中考數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)幾何綜合壓軸題模擬練習(xí)（解析版）

一、中考幾何壓軸題

1.△ABC中，NBAC=a。，AB=AC,D是BC上一點(diǎn)，將AD繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)a。，得到線

段AE,連接BE.

（1）（特例感知）如圖1,若a=90,則BD+BE與AB的數(shù)量關(guān)系是

（2）（類(lèi)比探究）如圖2,若a=120,試探究BD+BE與AB的數(shù)量關(guān)系，并證明.

（3）（拓展延伸）如圖3,若a=120,AB=AC=4,BD=^,Q為BA延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)，將

2

2.如圖，已知AABC和“DE1均為等腰三角形，AC=BC,DE=AE,將這兩個(gè)三角形放置

在一起.

（1）問(wèn)題發(fā)現(xiàn)：

如圖①，當(dāng)時(shí)，點(diǎn)8、。、E在同一直線上，連接CE,則

=°，線段BD、CE之間的數(shù)量關(guān)系是；

（2）拓展探究：

如圖②，當(dāng)NACB=/A￡D=90。時(shí)，點(diǎn)8、D、E在同一直線上，連接CE,請(qǐng)判斷/CEB的

度數(shù)及線段BD、CE之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由；

（3）解決問(wèn)題:

如圖③，ZACB=ZAED=90°,AC=2下,AE=2,連接CE、BD,在人4￡。繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)的

過(guò)程中，當(dāng)時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出EC的長(zhǎng).

圖①圖②圖③

3.（1）問(wèn)題發(fā)現(xiàn)

如圖1,△ABC與△AOE都是等腰直角三角形，且N&4C=NOAE=90。，直線BO,CE交于

點(diǎn)F,直線B。，AC交于點(diǎn)G.則線段B。和CE的數(shù)量關(guān)系是，位置關(guān)系是；

圖1圖2圖3

（2）類(lèi)比探究

如圖2,在AABC和AAOE中，ZABC=ZADE=a,ZACB=AAED=^,,直線BD,CE交于

點(diǎn)F,AC與BO相交于點(diǎn)G.若AB=kAC,試判斷線段BD和CE的數(shù)量關(guān)系以及直線BD和

CE相交所成的較小角的度數(shù)，并說(shuō)明理由；

（3）拓展延伸

如圖3,在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)M的坐標(biāo)為（3.0）,點(diǎn)N為y軸上一動(dòng)點(diǎn)，連接

MN.將線段MN繞點(diǎn)M逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90得到線段/WP,連接NP,OP.請(qǐng)直接寫(xiě)出線段。P

長(zhǎng)度的最小值及此時(shí)點(diǎn)N的坐標(biāo).

4.如圖：兩個(gè)菱形ABCD與菱形BEFG的邊AB,BE在同一條直線上，邊長(zhǎng)分別為。和

b,點(diǎn)C在3G上，點(diǎn)M為CG的中點(diǎn).

圖①圖②圖③

（1）觀察猜想：如圖①，線段8M與線段AE的數(shù)量關(guān)系是.

（2）拓展探究：如圖②，ZABC=120°,將圖①中的菱形BEFG繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至圖

②位置，其他條件不變，連接

①猜想線段與線段AE的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由.

②求出線段與AE所成的最小夾角.

（3）解決問(wèn)題：如圖③，若將題目中的菱形改為矩形，且空=空=百，請(qǐng)直接寫(xiě)出線

ABBE

段3M與線段AE的數(shù)量關(guān)系.

5.（模型構(gòu)建）如圖所示，在邊長(zhǎng)為1的正方形A5CD中，ADEF的頂點(diǎn)E,尸分別在

AB,BC上（可與點(diǎn)A,B,C重合），且滿足ZEDP=45。.△DEF的高線DG交線段￡F

于點(diǎn)G（可與E,歹重合），設(shè)段

AD

（1）求％的值.

（模型拓展）在（模型構(gòu)建）的基礎(chǔ)上，將條件"邊長(zhǎng)為1的正方形ABCD"改為"長(zhǎng)

AB=8、寬AD=6的矩形ABCD"（其他條件不變）.

（2）判斷左的值是否改變.若改變，請(qǐng)求出左的取值范圍；若不改變，請(qǐng)證明.

（深入探究）在（模型構(gòu)建）的基礎(chǔ)上，設(shè)ADEF的面積為S.

（3）①求S的最小值；

②當(dāng)S取到最小值時(shí)，直接寫(xiě)出DG與GB的數(shù)量關(guān)系.

6.隨著教育教學(xué)改革的不斷深入，數(shù)學(xué)教學(xué)如何改革和發(fā)展，如何從"重教輕學(xué)”向自主學(xué)

習(xí)探索為主的方向發(fā)展，是一個(gè)值得思考的問(wèn)題.從數(shù)學(xué)的產(chǎn)生和發(fā)展歷程來(lái)看分析，不

外乎就是三個(gè)環(huán)節(jié)：（觀察猜想）-（探究證明）-（拓展延伸）.下面同學(xué)們從這三個(gè)方

面試看解決下列問(wèn)題：

已知：如圖1所示將一塊等腰三角板RWN放置與正方形ABCD的重含，連接⑷V、

CM,￡是AN的中點(diǎn)，連接BE.

圖1圖2

（觀察猜想）

（1）CM與3E的數(shù)量關(guān)系是,CM與班?的位置關(guān)系是；

（探究證明）

（2）如圖2所示，把三角板繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)呢0<&<90）,其他條件不變，線段

CM與班的關(guān)系是否仍然成立，并說(shuō)明理由；

（拓展延伸）

（3）若旋轉(zhuǎn)角1=45。，且ZNBE=2ZABE,求生的值.

BN

7.（閱讀理解）

定義：如果四邊形的某條對(duì)角線平分一組對(duì)角，那么把這條對(duì)角線叫“協(xié)和線"，該四邊形

叫做“協(xié)和四邊形

（深入探究）

（1）如圖1,在四邊形ABCD中，AB=BC,AD=CD,請(qǐng)說(shuō)明：四邊形ABCD是“協(xié)和

四邊形

（嘗試應(yīng)用）

（2）如圖2,四邊形ABCD是"協(xié)和四邊形"，80為"協(xié)和線"，AB±AD,ZADC=60°,

若點(diǎn)￡、尸分別為邊AD、0c的中點(diǎn)，連接BE,BF,EF.求：

①ADEF與ABEF的面積的比；

②/EB產(chǎn)的正弦值.

（拓展應(yīng)用）

（3）如圖3,在菱形A5CD中，AB=8,Z&W=120°,點(diǎn)、E、歹分別在邊AD和BC

上，點(diǎn)G、K分別在邊和。上，點(diǎn)N為旗與G尸的交點(diǎn)，點(diǎn)M在E尸上，連接

MN,若四邊形3GE。都是"協(xié)和四邊形"，"協(xié)和線"分別是G尸、HK,求MN

的最小值.

8.綜合與實(shí)踐

（問(wèn)題背景）

如圖1,矩形ABCD中，AB=10,BC=8.點(diǎn)E為邊2C上一點(diǎn)，沿直線DE將矩形折疊,

使點(diǎn)C落在邊的點(diǎn)C'處.

（圖1）（圖2）

（問(wèn)題解決）

（1）填空：AC'的長(zhǎng)為.

（2）如圖2,將AOC'E沿線段向右平移，使點(diǎn)C'與點(diǎn)B重合，得到與

BC交于點(diǎn)F,DB與DE交于點(diǎn)G.求班的長(zhǎng)；

（拓展探究）

（3）在圖2中，連接GfEE,則四邊形GEEF是平行四邊形嗎？若是，請(qǐng)予以證明；若

不是，請(qǐng)說(shuō)明理由.

9.在AABC中，AB=AC,點(diǎn)D、E分別是3GAe的中點(diǎn)，將△€!走繞點(diǎn)C按順時(shí)針?lè)较?/p>

旋轉(zhuǎn)一定的角度，連接3nAE.

觀察猜想

圖①圖②

(1)如圖①，當(dāng)44c=60。時(shí)，填空:

①空=；

JBD--------------

②直線3nAE所夾銳角為

類(lèi)比探究

AJ7

(2)如圖②，當(dāng)N54C=90。時(shí)，試判斷黑的值及直線所夾銳角的度數(shù)，并說(shuō)明

BD

理由；

拓展應(yīng)用

(3)在(2)的條件下，若DE=O,將△CDE繞著點(diǎn)C在平面內(nèi)旋轉(zhuǎn)，當(dāng)點(diǎn)D落在射線

AC上時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出AE?的值.

10.探究：如圖1和圖2,四邊形488中，已知NBAO=90。，點(diǎn)E、F分別在

BC、CO上，NEAF=45°.

(1)①如圖1,若NB、N/WC都是直角，把A/WE繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。至AADG,使

AB與AO重合，直接寫(xiě)出線段BE、OF和EF之間的數(shù)量關(guān)系；

②如圖2,若NB、N。都不是直角，但滿足NB+N。=180。，線段BE、OF和。之間的結(jié)

論是否仍然成立，若成立，請(qǐng)寫(xiě)出證明過(guò)程；若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由.

(2)拓展：如圖3,在△ABC中，ZBAC=90°,AB=AC=2叵.點(diǎn)。、E均在邊BC邊

圖3

(1)嘗試探究：如圖①，在AABC中，ZACB=90°,NA=30。，點(diǎn)E、尸分別是邊

BC、AC上的點(diǎn)，且EFIIAB.

①尊的值為_(kāi)________;

DtL

②直線AF與直線BE的位置關(guān)系為；

(2)類(lèi)比延伸：如圖②，若將圖①中的ACEF繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，連接A尸，BE,則在

旋轉(zhuǎn)的過(guò)程中，請(qǐng)判斷某的值及直線A/與直線BE的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由；

BE

（3）拓展運(yùn)用：若BC=3,CE=2,在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，當(dāng)民瓦尸三點(diǎn)在同一直線上時(shí)，請(qǐng)

直接寫(xiě)出此時(shí)線段AF的長(zhǎng).

12.定義：有一組鄰邊相等且對(duì)角互補(bǔ)的四邊形叫做等補(bǔ)四邊形.

（問(wèn)題理解）

⑴如圖1,點(diǎn)A、B、C在。。上，NABC的平分線交。。于點(diǎn)D,連接AD、CD.

求證：四邊形ABCD是等補(bǔ)四邊形；

（拓展探究）

（2）如圖2,在等補(bǔ)四邊形ABCD中，AB=AD,連接AC,AC是否平分NBCD?請(qǐng)說(shuō)明理由；

（升華運(yùn)用）

（3）如圖3,在等補(bǔ)四邊形ABCD中，AB=AD,其外角NEAD的平分線交CD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)

F.若CD=6,DF=2,求AF的長(zhǎng).

13.（1）問(wèn)題發(fā)現(xiàn)

如圖1,AABC是等邊三角形，點(diǎn)D,E分別在邊BC,AC上，若NADE=60。，則AB,CE,

BD,DC之間的數(shù)量關(guān)系是.

（2）拓展探究

如圖2,AABC是等腰三角形，AB=AC,NB=a，點(diǎn)D,E分別在邊BC,AC上.若NADE

=a,則（1）中的結(jié)論是否仍然成立？請(qǐng)說(shuō)明理由.

（3）解決問(wèn)題

如圖3,在AABC中，NB=30。，AB=AC=4cm,點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，以lcm/s的速度沿

AfB方向勾速運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)M從點(diǎn)B出發(fā)，以出cm/s的速度沿BfC方向勻速運(yùn)動(dòng)，當(dāng)

其中一個(gè)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)至終點(diǎn)時(shí)，另一個(gè)點(diǎn)隨之停止運(yùn)動(dòng)，連接PM,在PM右側(cè)作NPMG=

30。，該角的另一邊交射線CA于點(diǎn)G,連接PC.設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（s）,當(dāng)AAPG為等腰三

角形時(shí)，直接寫(xiě)出t的值.

AA

A

圖1

14.（感知）（1）如圖①，在四邊形ABCD中，NC=ND=90。，點(diǎn)E在邊CD上,

AEDE

ZAEB=90°,求證:

（探究）（2）如圖②，在四邊形ABCD中，NONADC=90。，點(diǎn)E在邊CD上，點(diǎn)F在邊

EFAE

AD的延長(zhǎng)線上，ZFEG=ZAEB=90°,且二二二一，連接BG交CD于點(diǎn)H.求證：BH=GH.

EGEB

_Arr）p

（拓展）（3）如圖③，點(diǎn)E在四邊形ABCD內(nèi)，NAEB+NDEC=180。，且——=——，過(guò)E

EBEC

作EF交AD于點(diǎn)F,若NEFANAEB,延長(zhǎng)FE交BC于點(diǎn)G.求證：BG=CG.

15.石家莊某學(xué)校數(shù)學(xué)興趣小組利用機(jī)器人開(kāi)展數(shù)學(xué)活動(dòng)，在相距150個(gè)單位長(zhǎng)度的直線

跑道AB上，機(jī)器人甲從端點(diǎn)A出發(fā)，勻速往返于端點(diǎn)A、B之間，機(jī)器人乙同時(shí)從端點(diǎn)B

出發(fā)，以大于甲的速度勻速往返于端點(diǎn)B、A之間.他們到達(dá)端點(diǎn)后立即轉(zhuǎn)身折返，用時(shí)

忽略不計(jì)，興趣小組成員探究這兩個(gè)機(jī)器人迎面相遇的情況，這里的“迎面相遇"包括面對(duì)

面相遇、在端點(diǎn)處相遇這兩種.

（觀察）

①觀察圖1,若這兩個(gè)機(jī)器人第一次迎面相遇時(shí)，相遇地點(diǎn)與點(diǎn)A之間的距離為30個(gè)單

位長(zhǎng)度，則他們第二次迎面相遇時(shí)，相遇地點(diǎn)與點(diǎn)A之間的距離為個(gè)單位長(zhǎng)度.

②若這兩個(gè)機(jī)器人第一次迎面相遇時(shí)，相遇地點(diǎn)與點(diǎn)A之間的距離為35個(gè)單位長(zhǎng)度，則

他們第二次迎面相遇時(shí)，相遇地點(diǎn)與點(diǎn)A之間的距離為個(gè)單位長(zhǎng)度.

（發(fā)現(xiàn)）

設(shè)這兩個(gè)機(jī)器人第一次迎面相遇時(shí)，相遇地點(diǎn)與點(diǎn)A之間的距離為X個(gè)單位長(zhǎng)度，他們第

二次迎面相遇時(shí)，相遇地點(diǎn)與點(diǎn)A之間的距離為y個(gè)單位長(zhǎng)度，興趣小組成員發(fā)現(xiàn)了y與

x的函數(shù)關(guān)系，并畫(huà)出了部分函數(shù)圖象（線段0P,不包括點(diǎn)0,如圖2所示）

?a=;

②分別求出各部分圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式，并在圖2中補(bǔ)全函數(shù)圖象.

圖2

（拓展）

設(shè)這兩個(gè)機(jī)器人第一次迎面相遇時(shí)，相遇地點(diǎn)與點(diǎn)A之間的距離為x個(gè)單位長(zhǎng)度，他們第

三次迎面相遇時(shí)，相遇地點(diǎn)與點(diǎn)A之間的距離為y個(gè)單位長(zhǎng)度，若這兩個(gè)機(jī)器人在第三次

迎面相遇時(shí)，相遇地點(diǎn)與點(diǎn)A之間的距離y不超過(guò)60個(gè)單位長(zhǎng)度，則他們第一次迎面相

遇時(shí)，相遇地點(diǎn)與點(diǎn)A之間的距離x的取值范圍是.（直接寫(xiě)出結(jié)果）

16.（教材呈現(xiàn)）下圖是華師版八年級(jí)下冊(cè)教材第89頁(yè)的部分內(nèi)容.

例6：如圖18.2.12,G、”是平行四邊形ABC。對(duì)角線AC上的兩點(diǎn)，且AG=CH,E、

F分別是邊AB和CD的中點(diǎn).

求證：四邊形E”FG是平行四邊形.

證明：連結(jié)。交AC于點(diǎn)。.

四邊形ABC。是平行四邊形，

AB=CD,ABWCD.

又,；E、F分別是AB、CD的中點(diǎn)，

AE=CF.

又「ABWCD,

/.ZEAO=NFCO.

又fZAOE=NCOF,

/.^AOE=^COF.

請(qǐng)補(bǔ)全上述問(wèn)題的證明過(guò)程.

（探究）如圖①，在AABC中，E,。分別是邊48、AC的中點(diǎn)，D、F分別是線段A。、CO

的中點(diǎn)，連結(jié)DE、EF,將尸繞點(diǎn)。旋轉(zhuǎn)180。得到△DGF,若四邊形DEFG的面積為

8,則AABC的面積為.

（拓展）如圖②，GH是正方形A8CD對(duì)角線AC上的兩點(diǎn)，且AG=CH,GH=AB,E、F分

別是AB和C。的中點(diǎn).若正方形ABCD的面積為16,則四邊形EHFG的面積為.

圖①圖②

17.問(wèn)題情境：兩張直角三角形紙片中，ZBAC=ZDAE=90°.連接3D,CE,過(guò)點(diǎn)A作

30的垂線，分別交線段30,CE于點(diǎn)M,N（AABC與AADE在直線異側(cè)）.

特例分析：

（1）如圖1,當(dāng)AB=AC=AD=AE時(shí)，求證：BD=2AN；

拓展探究：

ARAD1

（2）當(dāng)弁二人=;，探究下列問(wèn)題：

①如圖2,當(dāng)AB=AT＞時(shí)，直接寫(xiě)出線段8。與AN之間的數(shù)量關(guān)系：；

②如圖3,當(dāng)ABwAD時(shí)，猜想8。與AN之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由；

推廣應(yīng)用：

ARAn

（3）若圖3中，嘿=第=左，設(shè)4RD的面積為S,則AACE的面積為一.（用含

ACAE

k,$的式子表示）

18.定義：如圖1,點(diǎn)M、N把線段AB分割成AM、MN和BN,若以4M、MN、B/V為邊

的三角形是一個(gè)直角三角形，則稱(chēng)點(diǎn)例、N是線段的勾股點(diǎn).已知點(diǎn)M、N是線段A8

的勾股點(diǎn)，若AM=1,MN=2,則BN=.

（1）（類(lèi)比探究）如圖2,。￡是△ABC的中位線，M、N是AB邊的勾股點(diǎn)（AMVMNV

NB）,連接CM、CN分別交。E于點(diǎn)G、H.求證：G、"是線段。E的勾股點(diǎn).

（2）（知識(shí)遷移）如圖3,C,。是線段的勾股點(diǎn)，以C。為直徑畫(huà)。O,P在。。上，

AC=CP,連結(jié)力，PB,若NA=2NB,求NB的度數(shù).

2

（3）（拓展應(yīng)用）如圖4,點(diǎn)P（o,b）是反比例函數(shù)V=-（x>0）上的動(dòng)點(diǎn)，直線

x

y=-尤+2與坐標(biāo)軸分別交于A、B兩點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P分別向x、y軸作垂線，垂足為C、D,且

交線段AB于E、F.證明：E、F是線段AB的勾股點(diǎn).

19.綜合與實(shí)踐一一探究特殊三角形中的相關(guān)問(wèn)題

問(wèn)題情境：

某校學(xué)習(xí)小組在探究學(xué)習(xí)過(guò)程中，將兩塊完全相同的且含60°角的直角三角板ABC和AFE

按如圖1所示位置放置，且及AABC的較短直角邊48為2,現(xiàn)將如“LEF繞A點(diǎn)按逆時(shí)針

方向旋轉(zhuǎn)a（0°<a<90。），如圖2,AE與交于點(diǎn)AC與EP父于點(diǎn)N,BC與EF

交于點(diǎn)P.

備用圖

（1）初步探究：

勤思小組的同學(xué)提出：當(dāng)旋轉(zhuǎn)角。=—時(shí)，AAMC是等腰三角形；

（2）深入探究：

敏學(xué)小組的同學(xué)提出在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，如果連接"，CE,那么AP所在的直線是線段CE的

垂直平分線.請(qǐng)幫他們證明；

（3）再探究：

在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，當(dāng)旋轉(zhuǎn)角a=30°時(shí)，求&4BC與ZXAfE重疊的面積；

（4）拓展延伸：

在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，VCPN是否能成為直角三角形？若能，直接寫(xiě)出旋轉(zhuǎn)角a的度數(shù)；若不

能，說(shuō)明理由.

20.綜合與實(shí)踐：利用矩形的折疊開(kāi)展數(shù)學(xué)活動(dòng)，探究體會(huì)圖形在軸對(duì)稱(chēng)，旋轉(zhuǎn)等變換過(guò)

程中的變化，及其蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想和方法.

動(dòng)手操作：如圖①，矩形紙片ABC。的邊4B=2后，將矩形紙片ABC。對(duì)折，使點(diǎn)4與點(diǎn)

D重合，點(diǎn)B與點(diǎn)C重合，折痕為EF,然后展開(kāi)，EF與AC交于點(diǎn)H；

如圖②，將矩形ABCD沿過(guò)點(diǎn)A的直線折疊，使點(diǎn)B落在對(duì)角線AC上，且點(diǎn)B與點(diǎn)H重

合，展開(kāi)圖形，折痕為AG,連接G”；

若在圖①中連接B"，得到如圖③，點(diǎn)M是線段上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)N是線段A”上的動(dòng)

點(diǎn)，連接AM,MN,且NA/WN=NABH；

若在圖②中連接B”，交折痕AG于點(diǎn)Q,隱去其它線段，得到如圖④.

圖①圖③

解決問(wèn)題:

(1)在圖②中，AACB=—,BC=—=—，與A/WG相似的三角形有一個(gè);

（2）在圖②中，AH2=AE_（從圖②中選擇一條線段填在空白處），并證明你的結(jié)論；

（3）在圖③中，AABH為—三角形，設(shè)BM為X,則MH=—（用含x的式子表示）；

拓展延伸：

（4）在圖④中，將△ABQ繞點(diǎn)B按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)a（00<a<180°）,得到△ABQ一連接

DQ',則0Q'的最小值為—，當(dāng)tanzCBQ，=—時(shí)，△08Q'的面積最大值為.

【參考答案】***試卷處理標(biāo)記，請(qǐng)不要?jiǎng)h除

一、中考幾何壓軸題

1.（1）;（2）,見(jiàn)解析；（3）

【分析】

（1）根據(jù)SAS可證△ABE之△ACD,進(jìn)而可得BE=CD,結(jié)合BD+CD=BC可得BD+BE=BC,再

根據(jù)等腰直角三角形中BC=即可證得；

（2）過(guò)點(diǎn)A

解析：（1）BD+BE=y[2AB;（2）BD+BE=43AB,見(jiàn)解析；（3）g

【分析】

（1）根據(jù)SAS可證△ABEV△ACD,進(jìn)而可得BE=CD,結(jié)合BD+CD=BC可得BD+BE=BC,再

根據(jù)等腰直角三角形中BC=血AB即可證得+=

（2）過(guò)點(diǎn)A作AH_LBC,根據(jù)NBAC=120°,AB=AC可得NABC=30°,BH=：BC,貝l]

BC=y/3AB,由（1）可知BD+BE=BC,由此即可得aD+BE=4AB;

（3）過(guò)Q點(diǎn)作QFIIAC交BC延長(zhǎng)線于點(diǎn)F,先證NBQF=120。，BQ=QF,進(jìn)而可由（2）同

理可知，AQBE2AQFD,BD+BE=43BQ,進(jìn)而可證得/EBD=60。，再根據(jù)

cosNEBD="^=cos6CT=）可求得BE=28￡）=2x]百=34，進(jìn)而求得=最后根據(jù)

BE222

AQ=BQ—AB即可得到答案.

【詳解】

解：（1）BD+BE=/2AB

理由如下：

,/ZEAD=ZBAC=90°

/.ZEAB=ZDAC

在^ABE與XACD中,

AB=AC

<ZEAB=ZDAC

AE=AD

「.△ABEM△ACD(SAS)

/.BE=CD,

BD+CD=BC

BD+BE=BC

,/在RtAABC中，ZBAC=90°,AB=AC,

BC=V2AB

BD+BE=^2AB;

(2)結(jié)論：BD+BE=6AB，

理由如下：

過(guò)點(diǎn)A作AHJ_BC,

,/ZBAC=120°,AB=AC

「.NABC=30。，BH=-BC

2

.,BHoJ3

在RtAABH中，cosZABH=——=cos30°=—

AB2

BH=—AB,

2

BC=43AB

由(1)同理可矢口BD+BE=BC,

:BD+BE=^AB；

(3)過(guò)Q點(diǎn)作QFIIAC交BC延長(zhǎng)線于點(diǎn)F,

BD

ZBAC=120°,AB=AC

：.ZABC=ZACB=30°

：.ZQFC=ZQBF=30°,ZBQF=120°

/.BQ=QF

由（2）同理可知，△QBE堊△QFD,BD+BE=6B。

ZEBQ=ZQFB=30°,BE=DF

ZEBD=6Q0

?；DEtBC

BDi

cosZEBD==cos60°=—

BE2

:.BE=2BD=2x--/3=3y/3

2

■：BD+BE=y/3BQ

:.^y/3+3y/3=s/3BQ

9

BQ=39

：.AQ=BQ—AB二.

【點(diǎn)睛】

本題考查了全等三角形的判定及性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，解直角三角形的應(yīng)用，熟

練掌握相關(guān)圖形的判定及性質(zhì)以及能夠作出正確的輔助線是解決本題的關(guān)鍵.

2.（1）；（2）,理由見(jiàn)解析；（3）CE的長(zhǎng)為2或4,理由見(jiàn)解析.

【分析】

（1）證明，得出CE=BD,,即可得出結(jié)論；

（2）證明，得出，，即可得出結(jié)論；

（3）先判斷出，再求出：

①當(dāng)點(diǎn)E在點(diǎn)D

解析：（1）60,BD=CE-,（2）NCEB=45。,BD=42CE,理由見(jiàn)解析；（3）CE的長(zhǎng)為

2夜或4后，理由見(jiàn)解析.

【分析】

（1）證明AACE=AAB。，得出CE=BD,ZAEC=ZADB,即可得出結(jié)論；

（2）證明AACESAABD,得出=BD=y/iCE，即可得出結(jié)論；

（3）先判斷出2￡）=應(yīng)CE，再求出48=2而：

①當(dāng)點(diǎn)E在點(diǎn)。上方時(shí)，先判斷出四邊形APDE是矩形，求出AP=DP=AE=2,再根據(jù)勾

股定理求出，BP=6,得出8。=4；

②當(dāng)點(diǎn)E在點(diǎn)。下方時(shí)，同①的方法得，AP=DP=AE=1,BP=6,進(jìn)而得出BO=BP+DP

=8,即可得出結(jié)論.

【詳解】

解：（1）△ABC為等腰三角形，AC=BC,ZACB=60°,

△ABC是等邊三角形，

同理可得石是等邊三角形

-.-ABAD+ADAC=ADAC+/CAE=60°

ZBAD=ZCAE

AD=AE

<AB=AC

NEAC=NDAB

.-.△ACE^AABD（SAS）

:.BD=CE

???/AEC=/ADB=180?！猌ADE=120°

ZAEC=ZAED+ZCEB

Z.CEB=60°

故答案為：ZCEB=60°；BD=CE.

（2）ZCEB=45°,BD=6CE，理由如下：

在等腰三角形，BC中，AC=BCfZACB=90°,

AB=y/2AC,NC4B=45。，

同理，AD=6AE,ZADE=ZDAE=45°，

APAT

???黑二去，ZDAE=NCAB,

ADAB

:?/EAC=ZDAB,

..^ACE^^ABD,

二變=四=夜，

CEAE

???ZAEC=ZADB,BD=41CE，

??,點(diǎn)B、D、E在同一條直線上：

/.ZADB=180°-ZAT>E=135°

/.ZAEC=135°

/.ZCEB=ZAEC-ZAED=45°；

（3）由（2）知，AACES^ABD,

BD=yfz（JE，

在吊△ABC中，AC=2小,

AB=4iAC=2回,

①當(dāng)點(diǎn)E在點(diǎn)。上方時(shí)，如圖③，

過(guò)點(diǎn)4作交BD的延長(zhǎng)線于P,

\-DE.LBD,

/.ZPDE=ZAED=ZAPD,

二.四邊形4PDE是矩形，

???AE=DE,

矩形APDE是正方形，

:.AP=DP=AE=^2,

在H4AP3中，根據(jù)勾股定理得，BP='AB。-AP』6，

:.BD=BP-AP=4,

:.CE=~BD=2y/2.

A/2

②當(dāng)點(diǎn)E在點(diǎn)。下方時(shí)，如圖④

同①的方法得，AP=DP=AE=2,BP=6,

:.BD=BP+DP=8,

:.CE=4=BD=4啦,

J2

綜上CE的長(zhǎng)為2及或40.

圖③

圖④

【點(diǎn)睛】

本題是幾何變換的綜合題，主要考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，全等三角形的判定和定理，相似三角

形的判定和性質(zhì)，勾股定理，等邊三角形的性質(zhì)，判斷出三角形ACE和三角形ABD相似是

關(guān)鍵.

3.(1)BD=CE,BD_LCE,理由見(jiàn)詳解；(2)AB=kAC,180°-a-P；(3)

N(0,3),OP的最小值為3

【分析】

(1)先證明AABD2△ACE,從而得BD=CE,NABD=NACE

解析：(1)BD=CE,BD_LCE,理由見(jiàn)詳解；(2)AB=kAC,18O°-a-0；(3)N(0,3),OP

的最小值為3

【分析】

(1)先證明△AB。合△ACE,從而得BD=CE,NABD=NACE,AGB=ZFGC,即可

得到結(jié)論；

ARAn

(2)先證明AABCSA/WE,—=—,結(jié)合NBAD=NCAE,BT^AS/\D-^CAE,進(jìn)

ACAE

而即可得到結(jié)論；

(3)把AOP/W繞點(diǎn)M順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。得到AO7yM(P與N重合)，則

OM=O,M,Or(3,3),OP=O'P,進(jìn)而即可求解.

【詳解】

角軋(1)BD=CE,BDLCE,

???△ABC和aADE都是等腰直角三角形，

/.AB=AC,AD=AEfNBAC=NDAE=90°,

,/ZBAD=NBAC-NDAC,ZCAE=ADAE-ADAC

/.ZBAD=NCAE,

在△AB。和△ACE中，

AB=AC

?「<ZBAD=ZCAE,

AD=AE

「.△ABD^△ACE,

，BD=CE,NABD=NACE,

NAGB=NFGC,

/.ZCFG=NB/1G=90o,即BD工CE,

故答案是：BD=CE,BD±CE；

(2)：NABC=NADE=a,NACB=NAED=0,

/.△ABCsAADE,

.ABAD

-AC-AE?

「ZABC=Z.ADE=a,ZACB=Z.AED=6,

/.ZBAC=NDAE,

/.ZBAD:NCAE,

/.△8AOs>CAE,

BDAB7

ZABD=2LACE,——=——=k

CEAC

又「ZAGB=NFGC,

：.ZBFC=NBAC=1800-AABC-NACB=180°-a-6,

AB=kAC,直線BO和CE相交所成的較小角的度數(shù)為：180°-a-6；

(3)由題意得：MN=MP,ZNMP=90°,

把△OPM繞點(diǎn)M順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。得到AO7yM(P與N重合)，則a0_LO'M,

OM=O'M,

???點(diǎn)M的坐標(biāo)為(3,0),

.O'(3,3)

AOPM咨AO'PM,

OP=O'P',即線段OP長(zhǎng)度最小時(shí)，O'P'的長(zhǎng)度最小，

.,.當(dāng)O'PJ_y軸時(shí)，O'P的長(zhǎng)度最小，此時(shí)0(0,3),

:.N(0,3),OP的最小值為3.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，通過(guò)旋

轉(zhuǎn)變換，構(gòu)造相似三角形或全等三角形，是解題的關(guān)鍵.

4.(1)；(2)①，理由見(jiàn)解析；②線段與所成的最小夾角為60；(3).

【分析】

(1)根據(jù)已知求得AE=a+b,CG=b-a,根據(jù)線段中點(diǎn)的定義求得CM=,通過(guò)計(jì)

算即可求解；

(2)①延長(zhǎng)BM

解析：(1)BM=^AE.(2)@BM=^AE,理由見(jiàn)解析；②線段8M與AE所成的最

小夾角為60。；(3)BM=—AE.

2

【分析】

(1)根據(jù)已知求得AE=a+b,CG=b-a,根據(jù)線段中點(diǎn)的定義求得C/W=1b-1匹通過(guò)計(jì)算

22

即可求解；

(2)①延長(zhǎng)B/W到從使連接GH,利用SAS證明△C7WB三△G/W”和

△ABE=4HGB,即可得到結(jié)論；

②延長(zhǎng)MB交AE于N,證明NGBE=NBNE=60。，即可求解；

(3)延長(zhǎng)BM到H,使連接GH,同理證明△△GMH,再證明

AABE-AHGB,即可求解.

【詳解】

(1)BM=^AE,理由如下：

???菱形ABCD與菱形BEFG的邊長(zhǎng)分別為a和b,

AE=AB+BE=a+b,CG=BG-BC=b-a

■.?點(diǎn)M為CG的中點(diǎn)，

111

/.CM=—CG=—7b--a,

222

/.BM=BC+CM=a+-b--a=-a+-b=-(a+bY

22222V7

/.BM=-AE；

2

(2)@BM=^AEf理由如下：

延長(zhǎng)BM到H,使MH=BM,連接G”，如圖:

H

?.,點(diǎn)M為CG的中點(diǎn)，

/.CM=MG,

'：ZCMB=NGMH,

：.△CMB=^GMH(SAS),

/.ZBCM=NHGM,BC=HG,

BCWGH,

/.ZBGH+NCBG=180°,

,/菱形4BC。與菱形BEFG中，ZABC=120°,ZGBE=60°,

：.ZABE+NCBG=180°,

/.ZABE=/BGH,

AB=BC=HG,BE=BG,

/.△ABE=LHGB(SAS),

/.AE=HB=-AE；

2

②線段8M與AE所成的最小夾角為60。，理由如下：

,/△ABE=LHGB,

：.ZAEB;NBHG,

延長(zhǎng)MB交4E于N,

貝！JNMBE=NBNE+NAEB,即NHBG+NGBE=NBNE+NAEB,

/.ZGBE=4BNE=6Q°,

「?線段BM與A石所成的最小夾角為60°；

(3)BM=—AE,理由如下：

2

延長(zhǎng)8M到H,使連接GH,如圖：

同理可得：△CMB=△GMH(SAS),

/.ZBCM=NHGM,BC=HG,

「?BCWGH,

...ZBGH+NCBG=180°,

,/矩形ABCD與矩形BEFG中，ZABC=NGBE=90°f

/.ZABE+NCBG=180°,

/.ZABE=ABGH,

?工里=6

ABBE

二四=些=5

ABBE

/.△ABE-HGB,

.?膽3=6,

AEBE

---BM=-BH,

2

.BM=—AE.

2

【點(diǎn)睛】

本題考查四邊形綜合題、全等三角形的判定和性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)、菱形的性

質(zhì)、矩形的性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題，學(xué)會(huì)添加常用輔助

線，構(gòu)造全等三角形解決問(wèn)題，屬于中考?jí)狠S題.

5.(1)=1；(2)改變，；(3)①二；②GB=()DG.

【分析】

(1)利用三點(diǎn)共線，可以求出k=l；

(2)當(dāng)點(diǎn)G與點(diǎn)E重合時(shí)，DG取最小值，當(dāng)點(diǎn)F與點(diǎn)C重合時(shí)，DG取最大

值，進(jìn)而求出k的取

解析：（1）Z=l；（2）改變，巫4A4巫；（3）①S=J；②GB=（&-1）

358

DG.

【分析】

（1）利用三點(diǎn)共線，可以求出k=l；

（2）當(dāng)點(diǎn)G與點(diǎn)E重合時(shí)，0G取最小值，當(dāng)點(diǎn)F與點(diǎn)C重合時(shí)，0G取最大值，進(jìn)而求

出k的取值范圍；

（3）①設(shè)BE=m,BF=n,利用一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系進(jìn)行和不等式進(jìn)行求解；

②根據(jù)①求出的EF=2后-2,由于AOEF為等腰三角形，EF為底，所以G為EF中點(diǎn)，易

得GB=6_1，進(jìn)而可以求出GB=（V2-1）DG.

【詳解】

如圖1所示，把AOAE,ADCF分別沿著OE、DF翻折，

圖1

,??在正方形ABC。中，ZADC=ZDAB^ZDCB=90°',AD=CD,

ZADE+ZCDF=ZADC-ZEDF=90°-^°=^5°,

二翻折后，AD,CD重合.

設(shè)重合線為AG，，則/。G七=/。64=90°,

■.DG'lEF,且￡、G\F三點(diǎn)共線，則G在EF上。

又；DG1EF,

:.DG'與DG重合，

:.DG=DG'=AD.

.,DG4

??k==1.

AD

（2）k的值發(fā)生改變.

①如圖2所示，當(dāng)點(diǎn)G與點(diǎn)E重合時(shí)，0G取最小值，

C

D

\F

,TE(G)圖2B

NDEF=90°

又ZEDf=45°,

.1△DEF是等腰直角三角形，則OE=EF.

易證MDE"4BEF,

AD=BE=6,

--AE=AB-BE=8-6=2f

在RtAAOE中，由勾股定理，得DE=JAE。+4?2=422+62=2而'，

.,DGV10

■■k--...-.......

minAD~3

②如圖3所示，當(dāng)點(diǎn)F與點(diǎn)C重合時(shí)，0G取最大值，

D底-----------,C(n

s

圖3E

???ZEDC=45°,

AB//DF,貝!|NAED=NEDC=45。，

ADAE是等腰直角三角形，則AD=AE=6,

■.BE=AB-AE=8-6=2,

，在RtAEBC中，由勾股定理得：CE=^BE2+BC2=V22+62=2>/10，

白、/DGCDCD-CF_8x6_12A/10

易證ADGC~ACBE,—=——，即DG=---------

CBECEC2.7105

一吃”,

AD5

綜上所述，邛…T

(3)①設(shè)BE=m,BF=n,

易知ABE尸的周長(zhǎng)為2.

m+n+EF=2

m2+n2=EF2'

一元二次方程a/+法+。=0(@wO)有求根公式:

-b+y/b2-4ac—b—yjb2—43c

x,=----------‘x2----------------，

2a2a

以+—b+J12-4〃c+—b—1b~-4〃cb

2a2aa

—b+J/—4-c—b—"2—4—c

X-X=-------------------------------=—，

92a2aa

則m,n是關(guān)于x的方程V+(緒-2)x+2-2緒=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，

12-EF￥-4(2-2EF)>0

<2-EF>Q，解得：2萬(wàn)-2<EF<\-

2-2￡F>0

■.■S=^DG-EF=^EF,

二當(dāng)￡尸=2阪一2時(shí)，S取最小值近-1.

②:△DEF為等腰三角形，EF為底,

.?.G為EF中點(diǎn)，易得GB=gEF=g_1,

,GB-1

?----=-------

DG1

GB=(V2-1)DG.

【點(diǎn)睛】

本題考查了正方形、矩形、等腰三角形的性質(zhì)及一元二次方程的靈活運(yùn)用，有一定的難

度，解題關(guān)鍵是畫(huà)出正確的圖形進(jìn)行解答.

6.(1)CM=2BE,CM_LBE；(2)成立，理由見(jiàn)解析；(3)

【分析】

(1)設(shè)證明，由點(diǎn)是的中點(diǎn)，得到，進(jìn)而求解；

(2)證明和，得到，，進(jìn)而求解；

(3)證明，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，設(shè)，貝必，貝人即可求

解析：(1)CM=2BE,CM工BE；(2)成立，理由見(jiàn)解析；(3)"十④

2

【分析】

(1)設(shè)證明AABN=ACBM(S4S),由點(diǎn)E是AN的中點(diǎn)，得至U==,進(jìn)而求

解；

(2)證明AAEFMAA石B(S4S)和AMBMAMBC(SAS),得至(JCM=B尸=28E,ZBCM=ZABF,

進(jìn)而求解；

(3)證明N瀏"=30。，過(guò)點(diǎn)C作于點(diǎn)G,設(shè)CG=m,貝l」5C=圓,

MG=y/3m,則也=9/=石/一相，即可求解.

【詳解】

解：(1)設(shè)⑷V交CM于點(diǎn)”，

圖1

QABMN為等腰直角三角形，

BM=BN,

?：AB=BC,ZABN=Z.CBM=90°,

:.AABN=^CBM(SAS),

,\AN=CM,ZBAN=ZBCM,

???點(diǎn)￡是⑷V的中點(diǎn)，貝！==,即CM=25￡,

:.ZEBN=ZENB,

:.ZHBC+ZHCB=ZANB+ZBNA=90°,

即CM_L優(yōu)，

故答案為：CM=2BE,CM±BE；

(2)CM=2BE,CM工BE,仍然成立.

如圖所示，延長(zhǎng)BE至F使EF=BE,連接AT7,

AE=EN,ZAEF=ZNEB,

AAEF=ANEB(SAS),

:.AF=BN,/F=/EBN,

：.AF//BN,AF=BM,

:.ZFAB+ZABN=1SO°,

ZMBC+ZABN=ZABC+ZABM+ZABN=900+90°=lS0°,

.\ZFAB=ZMBC9

-/AB=BCfBM=BN=AF,

/\FAB=AMBC(SAS),

,\CM=BF=2BE,ZBCM=ZABFf

?：AABF+AFBC=90°,

.\ZBCM+ZFBC=90°9

:.BE±CM；

(3)由a=45°得ZMBA=ZABN=45。，

???ZNBE=2ZABE,貝!j/AB石=15。，

由(2)知//1￡8=/45石=15。，ZMBC=135°,

.\ZBMC=30°,

過(guò)點(diǎn)C作CGJ_于點(diǎn)G,設(shè)CG=m,則5C=，MG=y/Sm,

圖3

/.MB=BN=—m，

.BC_41m_A/6+y/2

BN垂tm—m2

【點(diǎn)睛】

本題是四邊形綜合題，主要考查了正方形的性質(zhì)、直角三角形中線定理、解直角三角形、

三角形全等等，綜合性強(qiáng)，難度較大.

7.（1）證明見(jiàn)解析；（2）①；②；（3）.

【分析】

（1）如圖（見(jiàn)解析），先根據(jù)三角形全等的判定定理與性質(zhì)可得，再根據(jù)“協(xié)

和四邊形”的定義即可得證；

（2）①先根據(jù)"協(xié)和四邊形"的定義、三角形全等的

解析：（1）證明見(jiàn)解析；（2）①3:5；②至；（3）273.

-14

【分析】

（1）如圖（見(jiàn)解析），先根據(jù)三角形全等的判定定理與性質(zhì)可得

加D=NCBD,ZADB=NCDB,再根據(jù)“協(xié)和四邊形”的定義即可得證；

（2）①先根據(jù)“協(xié)和四邊形”的定義、三角形全等的判定定理可得△加三ACBD,從而可

得AD=CD,再根據(jù)等邊三角形的判定與性質(zhì)可得EF=DE=DF,BD±EF,OE.EF,

然后設(shè)EF=DE=DF=2a,解直角三角形可得30=半a,00=6。，從而可得

0B=^a,最后利用三角形的面積公式即可得；

3

②如圖（見(jiàn)解析），設(shè)EF=DE=DF=2a,先利用勾股定理可得BP=BE=2叵a,再

3

利用三角形的面積公式可得EH=%夕。，然后根據(jù)正弦三角函數(shù)的定義即可得；

7

（3）如圖（見(jiàn)解析），先解直角三角形可得=46，再根據(jù)菱形的性質(zhì)、平行線的性

質(zhì)可得ZEBF=ZBEP,從而可得ZNEM=/BEP,然后根據(jù)垂線段最短可得當(dāng)MN_L

時(shí)，MN取得最小值，最后根據(jù)相似三角形的判定與性質(zhì)即可得.

【詳解】

證明：（1）如圖，連接3。，

AB=BC

在△AfiD和ACBD中，\AD=CD,

BD=BD

AABD=￡BD(SSS),

ZAB￡>=NCBD,ZADB=NCDB,

..3。平分ZABC和/ADC,

■■四邊形ABC。是"協(xié)和四邊形"；