn)E從點(diǎn)A出發(fā)向點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)，同時(shí)動(dòng)點(diǎn)尸從點(diǎn)。

出發(fā)向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)E、尸運(yùn)動(dòng)的速度相同，當(dāng)它們到達(dá)各自終點(diǎn)時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)過

程中線段AG8E相交于點(diǎn)P,則線段。P的最小值為.

11.如圖，四邊形4BC。中，ZABC=ZACD=ZADC=450,△DBC的面積為8,則8C

長(zhǎng)為_______

12.己知：在△ABC中，AB=AC=6,NB=30°,E為BC上一點(diǎn)、,BE=2EC,DE=DC,

ZADC^60°,則AD的長(zhǎng).

13.如圖，在正方形ABC。中，AD=6,點(diǎn)E是對(duì)角線AC上一點(diǎn)，連接。E,過點(diǎn)E作跖

LED,連接。尸交AC于點(diǎn)G,將△跳G沿所翻折，得到△E&W.連接DM.交EF于

點(diǎn)、N.若AP=2.則△EMN的面積是

14.如圖，在正方形ABC。中，4。=8,點(diǎn)E是對(duì)角線AC上一點(diǎn)，連接。E,過點(diǎn)E作斯

-LED,交A8于點(diǎn)孔連接。F,交AC于點(diǎn)G,將△￡人?沿EF翻折，得到△EFM,連

接DM,交EF于點(diǎn)N,若點(diǎn)尸是A8的中點(diǎn)，則句0=,地=.

15.如圖，在矩形A8CZ）中，AB=6,4。=8,點(diǎn)E,尸分別是邊CD,BC上的動(dòng)點(diǎn)，且/

AFE=9Q°

(1)證明：△ABFsMCE；

(2)當(dāng)。E取何值時(shí)，/AED最大.

16.如圖，將兩張等腰直角三角形紙片OAB和OCD放置在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)。(0,0),

A(0,4).將RtZXOCD繞點(diǎn)。順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，連接AC,BD,直線AC與8。相交于點(diǎn)P.

(1)求證：AP1BP；

(2)若點(diǎn)。為OA的中點(diǎn)，求P。的最小值.

17.(1)【學(xué)習(xí)心得】

于彤同學(xué)在學(xué)習(xí)完“圓”這一章內(nèi)容后，感覺到一些幾何問題如果添加輔助圓，運(yùn)用圓

的知識(shí)解決，可以使問題變得非常容易.

例如：如圖1,在△ABC中，AB^AC,/BAC=90°,。是△ABC外一點(diǎn)，5.AD=AC,

求/BOC的度數(shù).若以點(diǎn)A為圓心，為半徑作輔助04則點(diǎn)C、。必在OA上，Z

BAC是OA的圓心角，而/3OC是圓周角，從而可容易得到NBOC=°.

(2)【問題解決】

如圖2,在四邊形A8C。中，ZBAD=ZBCD=9Q°,ZBDC=25°,求NB4C的度數(shù).

(3)【問題拓展】

如圖3,如圖，E,F是正方形ABC。的邊上兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，滿足AE=D￡連接CF交

2。于點(diǎn)G,連接BE交AG于點(diǎn)H.若正方形的邊長(zhǎng)為2,則線段?！ㄩL(zhǎng)度的最小值是—.

18.如圖，已知拋物線y=a?+bx+6"WO)的圖象與無軸交于點(diǎn)A(-2,0)和點(diǎn)B(6,

0),與y軸交于點(diǎn)C,點(diǎn)。為拋物線的頂點(diǎn).

(1)求拋物線的表達(dá)式及頂點(diǎn)。的坐標(biāo)；

(2)如圖①，連接2C,點(diǎn)尸是線段BC上方拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，若△P8C的面積為12,

求點(diǎn)P的坐標(biāo)；

（3）如圖②，已知。8的半徑為2,點(diǎn)。是08上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接A。，DQ,求。。+工

4

AQ的最小值.

圖①圖②

19.模型分析

如圖在△ABC中，ADL2C于點(diǎn)。，其中N54C為定角，為定值，我們稱該模型為定

角定高模型.

問題：隨著點(diǎn)A的運(yùn)動(dòng)，探究3C的最小值（△ABC面積的最小值）.

（1）當(dāng)NA4C=90°時(shí)（如圖①）：

第一步：作△ABC的外接圈O。；

第二步：連接OA;

第三步：由圖知AO2A。，當(dāng)A0=A。時(shí)，BC取得最小值.

（2）當(dāng)N&lC<90。時(shí)（如圖②）：

第一步：作△ABC的外接圓O。；第二步：連接。4,OB,0C,過點(diǎn)。作于點(diǎn)

E：

第三步：由圖知AO+OE'A。，當(dāng)AO+OE=A。時(shí)，BC取得最小值.

那么NBAC>90°呢？

結(jié)論：

當(dāng)A。過△ABC的外接圓圓心。（即A8=AC）時(shí)，BC取得最小值，此時(shí)△ABC的面積

最小

當(dāng)/A4C<90°時(shí)，請(qǐng)根據(jù)【模型分析】（2）中的做法將下面證明過程補(bǔ)充完整.

求證：當(dāng)A。過△ABC的外接圓圓心。（即A8=AC）時(shí)，8c取得最小值，此時(shí)AABC

的面積最小.

證明：如解圖，作△ABC的外接圓。。，連接。A,OB,0C,過點(diǎn)。作。ELBC于點(diǎn)E,

設(shè)。。的半徑為r,NBOE=NBAC=ci,AD=h,

.,.BC=2BE=2OB,sir\a=2r'sma,

,.,sina為定值，，要使8C最小，只需…

自主探究：我們知道了當(dāng)AD過△ABC的外接圓圓心。（即A8=AC）時(shí)，AABC的面

積取得最小值,那么要使AABC的周長(zhǎng)取得最小值，需要滿足什么條件呢？

圖①

20.如圖，拋物線y=a%2+_|x+c與x軸交于A,3兩點(diǎn)（點(diǎn)B在點(diǎn)4左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)

C,直線y=fcc+b經(jīng)過點(diǎn)A,C,且。4=2OC=4.

（1）求拋物線的解析式；

（2）點(diǎn)E為AC上方拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)E作E/〃y軸交AC于點(diǎn)后求線段跖的

最大值；

（3）在（2）的結(jié)論下，若點(diǎn)G是無軸上一點(diǎn)，當(dāng)NCG尸的度數(shù)最大時(shí)，求點(diǎn)G的坐標(biāo).

回口模型介紹

0【點(diǎn)睛1］觸發(fā)隱圓模型的條件

(1)動(dòng)點(diǎn)定長(zhǎng)模型

/一、'、

若P為動(dòng)點(diǎn)，但AB=AC=AP原理：圓A中，AB=AC=AP

則B、C、P二點(diǎn)共圓，A圓心，AB半徑備注：常轉(zhuǎn)全等或相似證明出定長(zhǎng)

(2)直角圓周角模型

c，-----、

------------o------------^8

4L----------------------——\/

\/

\/

、?

、/

**---*?

固定線段AB所對(duì)動(dòng)角NC恒為90°原理：圓0中，圓周角為90°所對(duì)

弦是直徑

則A、B、C三點(diǎn)共圓，AB為直徑備注：常通過互余轉(zhuǎn)換等證明出動(dòng)角恒為直角

(3)定弦定角模型

W

1，

1t1

!乂尸(動(dòng))

產(chǎn)%

4*^7日R

固定線段AB所對(duì)動(dòng)角/P為定值原理：弦AB所對(duì)同側(cè)圓周角恒相

等

則點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)軌跡為過A、B、C三點(diǎn)的圓備注：點(diǎn)P在優(yōu)弧、劣弧上運(yùn)動(dòng)皆

可

(4)四點(diǎn)共圓模型①

Do~

(動(dòng)4(動(dòng))4、______/B

若動(dòng)角/A+動(dòng)角/C=180°原理：圓內(nèi)接四邊形對(duì)角互補(bǔ)

則A、B、C、D四點(diǎn)共圓備注：點(diǎn)A與點(diǎn)C在線段AB異側(cè)

(5)四點(diǎn)共圓模型②

O'

固定線段AB所對(duì)同側(cè)動(dòng)角ZP=ZC原理：弦AB所對(duì)同側(cè)圓周角恒相

等

則A、B、C、P四點(diǎn)共圓備注：點(diǎn)P與點(diǎn)C需在線段AB同

側(cè)

0【點(diǎn)睛2】圓中旋轉(zhuǎn)最值問題

0

/

條件：線段AB繞點(diǎn)。旋轉(zhuǎn)一周，點(diǎn)M是線段AB上的一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)C是定點(diǎn)

（1）求CM最小值與最大值

（2）求線段AB掃過的面積

（3）求S—BC最大值與最小值

作法：如圖建立三個(gè)同心圓，作OMLAB,B、A、M運(yùn)動(dòng)路徑分別為大圓、中圓、小圓

團(tuán)結(jié)論：

①CMi最小，CM3最大

②線段AB掃過面積為大圓與小圓組成的圓環(huán)面積

③S/VIBC最小值以AB為底，CMi為高；最大值以AB為底，CM2為高

同國例題精講

考點(diǎn)一：定點(diǎn)定長(zhǎng)構(gòu)造隱圓

【例如圖，已知AB=4C=A。，ZCBD=2ZBDC,ZBAC=44°,則/CA。的度數(shù)

：.B,C,。在以A為圓心，AB為半徑的圓上，

：.ZCAD=2ZCBD,ZBAC=2ZBDC,

■:NCBD=2NBDC,/BAC=44°,

.-.ZCA￡）=2ZBAC=88O.故答案為：88°

A變式訓(xùn)練

【變式17].如圖所示，四邊形ABC。中，DC//AB,BC=1,A2=AC=A￡>=2.則3。的

A.舊B.V15c.3V2D.273

解：以A為圓心，A3長(zhǎng)為半徑作圓，延長(zhǎng)A4交OA于凡連接。尸.

VDC//AB,

.,.DF=BC,

：.DF=CB=1,BF=2+2=4,

:必是OA的直徑,

/.ZFZ)B=90°,

【變式1-2].如圖，點(diǎn)A,B的坐標(biāo)分別為A(4,0),B(0,4),C為坐標(biāo)平面內(nèi)一點(diǎn),

BC=2,點(diǎn)M為線段AC的中點(diǎn)，連接OM,OM的最大值為.

解：為坐標(biāo)平面內(nèi)一點(diǎn)，BC=2,

點(diǎn)C的運(yùn)動(dòng)軌跡是在半徑為2的。8上,

如圖，取?！?gt;=。4=4,連接OD,

0M是△ACD的中位線，

最大值時(shí)，CD取最大值，此時(shí)B、C三點(diǎn)共線,

此時(shí)在RtAOBD中，BD=742+42=4^2>

:.CD=2+4如,

的最大值是1+2a.

故答案為：1+2我.

考點(diǎn)二：定弦定角構(gòu)造隱圓

【例2].如圖，在△ABC中，8C=2,點(diǎn)A為動(dòng)點(diǎn)，在點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)的過程中始終有

45°,則△ABC面積的最大值為.

解：如圖，AABC的外接圓。。，連接。8、OC,

VZBAC=45°,

/.ZBOC=2ZBAC=2X45°=90°,

過點(diǎn)。作OOLBC,垂足為。，

'：OB=OC,

：.BD=CD=—BC=1,

2

'：ZBOC=9Q°,ODLBC,

：.OD=-BC^\,

2

0B=VOD2+BD2=&'

???8C=2保持不變，

邊上的高越大，則△ABC的面積越大，當(dāng)高過圓心時(shí)，最大,

此時(shí)BC邊上的高為：&+1,

」.△ABC的最大面積是：1X2X(V2+D=6+1.

2

故答案為：V2+1.

A

0

BC

A變式訓(xùn)練

【變式2-1].如圖，尸是矩形A2CD內(nèi)一點(diǎn)，A2=4,AO=2,AP1BP,則當(dāng)線段。尸最

解：以為直徑作半圓O,連接OD,與半圓0交于點(diǎn)P',當(dāng)點(diǎn)P與P'重合時(shí)，DP

2

'：AD=2,ZBAD=90°,

：.OD=2近,ZADO=ZAOD=ZODC=45

：.DP'=0D-OP'=26-2,

過P作PELCD于點(diǎn)E,則

P'E=DE=^-DP'=2-A/2)

2

:.CE=CD-DE=?+2,

：-CP'=VP"E2<E2=2>/3-

故答案為：2a.

【變式2-2].如圖，邊長(zhǎng)為4的正方形ABC。外有一點(diǎn)E,NAEB=90°,產(chǎn)為。E的中點(diǎn),

連接CF,則CF的最大值為.

；NA班=90°,

...點(diǎn)E在這個(gè)08上，

延長(zhǎng)。C至尸，使CO=PC,連接BE,EH,PH,過H作MILLCO于M,

\'EF=DF,CD=PC,

:.CF=、PE,

2

RtZWEB中，是AB的中點(diǎn)，

：.EH=—AB=2,

2

RtZXPHM中，由勾股定理得：=^22=2^,

PH=A/HH2+PH24+8

,?PE^EH+PH=2+2A/13，

當(dāng)P,E,”三點(diǎn)共線時(shí)，PE最大,CF最大,

.?.5的最大值是岳+1

考點(diǎn)三：對(duì)角互補(bǔ)構(gòu)造隱圓

【例3].如圖，在矩形ABCZ）中，AB=3,BC=5,點(diǎn)E在對(duì)角線AC上，連接BE,作EF

LBE,垂足為E,直線EF交線段。C于點(diǎn)尸，則變=.

BE

解：如圖，連接2R取8尸的中點(diǎn)。，連接OE,OC.

???四邊形A5CO是矩形，EFLBE,

???四邊形對(duì)角互補(bǔ)，

：.B,C,F,E四點(diǎn)共圓,

：.ZBEF=ZBCF=90°,AB=CD=3,BC=AD=5,

?：OB=OF,

：.OE=OB=OF=OC,

AB,C,F,E1四點(diǎn)在以。為圓心的圓上,

???NEBF=NECF,

tanZEBF—tanZACD,

.空=媽=§

"EBCD3

A變式訓(xùn)練

【變式3-1].如圖，在四邊形ABC。中，ZBAD=ZBCD=90°,ZACD=30°,AD=2,

E是AC的中點(diǎn)，連接則線段。E長(zhǎng)度的最小值為.

解：VZBAD=ZBCD=90°,

；.A、B、C、。四點(diǎn)共圓，且8。為直徑，取3。中點(diǎn)O,則圓心為點(diǎn)O,

連接AO、CO,取A。中點(diǎn)R連接ERDF,

VZACD=30°,

AZAOD=60°,

,：OA=OD,

為等邊三角形,

.\OA=OD=OC=ZAD=2,

：.ZAFD=9Q°,則￡>/=%，

「所是△AOC的中位線，

；.EF=—OC=1,

2

在△￡)￡/中，DF-EFWDE,

.?.當(dāng)。、E、b三點(diǎn)共線時(shí)，OE取到最小，最小值為百-1.

的最小值為?-L

【變式3-2].如圖，正方形A8C。的邊長(zhǎng)為2,點(diǎn)E是BC邊上的一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)尸是C。上一

點(diǎn)，MCE=DF,AR相交于點(diǎn)。，BO=BA,則OC的值為.

?..四邊形4BCD是正方形，

：.AD=DC,ZADF=ZECD=ZABC=90°,

"：DF=CE,

：./\ADF^/\DCE,

：.ZDAF=ZEDC,

VZEDC+ZADO^90°,

/.ZDAF+ZADO=90°,

AZAOD=90°,

.,?四邊形ABE。對(duì)角互補(bǔ)，

；.A、B、E、。四點(diǎn)共圓，

取AE的中點(diǎn)K,連接BK、OK,作OM_LCD于

則KB=AK=KE=OK,

'：BA=BO,

：.ZBAO=ZBOA=ZAEB=/DEC,

'：AB=DC,/ABE=NDCE,NAEB=/DEC,

：.AABE會(huì)LDCE,

.?.B￡=EC=1,

：.DF=EC=FC=1,

DE={F+22=VS，

/\DFO^/\DEC,

.0D=0F=DF

??而ECDE'

-0D_OF_1

?丁丁正，

；.0。=漢1_,0/=匹，

55

'：^-DO'OF=^"DF'OM,

22

.?.OM=Z,

5

.\MF=A/QF2_0H2=1,

CM=1+—=—,

55

在RtZXOMC中，OC=AOM24cM2=2\^3,

5

故答案為

BJM|實(shí)戰(zhàn)演練

1.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A、8的坐標(biāo)分別為（-3,0）、（0,4）,以點(diǎn)A為圓心,

C.（-8,0）D.（2,0）或（-8,0）

解：?.?點(diǎn)A、2的坐標(biāo)分別為（-3,0）、（0,4）,

：.OA=3,OB=4,

22

.,.AB=^3+4=5,

：.AC=5,AC=5,

???C'點(diǎn)坐標(biāo)為（2,0）；C點(diǎn)坐標(biāo)為（-8,0）.

故選：D.

2.如圖，在矩形A8CD中，已知A8=3,8C=4,點(diǎn)尸是8c邊上一動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)P不與8,C

重合），連接AP,作點(diǎn)8關(guān)于直線AP的對(duì)稱點(diǎn)則線段MC的最小值為（）

A.2B.上C.3D.-710

2

解：連接AM,

1點(diǎn)3和M關(guān)于AP對(duì)稱，

：.AB=AM=3,

在以A圓心，3為半徑的圓上，

...當(dāng)A,M,C三點(diǎn)共線時(shí)，CM最短，

'."AC=yj32+42=5'AM=A5=3,

：.CM=5-3=2,

故選：A.

3.如圖，在矩形ABC。中，AB=8,8c=6,點(diǎn)尸在矩形的內(nèi)部，連接必，PB,PC,若

NPBC=ZPAB,則PC的最小值是（）

D.-------------------------,C

A.6B.V73-3C.2713-4D.4A/13-4

解：：四邊形ABC。是矩形，

ZABC=90°,

AZABP+ZPBC^90°,

ZPBC=ZPAB,

：.ZPAB+ZPBA^90°,

ZAPB=90°,

...點(diǎn)尸在以AB為直徑的圓上運(yùn)動(dòng)，設(shè)圓心為O,連接OC交。。于P,此時(shí)PC最小,

D,-------------------------,C

OC=VOB2+BC2=^42+62=2^/^，

；.PC的最小值為2百§-4,

故選：c.

4.如圖所示，/MON=45°,RtAABC,ZACB=9Q°,BC=6,AC=8,當(dāng)A、8分別在

射線OM、ON上滑動(dòng)時(shí)，OC的最大值為()

N

一

0AM

A.12A/2B.14C.16D.14/2

解：如圖，在Rt^ABC中，由勾股定理得42=462+82=10;

在AB的下方作等腰直角△AQB,ZAQB=90a,作8H_LQC于H,

B

(S

X、J/

____,

?,?點(diǎn)。在以點(diǎn)。為圓心，為半徑的圓上，

VZAQB+ZACB=180°,

???點(diǎn)A、aB、。共圓，

：.ZBCQ=ZBAQ=45°,

:.BH=CH=3?

在RtABQH中,由勾股定理得?！?4、歷，

?"。=7近，

當(dāng)點(diǎn)C、。、。共線時(shí)，OC最大，

：.OC的最大值為OQ+CQ=5近+7近=12近,

故選：A.

5.如圖，已知AB=AC=AZ),/CBD=2NBDC,NA4c=44°，則/CAD的度數(shù)為

,D

B,

u

解：\AB=AC=ADf

：.B,C,。在以A為圓心，A3為半徑的圓上,

：.ZCAD=2ZCBD,NBAC=2NBDC,

?：NCBD=2/BDC,ZBAC=44°,

：.ZCAD=2ZBAC=S8°.

故答案為:88°.

6.如圖示，A,8兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(-2,0),(3,0),點(diǎn)C在y軸上，且NACB=45

則點(diǎn)C的坐標(biāo)為

解：在x軸的上方作等腰直角△ABHFB^FA,NBA尸=90°,以P為圓心，物為半徑作

OF交y軸于C,連接CB,CA.

2

■:B(-2,0),A(3,0),△ABF是等腰直角三角形,

：.F(A,5),FA=FB=FC=^^.設(shè)C(0.m),

222

則(2.)2+(1,2=(2,

222

解得m=6或-1(舍棄)

：.C(0,6),

根據(jù)對(duì)稱性可知C(0,-6)也符合條件，

綜上所述，點(diǎn)C的坐標(biāo)為(0,6)或(0,-6).

故答案為(0,6)或(0,-6).

7.如圖，RtAABC+，AB±BC,AB=6,BC=4,尸是△ABC內(nèi)部的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且滿足/

PAB+ZPBA^9Q°,則線段CP長(zhǎng)的最小值為2

A

解：'：ZPAB+ZPBA^9Q°,

/.ZAPB=90°,

尸在以AB為直徑的圓周上（P在△ACB內(nèi)部），

連接OC,交。。于P,此時(shí)CP的值最小，如圖,

VAB=6,

：.0B=3,

：BC=4,

.??由勾股定理得：0C=5,

：.CP=5-3=2,

故答案為：2.

8.在△ABC中，AB=4,ZC=45°,則&AC+8C的最大值為.

解：過點(diǎn)8作8OLAC于點(diǎn)。，

VZC=45°,

.?.△88為等腰直角三角形，

:.BD=CD,

設(shè)BD=CD=a,延長(zhǎng)AC至點(diǎn)尸，使得CF=a,

VtanZAFB=-A,=A,

2a2

作△ABF的外接圓O。，過點(diǎn)0作OE_LAB于點(diǎn)E,則AE=2AB=2,NAOE=NAFB,

2

.■.tanZAO￡=—,

2

；.0E=4,OA=^22+42=2A/5-

.,?&AC+BC=&G4C+券BC)=&(AC+CF)=&AFW&(OA+OF),

二我AC+8C的最大值為&X4V5=4\/l0.

故答案為：4V10.

9.如圖，等邊△ABC中，AB=6,點(diǎn)。、點(diǎn)E分別在BC和AC上，S.BD=CE,連接A。、

BE交于點(diǎn)F,則CF的最小值為.

解：如圖，：△ABC是等邊三角形，

：.AB=BC=AC,ZABC=ZBAC=ZBCE=60°,

,:BD=CE,

：.AABD^ABCE(SAS)

：.ZBAD=ZCBE,

又,/ZAFE=ZBAD+/ABE,

：.ZAFE=ZCBE+ZABE=ZABC,

.?./AFE=60°,

：.ZAFB=nQ0,

點(diǎn)尸的運(yùn)動(dòng)軌跡是。為圓心，。4為半徑的弧上運(yùn)動(dòng)(ZAOB=120°,04=2百)，

連接0C交。0于N,當(dāng)點(diǎn)尸與N重合時(shí)，。廠的值最小，最小值=0C-0N=4我-2百

—2^3-

故答案為2a.

10.如圖，正方形中，AB=2,動(dòng)點(diǎn)E從點(diǎn)A出發(fā)向點(diǎn)。運(yùn)動(dòng)，同時(shí)動(dòng)點(diǎn)尸從點(diǎn)。

出發(fā)向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)￡、尸運(yùn)動(dòng)的速度相同，當(dāng)它們到達(dá)各自終點(diǎn)時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)過

程中線段A尸、BE相交于點(diǎn)P,則線段。P的最小值為

?.?動(dòng)點(diǎn)尸，E的速度相同，

：.DF=AE,

又：正方形ABC。中，AB=2,

J.AD^AB,

在△ABE和中,

'AB=AD

<ZBAE=ZADF,

AE=DF

AABE^ADAF,

ZABE=ZDAF.

VZABE+ZBEA^90°,

：.ZFAD+ZBEA=9Q°,

AZAPB=9Q°,

:點(diǎn)尸在運(yùn)動(dòng)中保持/APB=90°,

.?.點(diǎn)P的路徑是一段以AB為直徑的弧，

設(shè)的中點(diǎn)為G,連接CG交弧于點(diǎn)尸，此時(shí)CP的長(zhǎng)度最小,

AG=BG=^AB=\.

2

在Rt/XBCG中，DG=A/AG2+AD2=Vl2+22=>

"：PG=AG=\,

:.DP=DG-PG=4^>-1

即線段DP的最小值為泥-1,

故答案為：Vs~1-

11.如圖，四邊形A3CQ中，ZABC=ZACD=ZADC=45°,△DBC的面積為8,則5C

長(zhǎng)為.

解：如圖，作DHL3c交3c的延長(zhǎng)線于"，取CD的中點(diǎn)0,連接04,0B.

*：DHLBH,

：.ZDHC=90°,

???四邊形D4CH對(duì)角互補(bǔ)，

???A,C,H,。四點(diǎn)共圓，

*：ZDAC=90°,CO=OD,

：?OA=OD=OC=OH,

/.A,C,H,。四點(diǎn)在以。為圓心的圓上，

VAC=A￡>,

：.ZCHA=ZAHD=45°,（沒有學(xué)習(xí)四點(diǎn)共圓，可以這樣證明：過點(diǎn)A作AM，?！庇?/p>

M,過點(diǎn)A作AN_L3H于N,證明之△ANC,推出AM=AN,推出AH平分NMHN

即可）

VZABC=45°,

???NA4H=90°,

：.BA=AH,

VZBAH=ZCAD=90°,

：.ZBAC=ZHADf

VAC=A￡>,AB=AH,

???ABAC名△HAO（SAS）,

：.BC=DH,

.,.SABCD=—XBCXDH=AXBC2=16,

22

；.8C=4或-4（舍棄），

故答案為4.

12.己知：在△ABC中，AB=AC=6,/B=30°，E為BC上一點(diǎn),BE=2EC,DE=DC,

解：連接AE,過點(diǎn)A作8c于〃點(diǎn)，在RtZkABH中,

VZB=30°,：.AH=^AB=3.

2

利用勾股定理可得BH=3M，

根據(jù)等腰三角形性質(zhì)可知CH=BH=3M，2C=6?.

:.CE=]BC=2M.

：.HE=CH-CE=y/3.

在RtzXAHE中，由勾股定理可求4￡=27巧.

所以AE=CE,ZCAE=ZACB^30°,

所以NAEB=60°=AADC,

四邊形AEC。對(duì)角互補(bǔ)，

...點(diǎn)A、。、C、E四點(diǎn)共圓，

/.ZADE=ZACE=30°,

所以NCZ)E=NAOC-NADE=30°.

,:DE=DC,：.ZDEC=15°.

：.ZAED^nOQ-75°=45°.

過點(diǎn)A作AMIDE于M點(diǎn),

^-AE=V6.

貝ijAM=

在RtZXAMD中，ZADM=30o,

：.AD=2AM=2A/6.

故答案為2A/6，

13.如圖，在正方形ABCO中，AO=6,點(diǎn)石是對(duì)角線AC上一點(diǎn)，連接OE,過點(diǎn)石作￡尸

LED,連接。尸交AC于點(diǎn)G,將△WG沿族翻折，得到△EFM.連接。M.交EF于

點(diǎn)N.若A尸=2.則△EMN的面積是

解：如圖，取。尸的中點(diǎn)K,連接AK,EK.連接GM交跖于H.

???四邊形AC。是正方形，

：.AD=AB=6,ND4B=90°,AB//CD,ND4C=NC4B=45

■:DELEF,

：.ZDEF=ZDAF=90°,

J四邊形A尸￡D對(duì)角互補(bǔ)，

AA,F,E,。四點(diǎn)共圓，

?：DK=KF,

：.KA=KD=KF=KE,

：.ZDFE=ZDAE=45°,

：.ZEDF=ZEFD=45°,

：.DE=EF,

VAF=2,AD=6,

：.DF=V22+62=2折，

:.DE=DF=2娓,

'.'AF//CD,

?FG=AF=1

"DGDC3'

:.FG=FM=^^~,

2

:.GM=?FM=E

:.FH=GH=HM=,

2

'：EF±GM,

:.GH=HM=y~2_,

2

：.EH=EF-FH=2爬-=

22

'：MH//DE,

?MH=HN=f^"=]

"DEEN275了

:.EN=&EH=8l豆,

55

:.SAENM=、?EN，MH=L，^^-?叵=$.

22522

故答案為國.

2

14.如圖，在正方形ABC。中，4。=8,點(diǎn)E是對(duì)角線AC上一點(diǎn)，連接。E,過點(diǎn)E作斯

LED,交AB于點(diǎn)尸,連接。E交AC于點(diǎn)G,將△EEG沿EF翻折，得到△E&0,連

接。交所于點(diǎn)N,若點(diǎn)尸是AB的中點(diǎn)，則9=,嶇=.

解：?.,將沿翻折，得到

：.FG=FM,

?..四邊形A2CO是正方形，

J.AB//CD,

：.AAGF^ACGD,

?.D?-F二AF一'，

DGCD

:點(diǎn)尸是A8的中點(diǎn)，

：.AF=^CD,

2

???F-G-=1"，

DG2

?「AD=8,

：.AF=4,

?**DF=VAD2+AF2=4病,

：.FM=FG=^^-；

3

VAC是正方形ABCD的對(duì)角線，

/.ZCAZ)=45O,

'：EFA.DE,

；./DEF=90°=/BAD,

：.ZBAD^ZDEF=1SO°,

???點(diǎn)A,D,E,/四點(diǎn)共圓，

：.ZDFE=ZDAC=45°,

：.ZEDF=45°,

；.DE=EF=^-DF=2yT^,

連接GM,交所于尸,

EN=VI5=1

在RtZVJEN中,

瓦二2折三,

故答案為：生叵；1

32

15.如圖，在矩形ABC。中，AB=6,AD=8,點(diǎn)E,尸分別是邊CD,BC上的動(dòng)點(diǎn)，且/

AFE=90°

(1)證明：△ABFsMCE；

(2)當(dāng)。E取何值時(shí)，/AED最大.

(1)證明：?.,四邊形ABCD是矩形，

.?./B=NC=90°,

VZAFE=90°,

AZAFB+ZEFC=90°,VZEFC+ZFEC=90°,

：./AFB=NFEC,

：.^ABF^AFCE.

(2)取AE的中點(diǎn)O,連接OQ、OF.

VZAFE=ZADE=90°(對(duì)角互補(bǔ))，

，A、D、E、一四點(diǎn)共圓,

ZAED=ZAFD,

當(dāng)。。與8C相切時(shí)，NAF。的值最大，易知BP=CF=4,

△ABFsAFCE,

.AB=BF

"FCEC"

.6-4

??--1,

4EC

：.EC=^-,

3

:.DE=DC-CE=6-旦=衛(wèi).

33

.?.當(dāng)￡>E=獨(dú)時(shí)，/AED的值最大.

3

16.如圖，將兩張等腰直角三角形紙片042和OCD放置在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)。(0,0),

A(0,4).將RtZiOC。繞點(diǎn)。順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，連接AC,BD,直線AC與8。相交于點(diǎn)P.

(1)求證：APXBP；

(2)若點(diǎn)。為的中點(diǎn)，求P。的最小值.

(1)證明：???△043和△OC。都是等腰直角三角形,

：.OA=OB,OC=OD,ZAOB=ZCOD=90°,

ZA0C+ZC0B=ZCOB+ZBOD=90°,

ZAOC=/BOD,

在△AOC和△30￡)中，

'OA=OB

<ZAOC=ZBOD-

OC=OD

.?.△AOC4△BOD(SAS),

：.ZOAC=ZOBD,

'：AOAB是等腰直角三角形，

：.ZOAB+ZOBA=90°,

：.ZOAC+ZCAB+ZABO=90°,

：.ZOBD+ZCAB+ZABO=90°,

：.ZAPB=90°,

：.AP±BP；

(2)解：如圖，,：AP±BP,

點(diǎn)P在以48為直徑的圓E上運(yùn)動(dòng)，由點(diǎn)圓最值可得，

當(dāng)P,Q,E三點(diǎn)共線，且點(diǎn)P在E。的延長(zhǎng)線上時(shí)，尸。最小,

:△042是等腰直角三角形，A(0,4),

.?.04=08=4,

：.AB=yf2OA=4-/2,

是AB的中點(diǎn)，。是。4的中點(diǎn),

：.QE=^OB=2,

是圓E的半徑，

；.PE=—AB=2y/2>

2

：.PQ=PE-QE=2M-2,

PQ的最小值為2&-2.

17.(1)【學(xué)習(xí)心得】

于彤同學(xué)在學(xué)習(xí)完“圓”這一章內(nèi)容后，感覺到一些幾何問題如果添加輔助圓，運(yùn)用圓

的知識(shí)解決，可以使問題變得非常容易.

例如：如圖1,在△ABC中，AB=AC,/3AC=90°,。是△ABC外一點(diǎn)，5.AD=AC,

求/BDC的度數(shù).若以點(diǎn)A為圓心，為半徑作輔助04則點(diǎn)C、。必在OA上，Z

BAC是OA的圓心角，而NBOC是圓周角，從而可容易得到N8Z)C=45°.

(2)【問題解決】

如圖2,在四邊形ABC。中，ZBAD=ZBCD=90a,ZBDC=25°,求NB4C的度數(shù).