重慶市烏江新高考協(xié)作體2025屆高三年級上冊高考質(zhì)量調(diào)研數(shù)學(xué)試卷含解析

重慶市烏江新高考協(xié)作體2025屆高考質(zhì)量調(diào)研（二）

數(shù)學(xué)試題

（分?jǐn)?shù)：150分，時間：120分鐘）

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是

符合題目要求的.

1.由1,2,3抽出一部分或全部數(shù)字所組成的沒有重復(fù)數(shù)字的自然數(shù)集合有（）個元素

A.15B.16C.17D.18

【答案】A

【解析】

【分析】根據(jù)取出的數(shù)字個數(shù)進(jìn)行分類，每一類中一一列舉出來計數(shù)即可.

【詳解】只取一個元素組成的沒有重復(fù)數(shù)字的自然數(shù)：共3個；

只取兩個元素組成的沒有重復(fù)數(shù)字的自然數(shù)：有12,21,13,31,23,32共6個；

取三個元素組成的沒有重復(fù)數(shù)字的自然數(shù)：有123,132,213,231,312,321共6個；

共有3+6+6=15種方法，即由1,2,3抽出一部分或全部數(shù)字所組成的沒有重復(fù)數(shù)字的自然數(shù)集合有15

個元素，

故選：A.

2.若直線y=2尤是曲線/（x）=x（e2，-"的切線，則”=（）

A.—eB.—1C.1D.e

【答案】B

【解析】

【分析】利用導(dǎo)數(shù)，根據(jù)切點及切線的斜率求得正確答案.

【詳解】/(x)=x(e^-a),f(x)=(l+2x)e2x-a,

依題意，直線y=2x是曲線/'卜）=》佇-4的切線,

)=fe"=(2+

設(shè)切點為&2，），貝卜

(l+2t)e2,-a=2(l+2f)e"=2+a

通過對比系數(shù)可得(1+2。f=/,2/=0j=0,則a=—1.

故選：B

1+cos2a

3.已知tana=2,則)

sin2a

A.3C.2D.

2

【答案】D

【解析】

【分析】應(yīng)用二倍角余弦公式及二倍角正弦公式計算再結(jié)合同角三角函數(shù)關(guān)系求解.

,1+cos2a2cos2a11

【評解】-----------=-------------=------=—■

sin2a2sinacosatana2

故選：D.

4.若4（1,0）,B（o,b）,C（—2,—2）三點共線，則》=（）

2323

A——B.——C.-D.-

3232

【答案】A

【解析】

【分析】利用共線向量的性質(zhì)，設(shè)衣=2荏且400,進(jìn)而列方程求解.

【詳解】?.?4瓦。三點共線，...恁=4通且?guī)住?,

2=3

-2-1=2(0-1)

得《解得L2

[-2-0=43-0)b=——

I3

故選：A.

5.《九章算術(shù)》中有“勾股容方”問題：“今有勾五步，股十二步.問：勾中容方幾何？”魏晉時期數(shù)學(xué)家劉

徽在《九章算術(shù)注》中利用出入相補原理給出了這個問題的一般解法：如圖1,用對角線將長和寬分別為

6和。的矩形分成兩個直角二角形，每個直角三角形再分成一個內(nèi)接正方形（黃）和兩個小直角三角形

（朱、青）將三種顏色的圖形進(jìn)行重組，得到如圖2所示的矩形，該矩形長為。+》，寬為內(nèi)接正方形的

邊長d.由劉徽構(gòu)造的圖形可以得到許多重要的結(jié)論，如圖3,設(shè)。為斜邊3C的中點，作直角三角形

ABC的內(nèi)接正方形對角線AE,過點A作于點E則下列推理正確的是（）

圖1圖2圖3

CZ-*

A,由圖1和圖2面積相等得d=」一B.由AENAF可得

a+b

了+/、2

C.由ADNAE可得N-2—―fD.由ADAAF可得a，+Z?2之a(chǎn)+Z?

ab

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)圖1,圖2面積相等,可求得d的表達(dá)式,可判斷A選項正誤，由題意可求得圖3中AD,AE,AF

的表達(dá)式，逐一分析B、C、D選項，即可得答案

【詳解】對于A,由圖1和圖2面積相等得a〃=(a+〃)xd,所以〃=看，故A錯誤;

對于B,因為所以^xaxb=1:/+/xAF,所以十』=1rb,,

22Ja"+b2

AE=6d=2

a+Z?

因為所以粵'潦*'整理得尸故B錯誤;

對于C,因為。為斜邊BC的中點，所以

2

//+/、2

因為ADNAE,所以“、叵2

，整理得丁萬故C正確;

2a+b----1---

ab

對于D,因為AD2AF,所以'Y+"之",整理得力+^22瓦,，故D錯誤.

2，/+/

故選：C.

6.已知設(shè)z=%+yi(x,ywR),則|(%—3)+(y+3)i|=2,則|z+l|的最小值為()

A.3B.4C.5D.6

【答案】A

【解析】

【分析】先求得復(fù)數(shù)z實部與虛部的關(guān)系，再去求|z+l|的最小值即可解決.

ccx=2coscif+3

【詳解】由|(x—3)+(y+3)i|=2,可得(X—3)2+(y+3)2=4,可令1°..,

y=2sina-3

則|z+11=J(x+1)2+/=^(2cosdZ+4)2+(2sintz-3)2

=V29+16cos?-12sincr=，29+20sin(0一0(。為銳角，且tan0=g)

由一l<sin(。一。)<1,可得3W,29+2Osin(0-0W7

則|z+l|的最小值為3.

故選：A

7.若數(shù)列｛4｝為正項等比數(shù)列，4=1，數(shù)列也“｝為公差為6,首項為1的等差數(shù)列，則數(shù)列｛。/,｝前5

項和的最小值為()

187167147

A.---B.---C.---D.65

444

【答案】A

【解析】

179,,

【分析】由已知可得+%人2+%”3+。404+。5”5=^bl3+19q+25q,利用導(dǎo)數(shù)可求其最小值.

-qq

【詳解】因為數(shù)列｛2｝為公差為6,首項為1的等差數(shù)列，

所以4=1,d=7,4=13,仇=19,4=25,

若數(shù)列｛%｝為正項等比數(shù)列，%=1，設(shè)公比為鄉(xiāng)，

112

則二—y，02=一,%二%%=9，

qq

所以數(shù)列｛〃〃％｝前5項和為+。2b2+。3”3+〃404+a5b5~~F13+1%+25/，

設(shè)丁=4+工+13+19q+25/，求導(dǎo)可得y=W_4+]9+50g=27g++50^,

qqqqq

令g(q)=-2-7q+19/+50^4,可得g'(q)=-7+57^+200/,

,,,、1,?_3.QCCC/3、3—7000+5130+5400?

g(q)x在(zn0,+co)上增函數(shù)，又g'(q)=-7+57x(——)-+200x(——)-=------------------>0,

10101000

33

當(dāng)我三時，g\q)>G,所以g⑷在目,+oo)上為增函數(shù)，

X^(1)=-2-7X1+19X(1)3+50X(1)4=0,

3I

所以當(dāng)qe（正，5）,y'<0,,y>o,

,,一一c1925187

所cr以Vmin=4+14+13+y+—=—

31710070427187

^.e(0,-),y=7+-+13>v+-+13=v>—

187

所以則數(shù)列｛anbn｝前5項和的最小值為—.

故選：A.

21

8.設(shè)tan0.21,Z?=lnl.21,c-一,則下列大小關(guān)系正確的是（)

22

A.b<c<aB.b<a<cC.c<a<bD.c<b<a

【答案】B

【解析】

7T

【分析】首先通過構(gòu)造函數(shù)得到當(dāng)…J時，tanxx,再通過構(gòu)造函數(shù)

71

/(x)=%—ln(l+x),0<進(jìn)一步得到1,xe0,—,由此即可比較a,6,進(jìn)一步比較

c,b,由此即可得解.

【詳解】設(shè)Mx)=tanx-x,0<x<],則

,,、cosx-cosx-(-sinx)sinx1兀

h'(x\=----------------------------------1=—j—1>0,0<%<-,

cosxcosx2

所以4》）=13111-%在［0,5）上單調(diào)遞增,

兀

所以/z(x)=tanx-x>/z(O)=O,即tan%>x,0<jr<5，

IT1T

令/(%)=%一ln(l+x),0<'貝！J/'(%)=1--=----->0,

所以/(x)=x—ln(l+x)在，弓)上單調(diào)遞增，

從而/(x)=x-ln(l+%)>/(0)=0,即x>ln(l+x),x￡[og],

所以tanx>x>ln(l+x),

從而當(dāng)x=0.21時，a=tanO.21>Z?=lnl.21,

兀A/32446321

a-tan0.21<tan———<———v——----

633666622

所以c>a>Z?.

故選：B.

【點睛】關(guān)鍵點點睛：在比較的大小關(guān)系時，可以通過先放縮再構(gòu)造函數(shù)求導(dǎo)，由此即可順利得解.

二、多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合

題目要求的.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得2分.

9.已知非零向量25忑，則下列結(jié)論正確的是()

A.若苕(5后=。，則在上B.若m+石)，(萬一5),貝力闔=|5|

c.若=則M=BD.向量(鼠5兄一(萬?})方與向量花垂直

【答案】ABD

【解析】

【分析】選項A,根據(jù)條件，利用數(shù)乘向量的定義得到看/=0，即可判斷選項A的正誤；選項B,根據(jù)

條件，利用數(shù)量積的運算及模的定義，即可判斷選項B的正誤；選項C,根據(jù)條件，利用數(shù)量積的定義，

得至IJI^Icos伍3=|方|cos(5,3,即可求解；選項D,根據(jù)條件，結(jié)合數(shù)量積的運算律，得到

[(a-b)c-(a-c)b]a=0，即可求解.

【詳解】對于選項A,因為土為非零向量，若五(51)=0,則5l=0，故所以選項A正確,

對于選項B,若(乙+石)?(乙一方)=片一戶二|初2一|5|2=。,故⑺=心,所以選項B正確，

對于選項C,若,道,則|可,修|85僅忑)=出|?|1|85(59，

得至ljm|cosW?=l51cos(54,不能確定]=B，所以選項c錯誤，

對于選項D,[(a-b)c-(a-c)b]-a=(a-b)c-a-(d-c)b-a=(a?b)(c-a)-(a-b)(c-a)=0，

故[(2?/?/一(H)6]_L],所以選項D正確,

故選：ABD.

10.己知WW(0,1)D(L+<R),若log,"2=—^』og"2=e，則下列命題正確的是()

1一2〃a

A.若a=2,則m〃=2B.若a>2,則加〃>2

C.若mn=1,則a=1D.若mn>1,則a>1

【答案】ABC

【解析】

【分析】由對數(shù)運算的性質(zhì)得加〃=202一2。+1,通過代入〃=2即可判斷A；由二次函數(shù)的性質(zhì)即可判斷B；

代入mn=1即可求出a的值，則可判斷C；由〃刃>1可得〃—2a+1=(a—〉0,可解得a的取值范圍,

則可判斷D.

【詳解】由題意知log?加=l-2a,log2"=a2,所以log2。加z)="-2。+1,

所以加〃=2"23+1.

對于A,若a=2,則77切=21=2，故A正確；

對于B,若a>2,則a~—2a+1=(。-所以mn>2'=2>故B正確；

對于C,若nrn=1,則々2—2。+1=0，解得。=1,故C正確；

對于D,若7加〉1,則2a+l=(a—1)2〉0,不能得到a>l,故D錯誤.

故選：ABC.

11.已知上05%以)521,(30530：}=卜垣。,51112心51113</},則a可以是()

【答案】AB

【解析】

【分析】利用積化和差和輔助角公式得到后sinf+2）=后sin（衛(wèi)+二），即可求解得到a=%或

24243

cc-----1—，kGZ,可求答案.

28

【詳解】｛cosor,cos2a,cos3。｝二（sinor,sin2a,sin3a｝,

cosa+cos2cr+cos3cr=sincr+sin2a+sin3a,

/.sin”x(sina+sin2a+sin3i)=sin羨x(cos。+cos2a+cos3。),

aaaaaa

sincrsin——Fsin2osin——Fsin3。sin一=cosasm——bcos2asin——bcos3crsin一,

222222

a3a3a5a5ala3a.a.5a.3a.la.5a

cos----cos----Fcos------cos——+cos------cos——=sin——-sin——bsin------sin-----Fsin------sin——

222222222222

a7a.7a.a

cos----cos——=sin——-sin—

2222

aa.la7。

.sin——bcos—=sin----bcos——

222

.??瓜皿會：）=瓜也4+：），

，仔+：）-C）=30=2E或t+；卜［+：卜物+9（24+1”

keZ,

2kli-kn7i

a—----9kGZ,或a------1—,keZ,

328

37rjr

???經(jīng)檢驗，a=-土或生符合，其它都不符合.

88

故選：AB.

12.1843年，Hamilton在愛爾蘭發(fā)現(xiàn)四元數(shù).當(dāng)時他正研究擴展復(fù)數(shù)到更高的維次（復(fù)數(shù)可視為平面上的

點）.他不能做到三維空間的例子，但四維則造出四元數(shù).根據(jù)哈密頓記述，他于10月16日跟妻子在都柏

林的皇家運河上散步時突然想到的方程解.之后哈密頓立刻將此方程刻在BroughamBridge.對四元數(shù)

u=a+bi+q+dk,a,"c,deR的單位，,_/,左，其運算滿足：i2=j2=k2=-1,ij=k,jk=i,

ki=j,ji=-k,kj=-i,ik=-j；記萬=a一歷一qj—服，N（u\=uu=a2+b~+c2+d2,

\u\=sla2+b2+c2+d2,定義"T=L,記所有四元數(shù)構(gòu)成的集合為V,則以下說法中正確的有（

11U

A.集合｛Li,j,k｝的元素按乘法得到一個八元集合

B.若非零兀以vwV,則有：ulvu=v1

C.若以vwV,則有：N（〃v）=N（〃）N（v）

_1u

D.若非零元“eV,則有：u=口

【答案】ACD

【解析】

【分析】對于A,利用已知條件求出所求集合為｛l,i,j,k,—->j,-k｝即可；對于B,直接給出反例M=1,

v=2即可；對于C,利用N(M)的定義計算即可；對于D,利用C選項的結(jié)果驗證即可.

【詳解】對于A,由于i2=j2=]?=—1,ji=-k,kj=-i,ik=-j,故集合｛l,i,j,k｝的元素按乘法可

以得到集合1,-i,-j,-k｝,容易驗證該集合中任意兩個元素的乘積還在該集合中，故集合

｛l,i,j,k｝的元素按乘法得到的集合是八元集合｛1,i,j,故A正確；

對于B,取〃=1,v=2,則=尸?2-1=24=2H工=2一|=yT,故B錯誤；

2

對于C,若以vwV,設(shè)"=a+Z?i+qj+〃，v=x+yi+zj+wk,則

N(uv)=N((a+bi+qj+6/k)(x+yi+0+wk))

=N｛^ax-by-cz-dv^+^ay+bx+cw-dz^i+(az+cx+dy-by\^]+[aw+dx+bz-cy^V^

=^ax—by—cz—dwf+^ay+bx+cw—dz^+^az+cx+dy—bw^+(aw+dx+bz—cy^

=a2x2+b2x2+c2x2+d2%2+a2y2+b1y2+c2y2+d2y2-^-a2z2+Z?2z2+c2z2+6?2z2+tz2w2+Z?2w2+c2w2+J2w2

22

=(/+/?+C+/)(%2+,2+z2+療)

=N(a+bi+qj+￡/k)N(x+yi+W+wk)

二N(〃)N(v),故C正確；

對于D,根據(jù)題目中的定義有"(沈)=|〃「，從而

u_uu_uu_N(〃)_N(")_N(〃)_]

“Ml—.「同丁向丁河西一河而T■

_]U

所以"=M，故D正確.

故選：ACD.

【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題的關(guān)鍵在于對新定義的理解，只有理解了定義，方可求解所求的問題.

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

13.若函數(shù)/(力=——4依—3在區(qū)間(-4,y)上單調(diào)遞增，則實數(shù)a的取值范圍是

【答案】-2]

【解析】

【分析】根據(jù)二次函數(shù)的對稱性得出對稱軸與-4的關(guān)系即可求解.

【詳解】因為函數(shù)4依—3的對稱軸為1=2a,圖象開口向上，

所以函數(shù)在[2a,+8)上單調(diào)遞增，

因為函數(shù)八%)在區(qū)間(T+⑹上單調(diào)遞增，

所以2a<T,

解得a4—2.

故答案為：(一8,-2].

14.若/(x)=asin卜+F)+3sin卜+是偶函數(shù)，則實數(shù)a的值為.

【答案】一百

【解析】

【分析】由函數(shù)/(%)是偶函數(shù)，則=代入計算并驗證即可求出心

【詳解】函數(shù)/(%)是偶函數(shù)，則/

.710

=asm—+3,

3

化簡可得a=-6.

當(dāng)a=—s/3時，貝U/(%)=—V3sinx+—+3sinx+—

.71.71

+3smxcos—+cosxsin—

33

6cosx-A/3COSx

~2

所以=gcosx,則=6cos(-x)=V3cos%=/(%),

所以函數(shù)八％)是偶函數(shù)，則a=-6.

故答案為：s

15.小澄玩一個游戲：一開始她在2個盒子A3中分別放入3顆糖，然后在游戲的每一輪她投擲一個質(zhì)地

均勻的骰子，如果結(jié)果小于3她就將3中的1顆糖放入A中，否則將A中的1顆糖放入8中，直到無法繼

續(xù)游戲.那么游戲結(jié)束時3中沒有糖的概率是.

【答案】—

17

【解析】

【分析】設(shè)最初在A中有4顆糖，8中有6—左顆糖時，游戲結(jié)束時B中沒有糖的概率為%.(左=0,1,…,6),

歸納找出遞推關(guān)系，利用方程得出為,再由遞推關(guān)系求生.

【詳解】設(shè)A中有k顆糖，B中有6—左顆糖，游戲結(jié)束時8中沒有糖的概率為4(左=0,1,…,6).

口加12112八，

業(yè)然氏=耳6'4=§"5+3，％,=§W+i+3al左〈5),

可得為用—以=2(4—歿-J，貝！I4—%=2%4—%)=26%，

4=%+26a。=%+2、￡ZQ+2‘a(chǎn)。=q+22+,?,+2,a。=(2，-1)a。,

同理%=%+22ao+,?,+25ao=(2‘—1)%,

9111

(2,T)%=1R6T)%+§,解得a0=我醞=—

a,=(24—1)=15x-----=—.

支''°25517

故答案為：—

17

【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題的關(guān)鍵在于建立統(tǒng)一的一個6顆糖果放入2個盒子不同情況的模型，找到統(tǒng)一

的遞推關(guān)系，利用遞推關(guān)系建立方程求出g，即可得出這一統(tǒng)一模型的答案.

16.已知。＞0,如果有且僅有四個不同的復(fù)數(shù)z,同時滿足|(z—l)(z+l)2|=a和忖=1,則。的取值范

圍是.

【答案】［0，學(xué)

【解析】

【分析】利用復(fù)數(shù)模的運算性質(zhì)，再數(shù)形結(jié)合，轉(zhuǎn)化為三次函數(shù)來研究即可.

【詳解】由|（z—l）（z+l）2|=a可得|z—l||z+l「=a,

又由忖=1可得，復(fù)數(shù)z在復(fù)平面上對應(yīng)的點在單位圓上,

設(shè)單位圓上動點P,A（-1,O）,B（1,O）,則|z-1|表示PB長度,|z+l|表示以長度,

即a=又因為五笈+夫/爐=4,所以a=PB-（4-P32）,

令PB=x,可設(shè)〃無）=龍?（4一尤2）=一無3+4無，xe（0,2）

/'(x)=—3f+4,令t(x)=0,可得X=竿

f(x)=-3x2+4>0,所以/(x)=-%3+4x上單調(diào)遞增;

/r(x)=-3x2+4<0,所以/(x)=-%3+4x在，2|上單調(diào)遞減;

+4x竽/(2)=-23+4x2=0,/(0)=0,

X在（0,2）有兩解，即在X軸上方一定存在兩個復(fù)數(shù)Z對應(yīng)的點滿足條件,

再利用圓關(guān)于％軸對稱，所以在x軸下方也一定存在兩個復(fù)數(shù)z對應(yīng)的點滿足條件,

綜上此時有四個不同的復(fù)數(shù)z,

/

16百、

故答案為：0,

【點睛】方法點睛：利用數(shù)形結(jié)合，把問題轉(zhuǎn)化為a=M.PA2,再利用依2+叢2=4消元，然后再利

用函數(shù)求導(dǎo)來研究值域，即可求得。的范圍.

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

]_X

17.已知函數(shù)/(x)=log?；——.

1+X

(1)判斷并證明了(%)的奇偶性；

(2)若對任意xe,t目-2,2],不等式/(x)>t2+at-6恒成立，求實數(shù)a的取值范圍.

【答案】(1)奇函數(shù)，證明見解析；

11

(2)——<a<-.

22

【解析】

【分析】(1)利用奇偶性定義證明判斷即可；

⑵根據(jù)對數(shù)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性確定了(%)在xe上最小值，把問題化為『+成—5<0在/目-2,2]

上恒成立，即可求結(jié)果.

【小問1詳解】

"%)為奇函數(shù)，證明如下：

由解析式易知上』>0=(%-1)(%+1)<0=—1<x<1,函數(shù)定義域為(-1,1),

1+尤

1|-y-1_丫

而/(—X)=log2；——=-log3-——=一/(%)，故"X)為奇函數(shù).

1-X~1+X

【小問2詳解】

[2一]]一

由相=--=-----1在XC上為減函數(shù)，而y=log2根在定義域上為增函數(shù),

1+x1+xL33J

所以/■(%)在xe上為減函數(shù)，故/'(“而口二二代)一

要使任意xe,/e[—2,2],不等式/(x)2+at-6恒成

只需『+成一6w_i在fe[―2,2]上恒成立，即t-+辦-5<0在，￡[-2,2]上恒成立,

。[4-2?-5<0

由y=廠+0一5開口向上，則八二"-

4+2。-5<022

1J

綜上，---一.

22

18.海水受日月引力會產(chǎn)生潮汐.以海底平面為基準(zhǔn)，漲潮時水面升高，退潮時水面降低.現(xiàn)測得某港口某

天的時刻與水深的關(guān)系表如下所示：（3.1時即為凌晨3點06分）

時刻：X（時）03.16.29.312.415.518.621.724

水深：y（米）5.07.45.02.65.07.45.02.64.0

（1）根據(jù)以上數(shù)據(jù)，可以用函數(shù)，=45由（?！?。）+610〉0,|。|<|）來近似描述這一天內(nèi)港口水深與

時間的關(guān)系，求出這個函數(shù)的解析式；

（2）某條貨船的吃水深度（水面高于船底的距離）為4.2米.安全條例規(guī)定，在本港口進(jìn)港和在港口停靠

時，船底高于海底平面的安全間隙至少有2米，根據(jù)（1）中的解析式，求出這條貨船最早可行的進(jìn)港時

間及這條貨船一天最多可以在港口中?？康目倳r長.

5兀

【答案】（1）y=2.4sin——%+5,0<%<24

-31

（2）最早可行的進(jìn)港時間為1時2分，5時10分出港；這條貨船一天中最多可以在港口中?？康目倳r

長為8小時16分.

【解析】

【分析】（1）由公式A=max1nm/=max+min可求,由表格可得周期7=12.4—0=12.4,進(jìn)而求。，

22

代入最高點（3.1,7.4）可求。；

（2）由題意可知進(jìn)港條件為y>6.2,解不等式即可.

【小問1詳解】

由表格可知y的最大值為7.4,最小值為2.6,

?A7.4—2.6_.j7.4+2.6.

所以A=-----------=2.4/=------------=5,

22

由表格可知T=12.4-0=12.4,

,2兀2兀571

所以q=—二----——，

T12.431

所以y=2.4sinI—X+0]+5,

將點(3.1,7.4)代入可得：7.4=2.4sin|^—x3.1+^J+5,

5IT71

所以一x3.l+/=—+24兀，4GZ,

312

解得0=0+2?,左eZ,

因為所以夕=0,

5兀

所以y=2.4sin京x+5,0Vx<24.

【小問2詳解】

貨船需要的安全水深為4.2+2=62米,

所以進(jìn)港條件為y>6.2.

5兀

令2.4sin—x+5>6.2,

31

即sin—x>—,

312

所以2+2版〈衛(wèi)xKf+2E,左eZ,

6316

“a3162k3162k,"

解得—+——<%<——+——，左eZ,

30565

因為0<x<24,

3131

所以k=0時，—<%<—,

306

403527

k=1時,---<%<----

3030

因修31

（時）=1時2分，一（時）=5時10分.

6

403

——（時）=13時26分，（時）=17時34分.

30

因此，貨船可以在1時2分進(jìn)港，早晨5時10分出港；或在下午13時26分進(jìn)港，下午17時34分出

港.

則該貨船最早進(jìn)港時間1時2分，?？靠倳r長為8小時16分鐘.

19.在VABC中，角A5C的對邊分別為。，b,c,已知q=YlsinC+cosC.

b3

（1）求角3;

BABDBDBC

（2）若。是VA3C邊AC上的一點，且滿足,9。+4c=25,求3。的最大值.

JT

【答案】（1）B=—

3

（2）目

【解析】

【分析】(1)根據(jù)題意可得a=—bsinC+bcosC，利用正弦定理結(jié)合三角恒等變換可得tan3=百，即

3

可得結(jié)果；

(2)根據(jù)題意結(jié)合向量夾角公式可得==囚，利用面積關(guān)系可得正=1+工，利用乘“1”

6BDac

法結(jié)合基本不等式運算求解.

【小問1詳解】

因為3=^-sinC+cosC，即〃=^-Z?sinC+Z?cosC，

b33

由正弦定理可得sinA=sinBsinC+sinBcosC，

3

且sinA=sin（3+C）=sinBcosC+cosBsinC,

即sinBcosC+cosBsinC=sinBsinC+sinBcosC，可得cos5sinC=—sinBsinC.

33

且Ce（0,7i）,則sinCwO,可得tan5=J§，

7T

又因為0<6<兀，所以3=—.

3

【小問2詳解】

BABD_BDBCBABDBDBC

因為何|'即網(wǎng)同"聞畫’

可得cosNAB￡>=cosNCBD,即NAB。=NCBD,

可知平分/ABC,則/ABO=C3O=—,

6

因為^AABC=^AABD+S/\BCD，

1A/31111T4B^/311

即Bn一=—BZ）x〃x—十—3Z）xcx一，整理可得---=——F—,

222222BDac

又因為9Q+4c=25,

13+2.1——

>——=1,

"25

4c9a55

當(dāng)且僅當(dāng)了丁’即"—=5時取等號，

可得5。4石，所以BD的最大值為力.

20.某汽車公司最新研發(fā)了一款新能源汽車，并在出廠前對100輛汽車進(jìn)行了單次最大續(xù)航里程(理論上

是指新能源汽車所裝載的燃料或電池所能夠提供給車行駛的最遠(yuǎn)里程)的測試.現(xiàn)對測試數(shù)據(jù)進(jìn)行整理，得

到如下的頻率分布直方圖：

入頻率

0.009----------------1~I

0.004--------------

0.002—

0001,一卜十-十一卜一!~~?單次最大

O180230280330380430續(xù)航里程/千米

(1)估計這100輛汽車的單次最大續(xù)航里程的平均值無(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值代表)；

(2)由頻率分布直方圖計算得樣本標(biāo)準(zhǔn)差s的近似值為49.75.根據(jù)大量的汽車測試數(shù)據(jù)，可以認(rèn)為這款汽

車的單次最大續(xù)航里程X近似地服從正態(tài)分布N(〃,b2),其中〃近似為樣本平均數(shù)元，。近似為樣本標(biāo)

準(zhǔn)差S

(i)利用該正態(tài)分布，求P(250.25<X<399.5)；

(ii)假設(shè)某企業(yè)從該汽車公司購買了20輛該款新能源汽車，記Z表示這20輛新能源汽車中單次最大續(xù)

航里程位于區(qū)間(250.25,399.5)的車輛數(shù)，求E(Z)；

參考數(shù)據(jù)：若隨機變量。服從正態(tài)分布則P(〃—b<J<〃+cr)=0.6827,

P(//-2cr<^<//+2cr)=0.9545,P(//-3cr<^<//+3cr)=0.99731.

(3)某汽車銷售公司為推廣此款新能源汽車，現(xiàn)面向意向客戶推出“玩游戲，送大獎”活動，客戶可根據(jù)拋

擲硬幣的結(jié)果，操控微型遙控車在x軸上從原點。出發(fā)向右運動，已知硬幣出現(xiàn)正、反面的概率都上，客

2

戶每擲一次硬幣，遙控車向右移動一次，若擲出正面，則遙控車向移動一個單位，若擲出反面，則遙控車

向右移動兩個單位，直到遙控車移到點(59,0)(勝利大本營)或點(60,0)(失敗大本營)時，游戲結(jié)

束，若遙控車最終停在“勝利大本營”，則可獲得購車優(yōu)惠券.設(shè)遙控車移到點(凡0)的概率為

P?^<n<60),試證明數(shù)列優(yōu)—月_1｝是等比數(shù)列(2W〃W59),求出數(shù)列｛匕｝(1W〃W60)的通項公

式，并比較月9和《0的大小?

【答案】(1)300(2)(i)0.8186；(ii)16.372

21(1Y“

-----——,1<n<59

36I^

(3)證明見解析，Pn=\';，月9>《0

11f1Ym

,n=60

[—3H——6U—J

【解析】

【分析】(1)根據(jù)平均數(shù)的求法求得正確答案.

(2)(i)根據(jù)正態(tài)分布的對稱性求得正確答案.

(ii)根據(jù)二項分布的知識求得正確答案.

(3)根據(jù)已知條件構(gòu)造等比數(shù)列，然后利用累加法求得只，利用差比較法比較己9和弓o的大小?

【小問1詳解】

x?205x0.1+255x0.2+305x0.45+355x0.2+405x0.05=300.

【小問2詳解】

(i)P(250.25<X<399.5)=0.6827+0~9545"0-6827=0.8186.

(ii))服從二項分布5(20,0.8186)E(Z)=20x0.8186=16.372.

【小問3詳解】

當(dāng)3OK59時，記一心(以一心)，

乙乙乙乙'-T

{匕一尺T}(2V59)是以;為首項,工為公比的等比數(shù)列,

2

匕-*=；?[-￡](2<?<59).

P2~Pi=:月「匕-1=(2<?<59).

累加得:

(2^59)然。14=>^：

=

注：比較￡9和60的另一個過程：P5g>|■一:=g，Eo=1一己9<g<

21.已知VABC的三個角A,B,C的對邊分別是。，b,c,且tanC=3tan5.

（1）若a=2b,求C；

（2）若〃=痛，6+c=3,求VABC的面積.

71

【答案】（1）-

3

【解析】

【分析】（1）由正弦定理化邊為角，化切為弦，再利用內(nèi)角和定理結(jié)合兩角和正弦公式化簡求值即可；

（2）法一，由sinA=4sin3cosC利用正、余弦定理化角為邊，聯(lián)立Z?+c=3解方程組可得b,c,進(jìn)而求

得cosCsinC,然后由面積公式可得；法二，作輔助線三角形的高，由tanC=3tan5利用直角三角形化

角為邊，再利用勾股定理建立關(guān)于高的方程求解可得，進(jìn)而可求面積.

【小問1詳解】

因為tanC=3tan5,

sinC3sinB-一.「

所以-----=-------,貝！IsinCcosBuBsinBcosC.

cosCcosB

因為a=2Z?,由正弦定理可得，

sinA=2sinB=sin(B+C)=sinBcosC+cos3sinC=4sinBcosC,

所以2sinB=4sinBcosC,由3為三角形內(nèi)角，故sinBwO,

所以cosC='，又0<。<兀，

2

故C

3

【小問2詳解】

法一：由(1)知，sinCcosB=3sinBcosC,

則sinA=sin(B+C)=sinBcosC+cos5sinC=4sinBcosC,

由正弦定理可得〃=4/?cosC,

a1+b2-c16+b1-c,2

由〃=痛，且cosC=—代入a=46cosC可得

2ab2y/6b

瓜=4義b、c；6,化簡得2_/=3,聯(lián)立"c=3,

2V6

解得c=2,Z?=l,又由〃=4bcosC=底可得cosC=，