工程力學(xué) 第5版 課件 第6章 動(dòng)力學(xué)基本方程和動(dòng)靜法

第六章動(dòng)力學(xué)基本方程和動(dòng)靜法運(yùn)動(dòng)學(xué)只研究如何描述物體的運(yùn)動(dòng)，靜力學(xué)只研究作用于物體上的力系的簡(jiǎn)化和平衡條件，并不考慮當(dāng)作用于物體上的力系不滿足平衡條件時(shí)物體將如何運(yùn)動(dòng)，或其運(yùn)動(dòng)狀態(tài)將發(fā)生何種改變。動(dòng)力學(xué)研究的是物體的運(yùn)動(dòng)與其所受到的力之間的關(guān)系。目前我們研究的對(duì)象是質(zhì)點(diǎn)、質(zhì)點(diǎn)系和剛體，動(dòng)力學(xué)是剛體力學(xué)中的核心內(nèi)容。本章還將對(duì)動(dòng)靜法，即達(dá)朗貝爾原理做簡(jiǎn)單介紹。第六章動(dòng)力學(xué)基本方程和動(dòng)靜法6.1質(zhì)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)基本方程6.2質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理6.3質(zhì)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)問(wèn)題的動(dòng)靜法6.4剛體繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)力學(xué)方程6.5質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)靜法第六章動(dòng)力學(xué)基本方程和動(dòng)靜法6.1質(zhì)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)基本方程第六章動(dòng)力學(xué)基本方程和動(dòng)靜法6.1質(zhì)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)基本方程IssacNewton1687《自然哲學(xué)的數(shù)學(xué)原理》6.1質(zhì)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)基本方程牛頓第一定律（原文）每個(gè)物體都保持其靜止、或勻速直線運(yùn)動(dòng)的狀態(tài)，除非有外力作用于它迫使它改變那個(gè)狀態(tài)。牛頓第二定律（原文）

運(yùn)動(dòng)的變化正比于外力，變化的方向沿外力作用的直線方向。牛頓第三定律（原文）每一種作用都有一個(gè)相等的反作用；或者，兩個(gè)物體間的相互作用總是相等的，而且指向相反。6.1質(zhì)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)基本方程質(zhì)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)基本方程牛頓第二定律質(zhì)點(diǎn)受力作用時(shí)所獲得的加速度大小與作用力的大小成正比，與質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量成反比，加速度的方向與力的方向相同。以上建立了質(zhì)量m、力F、加速度a之間的關(guān)系，稱為質(zhì)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)的基本方程。

此定律是推導(dǎo)其他動(dòng)力學(xué)方程的出發(fā)點(diǎn)。

若質(zhì)點(diǎn)同時(shí)受到多個(gè)力的作用，那么其中的力F應(yīng)理解為這些力的合力。6.1質(zhì)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)基本方程質(zhì)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)基本方程質(zhì)點(diǎn)的加速度不僅取決于作用力，同時(shí)與質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量有關(guān)。較大質(zhì)量的質(zhì)點(diǎn)獲得同樣的加速度，顯然需要更大的力。較大質(zhì)量的質(zhì)點(diǎn)具有較大的慣性。質(zhì)量是質(zhì)點(diǎn)慣性的度量。質(zhì)量單位:kg6.1質(zhì)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)基本方程質(zhì)量與重力的關(guān)系以及國(guó)際單位制在地球表面上，質(zhì)量為m的物體，在只有重力W作用而自由下落時(shí)，其加速度為重力加速度g。重力和質(zhì)量是兩個(gè)不同的概念。在不同地區(qū)，重力加速度稍有差異，物體的重力也略有不同。在一般計(jì)算中，可取g=9.8m/s2；而質(zhì)量是物體慣性的度量，是物體的固有屬性，它不隨物體的位置變化而改變。在古典力學(xué)中，它是不變的常量。6.1質(zhì)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)基本方程質(zhì)量與重力的關(guān)系以及國(guó)際單位制國(guó)際單位制中，長(zhǎng)度單位是m(米)，質(zhì)量單位是kg(千克)，時(shí)間單位是s(秒)。力的單位為導(dǎo)出單位，根據(jù)牛頓第二定律，力的單位是kg·m/s，稱為N(牛頓)。即是使1kg質(zhì)量的物體，產(chǎn)生1m/s2的加速度所需施加力的大小為1N。于是質(zhì)量為1kg的物體，它的重力為6.1質(zhì)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)基本方程質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)微分方程及其應(yīng)用矢量形式的質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)微分方程直角坐標(biāo)形式的質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)微分方程6.1質(zhì)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)基本方程質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)微分方程及其應(yīng)用自然坐標(biāo)形式的質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)微分方程6.1質(zhì)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)基本方程質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)微分方程及其應(yīng)用已知運(yùn)動(dòng)求力問(wèn)題（微分過(guò)程）1)選擇正確的研究對(duì)象；2)分析作用在研究對(duì)象上的各個(gè)力，畫(huà)出受力分析圖；3)進(jìn)行運(yùn)動(dòng)分析，包括速度，加速度等，必要時(shí)畫(huà)出速度分析圖，加速度分析圖；4)建立恰當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，建立恰當(dāng)形式的質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)微分方程；5)求解未知量。6.1質(zhì)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)基本方程質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)微分方程及其應(yīng)用【例題】升降臺(tái)以勻加速a上升，臺(tái)面上放置重力為G的重物，如圖所示。求重物對(duì)臺(tái)面的壓力。6.1質(zhì)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)基本方程質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)微分方程及其應(yīng)用【解】根據(jù)作用力和反作用力定律，重物對(duì)臺(tái)面的壓力為G(1+a/g)。它可以看作是兩部分組成，一部分是重物的重力G，它是升降臺(tái)處于靜止或勻速直線運(yùn)動(dòng)時(shí)臺(tái)面所受到的壓力，稱為靜壓力；另一部分為(a/g)G，是由物體作加速運(yùn)動(dòng)而附加產(chǎn)生的壓力，稱為附加動(dòng)壓力。令動(dòng)載荷因數(shù)6.1質(zhì)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)基本方程質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)微分方程及其應(yīng)用【例題】卷?yè)P(yáng)小車連同起吊重物一起沿橫梁以勻速v0向右運(yùn)動(dòng)。此時(shí)鋼索中的拉力等于物體的重力G。當(dāng)卷?yè)P(yáng)小車突然制動(dòng)時(shí)，重物將向右擺動(dòng)，如圖所示。求此時(shí)鋼索中的拉力，已知鋼索長(zhǎng)為l。6.1質(zhì)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)基本方程質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)微分方程及其應(yīng)用【解】小車突然制動(dòng)、重物向前擺動(dòng)的瞬間，j=0，此時(shí)鋼索中的拉力達(dá)最大值6.1質(zhì)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)基本方程質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)微分方程及其應(yīng)用【例題】如圖所示，設(shè)質(zhì)量為m

的質(zhì)點(diǎn)M

在Oxy平面內(nèi)運(yùn)動(dòng),其運(yùn)動(dòng)方程為:x=acoskty=bsinkta,b,k

為常數(shù)試求作用在質(zhì)點(diǎn)上的力F6.1質(zhì)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)基本方程質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)微分方程及其應(yīng)用【解】x=acoskty=bsinkt軌跡方程：力F

的投影:矢徑OM:r由此確定力F

的方向.(有心力)6.1質(zhì)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)基本方程質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)微分方程及其應(yīng)用已知力求運(yùn)動(dòng)問(wèn)題（積分過(guò)程）已知的作用力可能是常力,也可能是變力。變力可能是時(shí)間、位置、速度或者同時(shí)是上述幾種變量的函數(shù)。1)選擇合理的研究對(duì)象；2)分析作用在研究對(duì)象上的力，畫(huà)出受力圖；3)正確進(jìn)行運(yùn)動(dòng)分析；(除應(yīng)分析質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)特征外，還要確定出其運(yùn)動(dòng)初始條件)4)選擇并列出適當(dāng)?shù)馁|(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)微分方程；5)求解未知量。6.1質(zhì)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)基本方程質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)微分方程及其應(yīng)用【例題】如圖所示，液壓減振器工作時(shí)，活塞在液壓缸內(nèi)作直線運(yùn)動(dòng)。若液體對(duì)活塞的阻力正比于活塞的速度v，即FR=cv，其中c

為比例常數(shù)，設(shè)初始速度為v0，試求活塞相對(duì)于液壓缸的運(yùn)動(dòng)規(guī)律，并確定液壓缸的長(zhǎng)度。6.1質(zhì)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)基本方程質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)微分方程及其應(yīng)用【求解】令初始條件

t=0v=v0初始條件

t=0x=0

t

∞6.2質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理第六章動(dòng)力學(xué)基本方程和動(dòng)靜法6.2質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理質(zhì)心的概念點(diǎn)C稱為質(zhì)點(diǎn)系的質(zhì)量中心，簡(jiǎn)稱質(zhì)心在重力場(chǎng)中，質(zhì)點(diǎn)系的質(zhì)心與重心的位置是重合的。質(zhì)心反映了構(gòu)成質(zhì)點(diǎn)系的各質(zhì)點(diǎn)質(zhì)量的大小及質(zhì)點(diǎn)的分布情況；而重心是各質(zhì)點(diǎn)所受的重力組成的平行力系的中心，在失重狀態(tài)下，重心也就沒(méi)有意義了，面質(zhì)心卻始終存在。6.2質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理求導(dǎo)求導(dǎo)質(zhì)點(diǎn)系的質(zhì)量與質(zhì)心加速度的乘積，等于作用于質(zhì)點(diǎn)系上外力的矢量和(或外力系的主矢)，這就是質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理。6.2質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理的投影表達(dá)6.2質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理質(zhì)心運(yùn)動(dòng)守恒定理根據(jù)質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理：內(nèi)力不能影響質(zhì)心的運(yùn)動(dòng)，如果作用在質(zhì)點(diǎn)系的外力的矢量和等于0，則質(zhì)心位置不變或作勻速直線運(yùn)動(dòng)。如果作用與質(zhì)點(diǎn)系的外力在某一軸上的投影的代數(shù)和等于0，則質(zhì)心在該軸上的速度投影保持不變；若質(zhì)心的速度投影原來(lái)就等于0，則質(zhì)心沿該軸就沒(méi)有位移。6.2質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理【例題】

如圖所示，電動(dòng)機(jī)外殼和定子的總質(zhì)量為m1，質(zhì)心位于轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)軸的中心O1；轉(zhuǎn)子的質(zhì)量為m2，由于制造或安裝誤差，轉(zhuǎn)子的質(zhì)心O2到轉(zhuǎn)軸中心O1的距離為e，轉(zhuǎn)軸中心的高度為h，已知轉(zhuǎn)子以等角速度w

轉(zhuǎn)動(dòng)。（1）如果電動(dòng)機(jī)用螺栓固定在剛性基礎(chǔ)上，求電動(dòng)機(jī)機(jī)座水平和鉛直方向的約束力。（2）如果電動(dòng)機(jī)機(jī)座與基礎(chǔ)之間沒(méi)有螺栓固定，且接觸面絕對(duì)光滑，初始時(shí)，j

=0,v10=0,v20=v20y=ew，求電機(jī)外殼的運(yùn)動(dòng)。6.2質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理【例題】（1）電動(dòng)機(jī)固定在基礎(chǔ)上的情形受力分析運(yùn)動(dòng)分析由質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理可得：解得水平和鉛直約束力：6.2質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理【例題】

電動(dòng)機(jī)約束力是時(shí)間的正弦和余弦函數(shù)，并存在最大值和最小值。其中，由重力引起的約束力稱為靜約束力，由轉(zhuǎn)子的運(yùn)動(dòng)引起的約束力稱為動(dòng)約束力。動(dòng)約束力與靜約束力的差，稱為附加動(dòng)約束力。由轉(zhuǎn)子偏心引起的力將使電動(dòng)機(jī)和機(jī)座發(fā)生振動(dòng)。6.2質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理【例題】（2）電動(dòng)機(jī)沒(méi)有固定的情形系統(tǒng)初始：系統(tǒng)質(zhì)心：在

t

瞬時(shí)，設(shè)電動(dòng)機(jī)位移為x，則系統(tǒng)質(zhì)心由xC0=xC這就是電動(dòng)機(jī)在水平方向的運(yùn)動(dòng)方程，它是一個(gè)平衡中心在的簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)。6.2質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理【例題】此時(shí)電動(dòng)機(jī)在鉛直方向的反力Fy在沒(méi)有基礎(chǔ)固定時(shí)，電動(dòng)機(jī)可能脫離地面跳起當(dāng)：即：電動(dòng)機(jī)將會(huì)跳起。6.2質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理【課堂思考與討論】【問(wèn)題】均質(zhì)桿長(zhǎng)l，直立在光滑的水平面上，試求它從鉛垂位置無(wú)初速度倒下時(shí)，端點(diǎn)A相對(duì)圖示坐標(biāo)系的軌跡?！窘獯稹克椒较驘o(wú)外力，且初始靜止，因此質(zhì)心水平位置守恒。任意時(shí)刻如圖所示：軌跡為橢圓6.3質(zhì)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)問(wèn)題的動(dòng)靜法第六章動(dòng)力學(xué)基本方程和動(dòng)靜法6.3質(zhì)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)問(wèn)題的動(dòng)靜法

假設(shè)質(zhì)量為m的質(zhì)點(diǎn)M,受到主動(dòng)力F和約束力FN的作用,沿曲線運(yùn)動(dòng),產(chǎn)生加速度a,如圖慣性力FI:則形式上有:

表明:在任一瞬時(shí),作用于質(zhì)點(diǎn)上的主動(dòng)力,約束反力和虛加在質(zhì)點(diǎn)上的慣性力在形式上組成平衡力系.這就是質(zhì)點(diǎn)的達(dá)朗貝爾原理.6.3質(zhì)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)問(wèn)題的動(dòng)靜法

當(dāng)質(zhì)點(diǎn)受到其他物體作用而使運(yùn)動(dòng)狀態(tài)發(fā)生變化時(shí),由于質(zhì)點(diǎn)本身的慣性,對(duì)施力物體產(chǎn)生反作用力,這種反作用力稱為質(zhì)點(diǎn)的慣性力.

慣性力的大小等于質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量與其加速度的乘積,方向與加速度方向相反,但作用于施力物體上.6.3質(zhì)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)問(wèn)題的動(dòng)靜法

例如，人推車前進(jìn)，這個(gè)力向后作用在人手上。正是通過(guò)這個(gè)力，我們感到了物體運(yùn)動(dòng)的慣性，所以這個(gè)力就稱為慣性力。對(duì)于質(zhì)點(diǎn)本身，慣性力是假想的。但確有大小等于ma的力-ma存在，它作用在使質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)發(fā)生改變的物體上。6.3質(zhì)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)問(wèn)題的動(dòng)靜法直角坐標(biāo)系投影自然坐標(biāo)系投影6.3質(zhì)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)問(wèn)題的動(dòng)靜法求解有約束質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)力問(wèn)題的一個(gè)原理，是法國(guó)數(shù)學(xué)家JeanleRondd'Alembert于1743年最先提出的,因而得名。達(dá)朗貝爾原理提供了研究動(dòng)力學(xué)問(wèn)題的一個(gè)新的普遍方法，即用靜力學(xué)中研究平衡問(wèn)題的方法來(lái)研究動(dòng)力學(xué)問(wèn)題，因此又稱為動(dòng)靜法。JeanleRondd'Alembert18世紀(jì)法國(guó)啟蒙運(yùn)動(dòng)的先驅(qū)歷史上第一個(gè)偏微分方程的提出者-波動(dòng)方程無(wú)神論者第一個(gè)把時(shí)間作為第四維的科學(xué)家6.3質(zhì)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)問(wèn)題的動(dòng)靜法【例題】

重量為W的小球M系于不可伸長(zhǎng)的軟繩下端，軟繩的長(zhǎng)度為l。小球以勻速率v繞鉛垂線做圓周運(yùn)動(dòng)，繩與鉛垂線始終保持a

角，求繩子的拉力FT和小球的速率v。6.3質(zhì)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)問(wèn)題的動(dòng)靜法【求解】運(yùn)動(dòng)分析受力分析建立形式上的平衡方程并求解求得：6.3質(zhì)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)問(wèn)題的動(dòng)靜法如圖所示，物塊A放在車的斜面上，斜面傾角為30°，物塊A與斜面的摩擦因數(shù)ms=0.2。若車向左加速運(yùn)動(dòng)，試求物塊不致沿斜面下滑的加速度a的大小?！纠}】6.3質(zhì)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)問(wèn)題的動(dòng)靜法【求解】以小物塊A為研究對(duì)象，并視其為質(zhì)點(diǎn)。其慣性力的大小為FI=(G/g)a6.3質(zhì)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)問(wèn)題的動(dòng)靜法【求解】6.3質(zhì)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)問(wèn)題的動(dòng)靜法如圖所示，球磨機(jī)的滾筒以等角速度w繞水平軸O轉(zhuǎn)動(dòng)，內(nèi)裝鋼球和需要研磨的物料。鋼球被筒壁帶到一定高度后脫離筒壁，然后沿拋物線軌跡自由落下。已知滾筒的半徑為r，試求脫離處半徑OA與鉛垂線的夾角a?！纠}】6.3質(zhì)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)問(wèn)題的動(dòng)靜法以最外層的一個(gè)鋼球?yàn)檠芯繉?duì)象【求解】鋼球作勻速圓周運(yùn)動(dòng)，只有法向加速度。慣性力大小慣性力方向：通過(guò)點(diǎn)A背向滾筒中心O6.3質(zhì)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)問(wèn)題的動(dòng)靜法【求解】鋼球脫離筒壁的條件為此種情況相當(dāng)于鋼球始終不脫離筒壁對(duì)球磨機(jī)而言，應(yīng)要求6.4剛體繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)力學(xué)方程第六章動(dòng)力學(xué)基本方程和動(dòng)靜法6.4剛體繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)力學(xué)方程定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的動(dòng)力學(xué)基本方程取剛體上任一點(diǎn)i，其質(zhì)量為mi，其上作用有外力Fi，在它上面虛加切向(t方向)慣性力FIit、法向慣性力FIin后，形成一個(gè)形式上的平衡力系，故有將上式對(duì)于全部質(zhì)點(diǎn)進(jìn)行累加，則有6.4剛體繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)力學(xué)方程定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的動(dòng)力學(xué)基本方程定義剛體對(duì)軸O的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量

剛體繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，剛體對(duì)轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量與其角加速度的乘積，等于作用在剛體上的所有外力對(duì)轉(zhuǎn)軸力矩的代數(shù)和外力矩之總和用M表示，則可得到剛體繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)力學(xué)方程6.4剛體繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)力學(xué)方程轉(zhuǎn)動(dòng)慣量轉(zhuǎn)動(dòng)慣量

r:微質(zhì)量dm

到a軸的垂直距離單位:kg·m2質(zhì)量連續(xù)分布的情況：量綱:dimJ=ML2

轉(zhuǎn)動(dòng)慣量是正標(biāo)量，其大小不僅與剛體質(zhì)量大小和質(zhì)量的分布情況有關(guān)，還與對(duì)應(yīng)的a軸的位置有關(guān)。

轉(zhuǎn)動(dòng)慣量是剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)慣性的量度。6.4剛體繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)力學(xué)方程轉(zhuǎn)動(dòng)慣量引入回轉(zhuǎn)半徑轉(zhuǎn)動(dòng)慣量

對(duì)于均質(zhì)剛體，回轉(zhuǎn)半徑僅與幾何形狀有關(guān)，與密度無(wú)關(guān)。對(duì)于幾何形狀相同而材料不同（密度不同）的均質(zhì)剛體，其回轉(zhuǎn)半徑是相同的。6.4剛體繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)力學(xué)方程轉(zhuǎn)動(dòng)慣量均質(zhì)等厚薄圓板如圖6-14所示，其半徑為R，質(zhì)量為m，求它對(duì)于通過(guò)板質(zhì)心C且垂直于圓板的軸zC的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量?！纠}】6.4剛體繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)力學(xué)方程轉(zhuǎn)動(dòng)慣量【解】6.4剛體繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)力學(xué)方程轉(zhuǎn)動(dòng)慣量平行移軸公式

如圖所示兩個(gè)平行軸，其中一軸通過(guò)剛體質(zhì)心，另一軸為與質(zhì)心軸平行的任意軸。

若d

為兩平行軸的垂直距離，則有:

剛體對(duì)某軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量等于剛體對(duì)通過(guò)質(zhì)心且與該軸平行的軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，加上剛體的質(zhì)量與兩軸間距離的平方之乘積。6.4剛體繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)力學(xué)方程轉(zhuǎn)動(dòng)慣量6.4剛體繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)力學(xué)方程轉(zhuǎn)動(dòng)慣量如圖所示，剛體的質(zhì)量為m，對(duì)z1軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為J,求對(duì)z2軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量?！?.4剛體繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)力學(xué)方程轉(zhuǎn)動(dòng)慣量【例題】直桿的質(zhì)量:m1

均質(zhì)圓盤(pán)質(zhì)量:m2

在某瞬時(shí)角速度等于

w,計(jì)算系統(tǒng)對(duì)垂直于平面且通過(guò)O點(diǎn)的軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。6.4剛體繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)力學(xué)方程轉(zhuǎn)動(dòng)慣量【解】注意平行移軸公式在本例中的應(yīng)用6.4剛體繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)力學(xué)方程【例題】PhysicalPendulum(復(fù)擺)

擺的質(zhì)量:m

擺的質(zhì)心位置:C擺對(duì)懸掛點(diǎn)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量JO求擺微幅擺動(dòng)的周期T6.4剛體繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)力學(xué)方程【解答】分析作用在剛體上的力根據(jù)剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)微分方程若j

很小6.4剛體繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)力學(xué)方程【解答】注意,若已知JC則有JO=JC+ma2利用本例，可以通過(guò)測(cè)出零部件的擺動(dòng)周期，再求出它的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。6.4剛體繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)力學(xué)方程6.4剛體繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)力學(xué)方程

系統(tǒng)重心越高，系統(tǒng)對(duì)地面支點(diǎn)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量越大，轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的大小與重心對(duì)地面高度的平方成正比，而人體在失衡傾斜一個(gè)小的角度時(shí)，使人體旋轉(zhuǎn)的重力矩也增加了，在傾斜角度相同時(shí)，重力矩的大小與重心的高度成正比，于是重心越高，重力矩產(chǎn)生的角加速度越小，產(chǎn)生同樣傾斜角度所用的時(shí)間越長(zhǎng)，人體就越有時(shí)間通過(guò)肢體運(yùn)動(dòng)調(diào)整自己重心的位置，處于動(dòng)態(tài)平衡狀態(tài)

分析：為什么可以輕易地頂一個(gè)雞毛簞子在鼻尖上，使它處于動(dòng)態(tài)平衡不倒下來(lái)，但卻不容易頂一支鉛筆在鼻尖上，使它不倒下來(lái)。6.4剛體繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)力學(xué)方程【例題】

均質(zhì)桿OA長(zhǎng)l,質(zhì)量為m,其O端用鉸鏈支承，A端用細(xì)繩懸掛，如圖所示。試求將細(xì)繩突然剪斷的瞬時(shí)，鉸鏈O處的約束反力。6.4剛體繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)力學(xué)方程【解答】分析作用在桿上的力及其運(yùn)動(dòng)量:在剪斷繩子的瞬時(shí)6.4剛體繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)力學(xué)方程【解答】根據(jù)質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理得到6.4剛體繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)力學(xué)方程突然解除約束問(wèn)題這類問(wèn)題的力學(xué)特征是，在解除約束后，系統(tǒng)自由度會(huì)增加；解除約束前后的瞬間，其一階運(yùn)動(dòng)量(速度、角速度)連續(xù)，但二階運(yùn)動(dòng)量(加速度、角加速度)會(huì)發(fā)生突變，因此，突然解除約束問(wèn)題屬于動(dòng)力學(xué)問(wèn)題，而不是靜力學(xué)問(wèn)題。在外力已知的情況下，應(yīng)用剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)微分方程可以求得剛體的角加速度，在剛體的運(yùn)動(dòng)確定后，如果要求轉(zhuǎn)軸處的約束力，可以應(yīng)用質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理。6.5質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)靜法第六章動(dòng)力學(xué)基本方程和動(dòng)靜法6.5質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)靜法應(yīng)用動(dòng)靜法解質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)力學(xué)問(wèn)題時(shí)，需要在質(zhì)點(diǎn)系中每個(gè)質(zhì)點(diǎn)上假想地加上慣性力。剛體是由無(wú)數(shù)質(zhì)點(diǎn)組成，對(duì)所有點(diǎn)計(jì)算慣性力，顯然是不可能做到的。若應(yīng)用靜力學(xué)中力系簡(jiǎn)化的方法，將剛體上每個(gè)質(zhì)點(diǎn)的慣性力組成的慣性力系加以簡(jiǎn)化，得到與此慣性力系等效的簡(jiǎn)化結(jié)果，則可直接在剛體上假想地加上此簡(jiǎn)化結(jié)果，從而省去了逐點(diǎn)施加慣性力的復(fù)雜過(guò)程。下面研究剛體作平面運(yùn)動(dòng)時(shí)慣性力系簡(jiǎn)化的結(jié)果。6.5質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)靜法剛體慣性力系簡(jiǎn)化慣性力系的主矢和主矩

與一般力系一樣,所有慣性力組成的力的系統(tǒng),稱為慣性力系。慣性力系中所有慣性力的矢量和稱為慣性力系的主矢。

慣性力系的主矢與剛體的運(yùn)動(dòng)形式無(wú)關(guān)。

慣性力系中所有力向同一點(diǎn)簡(jiǎn)化，所得力偶的力偶矩矢的矢量和稱為慣性力系的主矩。

慣性力系的主矩和剛體的運(yùn)動(dòng)形式有關(guān).6.5質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)靜法剛體慣性力系簡(jiǎn)化剛體平移（平動(dòng)）時(shí)慣性力系的簡(jiǎn)化結(jié)果

剛體平移時(shí),剛體上各點(diǎn)加速度相同,慣性力系構(gòu)成一個(gè)同向的空間平行力系.將慣性力系向質(zhì)心C簡(jiǎn)化:

慣性力系對(duì)質(zhì)心C的主矩:由于:由于質(zhì)心C

是簡(jiǎn)化中心,rC=06.5質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)靜法剛體慣性力系簡(jiǎn)化剛體平移（平動(dòng)）時(shí)慣性力系的簡(jiǎn)化結(jié)果上述結(jié)果表明:剛體作平移時(shí),慣性力系的簡(jiǎn)化結(jié)果為一個(gè)通過(guò)質(zhì)心的合力FIR,其大小等于剛體的質(zhì)量和質(zhì)心加速度的乘積,方向與質(zhì)心加速度的方向相反.6.5質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)靜法剛體慣性力系簡(jiǎn)化剛體作定軸轉(zhuǎn)動(dòng)

僅討論工程中常見(jiàn)的比較簡(jiǎn)單的情況.設(shè)剛體具有質(zhì)量對(duì)稱平面，且轉(zhuǎn)軸垂直與質(zhì)量對(duì)稱平面。慣性力系主矢:由質(zhì)心公式:6.5質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)靜法剛體慣性力系簡(jiǎn)化剛體作定軸轉(zhuǎn)動(dòng)慣性力系對(duì)坐標(biāo)原點(diǎn)O

的主矩:6.5質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)靜法剛體慣性力系簡(jiǎn)化剛體作定軸轉(zhuǎn)動(dòng)–幾種特殊情況剛體轉(zhuǎn)軸不通過(guò)質(zhì)心,作勻速轉(zhuǎn)動(dòng)6.5質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)靜法剛體慣性力系簡(jiǎn)化剛體繞質(zhì)心軸轉(zhuǎn)動(dòng),角加速度a不等于0質(zhì)心加速度aC=0

慣性力系僅簡(jiǎn)化為一個(gè)力偶，其力偶矩：剛體作定軸轉(zhuǎn)動(dòng)–幾種特殊情況6.5質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)靜法剛體慣性力系簡(jiǎn)化剛體作定軸轉(zhuǎn)動(dòng)–幾種特殊情況剛體繞質(zhì)心軸勻速轉(zhuǎn)動(dòng)質(zhì)心加速度aC=0剛體角加速度a=0

慣性力系向點(diǎn)O簡(jiǎn)化的主矢和主矩都等于0。6.5質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)靜法剛體慣性力系簡(jiǎn)化平面運(yùn)動(dòng)剛體向質(zhì)心C簡(jiǎn)化簡(jiǎn)化條件：剛體的質(zhì)量對(duì)稱面平行于運(yùn)動(dòng)平面=0=06.5質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)靜法剛體慣性力系簡(jiǎn)化【課堂思考與討論】已知均質(zhì)桿長(zhǎng)為

L，質(zhì)量為m，角速度為零，角加速度為a1、將慣性力系向質(zhì)心C簡(jiǎn)化2、將慣性力系向轉(zhuǎn)軸A簡(jiǎn)化3、將慣性力系向桿上點(diǎn)B簡(jiǎn)化6.5質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)靜法剛體慣性力系簡(jiǎn)化1、將慣性力系向質(zhì)心C簡(jiǎn)化2、將慣性力系向轉(zhuǎn)軸A簡(jiǎn)化3、將慣性力系向桿上點(diǎn)B簡(jiǎn)化6.5質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)靜法質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)靜法僅討論平面問(wèn)題6.5質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)靜法質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)靜法因?yàn)?/p>

質(zhì)點(diǎn)系在運(yùn)動(dòng)的每一瞬時(shí)，作用于質(zhì)點(diǎn)系上所有的外力與虛加在質(zhì)點(diǎn)系上的慣性力系，在形式上構(gòu)成一平衡力系。這就是質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)靜法。運(yùn)用動(dòng)靜法來(lái)解決剛體及剛體系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)問(wèn)題，特別是求解約束力較為方便。6.5質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)靜法質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)靜法直角桿ABD，質(zhì)量為m=6kg。以繩AF和兩等長(zhǎng)且平行的桿