中考數(shù)學(xué)壓軸題之二次函數(shù)（中考題型-突破提升）及詳細(xì)答案

中考數(shù)學(xué)壓軸題之二次函數(shù)（中考題型整理，突破提升）及詳細(xì)答案

一、二次函數(shù)

1.如圖，已知直線丫=—一6與拋物線丫=2*2+6*+?相交于A,B兩點(diǎn)，且點(diǎn)A（1,-

4）為拋物線的頂點(diǎn)，點(diǎn)B在X軸上。

（1）求拋物線的解析式；

（2）在（1）中拋物線的第二象限圖象上是否存在一點(diǎn)P,使△POB與△POC全等？若存

在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由；

（3）若點(diǎn)Q是y軸上一點(diǎn)，且AABQ為直角三角形，求點(diǎn)Q的坐標(biāo)。

【答案】解：（1）y=x2—2x—3；（2）存在，P（Ml,巫U）；（3）Q點(diǎn)坐標(biāo)

22

73

為（0,一）或（0,-）或（0,-1）或（0,-3）.

22

【解析】

【分析】

（1）已知點(diǎn)A坐標(biāo)可確定直線AB的解析式，進(jìn)一步能求出點(diǎn)B的坐標(biāo).點(diǎn)A是拋物線的

頂點(diǎn)，那么可以將拋物線的解析式設(shè)為頂點(diǎn)式，再代入點(diǎn)B的坐標(biāo)，依據(jù)待定系數(shù)法可解.

（2）首先由拋物線的解析式求出點(diǎn)C的坐標(biāo)，在APOB和△POC中，已知的條件是公共邊

0P,若0B與0C不相等，那么這兩個(gè)三角形不能構(gòu)成全等三角形；若0B等于0C,那么

還要滿足的條件為：ZPOC=ZPOB,各自去掉一個(gè)直角后容易發(fā)現(xiàn)，點(diǎn)P正好在第二象限

的角平分線上，聯(lián)立直線丫=、與拋物線的解析式，直接求交點(diǎn)坐標(biāo)即可，同時(shí)還要注意點(diǎn)

P在第二象限的限定條件.

（3）分別以A、B、Q為直角頂點(diǎn)，分類進(jìn)行討論，找出相關(guān)的相似三角形，依據(jù)對應(yīng)線

段成比例進(jìn)行求解即可.

【詳解】

解：（1）把八（1,-4）代入y=kx-6,得k=2,

y=2x-6,

令y=o,解得：x=3,

B的坐標(biāo)是（3,0）.

A為頂點(diǎn)，

???設(shè)拋物線的解析為y=a（x-1）2-4,

把B(3,0)代入得：4a-4=0,

解得a=l,

y=(x-1)2-4=x2-2x-3.

(2)存在.

OB=OC=3,OP=OP,

當(dāng)NPOB=ZPOC時(shí)，△POBm△POC,

此時(shí)PO平分第二象限，即PO的解析式為y=-X.

設(shè)P(m,-m),貝卜m=m2-2m-3,解得(m=>0,舍)，

22

22

(3)①如圖，當(dāng)NQ/B=90。時(shí)，ADAQi-△DOB,

?任一絲即逐一也

.n0-l

ODDB63V52

77

OQi=-,即Q(0,--)；

22

②如圖，當(dāng)N。284=90。時(shí)，△80Q2s△DOB,

,OB_OQ2叩3_0。2

ODOB63

33

/.00.2=一,即Q2(0,一)；

22

③如圖，當(dāng)N4238=90。時(shí)，作AE_Ly軸于E,

經(jīng)*3

,好4-OQ31

/.OQ32-4OQ3+3=0,OQ3=1或3,

即Q3(0,-1),Q4(0,-3).

73

綜上，Q點(diǎn)坐標(biāo)為(0,--)或(0,—)或(0,-1)或(0,-3).

22

2.如圖，關(guān)于x的二次函數(shù)y=x2+bx+c的圖象與x軸交于點(diǎn)A(1,0)和點(diǎn)B與y軸交于

點(diǎn)C(0,3),拋物線的對稱軸與x軸交于點(diǎn)D.

(1)求二次函數(shù)的表達(dá)式；

(2)在y軸上是否存在一點(diǎn)P,使APBC為等腰三角形？若存在.請求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；

(3)有一個(gè)點(diǎn)M從點(diǎn)A出發(fā)，以每秒1個(gè)單位的速度在AB上向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，另一個(gè)點(diǎn)N

從點(diǎn)D與點(diǎn)M同時(shí)出發(fā)，以每秒2個(gè)單位的速度在拋物線的對稱軸上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)M到達(dá)

點(diǎn)B時(shí)，點(diǎn)M、N同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，問點(diǎn)M、N運(yùn)動(dòng)到何處時(shí)，AlVINB面積最大，試求出最

大面積.

【答案】(1)二次函數(shù)的表達(dá)式為：y=x2-4x+3；(2)點(diǎn)P的坐標(biāo)為：(0,3+3正)或

(0,3-3&)或(0,-3)或(0,0)；(3)當(dāng)點(diǎn)M出發(fā)1秒到達(dá)D點(diǎn)時(shí)，△MNB面

積最大，最大面積是L此時(shí)點(diǎn)N在對稱軸上X軸上方2個(gè)單位處或點(diǎn)N在對稱軸上x軸

下方2個(gè)單位處.

【解析】

【分析】

(1)把A(1,0)和C(0,3)代入y=x2+bx+c得方程組，解方程組即可得二次函數(shù)的表

達(dá)式；

(2)先求出點(diǎn)B的坐標(biāo)，再根據(jù)勾股定理求得BC的長，當(dāng)△PBC為等腰三角形時(shí)分三種

情況進(jìn)行討論：①CP=CB；②BP=BC；③PB=PC；分別根據(jù)這三種情況求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；

(3)設(shè)AM=t^ljDN=2t,由AB=2,得BM=2-t,SAMNB=-x(2-t)x2t=-t2+2t,把解

2

析式化為頂點(diǎn)式，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可得△MNB最大面積；此時(shí)點(diǎn)M在D點(diǎn)，點(diǎn)N

在對稱軸上x軸上方2個(gè)單位處或點(diǎn)N在對稱軸上X軸下方2個(gè)單位處.

【詳解】

解：(1)把A(1,0)和C(0,3)代入y=x2+bx+c,

l+Z?+c=0

[c=3

解得：b=-4,c=3,

,二次函數(shù)的表達(dá)式為：y=x2-4x+3；

(2)令y=0,則x2-4x+3=0,

解得：x=l或x=3,

B(3,0),

BC=3yj2>

點(diǎn)P在y軸上，當(dāng)△PBC為等腰三角形時(shí)分三種情況進(jìn)行討論：如圖1,

①當(dāng)CP=CB時(shí)，PC=372>,OP=OC+PC=3+30或OP=PC-0C=3血-3

夜)；

?Pi(0,3+3&)，P2(0,3-3

②當(dāng)PB=PC時(shí)，OP=OB=3,

?P3(0,-3)；

③當(dāng)BP=BC時(shí)，

OC=OB=3

?此時(shí)P與O重合，

P4(0,0)；

綜上所述，點(diǎn)P的坐標(biāo)為：(0,3+3及)或(0,3-372)或(-3,0)或(0,0)；

SAMNB=—x(2-t)x2t=-t2+2t=-(t-1)2+l,

2

當(dāng)點(diǎn)M出發(fā)1秒到達(dá)D點(diǎn)時(shí)，AMNB面積最大，最大面積是1.此時(shí)點(diǎn)N在對稱軸上x

軸上方2個(gè)單位處或點(diǎn)N在對稱軸上X軸下方2個(gè)單位處.

3.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線y=-x+n與x軸、y軸分別交于

B、C兩點(diǎn)，拋物線y=ax2+bx+3(awO)過C、B兩點(diǎn)，交x軸于另一點(diǎn)A,連接AC,且

tanZCA0=3.

⑴求拋物線的解析式；

⑵若點(diǎn)P是射線CB上一點(diǎn)，過點(diǎn)P作x軸的垂線，垂足為H,交拋物線于Q,設(shè)P點(diǎn)橫坐

標(biāo)為t,線段PQ的長為d,求出d與t之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出相應(yīng)的自變量t的取值

范圍；

⑶在(2)的條件下，當(dāng)點(diǎn)P在線段BC上時(shí)，設(shè)PH=e,已知d,e是以y為未知數(shù)的一元二

次方程：y2—(m+3)y+L(5m2—2m+13)="0"(m為常數(shù))的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，點(diǎn)M在拋物線上，連

4

接MQ、MH、PM,且.MP平分NQMH,求出t值及點(diǎn)M的坐標(biāo).

.田=—廠+3/(。</<3)

【答案】⑴y=-x2+2x+3；(2){,(3)t=l,(1+72，2)和(1—血，

d=t2-3t(t>3)

2).

【解析】

【分析】

(1)當(dāng)x=0時(shí)代入拋物線y=ax2+bx+3(a-0)就可以求出y=3而得出C的坐標(biāo)，就可以得

出直線的解析式，就可以求出B的坐標(biāo)，在直角三角形AOC中，由三角形函數(shù)值就可以求

出OA的值，得出A的坐標(biāo)，再由待定系數(shù)法建立二元一次方程組求出其解就可以得出結(jié)

論；

(2)分兩種情況討論，當(dāng)點(diǎn)P在線段CB上時(shí)，和如圖3點(diǎn)P在射線BN上時(shí)，就有P點(diǎn)

的坐標(biāo)為(t,-t+3),Q點(diǎn)的坐標(biāo)為(t,-t2+2t+3),就可以得出d與t之間的函數(shù)關(guān)系式

而得出結(jié)論；

(3)根據(jù)根的判別式就可以求出m的值，就可以求出方程的解而求得PQ和PH的值，延

長MP至L,使LP=MP,連接LQ、LH,如圖2,延長MP至L,使LP=MP,連接LQ、LH,

就可以得出四邊形LQMH是平行四邊形，進(jìn)而得出四邊形LQMH是菱形，由菱形的性質(zhì)就

可以求出結(jié)論.

【詳解】

(1)當(dāng)x=0,則y=-x+n=O+n=n,y=ax2+bx+3=3,

OC=3=n.

當(dāng)y=o,

-x+3=0,x=3=OB,

/.B(3,0).

OC3

在AAOC中，ZAOC=90°,tanZCAO=——=——=3o,

OAOA

OA=1,

A(-1,0).

將A(-1,0),B(3,0)代入y=ax2+bx+3,

得

9a+3b+3—0

^a—b+3-0'

a=-1

解得：一

?拋物線的解析式：y=-x2+2x+3；

⑵如圖1，

4Ogm\"x

II

(如圖D

P點(diǎn)的橫坐標(biāo)為t且PQ垂直于x軸P點(diǎn)的坐標(biāo)為(t,-t+3),

Q點(diǎn)的坐標(biāo)為(t,—t2+2t+3).

PQ=|(—1+3)—(—t2+2t+3)|="|"t2—3t|

d=—t?+3/(0<?<3)

???{,；

d=t—3/(/>3)

???d,e是y2—(m+3)y+,(5m2—2m+13)=0(m為常數(shù))的兩個(gè)實(shí)數(shù)根,

4

:&>0,即△=(m+3)2—4x—(5m2—2m+13)N0

4

整理得：△=—4(m—1)2>0,—4(m—1)2<0,

△=0,m=l,

二PQ與PH是y2—4y+4=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，解得yi=y2=2

/.PQ=PH=2,/.-t+3=2,t="l,"

此時(shí)Q是拋物線的頂點(diǎn)，

延長MP至L,使LP=MP,連接LQ、LH,如圖2,

Q

斤

（如圖2）

1,LP=MP,PQ=PH,.,.四邊形LQMH是平行四邊形,

LHIIQM,Z1=Z3,Z1=Z2,/.Z2=Z3,

,LH=MH,.?.平行四邊形LQMH是菱形,

,PMJLQH,.,.點(diǎn)M的縱坐標(biāo)與P點(diǎn)縱坐標(biāo)相同，都是2,

二在y=—x?+2x+3令y=2,x2—2x—1=0,X1-I+J2，X2=l一夜

綜上：t值為1,M點(diǎn)坐標(biāo)為（1+0，2）和（1—0,2）.

4.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知矩形ABCD的三個(gè)頂點(diǎn)B(1,0)、C(3,0)、D(3,

4).以A為頂點(diǎn)的拋物線丫=2*2+6*+(:過點(diǎn)C.動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，以每秒;個(gè)單位的

速度沿線段AD向點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒.過點(diǎn)P作PE^x軸交拋物線于點(diǎn)M,交AC

于點(diǎn)N.

(1)直接寫出點(diǎn)A的坐標(biāo)，并求出拋物線的解析式；

(2)當(dāng)t為何值時(shí)，△ACM的面積最大？最大值為多少？

(3)點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā)，以每秒1個(gè)單位的速度沿線段CD向點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)，當(dāng)t為何值時(shí)，在

線段PE上存在點(diǎn)H,使以C、Q、N、H為頂點(diǎn)的四邊形為菱形？

【答案】(1)A(1,4)；y=-x2+2x+3；(2)當(dāng)t=2時(shí)，△AMC面積的最大值為

「20

1;(3)20-8石或石.

【解析】

(1)由矩形的性質(zhì)得到點(diǎn)A的坐標(biāo)，由拋物線的頂點(diǎn)為A,設(shè)拋物線的解析式為y=a(x

-1)2+4,把點(diǎn)C的坐標(biāo)代入即可求得a的值；

(2)由點(diǎn)P的坐標(biāo)以及拋物線解析式得到點(diǎn)M的坐標(biāo)，由A、C的坐標(biāo)得到直線AC的解

析式，進(jìn)而得到點(diǎn)N的坐標(biāo)，即可用關(guān)于t的式子表示MN,然后根據(jù)小ACM的面積是

AAMN和仆CMN的面積和列出用t表示的△ACM的面積，利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可得到

當(dāng)t=2時(shí)，△AMC面積的最大值為1；

(3)①當(dāng)點(diǎn)H在N點(diǎn)上方時(shí)，由PN=CQ,PNIICQ,得到四邊形PNCQ為平行四邊形，

所以當(dāng)PQ=CQ時(shí)，四邊形FECQ為菱形，據(jù)此得到Q-1小+(4-7,解得t值；

②當(dāng)點(diǎn)H在N點(diǎn)下方時(shí)，NH=CQ=r,NQ=CQ時(shí)，四邊形NHCQ為菱形，NQ^CQ?,得：

(2—,^42z)*/->解得t值.

解：(1)由矩形的性質(zhì)可得點(diǎn)A(1,4),

???拋物線的頂點(diǎn)為A,

設(shè)拋物線的解析式為y=a(x-1)2+4,

代入點(diǎn)C(3,0),可得a=-1.

y=—(x—1)2+4=—x2+2x+3.

(2)-/P(1+—/,4),

2

11

將%=1+—%代入拋物線的解析式，y=-(x-1)2+4=4——9

24

119

M(Id----1f4-----1)，

24

設(shè)直線AC的解析式為1-h?/)，

將A(1,4),C(3,0)代入i一Li,得：\~2.1?6,

將x=l+,。代入得r-4/,

2

1.1，

MN=(4--r)-(4-r)=--r-r,

S3g+(7j-A/V=-i/J+b

244

.,.當(dāng)t=2時(shí)，△AMC面積的最大值為:1.

(3)①如圖1,當(dāng)點(diǎn)H在N點(diǎn)上方時(shí)，

N(Id—t,4I)，P(l^—t,4),

22

?PN=4-(4-()=/=CQ,

X'.'PNIICQ,

?四邊形PNCQ為平行四邊形，

.?.當(dāng)PQ=CQ時(shí)，四邊形FECQ為菱形,

PQ2=PD2+DQ2=(2

(2-+(4-ty-八，

整理，得/―40f+80=0.解得/!=20—86，/2=20+8A/5(舍去)；

圖1

②如圖2當(dāng)點(diǎn)H在N點(diǎn)下方時(shí)，

NH=CQ一，NQ=CQ時(shí)，四邊形NHCQ為菱形，

NQ占CQ2,得：(2-1八：+(4-2/)

20

整理，得13產(chǎn)—72^+800=0.(13/—20)?！?0)=0.所以％=可，/-4(舍去).

4

圖2

"點(diǎn)睛"此題主要考查二次函數(shù)的綜合問題，會(huì)用頂點(diǎn)式求拋物線，會(huì)用兩點(diǎn)法求直線解析

式，會(huì)設(shè)點(diǎn)并表示三角形的面積，熟悉矩形和菱形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

5.如圖1,已知拋物線y=-x2+bx+c與x軸交于A(-1,0),B(3,0)兩點(diǎn)，與y軸交

于C點(diǎn)，點(diǎn)P是拋物線上在第一象限內(nèi)的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為t.

(1)求拋物線的表達(dá)式；

(2)設(shè)拋物線的對稱軸為I,I與x軸的交點(diǎn)為D.在直線I上是否存在點(diǎn)M,使得四邊形

CDPM是平行四邊形？若存在，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.

(3)如圖2,連接BC,PB,PC,設(shè)APBC的面積為S.

①求s關(guān)于t的函數(shù)表達(dá)式；

②求P點(diǎn)到直線BC的距離的最大值，并求出此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo).

【答案】（1）y=-X2+2X+3.（2）當(dāng)t=2時(shí)，點(diǎn)M的坐標(biāo)為（1,6）；當(dāng)口2時(shí)，不存

在，理由見解析；（3）y=-x+3；P點(diǎn)到直線BC的距離的最大值為述，此時(shí)點(diǎn)P的坐

8

標(biāo)為（一，一）.

24

【解析】

【分析】（1）由點(diǎn)A、B的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法即可求出拋物線的表達(dá)式；

（2）連接PC,交拋物線對稱軸I于點(diǎn)E,由點(diǎn)A、B的坐標(biāo)可得出對稱軸I為直線x=l,分

t=2和"2兩種情況考慮：當(dāng)t=2時(shí)，由拋物線的對稱性可得出此時(shí)存在點(diǎn)M,使得四邊形

CDPM是平行四邊形，再根據(jù)點(diǎn)C的坐標(biāo)利用平行四邊形的性質(zhì)可求出點(diǎn)P、M的坐標(biāo)；

當(dāng)"2時(shí)，不存在，利用平行四邊形對角線互相平分結(jié)合CE-PE可得出此時(shí)不存在符合題

意的點(diǎn)M；

（3）①過點(diǎn)P作PFIIy軸，交BC于點(diǎn)F,由點(diǎn)B、C的坐標(biāo)利用待定系數(shù)法可求出直線

BC的解析式，根據(jù)點(diǎn)P的坐標(biāo)可得出點(diǎn)F的坐標(biāo)，進(jìn)而可得出PF的長度，再由三角形的

面積公式即可求出S關(guān)于t的函數(shù)表達(dá)式；

②利用二次函數(shù)的性質(zhì)找出S的最大值，利用勾股定理可求出線段BC的長度，利用面積

法可求出P點(diǎn)到直線BC的距離的最大值，再找出此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)即可得出結(jié)論.

【詳解】（1）將A（-1,0）、B（3,0）代入y=-x2+bx+c,

-l+/?+c=0b=2

得一9+3匕+c=0'解得」

c=3

拋物線的表達(dá)式為y=-x2+2x+3；

（2）在圖1中，連接PC,交拋物線對稱軸I于點(diǎn)E,

???拋物線y=-x2+bx+c與X軸交于A（-1,0）,B（3,0）兩點(diǎn)，

?拋物線的對稱軸為直線x=l,

當(dāng)t=2時(shí)，點(diǎn)C、P關(guān)于直線I對稱，此時(shí)存在點(diǎn)M,使得四邊形CDPM是平行四邊形,

???拋物線的表達(dá)式為y=-x2+2x+3,

...點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0,3），點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2,3）,

.?.點(diǎn)M的坐標(biāo)為（1,6）；

當(dāng)"2時(shí)，不存在，理由如下：

若四邊形CDPM是平行四邊形，則CE=PE,

,?,點(diǎn)C的橫坐標(biāo)為0,點(diǎn)E的橫坐標(biāo)為0,

.?.點(diǎn)p的橫坐標(biāo)t=lx2-0=2,

又：tN2,

不存在；

（3）①在圖2中，過點(diǎn)P作PFIIy軸，交BC于點(diǎn)F.

設(shè)直線BC的解析式為y=mx+n（mwO）,

將B（3,0）、C（0,3）代入y=mx+n,

直線BC的解析式為y=-x+3,

??,點(diǎn)P的坐標(biāo)為(t,-t2+2t+3),

...點(diǎn)F的坐標(biāo)為(t,-t+3),

PF=-t2+2t+3-(-t+3)=-t2+3t,

1393327

...s=—PF?OB=——12+—1=——(t——)2+一；

222228

c3

②-y<0,

327

??.當(dāng)t=±時(shí)，S取最大值，最大值為一.

28

.點(diǎn)B的坐標(biāo)為(3,0),點(diǎn)C的坐標(biāo)為(0,3),

線段BC=yloB2+OC2=3V2，

27x

P點(diǎn)到直線BC的距離的最大值為『=述,

3夜—8

【點(diǎn)睛】本題考查了待定系數(shù)法求一次（二次）函數(shù)解析式、平行四邊形的判定與性質(zhì)、

三角形的面積、一次（二次）函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征以及二次函數(shù)的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵

是：（1）由點(diǎn)的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法求出拋物線表達(dá)式；（2）分t=2和"2兩種情況

考慮；(3)①利用三角形的面積公式找出S關(guān)于t的函數(shù)表達(dá)式；②利用二次函數(shù)的性

質(zhì)結(jié)合面積法求出P點(diǎn)到直線BC的距離的最大值.

6.對于二次函數(shù)y=ax?+(b+1)x+(b-1),若存在實(shí)數(shù)xo,使得當(dāng)x=xo,函數(shù)y=xo,貝！I

稱Xo為該函數(shù)的"不變值”.

(1)當(dāng)a=l,b=-2時(shí)，求該函數(shù)的"不變值"；

(2)對任意實(shí)數(shù)b,函數(shù)y恒有兩個(gè)相異的"不變值"，求a的取值范圍；

(3)在(2)的條件下，若該圖象上A、B兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)是該函數(shù)的"不變值"，且A、B兩

點(diǎn)關(guān)于直線y=kx-2a+3對稱，求b的最小值.

9

【答案】(1)—1,3；(2)0<a<l；(3)——

8

【解析】

【分析】

(1)先確定二次函數(shù)解析式為y=x2-x-3,根據(jù)X。是函數(shù)y的一個(gè)不動(dòng)點(diǎn)的定義，把(x。，

Xo)代入得x02-xo-3=x。，然后解此一元二次方程即可；

(2)根據(jù)X。是函數(shù)y的一個(gè)不動(dòng)點(diǎn)的定義得到ax°2+(b+1)x0+(b-1)=x。，整理得

22

axo+bx0+(b-1)=0,則根據(jù)判別式的意義得到△=b?-4a(b-1)>0,BPb-4ab+4a>0,把b?-

4ab+4a看作b的二次函數(shù)，由于對任意實(shí)數(shù)b,b?-4ab+4a>0成立，則(4a)2-4.4a<0,然

后解此不等式即可.

(3)(利用兩點(diǎn)關(guān)于直線對稱的兩個(gè)結(jié)論，一是中點(diǎn)在已知直線上，二是兩點(diǎn)連線和已知

直線垂直.找到a,b之間的關(guān)系式，整理后在利用基本不等式求解可得.

【詳解】

解：(1)當(dāng)a=l,b=-2時(shí),二次函數(shù)解析式為y=x2-x-3,把(x0,x0)代入得xo2-xo-3=x。，

解得x0=-l或x0=3,所以函數(shù)y的不動(dòng)點(diǎn)為-1和3；

2

(2)因?yàn)閥=x0,所以ax02+(b+1)x0+(b-1)=x0,HPaxo+bx0+(b-1)=0,

因?yàn)楹瘮?shù)y恒有兩個(gè)相異的不動(dòng)點(diǎn)，所以此方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)解，所以△=bJ4a(b-

1)>0,HPb2-4ab+4a>0,而對任意實(shí)數(shù)b,b?-4ab+4a>0成立,所以(4a)2-4.4a<0,解得

0<a<l.

、b

（3）設(shè)A（Xl,Xl）,B（X2,X2）,則Xl+X2=-----

a

A,B的中點(diǎn)的坐標(biāo)為(號(hào)，號(hào))bb

即M

2a9la

A、B兩點(diǎn)關(guān)于直線y=kx-2a+3對稱，

又,?AB在直線y=x上,

k=-l,A,B的中點(diǎn)M在直線y=kx-2a+3上.

bb

-----=--2a+3付：b=2a2-3a

aa

39

所以當(dāng)且僅當(dāng)a二一時(shí)，b有最小值一-

48

【點(diǎn)睛】

本題是在新定義下對函數(shù)知識(shí)的綜合考查，是一道好題.關(guān)于兩點(diǎn)關(guān)于直線對稱的問題，有

兩個(gè)結(jié)論同時(shí)存在，一是中點(diǎn)在已知直線上，二是兩點(diǎn)連線和已知直線垂直.

_4

7.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線y=-§x+8與x軸，》軸分別交于點(diǎn)A、B,拋物

線y=-4ax+c經(jīng)過點(diǎn)A和點(diǎn)B,與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為C,動(dòng)點(diǎn)D從點(diǎn)A出發(fā)，以

每秒1個(gè)單位長度的速度向。點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，同時(shí)動(dòng)點(diǎn)E從點(diǎn)B出發(fā)，以每秒2個(gè)單位長度的速

度向A點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒，0<t<5.

（1）求拋物線的解析式；

（2）當(dāng)t為何值時(shí)，以A、D、E為頂點(diǎn)的三角形與AAOB相似；

（3）當(dāng)AADE為等腰三角形時(shí)，求t的值；

（4）拋物線上是否存在一點(diǎn)F,使得以A、B、D、F為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？若存

在，直接寫出F點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，說明理由.

9Q

【答案】（1）拋物線的解析式為y=—3必+耳工+8；

,,30550

（2）t的值為一或一；

1113

（3）t的值為—或—或—；

3178

（4）符合條件的點(diǎn)F存在，共有兩個(gè)耳（4,8）,與（2+2J7,-8）.

【解析】

（1）由B、C兩點(diǎn)的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法可求得拋物線的解析式；（2）利用

AADE-△AOB和4AED-AAOB即可求出t的值；（3）過E作EH_Lx軸于點(diǎn)H,過D作

DMLAB于點(diǎn)M即可求出t的值；（4）分當(dāng)AD為邊時(shí)，當(dāng)AD為對角線時(shí)符合條件的點(diǎn)

F的坐標(biāo).

2

36a—24a+c=0a=—

解：（1）A（6,0）,B（0,8）,依題意知｛。，解得｛3,

c=8

c=8

28。

..y——x2—x+8.

33

(2)/A(6,0),B(0,8),0A=6,0B=8,AB=10,二AD=t,AE=10-2t,

ADAEt10-2?30

①當(dāng)△ADE-△AOB時(shí),—=------，..t=—；

~AO~AB61011

?AEAD10—27t50

②當(dāng)△AEDs△AOB時(shí)，——------=—,..t——

-AOAB61013

綜上所述，t的值為—或—.

1113

10

(3)①當(dāng)AD=AE時(shí),t=10-2t,

②當(dāng)AE=DE時(shí)，過E作EHJ_x軸于點(diǎn)H,貝!|AD=2AH,由△AEH-AABO得,

3(10-2/)6(10-2/)60

AH=

5517

3t

③當(dāng)AD=DE時(shí)，過D作DM_LAB于點(diǎn)M,則AE=2AM,由△AMD-△AOB得,AM=—,

5

25

.-.10-2z=—

5

綜上所述，t的值為一或—或—.

3178

⑷①當(dāng)AD為邊時(shí)，則BF)X軸，丁尸=%=8,求得x=4,二F(4,8)；

2Q

②當(dāng)AD為對角線時(shí)，則》=一%=一8,二一耳三+§工+8=-8,解得X=2±2療，

x>0,x—2+2^7,(2+2^7,-8).

綜上所述，符合條件的點(diǎn)F存在，共有兩個(gè)耳(4,8),與(2+2嶼，-8).

"點(diǎn)睛"本題考查二次函數(shù)綜合題、相似三角形等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)待定系數(shù)法確定

函數(shù)解析式，學(xué)會(huì)分類討論，用方程的思想解決問題，屬于中考壓軸題.

8.如圖1,在矩形ABCD中，OB=6,AD=3,在RtAPEF中，NPE尸=90。，EF=3,PF=

6,△PEF(點(diǎn)F和點(diǎn)A重合)的邊EF和矩形的邊AB在同一直線上.現(xiàn)將由△PE尸從A以

每秒1個(gè)單位的速度向射線方向勻速平移，當(dāng)點(diǎn)F與點(diǎn)B重合時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)

間為t秒，解答下列問題：

(1)如圖1,連接PD,填空：PE=,ZPFD=度，四邊形PE4。的面積

是;

(2)如圖2,當(dāng)PF經(jīng)過點(diǎn)。時(shí)，求△PEF運(yùn)動(dòng)時(shí)間t的值；

(3)在運(yùn)動(dòng)的過程中，設(shè)APEF與AABD重疊部分面積為S,請直接寫出S與t的函數(shù)關(guān)

系式及相應(yīng)的t的取值范圍.

p

【答案】（1）30。，上28；（2）6；（3）見解析.

2

【解析】

分析：（1）根據(jù)銳角三角形函數(shù)可求出角的度數(shù)，然后根據(jù)勾股定理求出PE的長，再根

據(jù)梯形的面積公式求解.

（2）當(dāng)PF經(jīng)過點(diǎn)D時(shí)，PEIIDA,由EF=3,PF=6,可得NEPD=NADF=30°,用三角函數(shù)計(jì)

算可得AF=t=G；

（3）根據(jù)題意，分三種情況：①當(dāng)國＜6時(shí)，②6蟲＜3時(shí)，③3如6時(shí)，根據(jù)三

角形、梯形的面積的求法，求出S與t的函數(shù)關(guān)系式即可.

詳解：（1）...在RtAPEF中，ZPEF=90°,EF=3,PF=6

ZP=30°

???PEIIAD

/.ZPAD=30°,

根據(jù)勾股定理可得PE=3百，

9+9

所以S四邊形PEAD=-X(373+3)x3=^；

22

(2)當(dāng)PF經(jīng)過點(diǎn)D時(shí)，PEIIDA,由EF=3,PF=6,得NEPF=NADF=30°,

在RtAADF中，由AD=3,得AF=6,所以

(3)分三種情況討論：

①當(dāng)0就＜石時(shí)，PF交AD于Q,AF=t,AQ=Gt,，S=gxtxGt=￥f；

②當(dāng)有康〈3時(shí)，PF交BD于K,作KH_LAB于H,；AF=t,=BF=3j^-t,SAABD=%^,

2

ZFBK=ZFKB,/.FB=FK=3^-t,KH=KFxsin600="后,；.S=SABD-SAFBK

A

2

_6產(chǎn)49t9石

------b-\1,

4---------2---------4

③當(dāng)時(shí)，PE與BD交0,PF交BD于K,AF=t,/.AE=t-3,BF=36-t,

9+3

BE=35t+3,OE=BExtan3Q0=-^^,…一路二更"生正.

31224

點(diǎn)睛：此題主要考查了幾何變換綜合題，用到的知識(shí)點(diǎn)有直角三角形的性質(zhì)，三角函數(shù)

值，三角形的面積，圖形的平移等，考查了分析推理能力，分類討論思想，數(shù)形結(jié)合思

想，要熟練掌握，比較困難.

9.如圖，菱形A8CD的邊長為20cm,NABC=120。，對角線AC,B。相交于點(diǎn)。，動(dòng)點(diǎn)P

從點(diǎn)A出發(fā)，以4cm/s的速度，沿的路線向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)；過點(diǎn)P作PQIIB。，與AC相

交于點(diǎn)Q,設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，0<t<5.

（1）設(shè)四邊形PQCB的面積為S,求S與t的關(guān)系式；

（2）若點(diǎn)Q關(guān)于。的對稱點(diǎn)為M,過點(diǎn)P且垂直于AB的直線/交菱形ABCD的邊AD

（或C。）于點(diǎn)M當(dāng)t為何值時(shí)，點(diǎn)P、M、N在一直線上？

（3）直線PN與AC相交于“點(diǎn)，連接PM,NM,是否存在某一時(shí)刻t,使得直線PN平分

四邊形AP/WN的面積？若存在，求出t的值；若不存在，請說明理由.

30

【答案】⑴S=-2G/+i0oG（0<t<5）；（2）一;⑶見解析.

【解析】

【分析】

（1）如圖工，根據(jù)S根AABC-SAAPQ,代入可得S與t的關(guān)系式;

（2）設(shè)PM=x,則AM=2x,可得AP=6x=4t,計(jì)算X的值，根據(jù)直角三角形30度角的性

St

質(zhì)可得AM=2PM=，^,根據(jù)AM=AO+OM,列方程可得t的值；

（3）存在，通過畫圖可知：N在CD上時(shí)，直線PN平分四邊形APMN的面積，根據(jù)面積

相等可得MG=AP,由AM=AO+OM,列式可得t的值.

【詳解】

解：（1）如圖1,,??四邊形ABCD是菱形，

1

/.ZABD=ZDBC=—ZABC=60°,AC±BD,

2

ZOAB=30°,

AB=20,

OB=10,AO=1073.

由題意得：AP=4t,

，PQ=2t,AQ=273t,

:S=SAABC-SAAPQ,

=^ACOB-^PQAQ,

=—x10x20^3--X2ZX2A/3?,

22

=-2V3t2+100V3（0<t<5）；

（2）如圖2,在RtAAPM中,AP=4t,

???點(diǎn)Q關(guān)于。的對稱點(diǎn)為M,

OM=OQ,

設(shè)PM=x,則AM=2x,

AP=73x=4t,

4t

8f

AM=2PM=-^,

■，-AM=AO+OM,

-^=1073+1073-273t,

30

t=T;

30

答：當(dāng)t為一秒時(shí)，點(diǎn)P、M、N在一直線上;

7

（3）存在，

如圖3,1,直線PN平分四邊形APMN的面積，

「?SAAPN=SAPMN,

過M作MG_LPN」于G,

-PNAP=-PNMG,

22

MG=AP,

易得△APH2△MGH,

8

AH=HM=~^t,

,/AM=AO+OM,

同理可知：OM=OQ=10百-273t,

16廠廠廠

—j^t=WyJ3=10^/3-2^/3t,

30

t=一.

11

30

答：當(dāng)t為近秒時(shí)，使得直線PN平分四邊形APMN的面積.

【點(diǎn)睛】

考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，對稱的性質(zhì)，三角形和四邊形的面積，二次根式的化簡

等知識(shí)點(diǎn)，計(jì)算量大，解答本題的關(guān)鍵是熟練掌握動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)所構(gòu)成的三角形各邊的關(guān)系.

10.在平面直角坐標(biāo)系中，我們定義直線y=ax-a為拋物線y=ax2+bx+c（a、b、c為常數(shù)，

axO）的“衍生直線"；有一個(gè)頂點(diǎn)在拋物線上，另有一個(gè)頂點(diǎn)在y軸上的三角形為其"衍生

三角形已知拋物線>=一辿/-逑x+2g與其"衍生直線"交于A、B兩點(diǎn)（點(diǎn)A

33

在點(diǎn)B的左側(cè)），與x軸負(fù)半軸交于點(diǎn)C.

（1）填空：該拋物線的“衍生直線”的解析式為，點(diǎn)A的坐標(biāo)為，點(diǎn)B的坐

標(biāo)為;

（2）如圖，點(diǎn)M為線段CB上一動(dòng)點(diǎn)，將△ACM以AM所在直線為對稱軸翻折，點(diǎn)C的

對稱點(diǎn)為N,若AAMN為該拋物線的"衍生三角形"，求點(diǎn)N的坐標(biāo)；

（3）當(dāng)點(diǎn)E在拋物線的對稱軸上運(yùn)動(dòng)時(shí)，在該拋物線的“衍生直線”上，是否存在點(diǎn)F,使

得以點(diǎn)A、C、E、F為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形？若存在，請直接寫出點(diǎn)E、F的坐標(biāo)；

若不存在，請說明理由.

【答案】⑴產(chǎn)一正x+空;（-2,2百）；（L0）;

33

（2）N點(diǎn)的坐標(biāo)為（0,26-3），（0,2月+3）;

-"、F(0,咨或E"逑)，F(xiàn)(4迪)

(3)E(-1,

3333

【解析】

【分析】

（1）由拋物線的"衍生直線"知道二次函數(shù)解析式的a即可；（2）過A作AD_Ly軸于點(diǎn)

D,則可知AN=AC,結(jié)合A點(diǎn)坐標(biāo)，則可求出ON的長，可求出N點(diǎn)的坐標(biāo)；（3）分別討

論當(dāng)AC為平行四邊形的邊時(shí)，當(dāng)AC為平行四邊形的對角線時(shí)，求出滿足條件的E、F坐

標(biāo)即可

【詳解】

（1）y=_2叵/一逑/a百，a=—2叵，則拋物線的“衍生直線”的解析式為

333

2732百

y=--------x+-------;

33

262473

---------x+2G

y=-------xx=-2[x=l

聯(lián)立兩解析式求交點(diǎn)《33解得《廠或《八

2732石[y=2y/3[y=0

y二------x+-------

33

A(-2,2-73)，B(1,0)；

（2）如圖1,過A作ADLy軸于點(diǎn)D,

在y=-2叵一士叵x+26中，令y=0可求得x=-3或x=l,

-33

C（-3,0）,且A（-2,273），

???AC=7（-2+3）2+（2A/3）2=V13

由翻折的性質(zhì)可知AN=AC=Jli，

?；△AMN為該拋物線的"衍生三角形”，

.N在y軸上，且AD=2,

在RtAAND中，由勾股定理可得

DN=VAN2-AD2=713^4=3，

OD=2A/3.

ON=2A/3-3或0N=2氐3，

..?N點(diǎn)的坐標(biāo)為（0,2G-3），（0,2A/3+3）;

圖1

（3）①當(dāng)AC為平行四邊形的邊時(shí)，如圖2,過F作對稱軸的垂線FH,過A作AK_Lx軸

于點(diǎn)K,則有ACUEF且AC=EF,

/.ZACK=NEFH,

在小ACK和小EFH中

ZACK=ZEFH

<ZAKC=ZEHF

AC=EF

△AC心△EFH,

FH=CK=1,HE=AK=273，

?；拋物線的對稱軸為x=-l,

二F點(diǎn)的橫坐標(biāo)為0或-2,

?點(diǎn)F在直線AB上，

二當(dāng)F點(diǎn)的橫坐標(biāo)為。時(shí)，則F（0,友）,此時(shí)點(diǎn)E在直線AB下方,

3

二E至!Jy軸的距離為EH-0F=2月-々8=勺8，即E的縱坐標(biāo)為-生8,

333

?E（一1,-逋）；

3

當(dāng)F點(diǎn)的橫坐標(biāo)為-2時(shí)，則F與A重合，不合題意，舍去；

②當(dāng)AC為平行四邊形的對角線時(shí)，

C（-3,0）,且A（-2,2A/3），

二線段AC的中點(diǎn)坐標(biāo)為（-2.5,5,

設(shè)E（-1,t）,F（X,y）,

則x-l=2x（-2.5）,y+t=2百，

?■x=-4,y=2-^3

25t=-^6x（-4）+空，解得t=-S叵，

■333

述）…叱）；

33

綜上可知存在滿足條件的點(diǎn)F,此時(shí)E(-1,-逑)、(。，手或E5

3

【點(diǎn)睛】

本題是對二次函數(shù)的綜合知識(shí)考查，熟練掌握二次函數(shù)，幾何圖形及輔助線方法是解決本

題的關(guān)鍵，屬于壓軸題

11.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=ax2+2ax-3a(a<0)與x軸相交于A,B兩

點(diǎn)，與y軸相交于點(diǎn)c,頂點(diǎn)為D,直線DC與X軸相交于點(diǎn)E.

(1)當(dāng)a=-l時(shí)，求拋物線頂點(diǎn)D的坐標(biāo)，0E等