工程力學 第5版 課件 第11章 應力狀態(tài)和強度理論

第十一章應力狀態(tài)和強度理論本章簡述應力狀態(tài)的概念，重點討論平面應力狀態(tài)及其求解的解析法和應力圓方法。本章還將介紹廣義胡克定律、討論強度理論及其應用。第十一章應力狀態(tài)和強度理論11.1應力狀態(tài)的概念11.2平面應力狀態(tài)分析11.3三向應力狀態(tài)和廣義胡克定律11.4強度理論簡介11.5應變電測簡介第十一章應力狀態(tài)和強度理論11.1應力狀態(tài)的概念第十一章應力狀態(tài)和強度理論11.1應力狀態(tài)的概念受力構(gòu)件在同一截面上的不同的點，應力一般不相同。即使是同一個點，若截取的截面方位不同，其應力也不相同。軸向拉伸或壓縮構(gòu)件任意一點處截面上的應力隨著截面方位變化。低碳鋼在單向拉伸狀態(tài)下沿45°斜截面滑移而產(chǎn)生屈服，它與45°斜截面上的切應力最大有關(guān)。而鑄鐵在純剪切情況下沿著45°斜截面斷裂，就與該方向的截面上存在最大拉應力有關(guān)。從以上可知，討論一點的應力，需要明確哪個截面上的哪個點，以及哪一個點的哪個方位。過一點不同方向面上的應力的集合，稱為一點的應力狀態(tài)。11.1應力狀態(tài)的概念應力的點的概念考慮中性層上的點A正應力等于0，切應力最大考慮梁邊緣上的點B

同一面上不同點的應力各不相同11.1應力狀態(tài)的概念應力的面的概念

即使同一點在不同方位截面上，它的應力也是各不相同的，此即應力的面的概念。11.1應力狀態(tài)的概念應力哪一個面上？

哪一點？哪一點？

哪個方向面？指明過一點不同方向面上應力的集合，稱之為這一點的應力狀態(tài)。11.1應力狀態(tài)的概念單元體

為了分析受力構(gòu)件內(nèi)一點處的應力狀態(tài)，可圍繞該點截取各邊長均為無窮小的正六面體，稱為單元體。微元單元體(1)在它的每個面上，應力都是均勻的(2)單元體相互平行的截面上，應力都是相同的，且都等于通過所研究的點的平行面上的應力。因此，單元體的應力狀態(tài)就可以代表一點的應力狀態(tài)。11.1應力狀態(tài)的概念主單元體、主應力與主平面

主單元體各側(cè)面上切應力均為零的單元體。

主平面切應力為零的截面。

主應力主平面上的正應力。

主應力排列規(guī)定：按代數(shù)值大小，11.1應力狀態(tài)的概念主單元體、主應力與主平面主應力排列規(guī)定：按代數(shù)值大小，若11.1應力狀態(tài)的概念單向、二向(平面)、三向(空間)應力狀態(tài)三個主應力中僅有一個主應力不為零

單向應力狀態(tài)11.1應力狀態(tài)的概念單向、二向(平面)、三向(空間)應力狀態(tài)三個主應力中僅有一個主應力為零

二向（平面）應力狀態(tài)純剪切應力狀態(tài)11.1應力狀態(tài)的概念單向、二向(平面)、三向(空間)應力狀態(tài)三個主應力均不為零

三向（空間）應力狀態(tài)11.2平面應力狀態(tài)分析第十一章應力狀態(tài)和強度理論11.2平面應力狀態(tài)分析斜截面上的應力正應力只有一個下標，表示正應力的方向，例如sx表示是作用在垂直于x的面上，沿著x

方向作用的正應力。切應力有兩個下標，第一個下標表示作用面垂直于哪個坐標軸，第二個下標表示作用方向沿著哪個坐標軸。

例如txy是垂直于x

軸的面上而沿著y軸方向作用的切應力。11.2平面應力狀態(tài)分析斜截面上的應力關(guān)于應力的正負約定材料力學約定：(1)正應力以拉應力為正，壓應力為負；(2)切應力對單元體內(nèi)任一點取矩，順時針轉(zhuǎn)向為正，反之為負。圖中各應力皆為正11.2平面應力狀態(tài)分析斜截面上的應力通過截面外法線的方位定義截面的位置11.2平面應力狀態(tài)分析斜截面上的應力通過截面外法線的方位定義截面的位置11.2平面應力狀態(tài)分析斜截面上的應力根據(jù)切應力互等,txy和tyx在數(shù)值上相等，化簡得11.2平面應力狀態(tài)分析應力圓兩式取平方和若以sa，ta

為變量，則為圓方程圓心:半徑:

圓周上的每一個點的橫縱座標分別代表所研究的單元體某截面的正應力和切應力，故稱應力圓，或摩爾圓。應力圓的概念11.2平面應力狀態(tài)分析應力圓ChristianOttoMohr(1835-1918)Mohr1835年生于德國北海岸的Wesselburen，16歲入Hannover技術(shù)學院學習。他是19世紀歐洲最杰出的土木工程師之一。與此同時，Mohr也一直在進行力學和材料強度方面的理論研究工作。

Mohr出版過一本教科書并發(fā)表了大量的結(jié)構(gòu)及強度材料理論方面的研究論文，其中相當一部分是關(guān)于用圖解法求解一些特定問題的。他提出了用應力圓表示一點應力的方法（所以應力圓也被成為Mohr圓），并將其擴展到三維問題。Mohr對結(jié)構(gòu)理論也有重要的貢獻，如計算梁撓度的圖乘法、應用虛位移原理計算超靜定結(jié)構(gòu)的位移等。11.2平面應力狀態(tài)分析應力圓應力圓的作法1.確定點D(sx,txy)2.確定點D'(sy,tyx)tyx=－txy3.連接DD'與s

軸交于點C4.以C為圓心，CD（CD'）為半徑畫圓。11.2平面應力狀態(tài)分析應力圓應力圓的作法圓心:半徑:11.2平面應力狀態(tài)分析應力圓利用應力圓求斜截面上的應力D點代表的是以x軸為斜面外法線的面上的應力（2倍角關(guān)系）11.2平面應力狀態(tài)分析主應力和極值切應力注意A1,A2兩點這兩點的切應力為0

主應力11.2平面應力狀態(tài)分析主應力和極值切應力

通過上式可以求出相差p/2的兩個角度a0，它們確定兩個相互垂直的面，其中一個是極大正應力所在的平面，另一個是極小正應力所在平面。11.2平面應力狀態(tài)分析主應力和極值切應力結(jié)論:1)切應力為

0

的平面上，正應力為極大或極小值；2)切應力為0的平面是主平面，主平面上的正應力是主應力，所以主應力就是極大或者極小的正應力。11.2平面應力狀態(tài)分析主應力和極值切應力極值切應力注意G1,G2兩點這兩點的切應力為極值在二向應力狀態(tài)平面內(nèi)的單元體的切應力最大值切應力極值所在的方位和主應力所在的方位成45°角11.2平面應力狀態(tài)分析特殊應力圓單向應力狀態(tài)下的應力圓:11.2平面應力狀態(tài)分析特殊應力圓純剪切應力狀態(tài)的應力圓:11.2平面應力狀態(tài)分析特殊應力圓二向等拉（壓）應力狀態(tài)下的應力圓11.2平面應力狀態(tài)分析【例題】用圖解法求如圖所示單元體斜截面上的正應力和切應力(應力單位MPa)11.2平面應力狀態(tài)分析【解答】確定比例尺按比例尺量得11.2平面應力狀態(tài)分析【例題】用圖解法求如圖所示單元體主應力的大小和方向以及極值切應力

(應力單位MPa)11.2平面應力狀態(tài)分析比例尺11.2平面應力狀態(tài)分析【例題】

圓軸扭轉(zhuǎn)如圖所示，計算截面周邊點A的主應力大小和方向。11.2平面應力狀態(tài)分析【解答】純剪切狀態(tài)，其應力圓11.2平面應力狀態(tài)分析【解答】

圓截面鑄鐵試件扭轉(zhuǎn)時，表面各點smax所在平面聯(lián)成傾角為45°的螺旋面。由于鑄鐵抗拉強度較低，試件將沿這一螺旋面因拉伸而發(fā)生斷裂破壞。11.3三向應力狀態(tài)與廣義胡克定律第十一章應力狀態(tài)和強度理論11.3三向應力狀態(tài)與廣義胡克定律平行于s1的截面平行于s2的截面平行于s3的截面三組特殊截面的應力狀態(tài)11.3三向應力狀態(tài)與廣義胡克定律三向應力圓與最大切應力(1)三組特殊截面上的應力都落在相應的應力圓圓周上。(2)對于不平行于任一主應力的任意截面，其截面上的應力都落在三個應力圓之間的部分(圖示綠色區(qū)域)11.3三向應力狀態(tài)與廣義胡克定律三向應力圓與最大切應力最大切應力對于平行于主應力s1的截面對于平行于主應力s3的截面可見，最大切應力tmax作用面與s2平行對于平行于主應力s2的截面11.3三向應力狀態(tài)與廣義胡克定律廣義胡克定律一般應力狀態(tài)下的線應變和切應變單向拉壓,線彈性范圍內(nèi)的應力應變關(guān)系同時引起的橫向應變:純剪切,線彈性情況下:11.3三向應力狀態(tài)與廣義胡克定律廣義胡克定律=++++11.3三向應力狀態(tài)與廣義胡克定律廣義胡克定律

利用同樣的方法可以求得y和z方向上的線應變。最后可得:切應變和切應力之間，

與正應力無關(guān)，因此:以上被稱為一般應力狀態(tài)下的廣義胡克定律。11.3三向應力狀態(tài)與廣義胡克定律廣義胡克定律主應力狀態(tài)下的線應變

對于單元體的面皆為主平面的應力狀態(tài)，三個主應力方向上的線應變?yōu)椋篹1、e2、e3為主應變。主應變和主應力的方向是重合的。11.4強度理論第十一章應力狀態(tài)和強度理論11.4強度理論強度理論的概念

當構(gòu)件的應力達到材料的某一極限狀態(tài)時將會引起構(gòu)件的破壞。對于單向應力狀態(tài)（如軸向拉伸、壓縮），極限應力完全可以通過簡單的拉伸、壓縮試驗來測定。對于復雜的應力狀態(tài)，如三向應力狀態(tài)，三個主應力之間的比值有無窮多種組合，要對每一種組合情況都由試驗來確定材料的極限應力狀態(tài)，顯然是不可能做到的。因此，有必要深入分析材料破壞的原因。經(jīng)過長期的生產(chǎn)實踐和試驗研究，人們將材料的破壞歸納為脆性斷裂和塑性屈服兩種類型，并對每種類型的破壞原因都提出了相應的假說，稱之為強度理論。11.4強度理論四種常見的強度理論斷裂強度理論1.最大拉應力理論(第一強度理論)Lame,Rankin1858

此理論認為：材料脆性斷裂的主要原因是由于最大拉應力引起的。斷裂準則強度條件

鑄鐵等脆性材料，無論是在單向拉伸、扭轉(zhuǎn)或雙向、三向應力狀態(tài)下，斷裂都發(fā)生于拉應力最大的截面上，與這一理論相符。但這一理論沒有考慮其它兩個主應力對斷裂的影響，對沒有拉應力的狀態(tài)（如單向、三向壓縮等）也無法應用。11.4強度理論四種常見的強度理論2.最大拉應變理論(第二強度理論)Mariotte17世紀SaintVenant19世紀

此理論認為，無論什么應力狀態(tài)，最大拉應變是引起材料斷裂的主要因素。

拉應變的極限值，可由單向拉伸確定。設脆性材料在單向拉伸到斷裂時，仍可用胡克定律計算應變強度條件最大拉應變斷裂準則11.4強度理論四種常見的強度理論屈服強度理論1.最大切應力理論(第三強度理論)Tresca屈服準則1864

這一理論認為，無論什么應力狀態(tài)，最大切應力是引起屈服破壞的主要因素。按照這一理論，當最大切應力tmax達到某一極限值tu時，材料就發(fā)生屈服。

三向應力狀態(tài)的最大切應力：

最大切應力的極值可由單向應力狀態(tài)確定強度條件屈服準則11.4強度理論四種常見的強度理論對于塑性材料,其破壞的主要形式為塑性屈服。1.最大切應力理論(第三強度理論)

這一強度理論可以較為滿意地解釋塑性材料的屈服現(xiàn)象，例如低碳鋼拉伸屈服時，沿著與軸線成45°方向出現(xiàn)滑移線，而這一方向斜面上的切應力也是最大。由于這一理論形式簡單，概念明確，且計算結(jié)果偏于安全，故在工程中廣泛應用。但是這一強度理論沒有考慮中間主應力s2

對屈服的影響。

11.4強度理論四種常見的強度理論2.形狀改變應變能密度理論(第四強度理論)VonMises應力-1913年

這一理論認為，形狀改變應變能密度是引起材料屈服的主要因素。

畸變能密度（形狀改變變形能密度）

畸變能密度的極值可由單向應力狀態(tài)確定11.4強度理論四種常見的強度理論2.畸變能密度理論(第四強度理論)強度條件屈服準則

化簡得11.4強度理論四種常見的強度理論強度條件的統(tǒng)一形式11.4強度理論四種常見的強度理論

但是，必須指出材料的失效形式還與其所處的應力狀態(tài)、強度等有關(guān)。例如，低碳鋼在三向拉伸時，呈現(xiàn)脆性斷裂，應用第一強度理論；鑄鐵在三向壓縮時，呈現(xiàn)屈服，應用第三或第四強度理論。即無論是塑性或脆性材料，在三向拉應力相近的情況下，呈現(xiàn)斷裂失效，應用第一強度理論；而在三向壓應力相近的情況下，呈現(xiàn)屈服失效，應用第三或第四強度理論。因此，即使同一種材料，在不同的應力狀態(tài)，也不能采用同一種強度理論。11.4強度理論四種常見的強度理論【例題】轉(zhuǎn)軸邊緣上某點的應力狀態(tài)如圖。用第三和第四強度理論建立其強度條件。11.4強度理論四種常見的強度理論【解答】通過應力狀態(tài)分析，得到其三個主應力分別為求相當應力所以強度條件分別為(11-17)11.4強度理論四種常見的強度理論【例題】

如圖所示工字型鋼梁，F(xiàn)=210kN，許用應力[s]=160MPa，[t]=70MPa，截面高度h=250mm，寬度b=113mm，腹板與翼緣的厚度分別為t=10mm與d=13mm，截面的慣性矩Iz=5.25×10-5m4，試按第三強度理論校核梁的強度。11.4強度理論(1)畫出內(nèi)力圖(2)最大彎曲正應力校核11.4強度理論(3)最大切應力校核11.4強度理論(4)在腹板和翼緣交界處(點a)的校核11.4強度理論(4)在腹板和翼緣交界處(點a)的校核單元體的應力狀態(tài)主應力第三強度理論11.4強度理論復雜形狀零部件的強度與剛度分析(11-17)一般力學模型單元體模型應力狀態(tài)分析主單元體（主應力）失效分析脆性斷裂材料屈服第一（第二）強度理論第三（第四）強度理論11.4強度理論復雜形狀零部件的強度與剛度分析(11-17)現(xiàn)代有限元方法的工程應用11.4強度理論復雜形狀零部件的強度與剛度分析(11-17)現(xiàn)代有限元方法的工程應用11.4強度理論復雜形狀零部件的強度與剛度分析(11-17)現(xiàn)代有限元方法的工程應用11.4強度理論復雜形狀零部件的強度與剛度分析(11-17)現(xiàn)代有限元方法的工程應用11.4強度理論復雜形狀零部件的強度與剛度分析(11-17)現(xiàn)代有限元方法的工程應用結(jié)構(gòu)優(yōu)化技術(shù)尺寸優(yōu)化形狀優(yōu)化拓撲優(yōu)化11.4強度理論復雜形狀零部件的強度與剛度分析(11-17)現(xiàn)代有限元方法的工程應用11.5應變電測簡介第十一章應力狀態(tài)和強度理論11.5應變電測簡介實驗應力分析概述(11-17)對工程中的實際構(gòu)件進行應力分析時，理論分析方法往往都做了一定的簡化，還需要通過實驗對結(jié)果進行驗證；有些工程問題難以直接進行理論分析，需要通過實驗方法對實際結(jié)構(gòu)或模型進行應力測定，再輔以理論分析來解決。這種通過實驗來研究和分析構(gòu)件應力大小及分布規(guī)律的方法，稱為實驗應力分析。常用的實驗應力分析方法有電測法、光測法、全息光彈性法、云紋法和涂層法等。由于電測法具有靈敏度高、傳感元件小和適應性強等優(yōu)點，在工程中應用廣泛，是工程技術(shù)人員常用的一種實驗測量手段。11.5應變電測簡介電測法的基本原理(11-17)1、應變電阻效應及電阻應變片金屬絲的電阻公式:電阻電阻率金屬絲長度金屬絲截面積若該金屬絲沿軸向伸長DL

，則電阻相應改變DR

，兩者之間存在關(guān)系Ks被稱為金屬絲的靈敏系數(shù)。11.5應變電測簡介電測法的基本原理(11-17)2、應變電阻原理

將金屬絲繞成柵狀以增大電阻值，這樣制成的元件稱為電阻應變片。常見的電阻應變片有絲繞式和箔式，并用康銅作為絲材。實測現(xiàn)場貼應變片11.5應變電測簡介電測法的基本原理(11-17)3、電阻應變片測量電路

將電阻應變片牢固的粘貼在被測構(gòu)件表面某一測點處，則隨著構(gòu)件沿應變片軸向發(fā)生變形，應變片電阻值也產(chǎn)生相應變化。測量該電阻值的改變量，可得測點處沿應變片方向的線應變值。由于測點的應變量較小，引起應變片和相應電阻的變化量也很小，通常采用橋式電路來測量。

R1R2R4R3若R1、R2為應變片，而R3、R4為標準電阻，稱為半橋，若R1、R2、R3、R4均為應變片，則稱為全橋。11.5應變電測簡介電測法的基本原理(11-17)3、電阻應變片測量電路R1R2R4R3當電路滿足關(guān)系：UBD=0

當某一個電阻發(fā)生變化，電橋失去平衡，UBD不為零。通過對其大小的分析，可以推算出相應的電阻變化量以及相應的線性變的大小。

具體請參考課程的實驗指導書11.5應變電測簡介電測法的基本原理(11-17)4、電阻應變儀

電阻應變儀的作用是將電阻應變片接入其電橋電路，將應變的變化信號轉(zhuǎn)化為電壓信號，經(jīng)放大器放大后由檢測儀器指示出應變數(shù)值的專用儀器。應變儀可按其頻率響應范圍及指示形式，分為靜態(tài)、動態(tài)兩大類。靜態(tài)應變儀適用于測量不隨時間變化或變化極緩慢的信號，對于要將數(shù)據(jù)信號記錄下來的情形，一般需用動態(tài)應變儀將信號放大輸出，并配上相應的記錄儀器。11.5應變電測簡介電測法的基本原理(11-17)11.5應變電測簡介電測法的基本原理(11-17)5、電橋接法

在實際測量中，經(jīng)常采用半橋接法，其中R1為被測點的應變片，R2為溫度補償片。溫度補償片是貼在與被測構(gòu)件材料相同但不受力的試件上的應變片，該片是充當溫度補償電阻用的。在測量過程中，補償片應放在被測構(gòu)件附近，以保證當環(huán)境溫度改變時，測量片和補償片的電阻R1和R2將發(fā)生相同的變化而不至于影響電橋的平衡。R1R2R4R311.5應變電測簡介電測法的基本原理(11-17)6、應變片的布置

1）當被測構(gòu)件處于單向應力狀態(tài)時，只需