中考數(shù)學(xué)專項(xiàng)復(fù)習(xí)：網(wǎng)格中的勾股定理（解析版）

專題05網(wǎng)格中的勾股定理

1.如圖，每個(gè)小正方形的邊長都是1.

⑴求四邊形的周長.

(2)求證：NBCD=9Q°.

【答案】⑴50+1

(2)見解析

【解析】

【分析】

(1)利用勾股定理分別求出/8、BC、CD,即可解決問題;

(2)利用勾股定理的逆定理即可證明；

(1)

AB=V22+42=V20=275

BC=24i

CD=S+12=小

AD=1

AB+BC+CD+AD=2yf5+2y/5+45+1

=575+1

(2)

如圖，連接50,貝I3/)2=32+42=25

又8C2+cz)2=20+5=25

：.BC2+CD2=AD2,

故/BCD=90°.

【點(diǎn)睛】

本題考查勾股定理、勾股定理的逆定理等知識，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識解決問題，屬于中

考常考題型.

2.如圖，在邊長為1的小正方形組成的網(wǎng)格中，四邊形N8CO的頂點(diǎn)均在格點(diǎn)上.

(1)直接寫出線段/C、CD、ND的長；

(2)求//CD的度數(shù)；

⑶求四邊形48co的面積.

【答案】⑴/。=2囪，CD=5AD=5

⑵乙4。=90。

⑶13

【解析】

【分析】

(1)根據(jù)勾股定理可求；

(2)根據(jù)勾股定理逆定理可判斷；

(3)由S四邊形ABCD=S*BC+^&ACD可求?

(1)

解：根據(jù)題意，得:

AC==J42+2。=2V5，

3=6+12=6,

AD=^2+42=5.

(2)

解：VAC2+C￡>2=(275)2+(V5)2=25=52=AD2.

：.ZACD=90°.

(3)

解：.S四邊/ABCD=S^BC+SMCD=5*4><4+2*Vsx2>/5=8+5=13.

【點(diǎn)睛】

本題考查了勾股定理及逆定理的應(yīng)用，熟練掌握勾股定理與逆定理是解題的關(guān)鍵.

3.如圖，每個(gè)小正方形的邊長都為1,四邊形/5CD的頂點(diǎn)都在小正方形的頂點(diǎn)上.

⑴求四邊形4BCD的面積與周長；

(2)NADC是直角嗎？請你說明理由.

【答案】⑴面積12.5,周長3指+3亞+后

(2)是，理由見解析

【解析】

【分析】

(1)根據(jù)四邊形ABCD的面積=S矩形EFGH-SAAEB-SABFC-SACGD-S^HD即可求出面積,

利用勾股定理分別求出各邊的長，將各邊的長相加即為周長；

(2)從圖中可知NC的長為5,利用(1)中已求出的CD的長，根據(jù)勾股定理進(jìn)行判斷.

(1)

解:

四邊形ABCD的面積=S矩形EFGH-S^AEB-SABFC-SACGD-S^AHD

=5x5——x3x3——x2x3——x2x4——xlx2

2222

9

=25---3-4-l

2

=12.5

■.AB=V32+32=372.

BC=V22+32=V13；

CD=抄+不=275.

AD=A/12+22=V5.

.：四邊形ABCD的周長=/8+8C+CD+AD

=3a+屈+2百+百

=3V2+3>/5+V13

(2)

/4DC是直角，理由如下：

?/AD=45,CD=245,4c=5

AD1+CD1=(V5)2+(2可=25=AC2

.?.△4DC是直角三角形，/4DC是直角.

【點(diǎn)睛】

本題考查了用大面積減小面積求面積和勾股定理，熟練掌握直角三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

4.如圖，6x6網(wǎng)格中每個(gè)小正方形的邊長都為1,點(diǎn)/,點(diǎn)3均為網(wǎng)格上的格點(diǎn).

(1)/3=.

(2)若格點(diǎn)上存在點(diǎn)C,使//C8=90。，請?jiān)趫D中標(biāo)出所有滿足條件的格點(diǎn)C.

廠一廠一廠一「一「一一I

IIIIIII

「一廠-r-「一「-「??

【答案】(1)5

(2)見詳解

【解析】

【分析】

(1)利用勾股定理進(jìn)行計(jì)算即可；

(2)由網(wǎng)格圖的特點(diǎn)顯然D/G3=90°,再利用勾股定理的逆定理證明

SAC2B^SAC3B=90°,從而可得答案.

(1)

解：由勾股定理可得：AB=^32+42=5,

故答案為：5

⑵

如圖所示

理由：顯然可。避二90。，

2222

QAC2=V2+4=275,BC2=71+2=75,而』8=5,

\ACl+BCf=AB2,

\SAC2B=90°,

同理可得：QAC3B=SAC4B=90°.

【點(diǎn)睛】

本題考查的是勾股定理，勾股定理的逆定理的應(yīng)用，二次根式的化簡，熟練的運(yùn)用勾股定理的逆定

理證明直角三角形是解本題的關(guān)鍵.

5.如圖，在所給網(wǎng)格圖（每小格均為邊長是1的正方形）中完成下列各題：

（1）畫出格點(diǎn)△NBC關(guān)于直線/對稱的（要求：/與小，B與B”C與。相對應(yīng)）

（2）在直線/上畫出點(diǎn)尸，使P8+PC的值最小，且這個(gè)最小值為.

【答案】（1）作圖見解析；（2）這個(gè)最小值為廂.

【解析】

【分析】

（1）利用軸對稱的性質(zhì)分別作出A,B,C的對應(yīng)點(diǎn)4，Bx,G，然后連接起來即可.

（2）連接C4交/于點(diǎn)尸，根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短，點(diǎn)p即為所求，利用勾股定理和結(jié)合圖形，即

可得到PB、+PC=CB、=V22+32=V13.

【詳解】

解：（1）如圖，△48?即為所求，其中4與4重合.

如圖示，連接交/于點(diǎn)尸，點(diǎn)P即為所求,

理由如下：與均是對應(yīng)點(diǎn)，

/.PB=PBl,

：.PB+PC=PB'+PC,兩點(diǎn)之間線段最短，點(diǎn)P即為所求

PB'+PC=CB、=V22+32=V13.

【點(diǎn)睛】

本題考查作圖-軸對稱變換，兩點(diǎn)之間線段最短等知識，掌握軸對稱的性質(zhì)，正確作出圖形，是解

題的關(guān)鍵.

6.如圖，在4x4的正方形網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的邊長都為1.

(1)求ZU2C的周長；

(2)求證：ZABC=90°；

(3)若點(diǎn)P為直線/C上任意一點(diǎn)，則線段8P的最小值為.(直接填寫結(jié)果)

【答案】(1)3指+5；(2)見詳解；(3)2.

【解析】

【分析】

(1)運(yùn)用勾股定理求得/瓦3c及/C的長，即可求出A43C的周長.

(2)運(yùn)用勾股定理的逆定理求得NC2=/82+BC2,得出NN5C=90。.

(3)過5作2PL/C,然后利用三角形的面積公式，即可求出面積.

【詳解】

解：(1)/8=”2+22=26，BC2+f=#,AC”+3?=5,

AABC的周長=2用退+5=3用5,

(2)-：AC2=25,AB2=10,302=5,

：.AC2=AB2+BC2,

：.ZABC=90°.

(3)過8作如圖：

,?AABC的面積=，小3。=j-AC-BP,

gp-x2V5xV5=-x5xSP,

22

解得AP=2,

故答案為：2

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了勾股定理及勾股定理的逆定理，熟記勾股定理是解題的關(guān)鍵.

7.如圖，在4x5的網(wǎng)格中，最小正方形的邊長為1,4瓦。,。均為格點(diǎn)(最小正方形的頂點(diǎn)).

(1)如圖1,在網(wǎng)格中畫出一個(gè)以48為一邊且與ANBC全等的格點(diǎn)三角形，A/8C的面積為

(2)如圖2,在線段48上畫出一點(diǎn)P,使CP+PD最小，其最小值為

【答案】(1)畫圖見解析，3；(2)5

【解析】

【分析】

(1)利用翻折，軸對稱尋找全等三角形即可，再利用三角形面積公式計(jì)算.

(2)作點(diǎn)。關(guān)于48的對稱點(diǎn)連接交N3于尸，連接尸。，此時(shí)PC+PD的值最小.

【詳解】

解：(1)如圖1中，\ABD,MBD',AABD”即為所求,

AABC的面積為！X3X2=3.

2

(2)如圖2中，點(diǎn)P即為所求.

PC+PD的最小值=732+42=5.

【點(diǎn)睛】

本題考查作圖-應(yīng)用與設(shè)計(jì)，全等三角形的判定，勾股定理等知識天的關(guān)鍵是熟練掌握科基本知識,

屬于中考?？碱}型.

8.如圖，在小正方形的邊長為1的正方形網(wǎng)格中，點(diǎn)48在格點(diǎn)上.

(1)線段22的長是；

13

(2)在網(wǎng)格中用無刻度的直尺，以N2為邊畫矩形NBCD,使這個(gè)矩形的面積是萬(要求保留畫圖

痕跡).

【答案】(1)而

(2)答案見解析

【解析】

【分析】

(1)根據(jù)勾股定理進(jìn)行計(jì)算即可；

13

(2)由(1)可知，以為邊長的正方形面積為13,畫矩形N3CD,使這個(gè)矩形的面積是萬，

即將正方形一分為二即可.

(1)

解：由圖可知，

利用勾股定理可得AB=^22+32=屈.

故答案為：V13.

⑵

解如圖，根據(jù)網(wǎng)格先畫出以42為邊的正方形再畫出4x6格對角線E/，E尸交8”和NG

于點(diǎn)C和。，所以四邊形/BCD是以為邊的矩形，這個(gè)矩形的面積是巫、巫=上.

22

所以矩形即為所求.

【點(diǎn)睛】

本題考查了勾股定理求邊長，正方形的性質(zhì)以及垂直平分線的性質(zhì)，解決第二問的關(guān)鍵是找到矩形

面積和正方形面積的關(guān)系.

9.如圖，在長度為1個(gè)單位長度的小正方形組成的正方形網(wǎng)格中，點(diǎn)/、8、C在小正方形的頂點(diǎn)

上.

(1)在圖中畫出與A42C關(guān)于直線/成軸對稱的ATBC，；

(2)在直線/上找一點(diǎn)P,使P8+PC的和最小，并算出這個(gè)最小值.

【分析】

(1)直接利用軸對稱圖形的性質(zhì)得出對應(yīng)點(diǎn)位置進(jìn)而得出答案；

(2)直接利用軸對稱求最短路線求法得出尸點(diǎn)位置，然后根據(jù)勾股定理求解.

【詳解】

解：(1)如圖所示：AA'B'C,即為所求；

(2)如圖所示：點(diǎn)尸即為所求.

【點(diǎn)睛】

此題主要考查了軸對稱變換，最短路徑求法，以及勾股定理等知識，正確得出對應(yīng)點(diǎn)位置是解題關(guān)

鍵.

10.如圖，正方形網(wǎng)格中的每個(gè)小正方形的邊長都是1,每個(gè)小格的頂點(diǎn)叫做格點(diǎn).

圖1圖2圖3

(1)在圖1中以格點(diǎn)為頂點(diǎn)畫一個(gè)面積為6的平行四邊形.

(2)在圖2中以格點(diǎn)為頂點(diǎn)畫一個(gè)三角形，使三角形三邊長分別為2、石、歷.

(3)如圖3,點(diǎn)/、B、C是小正方形的頂點(diǎn)，求N/8C的度數(shù).

【答案】(1)見解析

(2)見解析

(3)45°

【解析】

【分析】

(1)(2)利用數(shù)形結(jié)合的思想解決問題即可.

(3)連接/C,證明△NC8是等腰直角三角形即可.

(1)

解：平行四邊形/BCD即為所求，如圖所示：

⑵

△ABC即為所求.

(3)

連接/C,如圖所示:

A

C

??,正方形網(wǎng)格中的每個(gè)小正方形的邊長都是1,由勾股定理得，

AC=J10,BC=J10,AB=2-^5，

：.AC2+BC2=l0+\0=20=AB2,

，△NBC為直角三角形，N/C8=90。，

Xv^c=sc=VTo

...△/8C為等腰直角三角形，

/4BC=NCAB=45。.

【點(diǎn)睛】

本題考查作圖-應(yīng)用與設(shè)計(jì)，勾股定理以及逆定理，平行四邊形的判定和性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵

是熟練掌握基本知識，屬于中考?？碱}型.

11.如圖，是由49個(gè)邊長為1的小正方形組成的7x7的正方形網(wǎng)格，小正方形的頂點(diǎn)為格點(diǎn)，點(diǎn)

0、M、N均在格點(diǎn)上.

（圖1）（圖2）

⑴直接寫出＜W=；

（2）點(diǎn)E在圖（1）網(wǎng)格中的格點(diǎn)上，且VOME是以。為頂角頂點(diǎn)的等腰三角形，則滿足條件的點(diǎn)E

有個(gè)，并在圖（1）中標(biāo)出；

（3）請?jiān)谌鐖D所示圖（2）的網(wǎng)格中，用無刻度的直尺作出NMON的角平分線,并保留作圖痕跡，并

加以證明.

【答案】（1）5

（2）3,圖見解析

(3)圖見解析，證明見解析

【解析】

【分析】

(1)利用勾股定理求解即可；

(2)根據(jù)等腰三角形的定義以及題目要求作出圖形即可；

(3)取格點(diǎn)/、8,使4W=1,NB=\,OB=5,連接8M、AN交手點(diǎn)、C,作射線OC,射線OC即為

所求；理由根據(jù)題意可得四邊形為平行四邊形，從而得到CM=C2,可證得

OCB,即可求解.

(1)

解：OM=y/ON2+MN2=V42+32=5：

故答案為：5

(2)

解：如圖，滿足條件的點(diǎn)E由3個(gè)，點(diǎn)￡,E',E〃即為所求的點(diǎn)；

理由：根據(jù)題意得：

OE=OE"=5,OEJ"”=5,

/.OE=OM,OE'=OM,OE"=OM,

.?.△。瓦彼。。夕初。?！昙泳且?。為頂角頂點(diǎn)的等腰三角形；

故答案為：3

(3)

解如圖，取格點(diǎn)/、B,使NM=1,NB=\,連接3M、AN交于點(diǎn)、C,作射線OC,射線OC即為所

求;

理由如下：

根據(jù)題意得/M=aV=l,AM//BN,

四邊形/用W為矩形，

：.MC=BC,

"：OB=OM=5,OC=OC,

:.AOCM絲/\OCB,

：.ZCOM=ZCOB,即0c是ZMON的角平分線.

【點(diǎn)睛】

本題考查作圖一應(yīng)用與設(shè)計(jì)作圖，平行四邊形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理

等知識，解題關(guān)鍵是學(xué)會(huì)利用數(shù)形結(jié)合的思想解決問題，屬于中考?？碱}型.

12.如圖，是一個(gè)17x6的網(wǎng)格圖，圖中已畫出了線段和線段EG,其端點(diǎn)4B,E,G均在小

正方形的頂點(diǎn)上，請按要求畫出圖形并計(jì)算：

⑴畫出以N8為邊的正方形ABCD,

(2)畫一個(gè)以EG為一條對角線的菱形EFG”(點(diǎn)尸在EG的左側(cè))，且面積與(1)中正方形的面積

相等；

(3)在(1)和(2)的條件下，連接CF,DF,請直接寫出△(7￡)廠的周長.

【答案】(1)見解析

(2)見解析

(3)AC￡>F的周長為2+2a+26.

【解析】

【分析】

(1)直接利用正方形的性質(zhì)得出符合題意的圖形；

(2)直接利用菱形的性質(zhì)結(jié)合正方形面積得出符合題意的圖形;

(3)直接利用網(wǎng)格的結(jié)構(gòu)特征和勾股定理得出答案.

(1)

解：如圖所示，正方形/BCD即為所求；

(2)

解：如圖所示，菱形EFG7?即為所求；

S正方形ABCD=；X4x4=8,S菱形EFGH=；X8X2=8，

S正方形ABCD=S菱形EFGH；

(3)

解：:由勾股定理可得，0)=272-DF=2y/5,而C尸=2,

叢CDF的周長=2+272+275.

【點(diǎn)睛】

此題主要考查了應(yīng)用設(shè)計(jì)與作圖以及正方形、菱形的性質(zhì)，正確應(yīng)用正方形、菱形的性質(zhì)，首先要

理解題意，弄清問題中對所作圖形的要求，結(jié)合對應(yīng)幾何圖形的性質(zhì)和基本作圖的方法作圖.

13.在學(xué)習(xí)了勾股定理后，數(shù)學(xué)興使小組在江老師的引導(dǎo)下，利用正方形網(wǎng)格和勾股定理運(yùn)用構(gòu)圖

法進(jìn)行了一系列探究活動(dòng)：

（1）在A48C中，AB、BC、NC三邊的長分別為石、M、用,求A4BC的面積.如圖1,在正

方形網(wǎng)格（每個(gè)小正方形的邊長為1）中，畫出格點(diǎn)A/BC（即AZBC三個(gè)頂點(diǎn)都在小正方形的頂

點(diǎn)處），不需要求A/8C的高，借用網(wǎng)格就能計(jì)算出它的面積，這種方法叫做構(gòu)圖法.則A/BC的面

積為.

（2）在平面直角坐標(biāo)系中，①若點(diǎn)/為仁口卜點(diǎn)臺為?、桑瑒t線段月8的長為；②若

點(diǎn)/為（七,匕），點(diǎn)8為（入2，匕），則線段N8的長可表示為:

（3）在圖2中運(yùn)用構(gòu)圖法畫出圖形，比較大?。呵?1（填或“<”）；

（4）若A48c三邊的長分別為，9川+16/、J機(jī)2+9丑、Cm>0,n>0.且機(jī)力〃），請

在如圖3的長方形網(wǎng)格中（設(shè)每個(gè)小長方形的長為機(jī)，寬為”），運(yùn)用構(gòu)圖法畫出AZBC,并求出它

的面積（結(jié)果用加，〃表示）.

【答案】⑴]

⑵①5；

②j（Xl-X2）2+（%-%）2

（3）<

C13

（4）邑/g=彳加"

【解析】

【分析】

（1）利用構(gòu)圖法求出的面積，即可求解；

（2）①利用勾股定理，即可求解；②類比①的方法，即可求解；

（3）構(gòu)造出三邊長分別為瓦，塢,1的三角形，即可求解；

222

（4）先畫出三邊長分別為,9加2+16〃2、yjm+9n-+?的△4BC,再利用構(gòu)圖法求解,

即可求解.

(1)

1117

角麻AABC的面積為3X3—5x3x1—]x2xl—JX3X2=5；

7

故答案為：—

(2)

解:①42=一1一3)2+(2-5)2="、32=5;

故答案為：5；

②線段AB的長可表示為府二了1Gm；

故答案為：，(再一工2『+(必一%)2

(3)

解：如圖，

根據(jù)題意得：DE=A/32+12=V10?DF-\J22+12=V5?EF=1,

/.DF+EF=#+1,

9：DF+EF>DE,

AVTO<V5+1;

故答案為：v

⑷

解：解：如圖，AB=J（3m）2+（4〃『=19nl2+16/，BC=不疝+（3〃『=y/m2+9n2，

AC=Q（4m）2+幾2—J16冽2+幾2,

C,/1r/1r1/13

SADr=4mx4〃--x3m-4H——xm-3n---x4m?n=—mn

B

本題屬于幾何變換綜合題，考查了三角形的面積，勾股定理等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)利用數(shù)形結(jié)

合思想解決問題，學(xué)會(huì)用轉(zhuǎn)化的思想解決問題，屬于中考常見題，

14.己知：在6x6的正方形網(wǎng)格中，每一個(gè)小正方形的邊長為1個(gè)單位長度.

圖1圖2

(1)【背景呈現(xiàn)】如圖1,點(diǎn)B,C都在格點(diǎn)上，直接寫出/A4c的度數(shù).

(2)【問題解決】如圖2,點(diǎn)/,B,C,。都在格點(diǎn)上，AB與CD交于點(diǎn)E,求/ABC的度數(shù).

(3)【拓展應(yīng)用】如圖3,點(diǎn)2都在格點(diǎn)上，點(diǎn)C在格線上，若/BAC=45°,求線段2c的長

度.

【答案】⑴/R4C=45°

(2)ZAEC=45°

⑶8c=2.5

【解析】

【分析】

(1)連接2C,運(yùn)用勾股定理求出BC,/C的長，判斷AA8C是等腰直角三角形即可得出結(jié)論

(2)過點(diǎn)/作/F//C。，且/尸=CD,則=連接EB,證明。所是等腰直角三角形即

可；

(3)延長/C交格點(diǎn)于點(diǎn)。，連接8。，可證明A48。是等腰直角三角形，根據(jù)$澳如=$雙g+5兇8

可求出5c的長.

(1)

連接8C,如圖,

?.?每一個(gè)小正方形的邊長為1個(gè)單位長度，

/.AB2=22+12=5,BC2=22+l2=5,^C2=32+l2=10,

AAB2+BC2=AC2,S.AB=BC,

A45C是等腰直角三角形，

ZBAC=45°；

⑵

如圖，過點(diǎn)/作4F7/CD,且/尸=8,則乙4EC=NE4B,連接尸5,

由勾股定理得，AF2=32+12=10,5F2=32+12=1Q,AB2=42+22=20,

AF2+BF2=AB2,且/尸=BF

/.MB尸是等腰直角三角形，

ZBAF=45°,

NAEC=45°；

(3)

延長/C交格點(diǎn)于點(diǎn)。，連接5Z),

由勾股定理得，AF-=32+12=10,5￡>2=32+12=10,^D2=42+22=20,

?*-AB2+BD2=AD2,且”=

/.A48。是等腰直角三角形，

SABC=-AB-5JD=-xV10xVw=5,

又ARC

SAABC=-2BC-23+-BC\=2BC,

23c=5,

/.8c=2.5

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了勾股定理，勾股定理逆定理，平行線的性質(zhì)等知識，正確作圖是解答本題的關(guān)

鍵.

15.閱讀探究

小明遇到這樣一個(gè)問題在AZBC中，已知48,BC,/C的長分別為囪，回,而'，求

的面積.

小明是這樣解決問題的：如圖1所示，先畫一個(gè)正方形網(wǎng)格（每個(gè)小正方形的邊長為1）,再在網(wǎng)格

中畫出格點(diǎn)A/BC（即A/8C的3個(gè)頂點(diǎn)都在小正方形的頂點(diǎn)處），從而借助網(wǎng)格就能計(jì)算出A/8C

的面積.他把這種解決問題的方法稱為構(gòu)圖法，

（1）圖1中的面積為

圖2

實(shí)踐應(yīng)用

參考小明解決問題的方法，回答下列問題:

（2）圖2是一個(gè)6x6的正方形網(wǎng)格（每個(gè)小正方形的邊長為1）.

①利用構(gòu)圖法在答題卡的圖2中畫出三邊長分別為瓦，2亞,屈的格點(diǎn)A。斯.

②ADEF的面積為（寫出計(jì)算過程）.

拓展延伸

（3）如圖3,已知APQR,以尸0,P&為邊向外作正方形尸和正方形PRDE,連接E尸.若

PQ=242,PR=A,QR=y/V7,則六邊形/0尺。跖的面積為（在圖4中構(gòu)圖并填

空）.

圖4

7

【答案】（1）（2）①作圖見詳解；②8；（3）在網(wǎng)格中作圖見詳解；31.

【解析】

【分析】

（1）根據(jù)網(wǎng)格可直接用割補(bǔ)法求解三角形的面積；

（2）①利用勾股定理畫出三邊長分別為內(nèi)、2石、后,然后依次連接即可；②根據(jù)①中圖形,

可直接利用割補(bǔ)法進(jìn)行求解三角形的面積；

(3)根據(jù)題意在網(wǎng)格中畫出圖形，然后在網(wǎng)格中作出產(chǎn)"=尸。，EH=RQ,進(jìn)而可得

APQR^PHE,得出=進(jìn)而利用割補(bǔ)法在網(wǎng)格中求解六邊形的面積即可.

【詳解】

1117

解：(1)。的面積為：3x3—x1x3—x2x1—x3x2=—,

2222

7

故答案為：—；

(2)①作圖如下(答案不唯一)：

(2)ADEF的：4x5—-x2x3——x4x2——x2x5=8,

故答案為：8；

PH=PQ

<EH=RQ,

PE=PR

:.APQR%PHE,

??.PF=PH,

?v=s—v

…Q^PEF-Q&PEH-Q^PQR，

???六邊形AQRDEF的面積=正方形PQAF的面積+正方形PRDE的面積+2△尸防的面積

=（2血『+（舊『+2x^4x3-1x4xl-|x2x2-|x2x3j=31,

故答案為：31.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查勾股定理、正方形的性質(zhì)、割補(bǔ)法求解面積及二次根式的運(yùn)算，熟練掌握勾股定理、

正方形的性質(zhì)、割補(bǔ)法求解面積及二次根式的運(yùn)算是解題的關(guān)鍵.

16.（1）問題背景：

在中，AB、BC、/C三邊的長分別為若、回、回,求這個(gè)三角形的面積.小明同學(xué)

在解答這道題時(shí)（每個(gè)小正方形的邊長為1）再在網(wǎng)格中畫出格點(diǎn)（即三個(gè)頂點(diǎn)都在

小正方形的頂點(diǎn)處），如圖①所示，而借用網(wǎng)格就能計(jì)算出它的面積，請你求出圖①中的面

積；

（2）嘗試運(yùn)用

我們把上述求三角形面積的方法叫做構(gòu)圖法.若A0E尸三邊的長分別為石.、2亞"（。>0）

（每個(gè)小正方形的邊長為。）畫出相應(yīng)的ADM,并求出它的面積；

（3）拓展創(chuàng)新：

若△MAP三邊的長分別為而了荷、,9加+4“2、2娠+〃2?！?gt;0,〃>0,且機(jī)力〃），試運(yùn)

用構(gòu)圖法求出△腦VP的面積.

圖①圖②圖③

【答案】（1）3.5；（2）圖見解析，3a2；（3）5mn

【解析】

【分析】

（1）利用割補(bǔ)法求解可得；

（2）石。是直角邊長為a,2a的直角三角形的斜邊；是直角邊長為2a,2a的直角三角形的

斜邊；是直角邊長為a,4a的直角三角形的斜邊，把它整理為一個(gè)長方形的面積減去三個(gè)直

角三角形的面積；

（3）結(jié)合（1）易得此三角形的三邊分別是直角邊長為孫4〃的直角三角形的斜邊；直角邊長為

3m,2〃的直角三角形的斜邊；直角邊長為2m，2"的直角三角形的斜邊.

【詳解】

解：(1)問題背景：

=3x3-1xlx2-|xlx3-1x2x3=3.5；

(2)嘗試運(yùn)用:

2

SACKS'=2。x4?！猘x2a——x2。x2?！猘x4a=3。；

ADEF222

(3)拓展創(chuàng)新：

構(gòu)造△ACVP如圖所示，

6/7

SAMNP=3mx4/7--xMZx4?-—x3/wx2zz--x2mxIn=5機(jī)〃.

【點(diǎn)睛】

此題主要考查了勾股定理應(yīng)用，利用了數(shù)形結(jié)合的思想，通過構(gòu)造直角三角形，利用勾股定理求解

是解題關(guān)鍵.

17.琪琪是一個(gè)愛動(dòng)腦筋的孩子，她學(xué)完勾股定理后，又進(jìn)行了深入的探究:

(1)如圖，請觀察圖形找出力+/與c?的關(guān)系：圖1中，a2+b2c2;圖2中，a2+b2

c2.這樣，我們就猜想出了鈍角三角形和銳角形中三邊之間的關(guān)系.

(2)請你直接應(yīng)用發(fā)現(xiàn)的結(jié)論當(dāng)A48c三邊長分別為6,8,9時(shí)，AABC為三角形當(dāng)"BC

三邊長分別為6,8,11時(shí)，AABC為三角形.

(3)請你根據(jù)琪琪的猜想完成下面的問題當(dāng)°=2,6=4時(shí)，最長邊c在什么范圍內(nèi)取值時(shí)，“BC

【答案】(1)<；>;(2)銳角，鈍角；(3)4<c<2V5,A/BC是銳角三角形2正<c<6,^ABC

是鈍角三角形.

【解析】

【分析】

(1)以。、6、c為邊長的正方形，計(jì)算出每個(gè)正方形的面積，比較大小即可得出結(jié)論.

(2)若/+62>°2,則AZBC為銳角三角形；若,則為鈍角三角形；依據(jù)這個(gè)

結(jié)論進(jìn)行判斷.

(3)對第二小題結(jié)論的逆運(yùn)用，結(jié)合三角形三邊關(guān)系，計(jì)算不等式得出答案.

【詳解】

解：(1)圖1中，?？梢钥醋魇侵苯侨切蔚男边叄瑑蓷l直角邊都是2,根據(jù)勾股定理得出：

22+22=?2,邊長為。的正方形面積為：a2=8;

邊長為b的正方形面積是：/=3?=9；

c可以看作是直角三角形的斜邊，兩條直角邊是2、5,根據(jù)勾股定理得出：22+52=C2,邊長為。

的正方形面積為：c2=29；

????2+^2=8+9=17；17<29,

a2+b2<c2.

圖2中，?？梢钥醋魇侵苯侨切蔚男边?，兩條直角邊是1、2,根據(jù)勾股定理得出：l2+22=a2

邊長為。的正方形面積為：?2=5;

6可以看作是直角三角形的斜邊，兩條直角邊都是2,根據(jù)勾股定理得出：22+22=b2,邊長為6

的正方形面積是：b2=8；

邊長為。的正方形面積為：C2=32=9；

22

???fl+Z>=5+8=13；13>9,

a2+b2>c2■

（2）在上一小題中我們發(fā)現(xiàn)，三角形最長的邊為4

若,貝UA/BC為銳角三角形；

62+82>92,是銳角三角形：

若/+/<02,貝UA/BC為鈍角三角形；

62+82<112,是鈍角三角形.

（3）???c為最長邊，；.c>4:

又：三角形三邊符合a+6>c,c<6；

是銳角三角形，a2+b2>c2,

將a=26=4代入，22+42>C2,c2<20,c<2石；

的取值范圍是：4<c<26時(shí)，是銳角三角形；

△/8C是鈍角三角形，則/+/<c2,

將a=26=4代入，2?+42<C2,c2>20,

0275

。的取值范圍是：2后<c<