追及相遇模型（原卷版）-2024-2025學(xué)年人教版高一物理專項(xiàng)復(fù)習(xí)

專題03追及相遇模型

模型講解

追及相遇問題的實(shí)質(zhì)就是分析兩物體在相同時(shí)間內(nèi)能否到達(dá)相同的空間位置。追及相遇問題

的基本物理模型：以甲追乙為例。

1.二者距離變化與速度大小的關(guān)系

(1)無論V單增大、減小或不變，只要V甲＜丫乙，甲、乙的距離就不斷增大。

⑵若丫甲=丫乙，甲、乙的距離保持不變。

⑶無論V用增大、減小或不變，只要V甲”乙，甲、乙的距離就不斷減小。

2.解答追及相遇問題的三種方法

情境分抓住“兩物體能否同時(shí)到達(dá)空間某位置”這一關(guān)鍵，認(rèn)真審題，挖掘題目中的隱含

析法條件，建立一幅物體運(yùn)動(dòng)關(guān)系的情境圖

圖像分將兩個(gè)物體運(yùn)動(dòng)的速度一時(shí)間關(guān)系或位移一時(shí)間關(guān)系畫在同一坐標(biāo)系中，然后利

析法用圖像分析求解相關(guān)問題

函數(shù)判設(shè)相遇時(shí)間為3根據(jù)條件列方程，得到關(guān)于位移x與時(shí)間r的函數(shù)關(guān)系，由此判

斷法斷兩物體追及或相遇情況

案例剖析'

------------------I

角度一：情境分析法

【例1】A、8兩車沿同一直線向同一方向運(yùn)動(dòng)，A車的速度％=4m/s,B車的速度監(jiān)=10

m/so當(dāng)8車運(yùn)動(dòng)至A車前方￡=7m處時(shí)，B車剎車并以°=-2m/s2的加速度開始做勻減

速直線運(yùn)動(dòng)。求：

(1)從該時(shí)刻開始計(jì)時(shí)，A車追上2車需要的時(shí)間；

(2)在A車追上8車之前，二者之間的最大距離。

【聽課筆記］

【方法總結(jié)】

1.情境分析法的基本思路

物體A追物體B,開始二者相距打

—?AA—^B

而需布黑

33〃〃〃//〃〃*力〃〃〃〃/〃〃〃〃〃宓9

---r0--------XB------->

b1~-■——%A-----------------*1

(1)A追上B時(shí)，必有％A=%O+%B，且

以詼8；

(2)恰好不相撞,必有%A=%O+%B時(shí)

之后以這“B；

(3)A追不上B,必有以=。8時(shí)％A<

%o+%B，之后。AWVB

(1)兩個(gè)等量關(guān)系：即時(shí)間關(guān)系和位移

找出位

移關(guān)系關(guān)系,這兩個(gè)關(guān)系可以通過畫草圖得到;

(2)一個(gè)臨界條件：即二者速度相等，

它往往是物體能否追上或兩者相距最

I列方程I遠(yuǎn)、最近的臨界條件

2.特別提醒

若被追趕的物體做勻減速直線運(yùn)動(dòng)，一定要注意判斷被追上前該物體是否已經(jīng)停止運(yùn)動(dòng)。

角度二圖像分析法

【例2】(多選)甲、乙兩車在一平直公路上從同一地點(diǎn)沿同一方向沿直線運(yùn)動(dòng)，它們的v—

r圖像如圖所示。下列判斷正確的是()

A.乙車啟動(dòng)時(shí)，甲車在其前方25m處

B.乙車超過甲車后，兩車有可能第二次相遇

C.乙車啟動(dòng)15s后正好追上甲車

D.運(yùn)動(dòng)過程中，乙車落后甲車的最大距離為75m

【聽課筆記】

【方法總結(jié)】

方法基本思路

數(shù)理定量畫圖時(shí)，需根據(jù)物體在不同階段的運(yùn)動(dòng)情況，通過定量計(jì)算分階段、分區(qū)間作

轉(zhuǎn)換出x-t圖像或V—r圖像等；或根據(jù)已知的運(yùn)動(dòng)圖像分析物體的運(yùn)動(dòng)情況

利用圖像中斜率、面積、截距、交點(diǎn)等的含義進(jìn)行定性分析或定量計(jì)算，進(jìn)而解決

用圖

相關(guān)問題

角度三函數(shù)分析法

函數(shù)分析法的解題技巧一在勻變速運(yùn)動(dòng)的位移表達(dá)式中有時(shí)間的二次方，可列出位移方程,

利用二次函數(shù)求極值的方法求解。

【例3】一汽車在直線公路上以54km/h的速度勻速行駛，突然發(fā)現(xiàn)在其正前方14m處有

一輛自行車以5m/s的速度同向勻速行駛。經(jīng)過0.4s的反應(yīng)時(shí)間后，司機(jī)開始剎車，貝心

(1)為了避免相撞，汽車的加速度大小至少為多少？

(2)若汽車剎車時(shí)的加速度只為4m/s2,在汽車開始剎車的同時(shí)自行車開始以一定的加速度加

速，則自行車的加速度至少為多大才能保證兩車不相撞？

【聽課筆記】

【方法總結(jié)】

函數(shù)分析法討論相遇問題的思路

設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為根據(jù)條件列方程，得到關(guān)于二者之間的距離Ar與時(shí)間t的二次函數(shù)關(guān)系，

Ax=0時(shí)，表示兩者相遇。若/>0,即有兩個(gè)解，說明可以相遇兩次；若/=0,即有一個(gè)

解，說明剛好追上或相遇；若/<0,無解，說明追不上或不能相遇。當(dāng)/=—為時(shí)，函數(shù)有

極值，代表兩者距離的最大值或最小值。

綜合應(yīng)用

一、單選題

1.兩輛汽車A、B沿同一條直線同向運(yùn)動(dòng)，B車在前面遇到緊急情況剎車，剎車開始時(shí)兩

車相距s=30m,后面的汽車A一直做勻速直線運(yùn)動(dòng)，它們的丫-/圖像如圖所示，則（）

A.f=ls時(shí)A、B車相遇B.O~ls的過程中，兩車間的距離在減小

C.r=5s時(shí)A、B車相遇D.A、B車相遇的時(shí)刻在5s之后

2.大霧天氣，一輛貨車正在平直的公路上勻速行駛，某時(shí)刻，貨車司機(jī)發(fā)現(xiàn)前方50m遠(yuǎn)處

一輛小汽車正在向前勻速行駛，貨車司機(jī)立即剎車，剎車后貨車運(yùn)動(dòng)的圖像如圖所示,

剎車后貨車與小汽車的最小距離為25m,下列說法正確的是（）

A.貨車剎車后的加速度大小為4m/s2B.小汽車勻速行駛的速度大小為12m/s

C.貨車剎車5s后貨車與小汽車的距離最小D.貨車停下時(shí)貨車與小汽車的距離為

75m

3.隨著自動(dòng)駕駛技術(shù)不斷成熟，北京、上海等城市某些特定地區(qū)相繼出現(xiàn)無人駕駛網(wǎng)約車，

給市民出行帶來方便。甲、乙兩輛無人駕駛汽車在平直公路上從同一地點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，兩車位

移x和時(shí)間f的比值二與時(shí)間/之間的關(guān)系如圖所示，下列說法正確的是（）

A.乙車的加速度大小為Im/s?B.3s末兩車速度相同

C.乙車速度為6m/s時(shí)，甲車速度為9m/sD.甲車追上乙車前，兩車間最遠(yuǎn)距離為

9m

二、多選題

4.假設(shè)高速公路上甲、乙兩車在同一車道上同向行駛。甲車在前，乙車在后，速度均為vo=

30m/s,距離so=100m。f=0時(shí)刻甲車遇緊急情況后，甲、乙兩車的加速度隨時(shí)間變化關(guān)

系如圖1、2所示。取原運(yùn)動(dòng)方向?yàn)檎较?。下面說法正確的是()

A.f=3s時(shí)兩車相距最近

B.0~9s內(nèi)兩車位移之差為45m

C.0~9s內(nèi)兩車距離最近為10m

D.兩車在0~9s內(nèi)會(huì)相撞

5.甲、乙兩車在平直公路上同向行駛，其中VI圖像如圖所示。已知兩車在f=3s時(shí)并排行

駛，貝U()

A.在t=ls時(shí)，甲車在乙車后

B.在1=0時(shí)，甲車在乙車后7.5m

C.兩車另一次并排行駛的時(shí)刻是f=Is

D.甲、乙車兩次并排行駛的位置之間沿公路方向的距離為40m

三、解答題

6.一汽車在直線公路上以72km/h的速度勻速行駛，突然發(fā)現(xiàn)在其正前方％=40m處有一輛

自行車以4m/s的速度同向勻速行駛。司機(jī)經(jīng)過務(wù)=0.5s的反應(yīng)時(shí)間后，開始剎車。求：

(1)汽車開始剎車時(shí)，兩車之間的距離；

(2)為了避免相撞，汽車剎車的最小加速度大??；

(3)若汽車剎車時(shí)的加速度大小為％=2m/sZ,在汽車開始剎車的同時(shí)，自行車開始以大小為

%=lm/s2的加速度做勻加速直線運(yùn)動(dòng)，但自行車的最大速度大小為8m/s,判斷兩車是否相

撞。若相撞，說明理由；若不相撞，則兩車的最小距離。

7.學(xué)校運(yùn)動(dòng)會(huì)中，4x100m接力賽是最為激烈的比賽項(xiàng)目之一。甲、乙兩運(yùn)動(dòng)員在交接棒

的過程中，甲在接力區(qū)前無。處作了標(biāo)記，當(dāng)甲跑到此標(biāo)記時(shí)向乙發(fā)出起跑口令，乙在接力

區(qū)的前端聽到口令時(shí)立即起跑(忽略聲音傳播的時(shí)間及人的反應(yīng)時(shí)間)，先以a=4m/s2的加

速度做勻加速直線運(yùn)動(dòng)，速度達(dá)到與甲相同時(shí)被甲追上，完成交接棒(忽略交接棒時(shí)間)，

然后保持這個(gè)速度跑完全程。已知乙運(yùn)動(dòng)員跑完接力區(qū)所用時(shí)間為t=3s,甲、乙兩運(yùn)動(dòng)員

的最大速度均為v=8m/s,甲運(yùn)動(dòng)員一直以最大速度做勻速直線運(yùn)動(dòng)，求：

1X。H接菠21

⑴%大?。?/p>

(2)接力區(qū)的長(zhǎng)度心

8.汽船甲在霧中以大小/=20m/s的恒定速度沿直線航行，某一時(shí)刻汽船甲拉響汽笛，經(jīng)過

M=3s,聽到了由正前方的障礙物傳來的回聲。聲音在空氣中傳播的速度v=340m/s,將汽

船視為質(zhì)點(diǎn)。

⑴若障礙物為山峰，求汽船甲接收到回聲時(shí)與山峰之間的距離右；

⑵若障礙物為以大小匕=34m/s的恒定速度相向駛來的汽船乙，求汽船甲接收到回聲時(shí)與汽

船乙之間的距離4；

(3)若在(2)中情況下，汽船乙的運(yùn)動(dòng)不變，汽船甲接收到回聲后急轉(zhuǎn)彎以免與汽船乙相撞,

求汽船甲接收到回聲到采取急轉(zhuǎn)彎措施的時(shí)間t應(yīng)滿足的條件O

9.長(zhǎng)為4.5m的警車在公路上以108km/h的速度勻速行駛進(jìn)行巡視，某時(shí)刻發(fā)現(xiàn)并行車道前

方一輛長(zhǎng)17.5m的大貨車疑似超速行駛，此時(shí)貨車車尾距警車車頭25m,如圖所示，警員于

是立刻踩動(dòng)油門加速追趕。為了安全，警車需行駛到車尾距貨車車頭前50m距離處，和貨

車同速行駛進(jìn)行示意停車，這段時(shí)間貨車一直勻速。被示意停車后，測(cè)得貨車勻減速剎車過

程中，第3秒內(nèi)位移為20m,第13秒內(nèi)位移為0.25m。警車加速、減速時(shí)均以2.5m/s2的

加速度行駛，警車的最大速度為126初z/h。

25m貨車

■w

⑴如果貨車限速80協(xié)7/h,判斷貨車是否超速;

(2)求警車從開始加速至少經(jīng)過多長(zhǎng)時(shí)間才能到達(dá)題中50m距離處同速行駛;

(3)警車示意停車后即開始剎車，貨車司機(jī)看到示意后，反應(yīng)時(shí)間為2s；若貨車初速度不變,

最后能停在警車車尾5m的范圍內(nèi)，求貨車勻減速剎車時(shí)的加速度大小需滿足的條件。

10.a、6兩個(gè)物體在水平面上以相同的初速度同時(shí)開始運(yùn)動(dòng)，初始時(shí)a在6前方4.5m處,

圖中的兩條直線分別表示a、b兩物體的速度一時(shí)間圖像，4s后。物體保持靜止，試求解以

⑴2s末時(shí)，6物體速度的大小;

⑵6s末時(shí)，a、6間的距離為多少。

11.某高速公路同一直線車道上有兩輛同向勻速行駛的汽車甲、乙，其速度大小分別為

/=40m/s,%=26m/s。某時(shí)刻甲車在與乙車距離4時(shí)發(fā)現(xiàn)前方乙車制動(dòng)，乙車制動(dòng)時(shí)加速

度大小為出=2.5m/s2,為避免事故，甲車司機(jī)在經(jīng)歷。=0.4s的反應(yīng)時(shí)間后立即采取制動(dòng)

措施。已知甲車以匕=40m/s在平直公路上行駛，制動(dòng)時(shí)要經(jīng)過x=160m才能停下來。

(1)甲車制動(dòng)時(shí)的加速度大小q是多少？

(2)通過計(jì)算分析為保證兩車安全，%最小值為多少？

2

(3)若乙車僅制動(dòng)t=2.8s后立即以大小為a3=4m/s的加速度開始做勻加速直線運(yùn)動(dòng)，從乙

車制動(dòng)開始經(jīng)多長(zhǎng)時(shí)間兩車速度相等？此相等速度大小為多少？

12.汽車A以％=4m/s的速度向右做勻速直線運(yùn)動(dòng)，發(fā)現(xiàn)車頭前方相距飛=7m處，有以

%=10m/s的速度同向運(yùn)動(dòng)的汽車B正開始剎車做勻減速運(yùn)動(dòng)直到靜止后保持不動(dòng)，其剎

車的加速度大小a=2m/s'。從剛剎車開始計(jì)時(shí)。求：

(1)A追上B前，A、B間的最遠(yuǎn)距離；

⑵經(jīng)過多長(zhǎng)時(shí)間A恰好追上B；

(3)B車以某一速度運(yùn)動(dòng)時(shí),在B車車廂底板距離后壁/=5cm處有一玩具小車(可視為質(zhì)點(diǎn))

從靜止開始以加速度％=2m/s2向前加速運(yùn)動(dòng)，此時(shí)B車將以加速度的=13m/s2減速，玩

具小車若與B車共速或碰到后壁就會(huì)被固定。求B車的最小初速度是多少時(shí)，玩具小車在

B車中滑動(dòng)時(shí)間最長(zhǎng)？

13.為迎接市高中男子足球聯(lián)賽，學(xué)校足球隊(duì)演練了“邊路突破，下底傳中”的戰(zhàn)術(shù)，即攻方

隊(duì)員帶球沿邊線前進(jìn)，到底線附近進(jìn)行傳中。如圖所示，足球場(chǎng)長(zhǎng)100m、寬75m,攻方前

鋒小張?jiān)谥芯€處將足球沿邊線向前踢出，足球在地面上的運(yùn)動(dòng)可視為初速度大?。?9m/s、

加速度大小。o=lm/s2的勻減速直線運(yùn)動(dòng)。

100m.

邊線

(1)若無人觸及被踢出后的足球，求足球做勻減速直線運(yùn)動(dòng)的時(shí)間務(wù)并判斷此種情況下足球

是否會(huì)滾出底線；

(2)若在足球踢出的同時(shí)，小張沿邊線向前追趕足球，追趕過程的運(yùn)動(dòng)可視為初速度為零、

加速度大小a=2m/s?的勻加速直線運(yùn)動(dòng)，求他追上足球前與足球間的最大距離;

(3)若在(2)中情況下，小張的速度增大到最大速度％緘=8m/s后，以此最大速度做勻速直

線運(yùn)動(dòng)，請(qǐng)通過計(jì)算判斷他能否在足球停下前追上足球。

14.一輛長(zhǎng)途客車正在以"=20m/s的速度勻速行駛。突然，司機(jī)看見車的正前方34m處有

一只狗，如圖甲所示(仁0),長(zhǎng)途客車的速度時(shí)間圖像如圖乙所示。

(1)求長(zhǎng)途客車從司機(jī)發(fā)現(xiàn)狗至停止運(yùn)動(dòng)的這段時(shí)間內(nèi)前進(jìn)的距離；

(2)求長(zhǎng)途客車制動(dòng)時(shí)的加速度；

(3)若狗正以v;=4m/s的速度與長(zhǎng)途客車同向奔跑，狗能否擺脫被撞的噩運(yùn)？

15.一列貨車以8m/s的速度在平直鐵路上運(yùn)行，由于調(diào)度失誤，在后面某處有一列快車以

20m/s的速度向它靠近。快車司機(jī)發(fā)覺后立即制動(dòng)，制動(dòng)的加速度大小為O.lZm/sz,若兩車

恰好不相撞(貨車速度保持不變)，求：

(1)快車從制動(dòng)至兩車恰好不相撞所用時(shí)間；

(2)快車剛開始制動(dòng)時(shí)兩車相距的距離；

(3)若快車開始制動(dòng)時(shí)距離貨車300m,貨車應(yīng)至少以多大的加速度作加速運(yùn)動(dòng)才能避免兩車

相撞。

16.如圖所示，在平直公路上有甲、乙兩輛小汽車從相距毛=7m的A、8兩地同向同時(shí)出

發(fā)。已知甲車在前，乙車在后，甲車初速度大小為匕=10m/s,加速度大小為％=lm/s,,乙

車的初速度大小為3=16m/s,加速度大小為g=2m/s2,甲車做勻加速直線運(yùn)動(dòng)，乙車做勻

減速直線運(yùn)動(dòng)，兩車均可視為質(zhì)點(diǎn)。

甲乙

(1)通過計(jì)算說明兩車是否能相遇，若不能相遇，求兩車間相距的最小距離；

(2)若甲車加速度大小未知，其他條件均不變，要使甲、乙兩車能相遇兩次，則甲車的加速

度大小應(yīng)滿足什么條件？(結(jié)果可以保留分?jǐn)?shù))

17.長(zhǎng)為5m的警車在公路上以36km/h勻速行駛進(jìn)行巡視，某時(shí)刻，一輛長(zhǎng)20m的大貨車

以72km/h的速度從警車旁邊勻速駛過，在貨車車尾距警車車頭25m時(shí)，警員發(fā)現(xiàn)貨車有違

章行為，于是立刻踩動(dòng)油門進(jìn)行追趕。為了安全，警車先加速后減速，需行駛到車尾距貨車

車頭前53m安全距離處，和貨車同速行駛，才能進(jìn)行示意停車。已知警車加速、減速時(shí)的

最大加速度大小均為2m/s2,整個(gè)過程貨車一直勻速行駛。求：

(1)當(dāng)警車以最大加速度行駛，在超過貨車之前，車頭距貨車車尾最遠(yuǎn)距離；

(2)警車至少經(jīng)過多長(zhǎng)時(shí)間才能到達(dá)題中安全距離處同速行駛；期間達(dá)到的最大速度。

18.停在公交站臺(tái)的公交車由靜止啟動(dòng)，以大小為％=lm/s2的加速度做勻加速直線運(yùn)動(dòng)。

公交車啟動(dòng)瞬間，后方距離車頭無。=